精品解析：四川省南充市南部县东辰学校2026-2027学年八年级上学期期中考试数学试题

2026年秋八年级数学期中质量检测卷 考试时间120分钟 分值150分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 画的边上的高，下列画法中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题是一道作图题，考查了三角形的高线的作法，正确理解高线是解题关键． 作哪一条边上的高，即从边所对的顶点向这条边或者这条边的延长线作垂线即可． 【详解】解：作边上的高，即从所对的顶点向或者的延长线作垂线； A、过点作的垂线，故不符合题意； B、过边上一点作边的垂线，故不符合题意； C、过点作的垂线，故不符合题意； D、过点向的延长线作垂线，故符合题意； 故选：D． 3. 在平面直角坐标系中，点关于直线对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点关于平行于坐标轴的直线对称的点的坐标的特征，设点关于直线对称的点为，根据轴对称的性质可得，点和点到直线距离相等，且纵坐标相等，据此即可求解． 【详解】解：设点关于直线对称的点为， 根据轴对称的性质得，点和点到直线距离相等，且纵坐标相等， ∴点的纵坐标为2， ∵点到直线的距离为， ∴点的横坐标为， ∴， 故选：C． 4. 如图，已知，，增加下列条件，不能肯定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由得，再根据全等三角形的判定方法逐项判断即可，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 、和中， ∴，此选项不符合题意； 、和中， ∴，此选项不符合题意； 、和中， ∴，此选项不符合题意； 、添加不能判定，此选项符合题意； 故选：． 5. 如图等边中，，且垂直于点D，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据等边三角形的性质得到，等边对等角以及三角形内角和定理求解，即可求解． 【详解】解：∵等边中，，垂直 ∴， ∵ ∴ ∴． 6. 如图是用尺规作的平分线的示意图，这样作图的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，作角平分线的尺规作图，先理解题意，观察作图过程得，证明，则，即可作答． 【详解】解：观察作图过程得， ∴， ∴， 即平分， 故选：B． 7. 如图，在中，，的角平分线和的外角平分线交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．由角平分线的定义可得，，从而可求得，再利用三角形的外角性质得，从而可求解． 【详解】解：如图， 的角平分线和的外角平分线交于点， ，， ， ，， 是的外角，， ， 即， 解得：． 故选：． 8. 如图，在中，点在上，点是的中点，已知，，则阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形中线平分面积及同高三角形面积比等于底边比的性质，将阴影部分面积转化为已知三角形面积的和． 【详解】解：∵， ， ∴， ∵点是的中点，  ∴，， ∴阴影部分的面积． 9. 如图，点O是矩形的中心，E是上的点，沿折叠后，点B恰好与点O重合，若，则折痕的长为() A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是翻折变换，勾股定理,等腰三角形的性质和判定定理，矩形的性质，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键； 先根据图形翻折变换的性质求出的长，再由勾股定理及等腰三角形的判定定理即可得出结论； 【详解】∵是翻折而成， ∴，， ∴， ∵是矩形的中心， ∴是等腰三角形， ∴ ∴， 在中，， 即，解得， 在中，设， 则， 即， 解得， ∴． 故选：A． 10. 如图，中，，平分交于点G，平分交于点D，、相交于点F，交的延长线于点E，连接，下列结论中正确的有（ ） ①若，则；②；③；④ A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的性质可得，由此即可判断①正确；先根据角平分线的定义和三角形的内角和定理求出，从而可得，再根据含30度角的直角三角形的性质即可判断②正确；在上截取，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可判断③正确；过点作于点，作于点，先根据角平分线的性质定理可得，再根据三角形的面积公式可得，然后根据全等三角形的性质可得，，由此即可判断④正确． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，结论①正确； ∵在中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，，则结论②正确； 如图，在上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，则结论③正确； 如图，过点作于点，作于点， 由上已得：，即平分， ∴， ∴， 由上已证：，， ∴，， ∴，则结论④正确； 综上，结论中正确的有4个， 故选：A． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 下列例子：①起重机的三角形吊臂；②校门口的自动伸缩栅栏门；③照相机的三脚架；④长方形门框的斜拉条．其中，利用了三角形稳定性的是______（填序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性．根据三角形的稳定性原理，判断每个例子是否应用了该特性，即可作答． 【详解】解：①起重机的三角形吊臂：采用三角形结构，利用稳定性增强承重能力，故利用了三角形稳定性； ②校门口的自动伸缩栅栏门：基于四边形的不稳定性实现伸缩功能，未利用三角形稳定性； ③照相机的三脚架：三条腿构成三角形，确保支撑稳定，故利用了三角形稳定性； ④长方形门框的斜拉条：通过添加斜杠形成三角形，防止门框变形，故利用了三角形稳定性； ∴利用了三角形稳定性的是①③④， 故答案为：①③④． 12. 如图，一块三角形模具碎成了三块，可以只带其中一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具，你选择带的那块编号是________． 【答案】 【解析】 【分析】要配一块与原来一样的三角形模具，即要构造一个与原三角形全等的三角形，需根据全等三角形的判定定理寻找包含足够条件的碎片． 【详解】第块只保留了一个角和部分边，无法确定三角形的形状和大小； 第块不包含完整的边和角，无法确定三角形的形状和大小； 第块保留了两个角和这两个角的夹边，根据全等三角形的判定定理“角边角”，即两角及其夹边对应相等的两个三角形全等， 带第块去商店，可以配一块与原来一样的三角形模具． 13. 如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，，则___． 【答案】6 【解析】 【分析】根据三角形中线的定义可得，根据三角形周长公式表示的周长，得到，再根据三角形周长公式表示的周长，即可求出的长． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵的周长是，， ∴， ∴， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴． 14. 如图，中，、的平分线相交于O，过点O且与平行．的周长为20，的周长为12，则的长为_____． 【答案】8 【解析】 【分析】由角平分线的定义和平行线的性质可得，从而得出，同理可得，，再结合三角形的周长公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵平分， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴ ， ∵的周长为20，的周长为12，即，， ∴． 15. 如图，等腰三角形的底边长为6，面积是24，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点；若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为_______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，连接，，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点A关于直线的对称点为点C，，推出，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点A关于直线的对称点为点C，， ∴， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短． 故答案为：11． 16. 如图，已知．点在线段上以每秒1个单位长度的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为．若运动过程中存在与全等，则点的运动速度为每秒_____个单位长度． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用．由题意知当与全等，分和两种情况，根据全等的性质列方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为t，由题意知，， 与全等，， ∴分两种情况求解： ①当时，，即，解得； ②当时，，即, 解得， ，即6， 解得； 综上所述，x的值是1或， 故答案为：1或． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 如图，，与相交于点，且，求证：是等腰三角形． 【答案】 证明：在 和 中， ， ， ， 即 是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的判定，证明是解题的关键． 根据“边边边”判定，由全等三角形的性质可得 ，进而可得，判定即可． 【详解】略 18. 如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． （1）的度数为______． （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知三角形内角和为180度是解题的关键． （1）先由三角形内角和为180度求出，再由角平分线的定义推出，则由三角形内角和定理可得． （2）先求出，再由角平分线的定义得到，求出，则． 【小问1详解】 解：∵在中，， ∴， ∵是角平分线，它们相交于点O， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是高，即， ∴， ∴． 19. 在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． （1）如图，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得， 请写出证明过程； （2）如图， 在中， 若，是的中线，求的取值范围． 【答案】（1） 解：是的中线， ， 在和中，， ； （2） 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系． （1）由证明三角形全等可得出答案； （2）同理（1）得，进而得出，由三角形三边关系得到，再根据即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，是的中线， 同理（1）得， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 20. 如图，在中，，． （1）尺规作图：①作边的垂直平分线交于点D； ②连接，作的平分线交于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线和角平分线的尺规作图即可； （2）先求出，再得出，进而可得，然后求出的度数，根据角平分线的定义求解即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵在中，，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴． 21. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的三顶点都在格点上，位置如图，请完成下面问题： （1）画出三角形关于直线（竖直线）的对称图形（注意标出对应点字母），写出三点坐标： ； ； ； （2）求三角形的面积； （3）在直线（水平线）上找一点，使最小，在图中画出点（保留作图痕迹）． 【答案】（1） 如图，即为所作： 点、、的坐标分别为、、， 故答案为：、、； （2） （3）如图，取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，此时，为最小值，则点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路径问题，求网格三角形的面积等知识点． （1）分别作出点关于轴对称的点，再顺次连接即可作图，然后即可直接写出点，，的坐标； （2）利用割补法求三角形的面积即可； （3）取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积为； 【小问3详解】 略 22. 如图，为的角平分线，于点，于点，连接交于点． （1）求证：垂直平分； （2）若，写出与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：为的角平分线，，， ，， 在和中， ， ， ， ∴点、都在的垂直平分线上， 垂直平分； （2） 解：， 证明：为的角平分线，， ， ， 垂直平分, , ，， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线、全等三角形的性质与判定以及垂直平分线： （1）先证明，得到即可证明； （2）根据角平分线得到，在中可得，利用角度转化得到，在中可得，进而得到与之间的数量关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 在中，，平分，交于点D，． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接AF．求证：． 【答案】（1） （2） 证明：∵E是的中点，， ∴，即； ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）设，根据等边对等角和角平分线推出，，利用三角形内角和列方程求出x，可得； （2）依据E是的中点，即可得到，，可得垂直平分，进而得出，依据，即可得到，再根据，可得，进而得到，从而证明结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 设，∵平分， ∴，， 在中，， 解得：， ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，解决问题的关键是综合运用等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的性质． 24. 【问题背景】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形． 【初步把握】如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有______；线段和的数量关系是______； 【深入研究】如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，在同一条直线上．请判断线段和存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，，，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1），； （2），， 理由：和是等腰三角形，，，， ∴，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，运用边角边即可求证； （2）根据等腰三角形的性质可证，得到，，由，得到，由此即可求解； （3）如图3，延长至，使，连接，可得是等边三角形，再证明，，由此即可求解． 【详解】[问题背景] （1）证明：， ， ， 在和中， ， ， ∴； 故答案为：，； （2）略 （3）解：， 理由：如图3，延长至，使，连接， ， 是等边三角形， ，， ， ∴，即， 在和中， ， ， ， ， ． 25. 已知，是等腰直角三角形，，点在轴负半轴上，直角顶点在轴上，点在轴上方． （1）如图1所示，若的坐标是，点的坐标是，则点的坐标______． （2）如图2，过点作轴于，求证：； （3）如图3，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于，问与有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：．理由如下：如图2， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ，， 而， ； （3） 解：．理由如下： 如图3，设和的延长线相交于点D， ， ， ， ， 而， ， 在和中， ， ， ， x轴平分，轴， 在和中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）作轴于H，证明，即可求解； （2）先证明，再证明，即可得到结论； （3）设和的延长线相交于点D，先证明，再证明，推出，再证，推出，即可得出． 【小问1详解】 解：作轴于H，如图1： 点A的坐标是，点B的坐标是， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋八年级数学期中质量检测卷 考试时间120分钟 分值150分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 画的边上的高，下列画法中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点关于直线对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，，增加下列条件，不能肯定的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图等边中，，且垂直于点D，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图是用尺规作的平分线的示意图，这样作图的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，的角平分线和的外角平分线交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点在上，点是的中点，已知，，则阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 9. 如图，点O是矩形的中心，E是上的点，沿折叠后，点B恰好与点O重合，若，则折痕的长为() A. B. C. D. 6 10. 如图，中，，平分交于点G，平分交于点D，、相交于点F，交的延长线于点E，连接，下列结论中正确的有（ ） ①若，则；②；③；④ A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 下列例子：①起重机的三角形吊臂；②校门口的自动伸缩栅栏门；③照相机的三脚架；④长方形门框的斜拉条．其中，利用了三角形稳定性的是______（填序号）． 12. 如图，一块三角形模具碎成了三块，可以只带其中一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具，你选择带的那块编号是________． 13. 如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，，则___． 14. 如图，中，、的平分线相交于O，过点O且与平行．的周长为20，的周长为12，则的长为_____． 15. 如图，等腰三角形的底边长为6，面积是24，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点；若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为_______． 16. 如图，已知．点在线段上以每秒1个单位长度的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为．若运动过程中存在与全等，则点的运动速度为每秒_____个单位长度． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 如图，，与相交于点，且，求证：是等腰三角形． 18. 如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． （1）的度数为______． （2）若，求的度数． 19. 在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． （1）如图，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得， 请写出证明过程； （2）如图， 在中， 若，是的中线，求的取值范围． 20. 如图，在中，，． （1）尺规作图：①作边的垂直平分线交于点D； ②连接，作的平分线交于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求的度数． 21. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的三顶点都在格点上，位置如图，请完成下面问题： （1）画出三角形关于直线（竖直线）的对称图形（注意标出对应点字母），写出三点坐标： ； ； ； （2）求三角形的面积； （3）在直线（水平线）上找一点，使最小，在图中画出点（保留作图痕迹）． 22. 如图，为的角平分线，于点，于点，连接交于点． （1）求证：垂直平分； （2）若，写出与之间的数量关系，并证明． 23. 在中，，平分，交于点D，． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接AF．求证：． 24. 【问题背景】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形． 【初步把握】如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有______；线段和的数量关系是______； 【深入研究】如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，在同一条直线上．请判断线段和存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，，，请直接写出与的数量关系． 25. 已知，是等腰直角三角形，，点在轴负半轴上，直角顶点在轴上，点在轴上方． （1）如图1所示，若的坐标是，点的坐标是，则点的坐标______． （2）如图2，过点作轴于，求证：； （3）如图3，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于，问与有怎样的数量关系？并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $