精品解析：广西柳州铁一中学2026-2027学年第一学期高一年级期中段考数学试卷

柳州铁一中学2026—2027学年第一学期高一年级段考 数学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. “”是“函数在上单调递增”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 5. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 7. 在无人机集群搜救中，目标区域的未覆盖面积（单位：）与搜索时间（单位：）满足关系式，其中为目标区域总面积，为常数.某次演练中，搜索和后的未覆盖面积分别为和.下表给出了不同地形条件下，演练目标区域总面积指标的参考范围，则此次演练的地形属于（ ）. 地形复杂程度 高山峡谷 复杂山地 浅丘林地 平原水面 评判指标 参考数据：，. A. 高山峡谷 B. 复杂山地 C. 浅丘林地 D. 平原水面 8. 记，已知 ，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列不等式成立的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知点在幂函数的图象上，则（） A. 的图象关于轴对称 B. 的图象关于对称 C. 在上单调递减 D. 若，则 11. 已知狄利克雷函数，则（ ） A. 函数的值域是 B. ， C. 存在三个点，，，使得为等边三角形 D. 不存在三个点，，，使得为等腰直角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 设且，若函数恒过定点，则__________． 13. 已知,则______． 14. 设函数的零点都在区间内，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，． （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）当时，求函数的最大值． 17. 已知函数（） （1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围． 18. 某公司出售一款网红玩偶，假设购进该款产品能够全部售出.采购此玩偶有两种渠道，渠道一：若采购数量不超过25万件，只能从经销商处按每件成本60元购买，且另需投入400万元固定费用，此时销售定价也与购进数量有关，若购进产品数量不超过15万件，定价160元/件即可；若购进该产品数量多于15万件且不超过25万件，需降低定价销售，且销量每增加5000件，单价降低2元（例：若购进16万件，则定价为156元/件）；渠道二：若购进数量在25万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行采购和销售，此时利润（万元）与采购量x（万件）的关系为. （1）当购进产品数量为12万件时，利润是多少?（利润=销售收入-成本） （2）写出利润（万元）关于采购（万件）的函数解析式； （3）购进并销售产品多少万件时，利润最大?此时利润是多少? 19. 已知函数（）． （1）若关于的方程在区间内有解，求的取值范围； （2）若关于的方程在区间内有两个不等实根，（）． ①求的取值范围； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 柳州铁一中学2026—2027学年第一学期高一年级段考 数学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解. 【详解】由，则， 集合， 故 故选：D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】命题“，”为全称量词命题， 因此该命题的否定为：，. 3. 若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质即可求解. 【详解】由条件，又，故， 所以， 故选：C 4. “”是“函数在上单调递增”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】由单调性得的取值范围，比较两范围的关系得出结论. 【详解】∵函数在上单调递增. ∴ 记，则，且，故应是充分不必要条件. 5. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用整体思想求抽象函数的定义域，同时注意分式分母不为、二次根式被开方数为非负数. 【详解】要使有意义，需满足， 所以的定义域为. 6. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，，得， 则当时，， 故 7. 在无人机集群搜救中，目标区域的未覆盖面积（单位：）与搜索时间（单位：）满足关系式，其中为目标区域总面积，为常数.某次演练中，搜索和后的未覆盖面积分别为和.下表给出了不同地形条件下，演练目标区域总面积指标的参考范围，则此次演练的地形属于（ ）. 地形复杂程度 高山峡谷 复杂山地 浅丘林地 平原水面 评判指标 参考数据：，. A. 高山峡谷 B. 复杂山地 C. 浅丘林地 D. 平原水面 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得， 两式相除可得， 所以， 所以， 所以对应地形为浅丘林地. 8. 记，已知 ，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以， 等号成立时， 因为，等号成立时， 故的最小值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列不等式成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】同底或同指的幂，构造函数利用单调性比较大小；不同底不同指的幂，找中间量过渡比较大小. 【详解】对于A，函数在上递增，故，故A正确； 对于B，函数在上递减，故，故B错误； 对于C， ，，故，故C正确； 对于D，，，故，故D错误. 10. 已知点在幂函数的图象上，则（） A. 的图象关于轴对称 B. 的图象关于对称 C. 在上单调递减 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.设幂函数为，代点解出指数，验证是否对定义域内任意成立； B.关于原点对称要求函数为奇函数，即，取一组特殊值代入即可否定；C.幂指数为负的幂函数在上单调递减，而是该区间的子区间；D. 用作差法比较大小，通分后利用基本不等式判断分子符号. 【详解】A.设（为常数），将点代入得，解得， 因此，定义域为，定义域关于原点对称， 且，所以是偶函数，其图象关于轴对称，正确； B.取，则，，显然，不满足奇函数要求，故不是奇函数，图象不关于原点对称，错误； C．幂函数为 时，在上单调递减，故在上单调递减，正确； D.，， ， 由 知分母为正，只需判断分子的符号， 记 ，，则 ， 分子化为， 因为 ，由基本不等式得 ，所以 且 ，分子为正， 于是差式大于 0，即 ，正确. 11. 已知狄利克雷函数，则（ ） A. 函数的值域是 B. ， C. 存在三个点，，，使得为等边三角形 D. 不存在三个点，，，使得为等腰直角三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据狄利克雷函数的定义和性质逐项判断即可. 【详解】对于A，已知狄利克雷函数， 当为有理数时，；当为无理数时，； 所以函数的值域是，所以A错误； 对于B，因为当为有理数时，，此时； 当为无理数时，，此时； 综上，，所以B正确； 对于C，已知狄利克雷函数， 所以取，其中和为无理数，0为有理数， 因此，，对应三点为. 那么. 三边长度相等，所以为等边三角形，C正确； 对于D，①当三点的函数值均相等时，即或时， 该三点共线，无法构成三角形； ②当有两点的函数值为0，一点的函数值为1时，假设. 则为无理数，为有理数，为了使得为等腰直角三角形， 则根据点的坐标位置可知，当时，； 当时，；当时，， 而为无理数，为有理数，所以，，所以以上等式不满足. ③当有两点的函数值为1，一点的函数值为0时，假设. 则为无理数，为有理数，为了使得为等腰直角三角形， 则根据点的坐标位置可知，当时，， 当时，，当时，， 而为无理数，为有理数，所以，，所以以上等式不满足； 综上，不存在三个点，，，使得为等腰直角三角形，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 设且，若函数恒过定点，则__________． 【答案】4 【解析】 【详解】当即时，，与的取值无关， 故函数恒过定点，. 13. 已知,则______． 【答案】6 【解析】 【分析】把看成一个整体,将等式右边表示成的形式,然后把整体换成x,即可得,令x=2,即可得f（2）的值． 【详解】∵, ∴ 把整体换成x,可得, , ∴． 故答案为6 【点睛】本题考查了利用配凑法求函数的解析式,求函数解析式一般应用配凑法和换元法,属于基础题. 14. 设函数的零点都在区间内，则的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】求出在上的导数，得到的单调区间，结合函数的奇偶性求出所有零点所在的区间，进而求出，的值，求出答案即可． 【详解】， 当时，，， 在上递增， 而，， 时，在内存在唯一零点， 是偶函数，在上递减， 而，， 时，在存在唯一零点， 零点都在内． 故当时，取最小值，且最小值为4， 故答案为：4. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，． （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），． （2） 【解析】 【分析】（1）利用交集和补集的定义求解； （2）利用子集的概念求解. 【小问1详解】 ， 当时，， 所以，，所以． 【小问2详解】 当时， 所以，解得，即的取值范围为. 16. 已知函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）当时，求函数的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的单调性，即可求解； （2）先求得的解析式，再结合二次函数和对数函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 当时，由题知， 又，即， 又为单调递增函数，所以，解得， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 当时，可得，则，可得， 对于函数， 有得，故函数的定义域为， 令， 所以当时，取得最大值，即， 所以，即函数的最大值为. 17. 已知函数（） （1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【详解】（1）由的解集为， 得，整理得，即 解得，故实数的取值范围为 （2）令，，，， ①当时，，不等式的解集为， 所以解集中的3个整数为，故，， 即，解得． ②当时，，不等式无解，不满足题意． ③当时，，不等式的解集为， 所以解集中的3个整数为，故，， 即，解得． 综上所述，实数的取值范围为或． 18. 某公司出售一款网红玩偶，假设购进该款产品能够全部售出.采购此玩偶有两种渠道，渠道一：若采购数量不超过25万件，只能从经销商处按每件成本60元购买，且另需投入400万元固定费用，此时销售定价也与购进数量有关，若购进产品数量不超过15万件，定价160元/件即可；若购进该产品数量多于15万件且不超过25万件，需降低定价销售，且销量每增加5000件，单价降低2元（例：若购进16万件，则定价为156元/件）；渠道二：若购进数量在25万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行采购和销售，此时利润（万元）与采购量x（万件）的关系为. （1）当购进产品数量为12万件时，利润是多少?（利润=销售收入-成本） （2）写出利润（万元）关于采购（万件）的函数解析式； （3）购进并销售产品多少万件时，利润最大?此时利润是多少? 【答案】（1）800万元 （2） （3）当（万件）时，利润最大，此时利润是1590（万元）． 【解析】 【分析】（1）根据题意和已知条件代入求解即可； （2）对进行分类讨论写出的解析式； （3）对分类讨论写出各段函数的最大值进行比较. 【小问1详解】 （万元）. 所以当购进产品数量为12万件时，利润是800万元. 【小问2详解】 当时，， 当时，单价为：， 所以， 当时，， 所以． 【小问3详解】 由（2）知，当时，， 当（万件），利润最大，此时利润是1100（万元）， 当时，， 当（万件），利润最大，此时利润是1200（万元）， 当时， ，， 当且仅当，即， 当（万件），利润最大，此时利润是1590（万元）， 因为，所以当（万件）时，利润最大，此时利润是1590（万元）． 19. 已知函数（）． （1）若关于的方程在区间内有解，求的取值范围； （2）若关于的方程在区间内有两个不等实根，（）． ①求的取值范围； ②证明：． 【答案】（1） （2）① ②令，解得或，即 当时，，且． ，， 又，，． ． 当时，，且． ，， ，，，． 综上所述，得证． 【解析】 【分析】（1）分离参数转化为求对勾函数在上的值域； （2）①去绝对值写成分段函数，转化为直线与分段函数图像在内恰有两个交点；②按两根的分布区间分两类讨论，利用方程关系消元化简，直接判断表达式的正负. 【小问1详解】 依题意，，即成立， 令，在上单调递增，，， ，解得，． 【小问2详解】 ①原方程等价于，令 要使原方程在内有两个不等实根，只需与的图象在内恰有两个交点． 作出函数的图象，可知在上单调递减，在上单调递增． 且，， 由图可知，，解得， 即的取值范围是． ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $