精品解析：广西百色市平果市铝城中学2025-2026学年高一下学期段考测试数学试卷

2025级高一下学期数学段考测试卷 编者：林大泽 平果市铝城中学 一、单选题（每题5分共40分） 1. 在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵ 复数的分子分母同乘进行化简，得. ∴ 该复数对应的点的坐标为. 2. 与向量同方向的单位向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 与同方向的单位向量的坐标为． 3. 已知平面向量满足，且，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意，得， 而，则. 4. 如图，一个平面图形的直观图是等腰梯形，，该直观图的高为2，则原平面图形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】过点作于点D，故，因为，所以，，同理过点作于点E，可得，所以，所以原平面图形OABC如图所示，其中，，，，故原平面图形的周长为，故选：A． 5. 如图，在半径为的圆中，有一条长度为2的弦，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点，连接，则，再根据数量积的运算律计算可得. 【详解】取的中点，连接，则， 所以. 6. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由正弦定理，， 不妨设，，， 则由余弦定理，， 因为，所以． 7. 在正四棱台中，，若侧棱与底面的夹角为，则该四棱台的体积为（ ） A. B. 112 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】如图，分别为上底面和下底面的中心，连接， 则底面，过点作于点，则底面， 则即侧棱与底面的夹角,即， 因为，所以， 故，所以， 故该正四棱台的体积为. 8. 已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ，， 【答案】C 【解析】 【详解】对于选项A：当，时，，所以本选项不符合题意； 对于选项B：当，时，平面，可以平行，所以本选项不符合题意； 对于选项C：当，时，由面面垂直的判定定理可得，所以本选项符合题意； 对于选项D：当，，时，根据线面垂直的判定定理，由不一定能推出，所以本选项不符合题意. 二、多选题（每题5分共18分） 9. 已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为3，则（ ） A. 圆台的表面积为 B. 圆台的体积为 C. 圆台的侧面展开图所在扇形的圆心角为 D. 圆台的外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用圆台表面积公式，代入已知半径和母线计算可判断A；由轴截面几何关系求出高，再代入圆台体积公式计算可判断B；圆台侧面展开图的圆心角可由底面半径差与母线长关系求得，从而判断C；设外接球心在轴线上，根据勾股定理列方程解得半径平方，再求表面积即可判断D. 【详解】如图所示，为轴截面，点在下底面的投影分别为， 由题意可知：设上底面半径为，下底面半径为，母线为， ，则， 对于A选项，圆台的表面积，所以A正确； 对于B选项，设圆台的高为，由图可知，，则圆台的体积，所以B正确； 对于C选项，圆台侧面展开图所在扇形的圆心角（或者，此圆台是由底面半径为2，母线长为6的圆锥截得的，所以圆台侧面展开图所在扇形的圆心角），所以C错误； 对于D选项，圆台的外接球的球心O一定在上，如图所示，连接OA，OD，则，则，设外接球半径为R，即，所以， 解得，所以外接球的表面积，所以D正确． 10. 已知直线，平面，则（　　） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】使用空间中直线与平面、直线与直线的平行、垂直判定定理与性质判断选项即可. 【详解】对于选项A：反例：若，，则，此时符合条件但不符合结论，故A选项错误； 对于选项B：已知，则设所在的平面与的交线为，由线面平行性质可得， 因为，所以有，因为是内的一条直线，故，故B选项正确； 对于选项C：若，且，则，若，则，故C选项正确； 对于选项D：反例：若两两垂直，则有它们的交线，此时符合条件但不符合结论，故D选项错误； 故选：BC. 11. 在中，角的对边分别是，已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】应用余弦定理计算判断A，D，应用面积公式计算判断B，应用正弦定理求解判断C. 【详解】对于A，根据余弦定理， 得，因此，故A正确； 对于B，根据三角形面积公式，故B正确； 对于C，根据正弦定理，可得，故C不正确； 对于D，因为， 所以，故D不正确. 三、填空题（每题5分共15分） 12. 在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则______. 【答案】## 【解析】 【详解】由，，则， 由正弦定理，知. 13. 在中，角的对边分别为，若，，的面积为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式和余弦定理求解即可. 【详解】因为，代入得，化简得. 由余弦定理， 结合， 得.  因为为边长，故. 14. 如图，在圆柱中，轴截面是正方形，C在圆O的圆周上，，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 【答案】##0.7 【解析】 【详解】如图，设圆O的半径为r，延长BA至点D，使， 连接，CD，AC，则，， 所以四边形是平行四边形， 所以，， 则或其补角为异面直线与所成的角， 因为，， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. 四、解答题（本小题共5题合计77分） 15. 在中，内角的对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的值. 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理、诱导公式及两角和的正弦公式化简求解即可. （2）根据三角形面积公式及余弦定理求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理得，， 又，所以， 则， 化简得，， 在中，，所以， 又因为，所以. 【小问2详解】 由三角形面积公式得：，解得， 由余弦定理得，， 所以，又，所以. 16. 设向量，，. （1）若与平行，求的值； （2）若与垂直，求的值； （3）求的余弦值； （4）求在上的投影数量. 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 因为， 所以， 因为与平行，所以，所以 【小问2详解】 因为，， 所以， 又因为与垂直，故，所以 【小问3详解】 因为，， 所以， 所以 所以的余弦值为 【小问4详解】 因为，，所以 所以 则在上的投影数量为. 17. 如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，点C在底面圆周上，点D为BC的中点． （1）证明：平面PAC； （2）证明：平面平面PBC． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题设易得，进而根据线面平行的判定定理求证即可； （2）由题设可得，，结合可得，进而得到平面POD，再根据面面垂直的判定定理求证即可. 【小问1详解】 因为O为底面圆心，AB为底面直径，所以点O为AB的中点， 又因为点D为BC的中点，所以， 因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC； 【小问2详解】 因为点C在底面圆周上，所以， 又因为点D为BC的中点，所以， 因为AB为底面直径，所以， 又因为，所以， 而，PD，平面POD，所以平面POD， 因为平面PBC，所以平面平面PBC． 18. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积； （3）若，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理实现边角互化，结合三角形内角的取值范围求解角B. （2）借助余弦定理求出边c的长度，代入三角形面积公式计算即可. （3）利用余弦定理结合基本不等式求的取值上界，结合三角形三边关系确定取值下界，最终得到周长的取值范围. 【小问1详解】 ∵ 在中，由正弦定理得（为外接圆半径）. ∴ ，. 代入得. ∵ ，∴ ， 两边同时约去，得，即. 又∵ ，∴ . 【小问2详解】 ∵ ，，， 由余弦定理得， 代入得， 即，整理得. 解得或（边长为正，舍去）. ∴ 的面积. 【小问3详解】 由余弦定理得， 即. 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， ∴ ， ∴ ，即，当且仅当时等号成立. 又∵ 三角形两边之和大于第三边，∴ ， ∴ ， ∴ 的周长. 【点睛】方法归纳：本题考查解三角形的综合应用，涉及正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式求范围，解题核心是合理进行边角互化，求取值范围时注意结合几何性质限定边界. 19. 如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. （1）求证：平面； （2）设点在上，且，证明：平面； 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质可得，再结合线面垂直的判定即可证明； （2）通过证明四边形为平行四边形，得到，再由线面平行的判定即可证明． 【小问1详解】 证明：因为平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面； 【小问2详解】 取的中点，则， 因为，所以，则且， 又，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，从而， 又平面，平面，所以平面． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一下学期数学段考测试卷 编者：林大泽 平果市铝城中学 一、单选题（每题5分共40分） 1. 在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 与向量同方向的单位向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量满足，且，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一个平面图形的直观图是等腰梯形，，该直观图的高为2，则原平面图形的周长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在半径为的圆中，有一条长度为2的弦，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 6. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 在正四棱台中，，若侧棱与底面的夹角为，则该四棱台的体积为（ ） A. B. 112 C. D. 8. 已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ，， 二、多选题（每题5分共18分） 9. 已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为3，则（ ） A. 圆台的表面积为 B. 圆台的体积为 C. 圆台的侧面展开图所在扇形的圆心角为 D. 圆台的外接球的表面积为 10. 已知直线，平面，则（　　） A. B. C. D. 11. 在中，角的对边分别是，已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 三、填空题（每题5分共15分） 12. 在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则______. 13. 在中，角的对边分别为，若，，的面积为，则______． 14. 如图，在圆柱中，轴截面是正方形，C在圆O的圆周上，，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 四、解答题（本小题共5题合计77分） 15. 在中，内角的对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的值. 16. 设向量，，. （1）若与平行，求的值； （2）若与垂直，求的值； （3）求的余弦值； （4）求在上的投影数量. 17. 如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，点C在底面圆周上，点D为BC的中点． （1）证明：平面PAC； （2）证明：平面平面PBC． 18. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积； （3）若，求周长的取值范围. 19. 如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. （1）求证：平面； （2）设点在上，且，证明：平面； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $