精品解析：广东中山市中山纪念中学2026-2027学年九年级上学期期中考试数学试卷

2026-2027学年第一学期期中考试 九年级数学学科试卷 一、单选题（共10题，每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程的常数项是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：一元二次方程中c为常数项，此方程． 2. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 3. 已知点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把 和 分别代入反比例函数，求出，的值比较大小即可． 【详解】解：把 和 分别代入反比例函数， 得 ，， 所以 ． 4. 将抛物线，先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，所得的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度，得，再向下平移个单位长度，得． 5. 关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 必经过点 B. 两个分支分布在第二、四象限 C. 两个分支关于轴成轴对称 D. 在每一个象限内，随的增大而减小 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵把代入得，∴图象不经过点，故A 错误； ∵，∴两支分别在第二、四象限，故B正确； 两支关于原点成中心对称，并不关于x轴成轴对称，故C错误； ∵，∴在每一个象限内y随x的增大而增大，故D错误． 6. 已知、是方程的两个实数根，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系计算即可． 【详解】解：由根与系数的关系，， 所以． 7. 下表是满足二次函数的五组数据，则方程的一个根的所在范围是（ ） x y A. 与之间 B. 与之间 C. 与之间 D. 与之间 【答案】B 【解析】 【分析】根据表格可知自变量在与之间时，函数值由负变为正，那么对应的一元二次方程的一个解也属于这个范围，据此可得答案． 【详解】解：方程的根就是函数值时的． 表中时；时，函数值由负变正，其间必有一个使， 故根在与之间． 8. 如图，在长为60m，宽为40m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（其中有两条纵向和一条横向，横向与纵向道路互相垂直），把耕地分成六块作为试验田，要使试验田总面积为，问道路应为多宽？若设道路宽为xm，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平移思想，将道路平移至矩形边缘，把分散的六块试验田拼成一个大矩形，表示出新矩形的长和宽，根据面积公式列方程即可． 【详解】解：设道路宽为， 利用平移法，将两条纵向道路和一条横向道路分别平移到矩形的边缘，此时试验田合并为一个长为，宽为的矩形， 由试验田总面积为，得． 9. 如图，矩形的顶点在双曲线上，点在反比例函数第二象限的图象上，若矩形面积为6，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的几何意义得，，根据矩形面积为6列方程即可解出的值． 【详解】解：如图，记与轴相交于， 矩形的顶点在双曲线上，点在反比例函数第二象限的图象上， ，，． 矩形面积为6，， ， 解得：（舍），， ∴的值为． 10. 如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】求出，，得到，证明是等腰直角三角形，则，得到，进一步求出． 【详解】解：当时，，则， 由图象可知，， 故， 当时，， 解得， ∴， 则， ∵抛物线关于轴对称， ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 二、填空题（共5题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ， 或， . 12. 某年级进行篮球循环比赛，要求每两个班之间都要比赛一场，一共需要比赛28场，若这个年级共有x个班，由题意可列方程__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：x个班中每个班要与其余个班各赛一场，共场，但每场被两个班各算了一次，实际场次为， 故方程为：． 13. 若关于x的一元二次方程有一个根为，则m等于_________． 【答案】 【解析】 【分析】已知方程为一元二次方程，且一个根为，先将根代入方程求得的可能值，再根据一元二次方程二次项系数不为0排除不符合的取值，即可得到结果． 【详解】解：原方程是关于的一元二次方程， 二次项系数不为， 即，得， 是原方程的一个根， 将代入原方程得 ， 解得或， ∴． 14. 在某校“科技点亮未来”活动中，火箭模型弹射这一充满巧妙构思的作品吸引了同学们的目光，火箭模型从地面弹出．模型在空中的高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式为．当火箭模型达到最高点时，其最大高度为__________米． 【答案】 【解析】 【分析】求火箭模型的最大高度，即求二次函数的最大值，可通过配方得到顶点式，结合二次函数性质求解． 【详解】解：对函数关系式配方，得， ∵， ∴二次函数开口向下，顶点为最高点，的最大值为． 即最大高度为米． 15. 定义：如果二次函数满足，那么我们称这个函数为“和谐”函数；如果二次函数满足，那么我们称这个函数为“美好”函数；如果一个二次函数既是“和谐”函数又是“美好”函数，且，当时，该函数的最小值为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据所给定义建立方程组求出，，进而得到二次函数的解析式为，再根据x的取值范围和函数对应的最小值求解即可． 【详解】解：∵二次函数既是“和谐”函数又是“美好”函数， ∴ 得，解得， 把代入②得，解得， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵对称轴为y轴，，且， ∴当时，有最小值， ∵当时，该函数的最小值为， ∴， ∴． 三、解答题一（共3题，每题8分，共24分） 16. 解方程： 【答案】，. 【解析】 【分析】利用公式法求解即可. 【详解】， ，. 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 17. 已知是一元二次方程的一个根，求的值和方程的另一个根． 【答案】，另一个根为 【解析】 【分析】把代入一元二次方程即可求的值，再解方程求另一个根． 【详解】解：把代入得， 解得， 原方程为，即， 所以． 即方程有两个相等的实数根，另一个根为． 18. 已知二次函数的图象如图所示， （1）当时，则的取值范围是__________； （2）求这个二次函数的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）观察图象，可得抛物线与轴交点的横坐标，再利用数形结合的方法得到的取值范围； （2）直接利用待定系数法求出二次函数的解析式即可． 【小问1详解】 解：观察图象可得：抛物线与轴交点的横坐标为， ， 的取值范围是． 【小问2详解】 解：由图象可得；顶点坐标为，过原点和， 把，，代入得： ， 解得， 二次函数的解析式为． 四、解答题二（共3题，每题9分，共27分） 19. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，． （1）求反比例函数的表达式； （2）则当x____________________时，； （3）连接，，求的面积． 【答案】（1） （2）或 （3）8 【解析】 【分析】（1）利用一次函数解析式求出点的坐标，然后利用待定系数法求反比例函数解析式； （2）求出交点坐标，利用函数图象求出自变量的取值范围； （3）求出直线与轴的交点的坐标，然后利用三角形的面积公式求解． 【小问1详解】 解：将代入得， ， ∴， 将代入得， ， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：将代入得， ， 解得， ∴， 通过函数图象以及交点坐标可知， 当或时，； 【小问3详解】 解：如图所示，直线交轴于点， 当时，， ∴， ∴， ∴． 20. 某水果店销售一种进口水果，原价每千克元，连续两次降价后每千克元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率． （2）若每千克盈利元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下水果店决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价元，日销售量将减少千克，现希望每天获得最大利润，那么每千克应涨价多少元? 【答案】（1）每次下降的百分率为 （2）每千克应涨价元 【解析】 【分析】（1）根据连续两次降价的售价等量关系列一元二次方程，结合实际意义求解； （2）根据“总利润=每千克利润×日销售量”列出二次函数关系式，结合自变量取值范围求最大值对应的涨价值． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为（）， 根据题意可得，， 则， 即， 可得或（不符合题意，舍去）， 故每次下降的百分率为． 【小问2详解】 解：设每千克涨价元，每天的总利润为元， 则每千克的销售利润为元，每天的销售量为千克， 则，， 解得， 每天的销售利润为，即， 配方得， ， 当时，取得最大值， 故每千克应涨价元． 21. 定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． （1）下列方程中，属于“邻根方程”的是__________（填序号）． ①；②；③． （2）已知方程是“邻根方程”，求的值． （3）若方程是“邻根方程”，请探究与的等量关系． 【答案】（1）③ （2）4或2 （3） 【解析】 【分析】（1）先把“邻根方程”的定义翻译成“两个根之差的绝对值等于 ”，再分别求出三个方程的两个根，代入检验； （2）写出方程 的两个根，代入定义得到 ，去掉绝对值分两种情况求解； （3）设两个根为 、，由定义得 ，两边平方后用根与系数的关系把、 换成 、，得到 与 的等量关系，并反过来验证它同样符合定义． 【小问1详解】 解：逐个判断三个方程的两个根之差的绝对值是否等于 ． ① 方程 的两个根是 和 ，，所以不是“邻根方程”． ② 方程 即 ，两个根都是 ，，所以不是“邻根方程”． ③ 方程 即 ，两个根是 和 ，，符合定义，所以是“邻根方程”． 【小问2详解】 解：方程 的两个根是 和 ． 由“邻根方程”的定义，两个根之差的绝对值等于 ，即 ． 所以 或 ， 解得 或 ． 【小问3详解】 解：设方程 的两个根为 、． 由“邻根方程”的定义，，两边平方得 ． 又由根与系数的关系，，，所以 ． 于是 ． 反过来，若 ，则方程 的判别式为 ，它有两个不相等的实数根 、． 此时 ，所以 ，符合“邻根方程”的定义． 综上， 与 的等量关系是 ． 五、解答题（三）（共2题，22题12分，23题12分，共24分） 22. 如图是新能源汽车充电站遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为米，且点和点的水平距离为米． （1）按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； （2）一辆观光车需要充电，如图，已知车身长约米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方； （3）为了让遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图所示，钢架分两段，其中一段连接点与点，然后在棚顶上某处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．求出第二段钢架长度的最大值． 【答案】（1）； （2）观光车可以完全停进遮阳棚正下方； （3） 的最大值为米． 【解析】 【分析】第问已知顶点优先用顶点式求解析式； 第问已知纵坐标求对应横坐标，比较水平可利用长度与车长判断能否停进； 第问构造竖直方向线段关于的二次函数，利用顶点求最值． 【小问1详解】 解：由题意，顶点． 设顶点式，顶点为： 把代入： ∴，即． 【小问2详解】 解：车最高点离地，令： 在到顶点这一段，取． 该位置向右可利用的水平长度为． ， ∴观光车可以完全停进遮阳棚正下方． 【小问3详解】 解：设直线的函数解析式为． 将点代入中， 得， 点在抛物线上，在直线上，轴： 设,则 时，取得最大值： 答：的最大值为米． 【点睛】本题是二次函数实际应用题，考查建模能力与三类常见设问．已知顶点坐标，优先设顶点式求解析式；竖直方向线段的长度，等于上方点纵坐标减下方点纵坐标，构造差函数；二次函数最值：开口向下，在对称轴处取最大值；计算时注意先求对称轴再代入． 23. 已知抛物线，为平面直角坐标系原点，点坐标为． （1）如图，若抛物线过点，与轴的一个交点为，顶点为，直线与轴的交点为． ①求该抛物线的解析式和顶点坐标； ②若抛物线上有一点M，使得，求点M的坐标； （2）若抛物线与线段只有一个交点，求的取值范围． 【答案】（1）①，顶点坐标为；②或 （2）或 【解析】 【分析】（1）①将代入，即可求解； ②设，由，可得，即可求解； （2）根据题意得直线的解析式为，抛物线顶点坐标为，再分两种情况：当时和当时，讨论求解． 【小问1详解】 解：①将代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点坐标为． ②设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，整理得或， ∴或， ∴，，，， ∴点M的坐标或． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 如图，当时， 联立， ∴，整理得， ∵抛物线与线段只有一个交点， ∴有两个相等的实数根，且两个实数根在与之间， ∴，， 解得， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图，当时， ∵， ∴抛物线顶点坐标为， 当时，，当时，， 当时，原点在上方，顶点在线段下方， ∵抛物线与线段只有一个交点， ∴在的上方， ∴， 解得，符合， 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期期中考试 九年级数学学科试卷 一、单选题（共10题，每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程的常数项是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 2. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线，先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，所得的抛物线是（ ） A. B. C. D. 5. 关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 必经过点 B. 两个分支分布在第二、四象限 C. 两个分支关于轴成轴对称 D. 在每一个象限内，随的增大而减小 6. 已知、是方程的两个实数根，则的值为（ ）． A. B. C. D. 7. 下表是满足二次函数的五组数据，则方程的一个根的所在范围是（ ） x y A. 与之间 B. 与之间 C. 与之间 D. 与之间 8. 如图，在长为60m，宽为40m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（其中有两条纵向和一条横向，横向与纵向道路互相垂直），把耕地分成六块作为试验田，要使试验田总面积为，问道路应为多宽？若设道路宽为xm，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形的顶点在双曲线上，点在反比例函数第二象限的图象上，若矩形面积为6，则的值为（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、填空题（共5题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的解为__________． 12. 某年级进行篮球循环比赛，要求每两个班之间都要比赛一场，一共需要比赛28场，若这个年级共有x个班，由题意可列方程__________． 13. 若关于x的一元二次方程有一个根为，则m等于_________． 14. 在某校“科技点亮未来”活动中，火箭模型弹射这一充满巧妙构思的作品吸引了同学们的目光，火箭模型从地面弹出．模型在空中的高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式为．当火箭模型达到最高点时，其最大高度为__________米． 15. 定义：如果二次函数满足，那么我们称这个函数为“和谐”函数；如果二次函数满足，那么我们称这个函数为“美好”函数；如果一个二次函数既是“和谐”函数又是“美好”函数，且，当时，该函数的最小值为，则__________． 三、解答题一（共3题，每题8分，共24分） 16. 解方程： 17. 已知是一元二次方程的一个根，求的值和方程的另一个根． 18. 已知二次函数的图象如图所示， （1）当时，则的取值范围是__________； （2）求这个二次函数的解析式． 四、解答题二（共3题，每题9分，共27分） 19. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，． （1）求反比例函数的表达式； （2）则当x____________________时，； （3）连接，，求的面积． 20. 某水果店销售一种进口水果，原价每千克元，连续两次降价后每千克元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率． （2）若每千克盈利元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下水果店决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价元，日销售量将减少千克，现希望每天获得最大利润，那么每千克应涨价多少元? 21. 定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． （1）下列方程中，属于“邻根方程”的是__________（填序号）． ①；②；③． （2）已知方程是“邻根方程”，求的值． （3）若方程是“邻根方程”，请探究与的等量关系． 五、解答题（三）（共2题，22题12分，23题12分，共24分） 22. 如图是新能源汽车充电站遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为米，且点和点的水平距离为米． （1）按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； （2）一辆观光车需要充电，如图，已知车身长约米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方； （3）为了让遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图所示，钢架分两段，其中一段连接点与点，然后在棚顶上某处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．求出第二段钢架长度的最大值． 23. 已知抛物线，为平面直角坐标系原点，点坐标为． （1）如图，若抛物线过点，与轴的一个交点为，顶点为，直线与轴的交点为． ①求该抛物线的解析式和顶点坐标； ②若抛物线上有一点M，使得，求点M的坐标； （2）若抛物线与线段只有一个交点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $