精品解析：广东省 中山市第一中学2025--2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年第一学期中段抽查调研 九年级数学科试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的定义：中心对称图形则是指在平面内把一个图形绕着某个点旋转后，能够与原来的图形重合的图形．根据中心对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故不符合题意； C、选项中的图形是中心对称图形，符合题意； D、选项中的图形不是中心对称图形，故不符合题意． 故选：C． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，由二次函数顶点式的顶点坐标为，求解即可． 【详解】解：， 抛物线的顶点坐标为， 故选：D． 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案； 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故选：D． 4. 如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝43°，则∠AOB的度数是（　　） A. 83° B. 84° C. 86° D. 87° 【答案】C 【解析】 【分析】圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半，根据圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：∵∠ACB＝43°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝86°， 故选：C． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，掌握圆周角定理求解圆心角或圆周角是解题的关键. 5. 已知抛物线为常数，，，是抛物线上三点，则，，由小到大依次排列为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可． 【详解】解：∵，， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当，随的增大而增大， ∵关于直线的对称点是， 且， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键． 6. 如图，将绕点逆时针旋转得到．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可知，，再由，求出，继而得到． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ． 故选：A． 7. 用一个圆心角是，半径是3的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为（　　） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求弧长，求圆锥的底面半径， 先求出扇形的弧长，可得圆锥的底面周长，再根据周长公式求出半径． 【详解】解：扇形的弧长， 即圆锥的底面周长为， ∴圆锥的底面半径为． 故选：A． 8. 已知关于的一元二次方程有实数根，则系数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：且， 故选：D． 9. 在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大范围推广，取得了很大的成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为（ ） A. 1 B. C. 1.5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键． 根据点是的黄金分割点，可得，代入数值得出答案． 【详解】解：∵点是的黄金分割点，即， ， ， 米， 故选：B． 10. 如图， 二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线，点B坐标为，则下面的五个结论： ① ②； ③当时，或； ④； ⑤（m 为实数）， 其中正确的结论有（ ）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系．开口方向，对称轴，与轴的交点坐标判断①，特殊点判断②，图象法解不等式，判断③，特殊点结合对称轴，判断④，最值判断⑤；掌握二次函数的性质，是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵对称轴为， ∴， ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵对称轴为， ∴与的函数值相等，即：，故②正确； ∵点关于的对称点为， ∴当时，或；故③正确； ∵图象过点，， ∴， ∴；故④错误； ∵抛物线的开口向下， ∴当时，函数值最大， 即：， ∴；故⑤正确； 综上，正确的有4个； 故选：C． 第II卷 非选择题 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．） 11. 方程的解为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是正确选择合适的解法求解． 将方程移项化为标准形式，然后通过因式分解求解． 【详解】解： 或， ∴ 故答案为：． 12. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，则平移后抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移规则，左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的解析式为：； 故答案为：． 13. 一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，每个支干长出_______个小分支． 【答案】7． 【解析】 【分析】设每个支干长出x个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是57，列出方程，即可求解. 【详解】设每个支干长出x个小分支， 根据题意得：， 解得：,(不符题意，舍去). 答：每个支干长出7个小分支． 答案是：7. 【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，找到题目中的等量关系，是解题的关键. 14. 如图，在扇形中，半径的长为3，点C在弧上，连接，，．若四边形为菱形，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定及性质，扇形的面积公式：，将阴影部分面积转化成扇形的面积是解的关键． 【详解】解：四边形为菱形， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ； 故答案：． 15. 如图，点I和O分别是的内心和外心，若，则的度数为_____． 【答案】##140度 【解析】 【分析】此题考查了三角形的内心和外心的性质，圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是根据题意做出的外接圆，的内切圆，进而利用三角形内心和外心的性质求解． 分别作出的外接圆，的内切圆，首先根据三角形内心的性质以及三角形内角和定理求出，进而求出，然后根据三角形内角和定理求出，最后根据圆周角定理即可求出的度数． 【详解】解：分别作出的外接圆，的内切圆， ∵点I是的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点O是是外心， ∴， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分．） 16. 关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 【答案】，方程的另一个根为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．先利用根的定义将代入求得，设方程的另一个根为，再利用根与系数的关系得出，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根是， ∴， 解得：， 设方程的另一个根为， 则：， 解得：， ∴，方程的另一个根为． 17. 如图，点在的直径的延长线上，点为上的点，平分于点．求证：与相切． 【答案】 证明：连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴∠DOC=∠DAE， ∴， ∵于点E， ∴， ∵是的半径，且， ∴与相切． 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义、圆周角定理、平行线的判定与性质、切线的判定等知识，连接，由平分，得，根据圆周角定理得，则，所以，则，即可证明与相切． 【详解】略 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，将绕点顺时针旋转得到，点旋转后的对应点为． （1）画出旋转后的图形，并写出点的坐标； （2）求点旋转过程中所经过的路径长？（结果保留） 【答案】（1） 如图，即为所作， 点的坐标为； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查图形的旋转变换和求弧长，正确作图是解答本题的关键． （1）将点A，B分别绕点O顺时针旋转得到对应点，再与点O首尾顺次连接，再写出点的坐标即可； （2）根据弧长公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图知，，， ∴点旋转过程中所经过的路径长 三、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 探究：已知，如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点，……，容易发现，10是三角形点阵中前4行的点数和． （提示：． （1）三角形点阵中前10行的点数和是___________； （2）若三角形点阵中前行的点数之和为210，求的值； （3）三角形点阵中前行的点数之和能是300吗？若能，求出的值；若不能，试用一元二次方程说明道理． 【答案】（1） （2）的值为 （3）能， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化类，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）将前10行的点数相加，即可求出结论； （2）根据前a行的点数之和为210，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （3）根据前b行的点数之和为300，即可得出关于b的一元二次方程，再求解判断即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得，， ， 整理得， 解得，（舍）， ∴的值为； 【小问3详解】 解：三角形点阵中前行的点数之和能是300，理由如下： 由题意可得：， 即． 整理得， ， ∴，， ∵为正整数， ∴． 20. 根据以下素材，探索并完成任务． 探究汽车刹车性能 “道路千万条，安全第一条”．刹车系统是车辆行驶安全重要保障，某学习小组研究了刹车性能的相关问题（反应时间忽略不计）． 素材1 刹车时间：驾驶员从开始踩刹车到汽车完全停止，汽车所行驶的时间． 刹车距离：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止，汽车所行驶的距离． 素材2 汽车研发中心设计一款新型汽车，某兴趣小组成员记录了模拟汽车在公路上以某一速度匀速行驶时的刹车性能测试数据，具体如下： 刹车后汽车行驶时间 0 1 2 刹车后汽车行驶距离 0 27 48 素材3 该兴趣小组成员发现：①刹车后汽车行驶距离（单位：）与行驶时间（单位：）之间具有函数关系（、a、b为常数）；②刹车后汽车行驶距离y随行驶时间x的增大而增大，当汽车刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 问题解决：请根据以上信息，完成下列任务． （1）任务一：求y关于x的函数表达式； （2）任务二：汽车司机发现正前方处有一个障碍物在路面，立刻刹车，判断该车在不变道的情况下是否会撞到障碍物？请说明理由． 【答案】（1） （2） 会． 理由如下：， 当时，汽车停下，行驶了， ， 该车在不变道的情况下会撞到障碍物． 【解析】 【分析】（1）依据题意，利用待定系数法即可求出y关于x的函数解析式； （2）依据题意，求出（1）中函数的最大值，与比较，即可解决问题． 本题主要考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 由题意知，（、a、b为常数）， 将，，代入得， 解得， 关于的函数表达式为； 【小问2详解】 略 21. 已知是的内接正三角形． （1）仅用无刻度直尺找到中点，并连接、，求证：； （2）如图②，点为劣弧上任意一点，探究此时线段、与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1） 连接，并延长交于点A，如图， 则， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，，， ∴； （2）， 理由如下： ∵是等边三角形， ∴，， ∵所对圆周角是和， ∴， 在上截取，连接， 则是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理、圆周角定理，正确作图是解答本题的关键． （1）根据垂径定理可找出点A的位置，由等边三角形的性质可得出，故可得出； （2）在上截取，则是等边三角形，可得，，可证明，结合，运用证明得，从而可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 三、解答题（三）（共2小题，第22题13分、第23题14分，共27分．） 22. 某地有一座抛物线形拱桥（如图①），桥下水面宽度为，拱顶高出水面（即）． （1）现有一艘宽，船舱顶部高出水面的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座桥吗？ （2）若此桥为圆弧形拱桥（如图②，其中点O为圆心，） ①求出该圆弧形拱桥所在圆的半径的长度； ②那么宽，船舱顶部高出水面的货船能否通过这座桥？ 【答案】（1）货船不能顺利通过这座桥 （2）①该圆弧形拱桥所在圆的半径为；②货船能顺利通过这座拱桥 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用、二次函数的应用．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用． （1）以D为坐标原点建立坐标系如图，利用待定系数法求得抛物线的解析式，然后把代入，求得函数值，比较，即可得到此时货船能否顺利通过这座桥； （2）①首先连接，设这座拱桥所在圆的半径为x米，由垂径定理，易得方程，解此方程即可求得半径；②连接，则米，可求得此时的高，即可求得的长，比较，即可得到此时货船能否顺利通过这座拱桥． 【小问1详解】 解：货船不能顺利通过这座桥，理由： 以D为坐标原点建立坐标系如图， 根据题意得：，， ∴，，， 设抛物线为， 代入A的坐标得，， 解得， ∴抛物线为， 设， ∵轴， ∴， ∴M点横坐标为， 把代入，得， ∴， ∴货船不能顺利通过这座桥； 【小问2详解】 解：①连接， 根据题意得：，， 则， 设这座拱桥所在圆的半径为， 则，， 在中，， 则， 解得：， ∴该圆弧形拱桥所在圆的半径为； ②货船能顺利通过这座拱桥．理由： 连接， 设， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∵， ∴货船能顺利通过这座拱桥． 23. 已知二次函数与轴交于，与轴交于点两点，作直线． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图，点是直线上方抛物线上的一动点，过D作轴交于点交于点，是否存在一点，使的周长取得最大值，若存在，求出点坐标．若不存在，请说明理由； （3）在（2）中的周长取得最大值的条件下，点是抛物线对称轴上一动点，点是抛物线上一动点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，请求出点的横坐标． 【答案】（1） （2）当时，取最大值，此时 （3）N点横坐标为或或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据交点式求函数的解析式即可； （2）延长交x轴于点F，可推导出是等腰直角三角形，则的周长，当最大时，的周长取最大值，设，则，，当时，取最大值，此时D点坐标为； （3）设，，分三种情况讨论：当为平行四边形的对角线时，N点横坐标为；当为平行四边形的对角线时，N点横坐标为；当为平行四边形的对角线时，N点横坐标为． 【小问1详解】 解：∵与x轴交于点两点， ∴； 【小问2详解】 解：延长交x轴于点F， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的周长， ∴当最大时，的周长取最大值， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 设，则， ∴， 当时，取最大值，此时； 【小问3详解】 解：∵， ∴对称轴为直线， 设，， 当为平行四边形的对角线时，， 解得， ∴N点横坐标为； 当为平行四边形的对角线时，， 解得， ∴N点横坐标为； 当为平行四边形的对角线时，， 解得-， ∴N点横坐标为； 综上所述：N点横坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期中段抽查调研 九年级数学科试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（） A. B. C. D. 4. 如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝43°，则∠AOB的度数是（　　） A. 83° B. 84° C. 86° D. 87° 5. 已知抛物线为常数，，，是抛物线上三点，则，，由小到大依次排列为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将绕点逆时针旋转得到．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 用一个圆心角是，半径是3的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为（　　） A. 1 B. C. D. 2 8. 已知关于的一元二次方程有实数根，则系数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 9. 在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大范围推广，取得了很大的成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为（ ） A. 1 B. C. 1.5 D. 10. 如图， 二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线，点B坐标为，则下面的五个结论： ① ②； ③当时，或； ④； ⑤（m 为实数）， 其中正确的结论有（ ）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第II卷 非选择题 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．） 11. 方程的解为___________ 12. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，则平移后抛物线的解析式为______． 13. 一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，每个支干长出_______个小分支． 14. 如图，在扇形中，半径的长为3，点C在弧上，连接，，．若四边形为菱形，则图中阴影部分的面积为________． 15. 如图，点I和O分别是的内心和外心，若，则的度数为_____． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分．） 16. 关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 17. 如图，点在的直径的延长线上，点为上的点，平分于点．求证：与相切． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，将绕点顺时针旋转得到，点旋转后的对应点为． （1）画出旋转后的图形，并写出点的坐标； （2）求点旋转过程中所经过的路径长？（结果保留） 三、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 探究：已知，如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点，……，容易发现，10是三角形点阵中前4行的点数和． （提示：． （1）三角形点阵中前10行的点数和是___________； （2）若三角形点阵中前行的点数之和为210，求的值； （3）三角形点阵中前行的点数之和能是300吗？若能，求出的值；若不能，试用一元二次方程说明道理． 20. 根据以下素材，探索并完成任务． 探究汽车刹车性能 “道路千万条，安全第一条”．刹车系统是车辆行驶安全重要保障，某学习小组研究了刹车性能的相关问题（反应时间忽略不计）． 素材1 刹车时间：驾驶员从开始踩刹车到汽车完全停止，汽车所行驶的时间． 刹车距离：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止，汽车所行驶的距离． 素材2 汽车研发中心设计一款新型汽车，某兴趣小组成员记录了模拟汽车在公路上以某一速度匀速行驶时的刹车性能测试数据，具体如下： 刹车后汽车行驶时间 0 1 2 刹车后汽车行驶距离 0 27 48 素材3 该兴趣小组成员发现：①刹车后汽车行驶距离（单位：）与行驶时间（单位：）之间具有函数关系（、a、b为常数）；②刹车后汽车行驶距离y随行驶时间x的增大而增大，当汽车刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 问题解决：请根据以上信息，完成下列任务． （1）任务一：求y关于x的函数表达式； （2）任务二：汽车司机发现正前方处有一个障碍物在路面，立刻刹车，判断该车在不变道的情况下是否会撞到障碍物？请说明理由． 21. 已知是的内接正三角形． （1）仅用无刻度直尺找到中点，并连接、，求证：； （2）如图②，点为劣弧上任意一点，探究此时线段、与的数量关系，并证明你的结论． 三、解答题（三）（共2小题，第22题13分、第23题14分，共27分．） 22. 某地有一座抛物线形拱桥（如图①），桥下水面宽度为，拱顶高出水面（即）． （1）现有一艘宽，船舱顶部高出水面的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座桥吗？ （2）若此桥为圆弧形拱桥（如图②，其中点O为圆心，） ①求出该圆弧形拱桥所在圆的半径的长度； ②那么宽，船舱顶部高出水面的货船能否通过这座桥？ 23. 已知二次函数与轴交于，与轴交于点两点，作直线． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图，点是直线上方抛物线上的一动点，过D作轴交于点交于点，是否存在一点，使的周长取得最大值，若存在，求出点坐标．若不存在，请说明理由； （3）在（2）中的周长取得最大值的条件下，点是抛物线对称轴上一动点，点是抛物线上一动点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，请求出点的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $