广东省广州市天河区华南师范大学附属中学2026-2027学年 九年级上学期11月期中数学试题

2026-2027学年华南师范大学附属中学九年级11月期中考 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题（共10小题，每题4分，总计40分） 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．若关于的方程的一个根为，则的值为（ ） A． B． C．1 D．2 3．若一元二次方程的两个实数根分别为，，则式子的值为（ ） A． B． C． D．3 4．已知（为常数）是二次函数，那么的值是（ ） A． B． C． D．或 5．如图，函数的图象与轴交于点，其中，估计方程的负实数根约为（ ） A． B． C． D． 6．已知抛物线过，，三点，且，则a的值可以是（ ） A． B． C． D． 7．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，通过调节电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻的函数关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（ ） A．与的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当时，的取值范围是 8．如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，．将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 9．如图，图中外接圆的圆心坐标是（ ） A． B． C． D． 10．在中，是直径，点为圆上一点，将劣弧沿着弦翻折，交于点，连接，点为弧上的动点，连接并延长，交于点，的中点为，连接，已知的半径为，且，的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（共6小题，每题4分，总计24分） 11．将方程化为一般形式得，则 ． 12．如图，是反比例函数图象上的一点，矩形的边，分别在轴上与轴上，矩形的面积为，则的值为 ． 13．一种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为 ． 14．如图，是以为直径的上一点，点在弧上，，则的度数为 ． 15．若直线与双曲线交于点，，则的值是 ． 16．关于的方程有两个不相等的实根，，若，则的最大值是 ． 三、解答题（共9小题，总计86分） 17．解下列一元二次方程： （1） （2） 18．已知关于x的方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根大于，求的取值范围． 19．如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出绕点A顺时针旋转得到的图形； （2）画出关于原点对称的图形，并写出的坐标． 20．如图所示的是一圆弧形拱门，其中路面，拱高，连接该拱门所在圆的圆心O和点；测量得， （1）求该拱门所在圆的半径； （2） ． 21．推土机的轮子为何要安装又宽又长的履带？通过物理学科的学习我们知道，在压力（单位：N）不变的情况下，压强（单位：Pa）是受力面积（单位：m2）的反比例函数．已知某推土机对地面压力恒定，当受力面积为时，压强为Pa． （1）求与之间的函数关系式； （2）若该推土机施工时对地面的压强为Pa，则施工过程中受力面积为多少？ 22．如图，，都在双曲线的图像上，，在轴上，已知，，都是等边三角形． （1）求双曲线解析式； （2）的面积． 23．【生活观察】 （1）小越将自行车前后轮保持一定角度推行转圈．如图1，他发现前后轮行驶路径可近似抽象为两个同心圆，车轮行驶方向与其行驶路径相切，某时刻的俯视图如图2所示．若前后轮的轴心距（前后轮所在圆的圆心的距离），前轮转向角即，则旋转半径 ． 【类比探究】 （2）小越进一步研究发现，一般家用汽车在转弯行驶时为两轮转向，即汽车的前轮各按一定的转向角行驶．与自行车的转弯行驶类似，四个车轮的行驶路径在理想状态下也可近似抽象为四个同心圆弧，车轮行 驶方向与其行驶路径相切（轮胎的宽度忽略不计）． 如图3，某款家用汽车宽约为m，轴心距约为m．转弯时，若右前轮的转向角即，求此时左前轮的转向角的度数． （参考数据：，，，，） 【综合实践】 （3）如图4，汽车在直角处进行转弯．若（2）中的这款汽车行驶至车前轮所在圆的圆心，与直角拐点共线位置时，其俯视图如图5所示．若路宽均为m，车辆左侧与实线的距离为m．现右前轮欲以固定转向角转弯行驶，若能规范通过此直角弯道（四轮均不压实线），请直接写出的范围． 24．已知抛物线经过点． （1）求该抛物线的对称轴． （2）当时，若点在抛物线上，求的最小值． （3）若存在实数，当，且时，的取值范围是，求，的值． 25．在中，，，，将绕点逆时针旋转得． （1）如图1，将绕点逆时针旋转得，求的大小； （2）如图2，线段交线段于点，在绕点旋转一周的过程中： ①求证：点是的中点； ②点移动的路程为 ． ③线段运动过程中扫过的面积是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年华南师范大学附属中学九年级第一学期11月期中考试 数学试题参考答案及评分标准 1．D 2．C 3． D 4． C 5． A 6． D 7． C 8． D 9． B 10． A 11． 12． 13． 14． 15． 16． 17．（1）由得，故， （2）因式分解得，故， 18．（1）判别式 所以该方程总有两个实数根（当时为两个相等的实数根）． （2）由得两根为，． 因为，所以“有一个根大于2”只能是，解得． 19．（1）绕点顺时针旋转，向量变为． ，故； ，故；点不动． 顺次连接、、即为所求的． 图1（蓝）、绕顺时针旋转的（绿）与关于原点对称的（红虚线） （2）关于原点对称，横、纵坐标都变号，得、、，故． 20．（1）连接．由垂径定理知，．设半径， 则． 在中， 所以该拱门所在圆的半径为（约）． （2）以圆心角计算扇形面积： 故． 21．（本小题满分8分） （1）由，代入、得（压力恒定）， 所以 （2）当时，，即受力面积为． 22．（1）为等边三角形，、， 故在的垂直平分线上，高为，即． ， （2）设，则．等边的顶点为 代入得 所以边长， 面积 图2的图象与等边、 23．（1）自行车前后轮轨迹为同心圆，车轮方向与轨迹圆相切，所以于．前轮转向角就是两条切线（与前轮方向）的夹角，等于两条半径、的夹角， 故， 即． （2）设转动中心为．四个车轮方向都与各自轨迹圆相切， 故、、、． 由，，得． 在中，，即，得， 故 在中，，故． 由、得． （3）记内侧后轮（左后轮A）的转弯半径，则外侧前轮（右前轮C）的半径（因），且，． ①取最大值（转弯最急）：内侧后轮恰好经过拐点．设与交于， 则（车身左侧离为m），；又（前轮轴与拐点等高）． 在中， 此时，， 故 ②取最小值（转弯最缓）：转弯后车身右侧恰好紧贴道路右侧（前外侧轮轨迹与外侧路边相切）．此时圆心O到该路边的距离，故， 综上，四轮均不压实线需 （约．） 24．由得， 故 （1）对称轴为直线． （2）时，把代入得 故的最小值为1，此时，即点为抛物线顶点． （3）由，区间以为内点，顶点在区间内． ①若，开口向上，最小值在顶点处取到，故，得．又区间关于对称， 最大值在两端点同时取到， 此时最小值恰为下限、端点值恰为上限，区间正好被取满，符合题意．故，． ②若，开口向下，最大值在顶点处取到，故，得；最小值在两端点取到， 故也可取，． 25．先算基本量：，，故，． 旋转的对应关系为、、，故，， 且，，． （1）旋转角为，即．在等腰中（）， 又．此时与重合，且， 即在线段上、在内部， 故 （2）①设旋转角为（），则． 取中点，取中点．由得，； 由得，． 又（这两组角的四条边两两相差同样是）， 因此两条角平分线、的夹角 与旋转角无关．且， 即． 在中，作于， 则， 于是 得． 从而 由勾股定理的逆定理得． 又，过且垂直于的直线就是，所以在直线上； 而又是的中点，故与的交点恰为的中点．证毕． ②因，为中点，故，即， 所以始终在以为直径的圆上（圆心为中点，半径为）． 旋转一周时，沿该圆恰好走完一整圈， 故路程 ③因，即，所以上离最近的点是（）， 最远的点是（）． 绕点旋转一周，扫过的区域是半径从到的圆环， 学科网（北京）股份有限公司 $