25.3第1课时数字问题与几何问题课件2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十五章 一元二次方程 25.3.1　数字问题与几何问题 22051 一元二次方程 +bx +c=0 (a≠0)的根与系数的关系 x1+x2 =﹣ x1x2 = 复习导入 22051 新知讲授 连续整数的表示 观察与分析 三个连续正整数可设为，并要求为正整数。用一个未知数即可同时记录连续性和大小顺序。 结论与应用 在直角三角形中，最大数必须是斜边。列勾股方程前先确定最长边，避免把较短边当斜边。 22051 新知讲授 几何图形里的等量关系 观察与分析 直角三角形利用勾股定理，矩形利用面积与周长，圆利用面积公式。先写出不含数字的关系，再代入表达式。 结论与应用 式子两边代表的量应有相同单位与意义。面积不能与长度直接相等，列式前把单位统一。 22051 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有 多少个？ 例1 解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x，x+1，x+2，其中x为正整数. 由勾股定理，得 x2+(x+1)2=(x+2)2. 解方程，得 x1=3，x2=-1(不符合题意，舍去). 因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3,4,5. 22051 知识点1 数字问题 1.［教材习题 变式］两个连续奇数的积是99，设较小的一个奇数 为 ，则可列方程为( ) B A. B. C. D. 22051 6 新知讲授 周长固定时的两邻边 观察与分析 矩形周长，两邻边之和为。设一边长，邻边应为，而不是。 结论与应用 由面积为得到。周长条件用于表示另一边，面积条件用于建立方程。 22051 新知讲授 长度的取值范围 观察与分析 设矩形一边为时，两邻边均为正，故且，即。 结论与应用 范围来自原对象，不能等解出根后才随意添加。若还规定为较长边，则需另有。 22051 2.有一个正两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并且十位上的 数的平方比个位上的数大1，那么这个正两位数是____. 23 22051 9 用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 例2 分析：假设细绳能围成面积为96 m2的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度. 设矩形一边长为x m，由周长为40 m，可用含x的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解. 22051 新知讲授 两个根与一个矩形 观察与分析 面积时，方程根为。取时邻边为，取时邻边为，两种取值互换了边名。 结论与应用 因此只对应一个形状大小相同的矩形。方程根的个数与实际对象个数，必须依据未知数含义判断。 22051 新知讲授 以面积表示另一边 观察与分析 也可设一边，另一边为，由周长列。 结论与应用 乘以非零可回到。这一设法体现面积条件，但产生分式，不如直接利用边长和简便。 22051 用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 例2 解：设矩形的一边长为x m，由矩形的周长为40 m，可得此边的邻边长为(20-x)m； 再由矩形的面积为 96m2，得x(20-x)=96. 解方程，得x1=12，x2=8. 思考：方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？ 因此，用一根长为40 m的细绳可以围成面积为96 m2的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8m，12m. 22051 思考：对于例2中的问题，设矩形的两邻边长的方法有多种. 例如： (1)可设一边长为x m，那么其邻边长为 m； (2)可设一边长为(10+x)m，那么其邻边长为(10-x)m. 能根据以上设两邻边长的方法列方程求解例2吗？比较这些设法，说说它们各自的特点. (1)根据题意，得 2(x + ) = 40. 解得 = 12, = 8. (2)根据题意，得 (10 + x)(10 - x) = 96， 解得= 2, = -2. (1)的设元方法简单直接， (2)的设元方法求解简便. 22051 新知讲授 以平均边长为中心设元 观察与分析 两邻边也可写为，面积条件变成，即。 结论与应用 若设为长边超过的长度，应要求，取。巧妙设元能使二次方程更容易求解。 22051 新知讲授 固定周长的面积上限 观察与分析 。因此周长为的矩形，面积不可能超过。 结论与应用 最大面积在两邻边都为时达到。若面积大于，所得面积方程无实数根，也能据此判断这样的矩形不存在。 22051 步骤 内容摘要 注意事项 ①审 审清题意，明确已知和未知，找到它们之间的等量关系. 等量关系往往体现在关键词句中. ②设 设未知数，方法有直接设元法、间接设元法和辅助设元法（引入辅助未知数，并在解题过程中消去）. 有单位的要带单位. ③列 用含有未知数的代数式表示有关的量，根据等量关系列出方程. 方程两边单位要统一. ④解 根据方程的特点，选择适当解法求出未知数的值. 一般不必写出解方程的过程. ⑤检 检验未知数的值是否满足所列方程，检验该值在实际问题中是否有意义. 一般两个根中只有一个符合实际意义. ⑥答 写出实际问题的答案. 遵循 “问什么答什么” 的原则. 列方程解实际问题，指的是先把实际问题抽象为数学问题（即建立方程模型），然后通过解决数学问题来解决实际问题. 一般步骤如下： 22051 知识点2 几何问题 类型1 一般图形问题 3.［教材习题变式］一个直角三角形的两条直角边长相差 ， 面积是.设这个直角三角形较长的直角边长为 ，依题意，可 列出方程为( ) D A. B. C. D. 22051 18 新知讲授 根存在不等于对象存在 观察与分析 边长要求正数；人数要求正整数；连续整数还要求相邻差为一。仅说明方程有实数根，还不足以回答实际问题。 结论与应用 把每个候选根代回设元限制，再检查它表示的其他量是否满足题意。负根不一定代数错误，只是不合对象意义。 22051 新知讲授 直角条件转成长度条件 观察与分析 若矩形中点在底边上，要求，可把看作直角三角形三边。 结论与应用 利用勾股定理，再把两条斜边的平方写成小直角三角形边长平方之和。 22051 4.如图是一个矩形木门 ，有一根木竿与门的对角线恰好相等，将 木竿横放，木竿比门宽多；将木竿竖放，木竿比门高 多 .则木竿的长为____ . 10 （第4题） 22051 21 类型2 边框与甬道问题 （第5题） 5.在一幅长，宽 的风景画的 四周镶一条金色纸边（风景画四周的金色 纸边宽度相同），制成一幅矩形挂图，如 图，若要使整个挂图的面积是 ， 设金色纸边的宽度为 ，则所列方程为 ___________________________. 22051 22 新知讲授 一种设法与另一种设法 观察与分析 同一问题中，设最短边、最长边或边长差都可能正确。比较时看其他量是否易表示、方程是否简洁、限制是否清楚。 结论与应用 不能只因设元方式不同就判错。把两种设法解出的实际边长相互核对，能验证它们是否描述同一个对象。 22051 1.本节课主要学习了哪些知识？ 2．本节课你还有哪些疑惑？说一说． 22051 一级标题：黑体， 24 实际问题 数学问题的解 数学问题 ax2+bx+c=0 (a≠0) 实际问题的答案 解方程 检验 设未知数列方程(建模思想) 22051 谢谢大家聆听 22051 $