精品解析：安徽合肥市第一中学2026-2027学年高一上学期11月阶段素养拓展数学试题

合肥一中2026年高一上学期11月阶段素养拓展 数学试题 （120分钟 150分） 一、单选题（40分） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“∀>，−”的否定是（ ） A. ∃>，−< B. ∀，−< C. ∃，− D. ∀>，−< 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若函数是偶函数，定义域为,且时，，则满足的实数的取值范围是 A. [0，1) B. (-1，1) C. [0，2) D. (-2，2) 5. 下列函数和为同一函数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 6. 已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递增．若，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. 已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 函数，若对任意，（），都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（18分） 9. 已知a，b，c均为实数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则， D. 若，，则 10. 已知定义在上的函数，下列结论正确的为（ ） A. 函数的值域为 B. C. 函数在上单调递减 D. 当时，函数的最大值为4 11. 已知函数的定义域为，且，为偶函数，则（ ） A. 为偶函数 B. C. D. 三、填空题（15分） 12. 已知函数．则的值为________． 13. 若正实数，满足，则的取值范围为______. 14. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则______；______. 四、解答题（77分） 15. 已知集合，集合，求集合. 16. 已知集合或， （1）若，求 （2）若，求实数a的取值范围. 17. 根据要求完成下列问题： （1）已知，集合、集合、集合，则同时满足A且的实数、是否存在？若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由； （2）已知，命题：和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立；命题：不等式有解；若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围. 18. 已知对任意的实数，都有：，且当时，有． （1）求； （2）求证：在上为增函数； （3）若，且关于的不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合： ，． 其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和． 若对于任意的，总有，则称集合具有性质． （1）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和． （2）对任何具有性质的集合，证明． （3）判断和的大小关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥一中2026年高一上学期11月阶段素养拓展 数学试题 （120分钟 150分） 一、单选题（40分） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过解一元二次不等式和对数不等式，分别得出集合和集合，再利用交集的定义求解即可. 【详解】集合， 集合， 所以. 故选：C. 【点睛】本题考查集合交集的运算，考查了学生的运算求解能力，是基础题. 2. 命题“∀>，−”的否定是（ ） A. ∃>，−< B. ∀，−< C. ∃，− D. ∀>，−< 【答案】A 【解析】 【详解】因为全称命题的否定是存在命题， 所以命题“∀>，−”的否定是∃>，−<. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的并集运算，即可求解. 【详解】解：，， 故， 故选：C 4. 若函数是偶函数，定义域为,且时，，则满足的实数的取值范围是 A. [0，1) B. (-1，1) C. [0，2) D. (-2，2) 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分析得函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，计算得f（1）＝1，则原不等式可以转化为||＜1，解可得m的取值范围，即可得答案． 【详解】根据题意，当x≥0时，f（x）＝， 则函数f（x）在（0，+∞）上为增函数， 且f（1）＝log22＝1， 则⇒||＜1， 即﹣1＜m＜1， 故选B 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析函数f（x）的单调性及特殊值． 5. 下列函数和为同一函数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】根据同一函数的定义判断各选项即可. 【详解】对于A，函数的定义域为， 函数的定义域为，而， 所以函数和不为同一函数； 对于B，函数的定义域为， 函数的定义域为， 而，， 所以函数和为同一函数； 对于C，函数的定义域为， 函数，则的定义域为， 所以函数和不为同一函数； 对于D，函数的定义域为， 函数的定义域为， 而， 所以函数和不为同一函数. 故选：B. 6. 已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递增．若，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义域对称求出，再根据单调性和奇偶性可求不等式的解. 【详解】因为为偶函数，故即， 而在上单调递增且为偶函数，故在上为减函数， 而即为， 故，故或， 故选：C. 7. 已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用已知条件将等式变形为1的表达式，再通过“1的代换”将展开，最后应用基本不等式求出最小值，再根据不等式恒成立的条件，将问题转化为关于的不等式，从而确定的取值范围. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 若不等式恒成立，则， 所以，解得. 故选：C 8. 函数，若对任意，（），都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用已知结合单调性定义得出单调递减，再应用分段函数单调性列式计算求解. 【详解】设，因为对任意，都有成立， 所以对任意，都有成立， 即对任意，都有成立． 因为， 所以函数，在上单调递减， 所以， 解得，即实数的取值范围是． 二、多选题（18分） 9. 已知a，b，c均为实数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则， D. 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式性质判断A，B；举反例判断C；利用作差法比较大小判断D. 【详解】对于A，，则，A正确； 对于B，，则，，即，B正确； 对于C，取，则，但不满足，，C错误； 对于D，，，则， 即，D正确， 故选：ABD 10. 已知定义在上的函数，下列结论正确的为（ ） A. 函数的值域为 B. C. 函数在上单调递减 D. 当时，函数的最大值为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过对函数的分析，可以得到函数的图象，进而求出函数的值域，以及BCD三个选项的正确与否. 【详解】当时，， 所以， 当时，， ， 当时，， ， 以此类推，我们作出函数的图象，如图， 对于A，由图可知，函数的值域为，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由图可知，函数在上先增后减，故C错误； 对于D，由图可知，当时，函数的最大值为4，故D正确； 故选：ABD 11. 已知函数的定义域为，且，为偶函数，则（ ） A. 为偶函数 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】令判断B；令以及得出为奇函数判断A；根据的对称性可得出周期性，结合对称性和周期性可判断C；利用周期性和对称性求出函数值判断D. 【详解】令，则，故，则，故B正确； 令，则， 则，则或， 令，则，则， 若，则，也满足， 故为奇函数，故A错误； 因为为偶函数，所以的对称轴为，则， 因为为奇函数，所以，则， 则，故，即是的一个周期， 则，故C正确； 因为，所以，； 因为，所以， ，故D正确. 故选：BCD 三、填空题（15分） 12. 已知函数．则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】按照由内到外的顺序，根据分段函数各段的定义域范围选择对应解析式逐步计算即可. 【详解】已知函数，则，所以. 13. 若正实数，满足，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】令，可将已知等式化为关于的一元二次方程，根据方程有两个相等或不等正实根，可根据判别式和韦达定理构造不等式组求得范围，即为所求取值范围. 【详解】令，则，， 整理可得：， 为正实数，有两个相等或不等正实根， ，解得：， 的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】本题考查根据条件等式求解取值范围的问题，关键是能够将问题转化为一元二次方程根的分布问题的求解；讨论一元二次方程根的分布通常从判别式、对称轴位置和韦达定理的角度来进行讨论. 14. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则______；______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由奇函数定义在上，结合奇函数性质，则代入可得；结合可推得周期为，根据奇函数、周期性以及的解析式求解即可. 【详解】由于是定义在上的奇函数，则， 代入得，得； 由于，得，代入得， 由，得， 则， 则， 故； 故答案为：①0；②. 四、解答题（77分） 15. 已知集合，集合，求集合. 【答案】 【解析】 【分析】化简集合，按照并集的定义，即可求解. 【详解】， ， . 【点睛】本题考查集合间的运算，应特别注意不等式的求解，属于基础题. 16. 已知集合或， （1）若，求 （2）若，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）计算得到，再计算补集和交集得到答案. （2）题目转化为，考虑和的两种情况，根据集合的包含关系得到答案. 【小问1详解】 当时，，，故. 【小问2详解】 ，故， 当时，，即； 当时，或，解得. 综上所述：或，即. 17. 根据要求完成下列问题： （1）已知，集合、集合、集合，则同时满足A且的实数、是否存在？若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由； （2）已知，命题：和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立；命题：不等式有解；若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）存在，、或、 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得：，根据真子集关系求实数的取值范围，根据子集关系求实数的取值范围，进而得解； （2）对于命题：根据韦达定理求得，进而结合恒成立问题求实数的取值范围；对于命题：根据二次不等式分类讨论求解；进而得解. 【小问1详解】 因为， 因为A，则或或， 若，则，的值不存在； 若，则，解得； 若，则，无解； 综上所述：； 因为，则或或或， 若，则，解得； 若，则，无解； 若，则，无解； 若，则，解得； 综上所述，或； 所以存在、的值，当、或、时，满足A、. 【小问2详解】 因为、是方程的两个实根，则， 可得， 当时，， 由不等式对任意实数恒成立可得：， 即，解得或， 所以命题为真命题时，， 命题：不等式有解， 当时，原不等式一定有解， 当时，只需，解得， 不等式有解时， 又命题是假命题，则， 所以命题是真命题且命题是假命题时，实数的取值范围为. 18. 已知对任意的实数，都有：，且当时，有． （1）求； （2）求证：在上为增函数； （3）若，且关于的不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）1； （2）设是上任意两个实数，且，则 则 所以， 由得，所以， 故，即， 所以在上为增函数． （3）． 【解析】 【分析】(1)在已知恒等式中令可得; (2)用增函数的定义可证; (3)利用已知恒等式和求得,再将不等式化为后,利用单调性可化为在上恒成立,再利用二次函数的最值可解决. 【小问1详解】 解：令，则，解得． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由已知条件有：， 故原不等式可化为：， 即， 因为, 所以, 因为, 所以, 故不等式可化为． 由（2）可知在上为增函数，所以， 即在上恒成立， 令，即成立即可， （i）当即时，在上单调递增． 则解得，所以， （ii）当，即时，有， 化简得:,即, 解得， 而，所以， 综上所述：实数的取值范围是． 【点睛】本题考查了抽象函数单调性的证明,利用单调性解抽象函数不等式,不等式恒成立,分类讨论求二次函数的最小值,属于难题. 19. 已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合： ，． 其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和． 若对于任意的，总有，则称集合具有性质． （1）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和． （2）对任何具有性质的集合，证明． （3）判断和的大小关系，并证明你的结论． 【答案】（1）集合不具有性质，集合具有性质，相应集合，，集合， （2）证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个． 因为，所以； 又因为当时，时，，所以当时，． 从而，集合中元素的个数最多为， 即． （3），证明如下： （1）对于，根据定义，，，且，从而． 如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立． 故与也是的不同元素． 可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即， （2）对于，根据定义，，，且，从而．如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不至少有一个不成立， 故与也是的不同元素． 可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即， 由（1）（2）可知，． 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $