安徽省无为第一中学2026～2027学年高一上学期第二次月考数学试卷

无为一中 2026—2027 学年度第一学期高一年级第二次统考 数学试卷·参考答案 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．（5分）已知集合 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求补集，再求并集． 【解答】 ，，所以 ， 故 ．故选B． 2．（5分）已知命题 ，，则 是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题：改量词、否结论． 【解答】 “，”的否定是“，”．故选D． 3．（5分）命题 ： 是命题 ： 的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】分别解两个不等式，比较解集的包含关系． 【解答】 由 得 且 ，即 ； 由 得 ． 因为 ，所以 但 不能推出 ，即 是 的充分不必要条件．故选A． 4．（5分）含有三个实数的集合 ，若 且 ，求 的值（　　） A． B． C． 或 D． 【答案】A 【分析】由 、 逐步确定 ，注意分母不为零与元素的互异性． 【解答】 由 ：若 ，则 ，但 无意义，故 ；若 ，同上不可能；所以只能是 ，得 ． 此时 ，由 得 或 ； 若 ，则 不满足互异性，舍去；若 ，则 ，符合． 所以 ，，．故选A． 5．（5分）已知一元二次不等式 （）的解集为 或 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由解集的两端点用韦达定理把 用 表示，再用基本不等式． 【解答】 由解集为 或 知 ，且 是 的两根， 由韦达定理 ，，即 ，． 所以 ，当且仅当 时取等号，故最小值为 ．故选C． 6．（5分）若 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】换元后把条件化为定值，再用“ 的代换”与基本不等式． 【解答】 令 ，，则 ， 满足 ， 且 ， 于是 ， 当且仅当 ，即 ，也就是 时取等号， 故最小值为 ．故选D． 7．（5分）已知集合 ，，若 中恰有 个元素，则 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先写出集合 的全部元素，再由 恰有 个元素确定 的范围． 【解答】 由 得 ，所以 ， ， 中的元素是 中不小于 的元素，要从大到小取 个，即 ， 所以 ，即 ．故选D． 8．（5分）关于 的不等式 恰有 个整数解，则实数 的取值范围是（　　） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 【答案】B 【分析】把不等式化为两个一次因式之积，按 与 两类分别数整数解． 【解答】 即 ，即 ． 当 时，，解集为 ． 当 时，区间为 ，其中只有整数 ，不合； 当 时，区间为 ，其中整数为 ，恰有 个； 由区间长度 随 增大而减小可知， 时需 ． 当 时，，解集为 ， 当 时，区间为 ，整数为 ，恰有 个； 当 时，区间为 ，只有整数 ，不合，故 ． 综上， 的范围是 或 ．故选B． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．（6分）若 ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由 判断各选项，注意举反例． 【解答】 由 且 得 ，D正确； 又 ，所以 ，B正确； A项：取 ，，则 成立，但 ，错误； C项： 时 ，错误． 故选BD． 10．（6分）若正实数 ， 满足 ，则下列说法正确的是（　　） A． 有最大值为 B． 有最小值为 C． 有最小值为 D． 有最大值为 【答案】BCD 【分析】用基本不等式与配方法逐项求最值． 【解答】 A项：，最大值为 ，错误； B项：，正确； C项：，正确； D项：，正确． 故选BCD． 11．（6分）已知 ，如果实数 满足对任意的 ，都存在 ，使得 ，则称 为集合 的“开点”，则下列集合中以 为“开点”的集合有（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】“开点”即集合中能任意接近 的点的极限位置，逐项判断 是否为该集合的聚点． 【解答】 A项： 中存在任意靠近 的数（如 ），以 为“开点”，正确； B项：整数集中除 外的元素与 的距离至少为 ，取 即不满足，错误； C项：（）的值为 ，可以任意接近 ，正确； D项： 的值趋近于 而非 ，错误． 故选AC． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．（5分）设 ，若集合 ，则 　　　　　　． 【答案】 【分析】由集合相等得元素的对应关系，注意分母与互异性。 【解答】 因为 ，左边含 ，所以 或 （不可能）， 故 ，即 ； 此时右边为 ，与左边比较得 ，即 。 验证：， 时左边 ，右边 ，相等且各元素互异，符合。 所以 。 13．（5分）若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围为　　　　　　． 【答案】 【分析】按二次项系数分类： 时不是二次不等式， 时需开口向下且判别式小于零． 【解答】 当 时，不等式为 ，恒成立，解集为 ，符合； 当 时，需 且 ， 即 且 ，解得 ． 综上，，即 ． 14．（5分）记集合 中元素个数为 ．已知集合 ，．若 ，则 　　　　　；若 ，则 可能值的集合为　　　　　． 【答案】； 【分析】先求 ，再按 具体求 ；第二空由 得 或 ，分类讨论。 【解答】 ，。 当 时，，因 恒成立，所以 ，，故 。 若 ，则 或 。 由 知 与 都是 的元素（ 时二者不等）。 ①：需 ，此时 ，符合； ②：需 有两个相等实根且该根不等于 、，即 ，； 当 时 ；当 时 ，均含 个元素，符合。 所以 可能值的集合为 。 四、解答题（共77分） 15．（13分） 设全集 ，，； （1）求 ，； （2）设集合 ，且 ，求实数 的取值范围． 【答案】（1），；（2） 或 【分析】（1）注意 的包含关系；（2）由 得 ，同时注意元素的互异性． 【解答】 （1），，因为 ，所以 ； ，故 ． （2），由 知 （成立），且 ， 所以 或 ；又 中元素互异，（已包含在上述范围中）． 故 或 ． 16．（15分） （1）已知 ，，且 ，求 的最小值； （2）若实数 ， 满足 ，且 ，求 的最小值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）用“ 的代换”，注意 ；（2）把 用 与 表示后用代换． 【解答】 （1）因为 ，所以 ， ， 当且仅当 ，即 ， 时取等号，故最小值为 ． （2）设 ，，则 ，且 ，， 所以 ， 由 ， 得 ，当且仅当 ，即 时取等号， 故最小值为 ． 17．（15分） 某工厂计划建造一个无盖的长方体三级污水处理池（其平面图如图所示），已知污水处理池长为 m，宽为 m（），深为 m，四周池壁的建造成本为 元／，中间隔墙的建造成本为 元／，池底的建造成本为 元／． （1）若池底的面积为 ，求污水处理池的最低建造成本； （2）若污水处理池的建造成本预算为 元，且预算恰好用完： （i）求 关于 的表达式； （ii）当 为何值时，该污水处理池的容积最大？并求出最大容积．（池壁、隔墙及池底的厚度忽略不计） 【答案】（1） 元；（2）（i）（）；（ii） 时容积最大，最大容积为 【分析】先写出建造总成本的表达式，再用基本不等式或换元求最值． 【解答】 池底面积为 ，四周池壁面积为 ，中间隔墙面积为 ， 所以总成本 ． （1）当 时，， 当且仅当 ，结合 得 ， 时取等号，故最低建造成本为 元． （2）（i）由 两边同除以 得 ， 即 ，所以 ． 由 得 ；由 得 ，即 ，解得 ， 所以 ． （ii）容积 ． 令 ，则 ， ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故 时容积最大，最大容积为 ． 18．（17分） 已知关于 的二次函数 （）． （1）若关于 的不等式 的解集为 或 ，求实数 ， 的值； （2）若实数 ， 满足 ，求关于 的不等式 的解集（答案用含有字母 的形式表示）； （3）已知 有两个正实数根 ，，，且满足 ，求 的最大值． 【答案】（1），；（2）见解析；（3） 【分析】（1）用韦达定理；（2）因式分解后按 的符号及根的大小分类；（3）用韦达定理把条件化为 的关系，再求目标式的最值． 【解答】 （1）由解集为 知 ，且 是 的两根， 由韦达定理 ，，所以 ，． （2）当 时， 即 ，即 ． 当 时，，解集为 ； 当 时，不等式为 ，解集为 ； 当 时，，解集为 ； 当 时，，解集为 ． （3） 即 ，两个正根需 ，，，故 ，， 由 得 ． 于是 ， 由 得 ，令 ， ， 当且仅当 ，即 （满足 ）时取等号， 故最大值为 ． 19．（17分） 有限集合 （，），若 ，则称集合 为“完美集合”． （1）判断集合 是否为“完美集合”，并说明理由； （2）已知集合 为“完美集合”，求 的取值范围； （3）已知 均大于 ，且 ，证明：集合 为“完美集合”． 【答案】（1）是“完美集合”，理由见解析；（2）；（3）证明见解析 【分析】（1）直接验证定义；（2）代入定义解不等式，注意 ；（3）用 及 ． 【解答】 （1），而 ， 因为 ，所以该集合是“完美集合”． （2）由定义 ，即 ，即 ， 结合 解得 或 ，故 ． （3）因为 ，所以 ， 又 （等价于 ）， 所以 ，即集合 为“完美集合”． 高一数学第二次统考（答案）　第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $无为一中2026一2027学年度第一学期高一年级第二次统考 数学试卷·参考答案 一、单选题（每小题5分，共40分） 1.(5分)己知集合U={0,1,2,3,4,5},A={0,1,3,4,B={1,4},则(C,A)UB=() A.{2,3} B.1,2,4,5} C.{0,1,2} D.{0,1,2,4,5} 【答案】B 【分析】先求补集，再求并集. 【解答】 U={0,12,3,4,5},A={0,1,3,4,所以CA={2,5}, 故(C,A)UB={2,5}U1,4=1,2,4,5},故选B. 2.(5分)已知命题p:3x∈R,x2+2x-3>0,则p是() A.3x∈R,x2+2x-3≥0 B.3x∈R,x2+2x-3≤0 C.∀x∈R,x2+2x-3≥0 D.∀x∈R,x2+2x-3≤0 【答案】D 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题：改量词、否结论： 【解答】 “3x∈R,x2+2x-3>0”的否定是Vx∈R,x2+2x-3≤0”.故选D. 3.(5分)命题p:X+≤0是命题g:x-1≤2的() x-3 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】分别解两个不等式，比较解集的包含关系. 【解答】 由+1≤0得(x+1(x-3)≤0且x≠3，即-1≤x<3: x-3 由x-1≤2得-1≤x≤3. 因为[1,3)[-1,3]，所以卫→q但q不能推出p,即p是q的充分不必要条件.故选A. 5分)含有三个实数的朱合A=:,名a,若0∈A且1EA,求a+B的值C A.1 B.0 C.0或1 D.2 【答案】A 【分析】由0∈A、1∈A逐步确定4，b,注意分母不为零与元素的互异性. 【解答】 高一数学第二次统考（答案）第1页（共9页） 由0∈A:若2=0，则a=0,但仑无意义，故a≠0：若a=0,同上不可能；所以只能是b=0, 得b=0. 此时A={d,0,心，由1∈A得a=1或a=1; 若a=1，则A={红，0,1}不满足互异性，舍去：若a=-1,则A={红，0，-1}，符合. 所以a=-1,b=0,a2026+b2026=1+0=1.故选A. 5.(5分)己知一元二次不等式2+bx+c>0(ab,c∈R)的解集为x<-1或x>3,则b-c+1的 最小值为() A.-2 B.-3 C.2 D.1 【答案】C 【分析】由解集的两端点用韦达定理把b,c用α表示，再用基本不等式. 【解答】 由解集为x<-1或x>3知a>0,且-1,3是ax2+bx+c=0的两根， 由韦达定理-1+3=名，-1x3=9,即b=-2a,c=-3a. a 所以b-c+=-2a+3a+1=a+2之2=2，当且仅当a=1时取等号，故最小值为2.放选C. a a 6(5分》若0写则y=会+的最小值为(） A.13 B.6+4N3 C.9+√6 D. 25 【答案】D 【分析】换元后把条件化为定值，再用“1的代换与基本不等式. 【解答】 令u=2x>0,v=1-3x>0,则u=2x,v=1-3x满足3u+2v=6x+(2-6x)=2, 且y=3+2 2 u v) 2 2 当且仅当6，即u-v- ，也就是x={时取等号， 5 故最小值为5.故选D. 7.(5分)已知集合A={x∈Zx+1≤3}，B={x|x-a≥0}，若A⌒B中恰有3个元素，则a的取值 范围为() A.{al0≤a≤1} B.{a0<a<1} C.{a-1≤a≤0} D.{al-1<a≤0} 【答案】D 高一数学第二次统考（答案）第2页（共9页） 【分析】先写出集合A的全部元素，再由AOB恰有3个元素确定α的范围. 【解答】 由x+1≤3得-4≤x≤2，所以A={-4,-3,-2,-1,0,1,2}, B={x|x≥心，A∩B中的元素是A中不小于a的元素，要从大到小取3个，即{0,1,2}， 所以-1<a≤0，即{a-1<a≤0}.故选D. 8.(5分)关于x的不等式(-1)<x2恰有2个整数解，则实数a的取值范围是() 3 B.3 as或a 3 4 C.-3sa<-2 或2a3 3 4 2 D.-sa<-4或 2 3 3<as3 2 【答案】B 【分析】把不等式化为两个一次因式之积，按a>1与a<-1两类分别数整数解. 【解答】 (am-1)2<x2即(-1)2-x2<0,即「(a-1)x-1(a+1)x-1]<0. 当a>1时，0<1< a+1a-1 当a=3时，区间为 2 其中只有整数1，不合： 当a号时，区间为3： 其中整数为1,2，恰有2个： 白区间长度云二随a特大丽减小可知，a>1时精手a号 当a<-1时，1<1 <0,解集为 a+1a-1 当a=专时，区为(3-》 整数为-2，-1，恰有2个： 2as4 当a=时，区同为(-2-0).只有数数-1，不合，故 综上，a的范同是a<-音或a子故选B 二、多选题（每小题6分，共18分） 9.(6分)若a>b>c2,则() A.b>c B.a2>b2 C.ac>bc D.b>0 【答案】BD 高一数学第二次统考（答案）第3页（共9页） 【分析】由a>b>c2≥0判断各选项，注意举反例. 【解答】 由c2≥0且b>c2得b>0,D正确： 又a>b>0,所以2>b2,B正确： A项：取c=,b=,则b>c2二100成立，但b<c,错误， 20 100 C项：c=0时ac=bc=0,错误. 故选BD, 10.(6分)若正实数x,y满足2x+y=1,则下列说法正确的是() A.y有最大值为 B.+4有最小值为6+4N5 4 C.4+y2有最小值为 D. 】有战大值为员 【答案】BCD 【分析】用基本不等式与配方法逐项求最值， 【解答】 A项：-2s2°-，授大值为，错误 22 8 B项： +-（层到2r+-2+46+-6:5.里： 1 C项：4x+2=(2x+y2≥(2x+=1 2 ,正确： 2 2x+y+2 9 32 正确， 故选BCD. 11.(6分)已知A二R,如果实数满足对任意的a>0,都存在x∈A,使得0<x-x<a,则称 为集合A的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有（) A.{x|x≠0，x∈R} B.{x|x≠0，x∈Z 【答案】AC 【分析】“开点”即集合中能任意接近，的点的极限位置，逐项判断0是否为该集合的聚点. 【解答】 A项：xx≠0}中存在任意靠近0的数（如上），以0为开点，正确： B项：整数集中除0外的元素与0的距离至少为1，取a=】即不满足，错误： 高一数学第二次统考（答案）第4页（共9页） C项：y=(x∈N)的值为1， 2亏，可以任意接近0，正确： D项：y=文=1-的值趋近于1而非0，错误。 x+1x+1 故选AC. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12.(5分)设ab∈R,若集合L,a-10g=0,2-1,则a+b b 【答案】1 【分析】由集合相等得元素的对应关系，注意分母与互异性。 【解答】 因为a-1=0- 左边含1，所以上=1或-1-1（不可能）， 放方1，即6=1， 此时右边为{0,1，-1}，与左边比较得a-1=-1,即a=0。 验证：a=0,b=1时左边{1，-1,0}，右边{0,1，-1}，相等且各元素互异，符合。 所以a+b=0+1=1。 13.(5分)若关于x的不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0的解集为R,则实数a的取值范围 为 【答案】(（-2,2] 【分析】按二次项系数分类：a=2时不是二次不等式，a<2时需开口向下且判别式小于零. 【解答】 当a=2时，不等式为-4<0，恒成立，解集为R,符合： 当a≠2时，需a-2<0且△=4(a-2)2+16(a-2)<0, 即a<2且4(a-2)(a+2)<0,解得-2<a<2. 综上，-2<a≤2，即（-2,2]： 14.(5分)记集合A中元素个数为A.己知集合M={xx2=9}, N={x|(ax2-x)x2++1)=0}.若a=1,则M-|NM= ;若M-W=1,则a可能值的 集合为 【答案】0；{-2,0,2} 【分析】先求M,再按a=1具体求N:第二空由M-N=1得W=1或W=3,分类讨论。 【解答】 M={-3,3},M=2。 高一数学第二次统考（答案）第5页（共9页） 当a=1时，（x2-x)(x2+x+1)=x(x-1)(x2+x+1)=0,因x2+x+1>0恒成立，所以N={0,1}, M=2,故-WM=0。 若M-M=1,则W=1或W=3。 由x(a-1)(x2+a+1)=0知0与】都是N的元素(a≠0时二者不等)。 ①W=1:需a=0,此时N={x|-x(x2+1)=0}={0},符合 @W=3:需x++1=0有两个相等实根且该根不等于0、即△=￠-4=0，a=2 当a-2时N-和，2-1：当a=-2时N-0方，均含3个元素，符合 所以a可能值的集合为{-2,0,2}。 四、解答题（共77分） 15.(13分) 设全集U=R,A={x-2<x<3},B={x|-3<x≤3}： (1)求AOB,(CA)UB; (2)设集合C={-1,m，且C⌒(AUB)={-1},求实数m的取值范围. 【答案】(1)A⌒B=(-2,3),(CA)B=R:(2)m≤-3或m>3 【分析】(1)注意AcB的包含关系；(2)由C⌒(AUB)={-1}得meAUB,同时注意元素的互异 性. 【解答】 (1)A=(-2,3),B=(-3,3],因为AB,所以A∩B=A=(-2,3): CA=(-o0,-2]3,+),CA)B=R. (2)AUB=B=（-3,3],由C⌒(AUB)={-1}知-1∈(-3,3]（成立），且E(-3,3], 所以m≤-3或m>3;又C中元素互异，m≠-1（已包含在上述范围中）. 故m≤-3或>3. 16.(15分) 1)已知x>0,>0,且x+y=5,求1+的最小值： x+3 v (2)若实数x,y满足x>y>0,且1+4 一=1，求x+y的最小值， x-y x+2y 【答案】1)：(2)9+4E 3 【分析】(1)用1的代换”，注意(x+3)+y=8;(2)把x+y用x-y与x+2y表示后用代换， 【解答】 (1)因为x+y=5,所以(x+3)+y=8, 高一数学第二次统考（答案）第6页（共9页） *4-)e号 当且仅当y=+3=4,即x=1,=4时取等号，故最小值为行 3,y=Y-u (2)设u=x-y>0,=x+2y>0,则1+4=1，且x=2+", 3 所以x+y=4+2. 3 白a-≥刘日)-10+分+8e9+28=9445. y u 得x+y≥ +4W2 当且仅当=2，即=√时取等号， 3 v u 故最小值为9+4W迈 3 17.（15分) 某工厂计划建造一个无盖的长方体三级污水处理池（其平面图如图所示），已知污水处理池长为x, 宽为ym(y<x),深为3m,四周池壁的建造成本为800元/m,中间隔墙的建造成本为400元 /m,池底的建造成本为1200元/m. (1)若池底的面积为54m,求污水处理池的最低建造成本： (2)若污水处理池的建造成本预算为67200元，且预算恰好用完： (i)求y关于x的表达式： ()当x为何值时，该污水处理池的容积最大？并求出最大容积.（池壁、隔墙及池底的厚度忽略不 计) 【答案】(1)151200元：(2)(1)y=56-4(4<x<14):(ix=250-6时容积最大，最大 x+6 容积为(312-48W30)m3 【分析】先写出建造总成本的表达式，再用基本不等式或换元求最值， 【解答】 池底面积为y,四周池壁面积为2×3x+2×3y=6(x+y),中间隔墙面积为2×3y=6y, 所以总成本W=1200xy+800×6(x+y)+400×6y=1200xy+4800x+7200y, (1)当xy=54时，W=64800+2400(2x+3y)≥64800+2400×2√6.xy=64800+2400×36=151200, 当且仅当2x=3y,结合xy=54得x=9,y=6时取等号，故最低建造成本为151200元 (2)(i)由1200xy+4800x+7200y=67200两边同除以1200得xy+4x+6y=56, 高一数学第二次统考（答案）第7页（共9页） 即(+6)=56-4，所以y=56-4r x+6 由y>0得x<14;由<x得564<x,即+10x-56>0,解得x>4, x+6 所以4<x<14. (i)容积V=3w=3x6-4-12(14x-x) x+6 x+6 令t=x+6∈(10,20)，则14x-x2=14(t-6)-(t-6)=-t+26t-120, r-nl9]】=262i画)348w6 当且仅当t=V120=2W30,即x=2√30-6e(4,14)时取等号， 故x=2√30-6时容积最大，最大容积为(312-48V30)m3. 18.(17分) 已知关于x的二次函数f(x)=m2-bx+2(a≠0). (1)若关于x的不等式f(x)>0的解集为x<或x>2,求实数a,b的值： (2)若实数a,b满足b=a+2,求关于x的不等式f(x)<0的解集（答案用含有字母a的形式表 示)； b (3)已知f(x)=1有两个正实数根x,x2,X≠x，,且满足2+x号=1，求 一的最大值. 1- 【答案】(1)a=2,b=5;(2)见解析；(3)-4-23 【分析】(1)用韦达定理；(2)因式分解后按的符号及根的大小分类；(3)用韦达定理把条件化为 a,b的关系，再求目标式的最值. 【解答】 1)由解集为（-m》(B,+)知a>0,且号2是am-低+2-0的两根， 自韩达定理行2-会2-子所以a=25 2 (2)当b=a+2时，f(x)<0即2-(a+2)x+2<0,即(m-2)(x-1)<0. 当a<0时， 子01，解集为任： 当a=2时，不等式为2(x-1)2<0,解集为⑦； 当0<a<2时， 2>1,解集为 当a>2时，2<1，解集为 (3)fs)=1即m2-x+1=0,两个正根需>0，>0，△=B-4a>0,故a>0,b>0, a 高一数学第二次统考（答案）第8页（共9页） 出r--自名1指8-。2a 于是+2a.-a*3)-3 1-a1-a 由△=b2-4a=a2-2a>0得a>2,令l=a-1>1, 。u+县4}-45 当且仅当u=√3，即a=1+V3(满足a>2)时取等号， 故最大值为-4-2√5. 19.(17分) 有限集合A=西}(n≥2，neN),若+++之+1++1 则称集合A为“完 X1X2 美集合” (1)判断集合 13为足否为完美染合，并说明理： (2)己知集合{m,1}为“完美集合”，求m的取值范围： (3)己知a,b,c均大于0，且abc=1,证明：集合{a,b,c}为“完美集合” 【答案】(1)是“完美集合”，理由见解析；(2)（-∞，0)U1,+0)；(3)证明见解析 【分析】(1)直接验证定义；(2)代入定义解不等式，注意m≠0；(3)用d+b2+c2≥ab+bc+ca 及abc=1. 【解答】 (旷++-面}+片片12210， 1+1+11 22 因为了0，所以该架合是完美集合 (2)由定义㎡2+1≥+1，即m≥1，即m-10, 结合m≠0解得<0或m≥1，故m∈(-∞，0)U[1,+∞) (3)因为bc=l,所以上++_c+ca+b=ab+bc+ca, abc abc 又d++e2≥b+c+ca(等价于[a-+6-e+(e-a]0), 所以d+b+c≥++，即集合ab,c为完美集合 a bc 高一数学第二次统考（答案）第9页（共9页） 无为一中 2026—2027 学年度第一学期高一年级第二次统考 数学试卷 本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1．（5分）已知集合 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 2．（5分）已知命题 ，，则 是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．（5分）命题 ： 是命题 ： 的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．（5分）含有三个实数的集合 ，若 且 ，求 的值（　　） A． B． C． 或 D． 5．（5分）已知一元二次不等式 （）的解集为 或 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．（5分）若 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 7．（5分）已知集合 ，，若 中恰有 个元素，则 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 8．（5分）关于 的不等式 恰有 个整数解，则实数 的取值范围是（　　） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分；全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有错选得 0 分） 9．（6分）若 ，则（　　） A． B． C． D． 10．（6分）若正实数 ， 满足 ，则下列说法正确的是（　　） A． 有最大值为 B． 有最小值为 C． 有最小值为 D． 有最大值为 11．（6分）已知 ，如果实数 满足对任意的 ，都存在 ，使得 ，则称 为集合 的“开点”，则下列集合中以 为“开点”的集合有（　　） A． B． C． D． 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．（5分）设 ，若集合 ，则 　　　　　　． 13．（5分）若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围为　　　　　　． 14．（5分）记集合 中元素个数为 ．已知集合 ，．若 ，则 　　　　　；若 ，则 可能值的集合为　　　　　． 四、解答题（15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17 分，19 题 17 分，共 77 分） 15．（13分） 设全集 ，，； （1）求 ，； （2）设集合 ，且 ，求实数 的取值范围． 16．（15分） （1）已知 ，，且 ，求 的最小值； （2）若实数 ， 满足 ，且 ，求 的最小值． 17．（15分） 某工厂计划建造一个无盖的长方体三级污水处理池（其平面图如图所示），已知污水处理池长为 m，宽为 m（），深为 m，四周池壁的建造成本为 元／，中间隔墙的建造成本为 元／，池底的建造成本为 元／． （1）若池底的面积为 ，求污水处理池的最低建造成本； （2）若污水处理池的建造成本预算为 元，且预算恰好用完： （i）求 关于 的表达式； （ii）当 为何值时，该污水处理池的容积最大？并求出最大容积．（池壁、隔墙及池底的厚度忽略不计） 18．（17分） 已知关于 的二次函数 （）． （1）若关于 的不等式 的解集为 或 ，求实数 ， 的值； （2）若实数 ， 满足 ，求关于 的不等式 的解集（答案用含有字母 的形式表示）； （3）已知 有两个正实数根 ，，，且满足 ，求 的最大值． 19．（17分） 有限集合 （，），若 ，则称集合 为“完美集合”． （1）判断集合 是否为“完美集合”，并说明理由； （2）已知集合 为“完美集合”，求 的取值范围； （3）已知 均大于 ，且 ，证明：集合 为“完美集合”． 高一数学第二次统考　第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $无为一中2026一2027学年度第一学期高一年级第二次统考 数学试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1.（5分)己知集合U={0,1,2,3,4,5},A={01,3,4,B={1,4},则(C4)UB=（) A.{2,3} B.{1,2,4,5} C.{0,12 D.{0,1,2,4,5} 2.(5分)已知命题p:xeR,x2+2x-3>0,则p是() A.3x∈R,x2+2x-3≥0 B.x∈R,x2+2x-3≤0 C.x∈R,x2+2x-3≥0 D.x∈R,x2+2x-3≤0 3.(5分)命题p:+!≤0是命题g:x-≤2的() x-3 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5分)含有三个实数的集合4三d,6,a:若0∈A且1∈A,求+b的值 A.1 B.0 C.0或1 D.2 5.(5分)已知一元二次不等式ax2+bx+c>0(ab,c∈R)的解集为x<-1或x>3,则b-c+1的 最小值为() A.-2 B.-3 C.2 D.1 6(5分)若0<写划y1的最小值为《) A.13 B.6+43 C.9+V6 D 7.(5分)已知集合A=x∈Zx+1≤3}，B={x|x-a≥0，若A⌒B中恰有3个元素，则a的取值 范围为() A.{al0≤a≤1} B.{al0<a<1} C.{a-1≤a≤0} D.{a-1<a≤0} 高一数学第二次统考第1页（共5页） 8.(5分)关于x的不等式(m-1)<x2恰有2个整数解，则实数a的取值范围是() sas4或4。 A. 3 ≤a≤ 3 2as、 B.、 或4 3 3 2 C.-4 as4 3 3<a≤2 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分：全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得 0分) 9.(6分)若a>b>c2,则() A.b>c B.a2>b2 C.ac>bc D.b>0 10.(6分)若正实数x,y满足2x+y=1,则下列说法正确的是() A.少有最大值为 B.1+4有最小值为6+4W2 4 C.4标1y有最小怕为号 D司有最大值为是 11.（6分)已知AR,如果实数飞，满足对任意的a>0,都存在x∈A,使得0<x-x<a,则称 x为集合A的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有() A.{x|x≠0，x∈R} B.{x|x≠0，x∈Z C.yly-eN. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.5分)设abeR,若笑合a1%{0合1，则a-b 13.(5分)若关于x的不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0的解集为R,则实数a的取值范围 为 14.(5分)记集合A中元素个数为A.已知集合M={x|x2=9}, N={x(a2-x)(x2+a+1)=0y.若a=1,则M-M=一：若M-N=1，则a可能值的 集合为 高一数学第二次统考第2页（共5页） 四、解答题(15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分，共77分) 15.(13分) 设全集U=R,A={x|-2<x<3},B={x|-3<x≤3}： (1)求AOB,(CA)UB: (2)设集合C={-1,m}，且CO(AUB)={-1},求实数m的取值范围. 16.(15分) (1)已知x>0,y>0,且x+y=5,求1+上的最小值； x+3v (2)若实数x,y满足x>y>0,且1十，4=1，求x+y的最小值. "x-y'x+2y 高一数学第二次统考第3页（共5页） 17.(15分) 某工厂计划建造一个无盖的长方体三级污水处理池（其平面图如图所示），己知污水处理池长为x, 宽为ym(y<x),深为3m,四周池壁的建造成本为800元/m,中间隔墙的建造成本为400元 /m,池底的建造成本为1200元/m. (1)若池底的面积为54m,求污水处理池的最低建造成本： (2)若污水处理池的建造成本预算为67200元，且预算恰好用完： (i)求y关于x的表达式； ()当x为何值时，该污水处理池的容积最大？并求出最大容积.（池壁、隔墙及池底的厚度忽略不 计) xm 18.(17分) 已知关于x的二次函数f(x)=2-bx+2（a≠0)· 1)若关于x的不等式f()>0的解集为<，或x>2,求实数a,b的值： (2)若实数a,b满足b=a+2,求关于x的不等式f(x)<0的解集（答案用含有字母a的形式表 示)： （3)已知f(y)=1有两个正实数根，西，玉≠5，且满足买+=1，求 b的最大值. 1-a 高一数学第二次统考第4页（共5页） 19.(17分) 1 有限集合A还比}(n22,neN),若++++无 上+…+二，则称集合A为“完 美集合”。 (1)判断集合 是否为“完美集合”，并说明理由； (2)己知集合{，}为“完美集合”，求m的取值范围； (3)己知a,b,c均大于0，且abc=1,证明：集合{a,b,c}为“完美集合”. 高一数学第二次统考第5页（共5页）