贵州省安顺市第一高级中学2026-2027学年高一上学期期中数学试卷

安顺第一高级中学 2026—2027 学年度第一学期高一年级半期考试 数学试题参考答案与评分标准 一、选择题（每题 5 分，共 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A C D D C A B 二、选择题（每题 6 分，共 18 分） 题号 9 10 11 答案 AC ABD ACD 三、填空题（每题 5 分，共 15 分） （12） （13） （14） 四、解答题（共 77 分） 15．（13 分） 解：（1）由 得 ，即 ，； 4 分 ，所以 ； 7 分 （2）“，”为真，即 ，亦即 ； 9 分 当 ，即 时，，满足； 11 分 当 时，需 且 ，即 ； 12 分 综上，． 13 分 16．（15 分）解：（1）因为定义域 关于原点对称，所以 ，； 3 分 又 为奇函数，故 ，得 ； 6 分 所以 ，定义域为 ； 7 分 （2） 在 上单调递增； 8 分 证明：任取 ，则 ； 11 分 因为 ，，，，所以 ； 14 分 故 在 上单调递增． 15 分 17．（15 分）解：（1）当 时，； 3 分 利润 ，解得 ； 5 分 所以 ，即 6 分 ； 9 分 （2）当 时，，最大值为 ； 11 分 当 时，，当且仅当 时取等号； 14 分 因为 ，所以加工 30 万件时利润最大，最大值为 95 万元． 15 分 18．（17 分）解：（1）令 得 ，所以 ； 3 分 令 得 ，所以 ； 5 分 （2）在 中取 ，得 ，故 为偶函数； 9 分 （3）由 得 ，； 11 分 原不等式即 ； 13 分 由偶函数及在 上递增，得 ； 14 分 即 ，解得 ； 15 分 又 且 ，所以解集为 ． 17 分 19．（17 分）解：（1）取 ， 递增，由 、 得 ，； 3 分 所以 是 的一个“优美区间”； 4 分 （2） 在 、 上均单调递减； 6 分 若存在“优美区间”，则 ，，两式相减得 ，即 ，故 ； 9 分 这与 ， 同号（）矛盾，所以不存在“优美区间”； 11 分 （3），在 、 上均递增； 13 分 由 ， 知 ， 是方程 的两根； 14 分 所以 ； 16 分 令 ，则 ，当 时取得，故最大值为 ． 17 分 高一数学（参考答案）　第 1 页（共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 安顺第一高级中学 2026—2027 学年度第一学期高一年级半期考试 数　学　试　题 （满分：150 分　　120 分钟） 命题人：石豪方　　审题人：杨玲 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 2．下列各组函数是同一个函数的是（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 3．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 4．若函数 的定义域是 ，则 的定义域是（　　） A． B． C． D． 5．一元二次方程 有两个异号实根的一个必要不充分条件为（　　） A．， B．， C． D． 6．函数 有单调递增区间但没有单调递减区间，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．函数 ，若 是 上的减函数，则（　　） A．实数 的最小值为 ，最大值为 B．实数 的最小值为 ，没有最大值 C．实数 没有最小值，最大值为 D．实数 既没有最小值，也没有最大值 8．记 ，若正实数 ，， 满足 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．下列说法正确的是（　　） A．集合 ，，若 ，则实数 的值为 B．若集合 中只有一个元素，则 C．已知集合 ，则满足条件 的集合 的个数为 D．若集合 ，，则 有且只有两个元素 10．已知正实数 ， 满足 ，则（　　） A． B． C． D． 11．已知函数 的定义域为 ，对任意的 ，，都有 ，当 时，，则（　　） A． B．，使得 C．，有 D． 在 上单调递减 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．设两个正实数 ， 满足 ，则 的最小值为______． 13．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”。已知某“同族函数”的解析式为 ，值域为 ，则该“同族函数”共有______个函数。 14．已知 是定义在 上图象关于原点对称的函数，并且满足对 ，当 时，总有 。若存在实数 ，使得不等式 成立，则实数 的取值范围是______． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13 分）已知集合 ，集合 ，集合 。 （1）求 ； （2）若命题“，”是真命题，求实数 的取值范围。 16．（15 分）已知函数 是定义在 上的奇函数。 （1）求 的解析式； （2）判断 在定义域上的单调性，并用单调性的定义给出证明。 17．（15 分）第 15 届全国运动会于 2025 年 11 月 9 日至 11 月 21 日在粤港澳大湾区举行。本届全运会的吉祥物是以中华白海豚为原型、分别名为“喜洋洋”和“乐融融”的可爱形象，并随着赛事的举办迅速走红，吉祥物玩偶商品需求持续增长。已知某工厂代为加工该吉祥物玩偶，工厂需投入固定成本 5 万元，且每代加工 1 万件玩偶，需另投入 万元。现根据市场行情，该工厂代加工 万件玩偶，可获得 万元的代加工费， 其中 ，已知该代工厂代加工 20 万件时，获得的利润为 90 万元。 （1）求工厂加工吉祥物玩偶的利润 （单位：万元）关于加工量 （单位：万件）的函数解析式； （2）当加工量为多少万件时，工厂加工吉祥物玩偶的利润最大？并求出利润的最大值。 18．（17 分）函数 的定义域为 ，对任意 ，，恒有 ，且 不恒为 。 （1）求 ， 的值； （2）判断 的奇偶性并说明理由； （3）若 ，且 在 上是增函数，试解不等式：。 19．（17 分）对于定义域为 的函数 ，如果存在区间 ，同时满足：① 在 上是单调函数；②当自变量 的取值为 时，因变量 的取值也是 。就称 是该函数的“优美区间”。 （1）求函数 的一个“优美区间”； （2）试判断函数 是否存在“优美区间”，并说明理由； （3）已知函数 有“优美区间”，当 变化时，求出 的最大值。 高一（上）数学试卷　第 5 页（共 5 页） 学科网（北京）股份有限公司 $