精品解析：内蒙古赤峰市松山区2026-2027学年高一上学期期中考试数学试卷

2026 松山区高一期中 数学试题 满分：150分　　考试时间：120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合 ，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】集合， 因为集合，所以. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】解：因为，则，但是不一定有，所以“”是“”成立的充分不必要条件． 故选：A． 3. 命题 ，，则命题 的否定 为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】命题，，则命题的否定为，. 4. 已知 ，且 ，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知， 由基本不等式可知，解得， 当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 5. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】考虑二次项系数为0和不为0两种情况，解集为空集代表不等式无解，利用二次函数的图象求解即可． 【详解】当时，不等式为不成立，故解集为； 当时，二次不等式大于0解集为空集，即二次函数恒成立； 则，即，解得； 综上， 所以实数的取值范围是. 6. 已知函数的定义域为，则的定义域为（       ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为的定义域为， 所以令，解得，即的定义域为． 又因为，解得，所以的定义域为． 7. 已知是奇函数，则的单调递增区间为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用奇函数性质求出的解析式，再利用二次函数单调性求出即可. 【详解】当时，，则， 又∵是奇函数，∴，即， 即， 当时，二次函数，开口向上，对称轴为， 故单调递增区间为， 当时，二次函数，开口向下，对称轴为， 故单调递增区间为， 综上所述，的单调递增区间为. 8. 已知，，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】换元得到，看作关于的函数，并结合的范围得到，且，分和两种情况，由对勾函数的性质求出最大值. 【详解】，故，， 令， ∵，∴， 又为正数，， 又，故，且， 若，即时，可得, 由于，， 故， 由于，由对勾函数单调性可知，当时，的最大值为， 此时， 若，即时，可得, 由于，， 则， 由于，由对勾函数单调性可知，当时，的最大值为， 此时， 综上，的最大值是，当或时取等. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知集合M，N的关系如图所示，则下列结论中正确的是（ ）  A. B. “”是真命题 C. “，使得”是真命题 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据韦恩图（Venn diagram）可知，集合  与集合  有公共部分，但互不包含.结合集合的交集、补集、并集的定义及运算性质，逐一分析各选项即可. 【详解】选项A：由图可知，集合  与集合  有重叠部分，即公共元素，所以 ，故选项A正确； 选项B： 表示集合  在全集  中的补集，即图中  圆圈外部的区域. 由图可知，集合  中有一部分元素在  的外部（即  独有的部分）， 这部分元素属于  但也属于 ，因此“”意味着  中没有元素在  外，即 ， 这与图形不符，故选项B错误； 选项C：命题“，使得”等价于 . 由图可知两集合有交集，故存在这样的元素，选项C正确； 选项D：根据集合运算的德·摩根定律， 恒成立， 表示既不在  中也不在  中的元素集合等于不在  与  并集中的元素集合，故选项D正确. 10. 十九世纪德国数学家狄利克雷提出了著名的狄利克雷函数 ，即：当 为有理数时，；当 为无理数时，．定义函数 ，下列说法正确的有（ ） A. B. 是偶函数 C. 的值域为 D. 方程 的解集为 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，利用狄利克雷函数的定义代入求值；对于B，利用奇偶性定义判断即可；对于C，分为无理数、有理数得到对应的函数解析式，再讨论函数值域；对于D，由方程 ，推出，即是有理数，再通过方程解的情况推出矛盾进行判断． 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，若是有理数则也是有理数，又， 若是无理数则也是无理数，又， 所以是偶函数，故B正确； 对于C，当是无理数时，， 当是有理数时，，若的值域为， 不妨令，则，解得，与为有理数的要求矛盾， 所以取不到2，故C错误； 对于D，若方程，则必有，即为有理数， 所以方程，解得，与为有理数的要求矛盾，故D错误． 11. 已知偶函数满足：时，，则下列结论正确的有（ ）． A. B. ， C. 的值域为 D. 的解集为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用赋值法可判断A选项，利用消元法可得函数解析式即可判断B选项，利用均值不等式可得值域即可判断C选项，解不等式，结合偶函数可判断D选项. 【详解】A选项：取，则，所以，A选项错误； B选项：由当时，，则， 解得， 当时，，则， 由函数为偶函数，所以当时，，B选项正确； C选项：当时，， 又函数为偶函数，所以当，， 即函数的值域为，C选项正确； D选项：当时。令，解得或， 又因为函数为偶函数，则的解集为，D选项错误； 故选：BC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知幂函数的图象经过点，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】将点坐标代入计算得到，计算得到答案. 【详解】的图象过点，，则，，. 故答案为：. 13. 已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据各段函数的单调性以及在断点左侧函数值不大于右侧函数值得到不等式组，解得即可. 【详解】因为函数是上的增函数， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为： 14. 对于下列命题： ①若关于的方程的一根比大且另一根比小，则的取值范围是； ②若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是； ③若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是或； ④若，则的最小值为． 其中正确的有______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】对于①，令，原问题等价于，解一元二次不等式即可验证；对于②，采用参变分离，原问题等价于在上恒成立，进而求出参数范围；对于③，由一次不等式解集得，然后解分式不等式即可验证；对于④，首先由基本不等式得，再将已知等式平方，把目标式用表示，从而求出最小值，注意取等条件是否成立． 【详解】对于①，二次函数，开口向上， 若关于的方程的一根比大且另一根比小， 则，解得，故①正确； 对于②，若关于的不等式在上恒成立， 则只需，即在上恒成立即可， 则实数的取值范围是，故②错误； 对于③，若关于的不等式的解集是，则， 所以关于的不等式，解得或，故③正确； 对于④，若，则，解得，等号成立当且仅当， 所以，等号成立当且仅当，故④正确． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 为建设美丽乡村，某村计划利用一面长度足够长的旧墙，再用总长为 24 的篱笆围成一个矩形菜园 ，矩形的一边 靠墙，与墙垂直的两边 、 长均为 m． （1）写出菜园面积 （单位：）关于 的函数解析式，并写出 的取值范围； （2）当 为何值时，菜园面积最大？并求出最大面积． 【答案】（1）， （2）时菜园面积最大，最大面积为 【解析】 【小问1详解】 ， ， 又，， ，. 【小问2详解】 ， 又，当时取得最大值， 即时菜园面积最大，最大面积为． 16. 已知函数． （1）当时，求在区间上的最大值和最小值； （2）求 在区间 上的最小值． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【小问1详解】 当时，，其图象开口向上，对称轴为； 所以在上单调递减，，； 【小问2详解】 ，对称轴为； 当时，在上递增，； 当时，； 当时，在上递减，； 即． 17. 已知集合， （1）若，实数的取值范围； （2）若，是假命题，求实数的取值集合； （3）设不等式的解集为D，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）． （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）求出集合，又，根据集合的包含关系分类讨论求解； （2）原命题的否定：，是真命题，转化为求的最大值即得； （3）由题意得出，再分和进行讨论． 【小问1详解】 ，， 若，即，则满足题意， 若，即，则，又，故无实解， 综上． 【小问2详解】 ，是假命题，则，是真命题，即， 时，（时取等号），所以，即； 【小问3详解】 若是的必要不充分条件，则， 的解是或， ，即时，满足题意， 时，， 因此，解得且． 综上，． 【点睛】方法点睛：本题考查由集合的运算结果，命题的真假，充分必要条件求参数，解题方法是根据问题进行转化，如（1）（3）转化为集合的包含关系，再根据子集的概念分类讨论求解，如（2）转化为不等式恒成立，再转化为求函数的最值，得出参数范围． 18. 已知是定义在上的奇函数，当时，． （1）求函数的解析式； （2）用单调性的定义证明： 在上单调递增； （3）若 ，求实数 的取值范围． 【答案】（1） （2）任取 ，且 ，分三种情况： ①当 时，， 因为 ，，所以 ，即 ； ②当 时，， 因为 ，，所以 ，即 ； ③当 时，，， 所以 ； 综上，对任意 都有 ，故 在上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义，建立方程，解出即可； （2）根据分段函数，用函数单调性的定义证明即可； （3）利用函数是奇函数变形不等式，利用单调性转化不等式，解出即可. 【小问1详解】 设 ，则 ，所以 ； 又 为奇函数，所以 ；又 ， 所以 ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由 得 ， 又 在上递增，所以 ，即 ， 解得 或 ， 即 的取值范围为 ． 19. 若函数 对其定义域内任意 ，，都有 ，则称 为“加性函数”．已知加性函数 的定义域为 ，且满足：当 时，，又 ． （1）求 的值，并证明 是 上的奇函数； （2）证明： 在 上是减函数； （3）对任意 ，总存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围． 【答案】（1），令 得 ，所以 ； 令 得 ，即 ， 又定义域 关于原点对称，所以 是奇函数； （2）设 ，则 ，所以 ； 又 ，所以 在 上是减函数； （3） 【解析】 【分析】（1）令即可求出；再令并结合 即可求证； （2）利用定义法并结合题意即可求解； （3）由题意可得 ，再结合为减函数与任意 ，总存在 ，可得 ，分离参数可得 恒成立，即可求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由题意可得 ， 由 递减得 ； 即对任意 ，存在 ，使 ， 因为只需存在，取的最大值即可，故只需 ； 又需对任意 成立，所以恒成立， 即小于 的最小值； 而在上的最小值为，所以 ， 即 的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 松山区高一期中 数学试题 满分：150分　　考试时间：120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合 ，，则 （ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 命题 ，，则命题 的否定 为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知 ，且 ，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为，则的定义域为（       ） A. B. C. D. 7. 已知是奇函数，则的单调递增区间为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 已知，，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知集合M，N的关系如图所示，则下列结论中正确的是（ ）  A. B. “”是真命题 C. “，使得”是真命题 D. 10. 十九世纪德国数学家狄利克雷提出了著名的狄利克雷函数 ，即：当 为有理数时，；当 为无理数时，．定义函数 ，下列说法正确的有（ ） A. B. 是偶函数 C. 的值域为 D. 方程 的解集为 11. 已知偶函数满足：时，，则下列结论正确的有（ ）． A. B. ， C. 的值域为 D. 的解集为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知幂函数的图象经过点，则______． 13. 已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是________． 14. 对于下列命题： ①若关于的方程的一根比大且另一根比小，则的取值范围是； ②若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是； ③若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是或； ④若，则的最小值为． 其中正确的有______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 为建设美丽乡村，某村计划利用一面长度足够长的旧墙，再用总长为 24 的篱笆围成一个矩形菜园 ，矩形的一边 靠墙，与墙垂直的两边 、 长均为 m． （1）写出菜园面积 （单位：）关于 的函数解析式，并写出 的取值范围； （2）当 为何值时，菜园面积最大？并求出最大面积． 16. 已知函数． （1）当时，求在区间上的最大值和最小值； （2）求 在区间 上的最小值． 17. 已知集合， （1）若，实数的取值范围； （2）若，是假命题，求实数的取值集合； （3）设不等式的解集为D，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 18. 已知是定义在上的奇函数，当时，． （1）求函数的解析式； （2）用单调性的定义证明： 在上单调递增； （3）若 ，求实数 的取值范围． 19. 若函数 对其定义域内任意 ，，都有 ，则称 为“加性函数”．已知加性函数 的定义域为 ，且满足：当 时，，又 ． （1）求 的值，并证明 是 上的奇函数； （2）证明： 在 上是减函数； （3）对任意 ，总存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $