精品解析：内蒙古赤峰市松山外国语学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

高一数学期中测试题 一、单选题 1. 若集合，则集合的子集的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 2. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. B. 9 C. D. 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 无字证明即无需语言的证明（proof without words），本质上是一种数学语言，形式上是隐含数学命题或定理的证明的图象或图形，可能包含数学符号、记号、方程，但不附带文字．如图，C为线段AB上的点，且，，O为AB的中点，以AB为直径做半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D．连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则下面可由进行无字证明的不等式为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是定义在上的偶函数，在上有单调性，且，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 若二次函数在上为减函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数，若函数为偶函数，且对任意， ，都有，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若，则 10. 已知不等式的解集是，则（ ） A. B. C. D. 11. 定义，设，则（ ） A. 有最大值，无最小值 B. 当，的最大值为 C. 不等式的解集为 D. 的单调递增区间为 三、填空题 12. 若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的最小值是__________. 13. 已知函数是一次函数，满足，则的解析式____ 14. 已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域都是，且它们在上的图象如图所示，则不等式的解集是_______． 四、解答题 15. 已知全集，已知函数的定义域为集合，. （1）当时，求； （2）已知：①“”是“”的充分条件；②“”是“”的必要不充分条件； 从这两个条件中任选一个，补充到横线处，若 ，求实数的取值范围. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. （1）求函数的解析式； （2）写出函数的增区间（不需要证明）； （3）若函数，求函数的最小值. 17. 通过前面一个月的学习，大家认识了一个朋友：基本不等式.即当时有（当且仅当时不等式取“＝”）.我们称为正数a，b的算术平均数，为它们的几何平均数，两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数.这只是均值不等式的一个简化版本.均值不等式的历史可以追溯到19世纪，由Chebycheff在1882年发表的论文中首次提出.均值不等式，也称为平均值不等式或平均不等式，是数学中的一个重要公式.它的基本形式包括调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的关系.它表明：个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，且当这些数全部相等时，算术平均数与几何平均数相等. （1）写出时算术平均数与几何平均数之间的关系，并写出取等号的条件（无需证明）； （2）利用你写出的式子，求的最小值； （3）如图，把一块长为6的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无盖的方底盒子.问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 19. 2023年10月20日，国务院新闻办举办了2023年三季度工业和信息化发展情况新闻发布会工业和信息化部表示，2023年前三季度，我国新能源汽车产业发展保持强劲的发展势头．在这个重要的乘用车型升级时期，某公司科研人员努力攻克了动力电池单体能量密度达到300Wh/kg的关键技术，在技术水平上使得纯电动乘用车平均续驶里程超过460公里．该公司通过市场分析得出，每生产x千块动力电池，将收入万元，且，该公司每年最多生产1万块此种动力电池，预计2024年全年成本总投入2.5x万元，全年利润为万元．由市场调研知，该种动力电池供不应求．（利润＝收入－成本总投入） （1）求函数的解析式； （2）当2024年动力电池的产量为多少块时，该企业利润最大？最大利润是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学期中测试题 一、单选题 1. 若集合，则集合的子集的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先将集合A化简，再判断得解. 【详解】， 所以集合A的子集的个数为4． 故选：C. 2. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. B. 9 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】代入已知点坐标求得解析式，然后计算函数值． 【详解】设，因为幂函数的图象过，则有，所以，即，所以. 故选：D. 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数定义域，以及指定范围内函数值正负排除部分选项后，即可选出正确选项. 【详解】由函数定义域相关知识可知分母不为零，则，即， 即的定义域为，可排除A； 当时，，可排除CD． 故选：. 4. 无字证明即无需语言的证明（proof without words），本质上是一种数学语言，形式上是隐含数学命题或定理的证明的图象或图形，可能包含数学符号、记号、方程，但不附带文字．如图，C为线段AB上的点，且，，O为AB的中点，以AB为直径做半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D．连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则下面可由进行无字证明的不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用射影定理求得，结合整理得出正确答案. 【详解】由于是圆的直径，所以，圆的半径为， 而，由射影定理得. 在直角三角形中，， 由射影定理得， 由，所以. 故选：A 【点睛】这道题的设计较为经典，结合了几何和代数的知识点，对考生的基础知识要求较高,有助于考查学生的综合能力.题目的解题过程按照逻辑顺序展开，先利用射影定理，再结合圆和直角三角形的性质，这样的分析过程符合数学解题的思路. 5. 已知函数是定义在上的偶函数，在上有单调性，且，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数的定义和性质可得且在上有单调性，所以在上单调递增，再逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以， 由可得， 因为在上有单调性，所以在上有单调性， 因为，所以在上单调递增， 对于A：，故选项A不正确； 对于B：，故选项B正确； 对于C：，故选项C不正确； 对于D：，，， 所以，故选项D不正确； 故选：B. 6. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出不等式的等价条件，然后根据充分条件和必要条件的定义，由集合法求解. 【详解】因为， 所以， 解得 若使不等式成立的一个充分不必要条件， 则x的范围是的一个真子集， 故选：A 7. 若二次函数在上为减函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由求解. 【详解】解：因为二次函数在上为减函数， 所以，解得， 所以的取值范围为， 故选：D 8. 已知定义在上的函数，若函数为偶函数，且对任意， ，都有，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分析可得函数的图象关于对称且在上为减函数，则不等式等价于，解得的取值范围，即可得答案. 【详解】解:因为函数为偶函数， 所以函数的图象关于对称， 因为对任意， ，都有， 所以函数在上为减函数， 则， 解得：. 即实数的取值范围是. 故选：A. 【点睛】本题考查函数的对称性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于综合题. 二、多选题 9. 下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据时不成立说明选项A错误，利用不等式的性质判断选项B，结合题目条件和作差法判断选项C和D. 【详解】A.当时，，故选项A错误. B. ∵，，∴， ∵，，∴，∴.故选项B正确. C. ∵，∴，∵，∴， ∴.故选项C正确. D. ∵， ∴, ∴.故选项D错误. 故选：BC. 10. 已知不等式的解集是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，得到和是方程的两个实数根，且，结合韦达定理，可得判定A正确，C正确，D正确，再令，可得判定B正确. 【详解】由不等式的解集是， 可得和是方程的两个实数根，且， 则，可得，所以A错误，C正确； 由，可得，所以D正确； 又由，令，可得，所以B正确. 故选：BCD. 11. 定义，设，则（ ） A. 有最大值，无最小值 B. 当，的最大值为 C. 不等式的解集为 D. 的单调递增区间为 【答案】BC 【解析】 【分析】作出函数图象，根据图象逐项判断即可. 【详解】作出函数的图象，如图所示： 对于A，根据图象，可得无最大值，也无最小值，故A错误； 对于B，由图可知当，的最大值为，可得B正确； 对于C，由解得，并结合图象可得不等式的解集为，可得C正确； 对于D，由图可得，的单调递增区间为，故D错误. 故选：BC 三、填空题 12. 若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】分离参数得，再设新函数，求出其最小值即可. 【详解】因为关于的不等式在区间上有解， 所以在区间上有解， 令，因为在区间上单调递减， 则在区间上也单调递减， 所以， 所以，则实数m的最小值是. 故答案为：. 13. 已知函数是一次函数，满足，则的解析式____ 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意设设，进而利用待定系数法求解即可. 【详解】解：设， 由题意可知， 所以，解得或， 所以或. 故答案为：或 14. 已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域都是，且它们在上的图象如图所示，则不等式的解集是_______． 【答案】 【解析】 【分析】不等式转化为或，再结合函数的性质和图象，即可求解. 【详解】或， 得或， 解得：或，或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 四、解答题 15. 已知全集，已知函数的定义域为集合，. （1）当时，求； （2）已知：①“”是“”的充分条件；②“”是“”的必要不充分条件； 从这两个条件中任选一个，补充到横线处，若 ，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2）选①或选②， 【解析】 【分析】（1）求函数定义域得集合，解分式不等式得集合，然后由集合的运算法则计算； （2）解含有参数的不等式得集合，选①得集合是集合的子集，根据包含关系得不等式组求解；选项②得集合是集合的真子集，根据包含关系得不等式组求解． 【小问1详解】 由题意，由得，，- 当时，， - ∵全集， ∴或，或， ∴或. 【小问2详解】 由题意，， ∵对任意实数，都有，∴集合. - 选①：因为“”是“”的充分条件，则集合是集合的子集， 所以，解得：， 因此，实数的取值范围是； 选②：因为“”是“”的必要不充分条件， 所以集合是集合的真子集， 所以且等号不同时取得，解得：， 因此，实数的取值范围是. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. （1）求函数的解析式； （2）写出函数的增区间（不需要证明）； （3）若函数，求函数的最小值. 【答案】（1） （2）和 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质，即可求出函数的解析式； （2）由（1）直接可写出函数的增区间； （3）求出函数函数的对称轴，在分别根据，，三种情况，结合二次函数的单调性即可求出函数的最小值. 【小问1详解】 解：设，则， 所以 又， 所以 又函数是定义在上的奇函数，所以当时，； 所以； 【小问2详解】 解：由（1）可知，函数的增区间和 【小问3详解】 解：因为 所以 所以函数的对称轴为； 当时，即时，所以在区间上单调递增函数， 所以； 当时，即时，所以在区间上单调递减函数， 所以； 当时，即时，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以； 综上， 17. 通过前面一个月的学习，大家认识了一个朋友：基本不等式.即当时有（当且仅当时不等式取“＝”）.我们称为正数a，b的算术平均数，为它们的几何平均数，两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数.这只是均值不等式的一个简化版本.均值不等式的历史可以追溯到19世纪，由Chebycheff在1882年发表的论文中首次提出.均值不等式，也称为平均值不等式或平均不等式，是数学中的一个重要公式.它的基本形式包括调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的关系.它表明：个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，且当这些数全部相等时，算术平均数与几何平均数相等. （1）写出时算术平均数与几何平均数之间的关系，并写出取等号的条件（无需证明）； （2）利用你写出的式子，求的最小值； （3）如图，把一块长为6的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无盖的方底盒子.问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ 【答案】（1） 当时，若，可得， 即算术平均数与几何平均数的关系为，当且仅当时，等号成立. （2） （3）切去的正方形边长为时，才能使盒子的容积最大， 【解析】 【分析】（1）由题意得，当，，即可求解； （2）由（1），当时，，即可求解； （3）设小正方形的边长为，得到盒子的容积为则，利用不等式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）中，当，可得， 可得时，， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 【小问3详解】 解：设小正方形的边长为，则盒子高为，底边边长为， 可得盒子的容积为，其中， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以切去的正方形边长为时，才能使盒子的容积最大，最大容积为. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2） 在上单调递增. 证明如下：设 则， 其中，， 所以，即， 故函数在上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）由题可得图象过点结合可得，的值； （2）由单调性证明步骤可证得结论； （3）由题可得，先求得后讨论k结合单调性可得，即可得范围. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数，且， 则，解得，.所以函数， 经检验，函数为奇函数，所以，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为对任意的，总存在，使得，所以， 因为在上单调递增，所以， 当时，；所以恒成立，符合题意； 当时，在上单调递增，则， 所以，解得； 当时，函数在上单调递减，则， 所以，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 19. 2023年10月20日，国务院新闻办举办了2023年三季度工业和信息化发展情况新闻发布会工业和信息化部表示，2023年前三季度，我国新能源汽车产业发展保持强劲的发展势头．在这个重要的乘用车型升级时期，某公司科研人员努力攻克了动力电池单体能量密度达到300Wh/kg的关键技术，在技术水平上使得纯电动乘用车平均续驶里程超过460公里．该公司通过市场分析得出，每生产x千块动力电池，将收入万元，且，该公司每年最多生产1万块此种动力电池，预计2024年全年成本总投入2.5x万元，全年利润为万元．由市场调研知，该种动力电池供不应求．（利润＝收入－成本总投入） （1）求函数的解析式； （2）当2024年动力电池的产量为多少块时，该企业利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当2024年动力电池的产量为7000块时，该企业利润最大，最大利润是207.5万元． 【解析】 【分析】（1）根据已知函数模型得出函数解析式； （2）分别利用二次函数性质和基本不等式求出分段函数两段的最大值，然后比较可得． 【小问1详解】 由题意得， ∵， ∴当时，， 当时，， 综上所述，函数的解析式为． 【小问2详解】 由（1）得， 当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴； 当时， ， 当且仅当，即时，， ∵， ∴的最大值为207.5， 故当2024年动力电池的产量为7000块时，该企业利润最大，最大利润是207.5万元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $