精品解析：北京师范大学附属中学2026-2027学年高一上学期期中考试数学试卷

北京师大附中2026—2027学年（上）高一期中考试 数学试卷 一、选择题 共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，， 所以. 2. 已知命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】由存在量词命题的否定知， ，，则是：，. 3. 下列函数中为奇函数，且在定义域上为增函数的有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，可排除A,B;说明的奇偶性以及单调性，可判断C;根据的单调性，判断D. 【详解】函数为非奇非偶函数，故A错； 函数为偶函数，故B错； 函数，满足 ，故是奇函数， 在定义域R上，是单调递增函数，故C正确； 函数在 上是增函数，在 上是增函数，在定义域上不单调，故D错， 故选：C 4. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，若，，则，故A错误； 对于B，若，，则，故B错误； 对于C，若，，可得，故C正确； 对于D，若，，，则，，，故D错误. 5. 已知奇函数在上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为是奇函数，所以， 又在上单调递减， 对于A：， 由，得，即，故A正确； 对于B：， 由，得，故B错误； 对于C：， ，， 所以，故，故C错误； 对于D：， ，，则，， 所以，即，故D错误. 6. 函数的零点所在区间可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由于函数，均在上连续，故在上为连续函数， 由于函数，均在上单调递增，故在上单调递增， 又当时，， ，， ，， 因此由零点存在性定理可得，在内存在零点． 7. 二次函数在区间上单调递增的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】当时，由二次函数性质得二次函数对称轴为， 若二次函数在区间上单调递增，可得，解得， 所以二次函数在区间上单调递增的一个充分不必要条件为. 8. 若函数为上的减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由函数在上单调递减，可得，解得， 即实数的取值范围是. 9. 定义在上的函数对任意，都有在上的平均变化率为负数，且关于中心对称，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题目的已知条件可以推出函数在上单调递减且为奇函数，结合单调性和奇偶性可以将转换为，然后推出的取值范围，最后求出的取值范围． 【详解】已知对任意，都有在上的平均变化率为负数， 则， 所以函数是上的减函数， 函数的图象向左平移一个单位变成函数的图象， 因为函数关于中心对称， 所以函数关于对称，即是奇函数． 因为， 则， 所以，即， 则，即， 解得， ， 由，可得， 所以的取值范围为． 10. 已知，集合是的非空子集，定义集合，集合，且，求集合中元素个数的最大值为（ ） A. 2040 B. 1020 C. 680 D. 510 【答案】B 【解析】 【分析】若中有两个相邻整数，差为，而的元素都是正整数，最小和为，故，矛盾；所以中不含相邻整数，最多个，再构造一个取到的集合（全部奇数）验证条件成立即可． 【详解】因为，中元素都是正整数，故对任意都有，即， 若中存在两个相邻整数与，则， 但，与矛盾， 所以中任意两个元素之差都不等于，即中不含相邻整数， 把的个元素按两两配对， 在每个数对中至多取一个，所以的元素个数不超过； 下面说明是可以取到的： 取，即中全部奇数，共个， 此时中任意两个元素都是奇数，它们的差为偶数， 若两元素不同，则， 而对任意偶数，都有， 其中与都是不超过的奇数，都在中，所以； 若两元素相同，则差为，有； 所以中任意两个元素的差都属于，即成立； 所以集合中元素个数的最大值为. 二、填空题 共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域是________________________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，解得， 因此的定义域为． 12. 关于x的一元二次方程有一个正根和一个负根，写出一个满足条件的实数a的值为__________________；的值为__________________． 【答案】 ①. （答案不唯一，满足即可） ②. 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的分布条件确定参数的取值范围，选取范围内的一个值作为第一空答案；再利用韦达定理化简计算代数式的值. 【详解】关于x的一元二次方程有一个正根和一个负根，可得，且，解得， ，当时，，满足方程存在两个不相等实数根的要求， 因此的取值范围为，例如； 根据韦达定理得，，所以 ， 因此的值为. 13. 已知函数，若，都有，则实数a的取值范围是________________________． 【答案】 【解析】 【分析】先判断函数在区间上单调递增，求出函数的最小值，再令，求解参数的取值范围. 【详解】对，恒成立，等价于，， 由于对勾函数在上单调递增，故在上单调递增，所以在区间上单调递增， 所以，得， 解得， 所以实数a的取值范围是. 14. 已知函数，当时，则______；若函数有三个零点，则实数a的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】分析两段函数性质，结合端点值和函数图象可得结果 【详解】当时，， 所以，. 有三个零点，即方程有三个不同的解， 因为， 当时，检验知，不符合题意； 所以在上有一个解，在上有两个不同的解， 即且，，所以，解得：. 故答案为：；. 15. 如果函数满足对任意、，有，则称为优函数．给出下列四个结论： ①为优函数； ②若为优函数，则； ③若为优函数，则在上单调递增； ④若在上单调递减，则为优函数． 其中所有正确结论的序号是________________________． 【答案】②④ 【解析】 【分析】根据优函数定义，直接代入验证①，利用递推放缩判断②，举反例判断③，结合单调性推导④，最后选出正确结论． 【详解】解：∵、，， ∴， ， 则不是优函数，故①错误； 若为优函数， 则，， 两式相加可得， 同理可得，故②正确； 取， 则， 即， 所以为优函数，但函数在上单调递减，故③错误； 若在上单调递减， 任取，则， 所以， 即， 变形为， 两式相加得， ， ， 则函数为优函数，④正确． 综上，正确结论的序号为②④． 三、解答题 共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数 （1）判断函数的奇偶性，并证明； （2）用函数单调性定义证明：函数在区间上是减函数； （3）若不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）函数的定义域为. 因为， 所以函数为奇函数. （2）任取，且， . 因为，所以，， 所以，即， 所以函数在区间上是减函数. （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义证明即可. （2）根据函数单调性的定义证明即可. （3）根据单调性解不等式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 根据题意，不等式可变形为， 因为函数在区间上是减函数，， 所以，即，解得. 故实数的取值范围为. 17. 已知集合， （1）求集合； （2）当时， （i）求集合 （ii）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）①时，， ②时，， ③时， （ii） 【解析】 【小问1详解】 ，，， 【小问2详解】 （i），，， ①时，， ②时，，， ③时，，， （ii），, ①时，，满足， ②时，，满足， ③时，，，， 综上，的取值范围是. 18. 闪存（Flash Memory）是一种非易失性电子存储器，能够在断电后保持存储的数据不丢失.它由许多小的电容构成，通过高电压供电来写入数据，具有高信息密度、大量读写、随机存取时间短等特点.几乎所有的电子设备都依赖于闪存，包括智能手机、笔记本电脑、台式机等.鉴于目前闪存的市场行情，某闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装万片，还需要万元的变动成本，通过调研得知，当不超过120万片时，；当超过120万片时，，封装好后的闪存颗粒售价为200元/片，且能全部售完. （1）求公司获得的利润的函数解析式； （2）封装多少万片时，公司可获得最大利润？ 【答案】（1） （2）160万片 【解析】 【分析】（1）根据条件列出关于的分段函数即可； （2）分成两种情况分别求出最值，再比较大小即可. 【小问1详解】 当时， ， 当时， ， 故； 【小问2详解】 当时，， 函数图象开口向下，对称轴为， 故的最大值为(万元)； 当时，， 当且仅当，即时等号成立，故的最大值为730（万元）， 因为，所以封装160万片时，公司可获得最大利润. 19. 已知函数满足，且，设． （1）求b，c的值； （2）若存在，使得对任意，都有，求实数m的取值范围； （3）设，，若对于任意的，线段的长度恒大于5，求实数m的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由可得该函数图像的对称轴，即可得，再用求； （2）先把、最小值求出来，可得，解出即可得； （3），换元后，条件变成对一切恒成立，按的符号分类讨论即可． 【小问1详解】 因为对任意成立，所以的图象关于直线对称， 故，即，又，所以； 【小问2详解】 由（1）得， 当时，的最小值为， 又在上单调递增，故的最小值为， 由题意可得，解得，所以的取值范围是； 【小问3详解】 ， 令，因为，所以，且可以取遍， 故对任意，都有， 记，下面按的符号分类讨论． 当时，取，则，与条件矛盾，故此时不符合题意； 当时，对任意，有， 要使其恒大于，只需，即， 所以，即； 综上，的取值范围是． 20. 设函数． （1）当时， （i）求在区间上的最值； （ii）比较与的大小，并说明理由； （2）设函数．若关于的方程的解集中恰有2个元素，，且满足，求实数的取值范围． 【答案】（1）（i）的最小值为，无最大值； （ii）当时，；当时，. 理由如下： 要使有意义，须使. ， 当且仅当时，等号成立. （2） 【解析】 【分析】（1）（i）判断在区间上的单调性，从而求得其最值；（ii）利用作差法比较与的大小. （2） 根据绝对值的含义，分析方程的解，从而得，结合不等式解的情况，可得实数的取值范围． 【小问1详解】 （i）当时，， 定义域. 因为函数的图象可由函数的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到， 且函数在上单调递增，所以函数在区间上单调递增. 所以函数在区间上单调递增， 所以当时取得最小值，最小值为，无最大值. （ii）略 【小问2详解】 函数的定义域为. 由函数，，， 得，即， 所以， 所以或， 即或 对于方程， ，所以方程有两解. 若时，. 所以方程的两解分别是. 因为关于的方程的解集中恰有2个元素，， 所以方程无解， 所以，解得. 不妨令， 则. 因为， 所以由， 得， ， ， 化简得. 当，即，即时， ，即， ， 解得； 当，即或，即时， ，即， ，显然成立. 综上所述，实数的取值范围是． 21. 给定正整数，设集合．对于集合的子集，若任取中两个不同元素，，有，且，，…，中有且只有一个为2，则称具有性质． （1）当时，判断是否具有性质，并说明理由； （2）当时，具有性质，求中元素个数的最大值，并说明理由； （3）当时，若中的元素个数为5，判断是否具有性质，若具有，写出一个集合，若不具有，说明理由． 【答案】（1）具有性质，理由如下： 对于， 任取两个元素，有以下情况： 若取，则，且中只有一个2； 若取，则，且中只有一个2； 若取，则，且中只有一个2. 所以具有性质. （2）当时，中最多有3个元素. 理由如下： 记中1的个数为， 当时，有； 当时，有； 当时，有； 当时，有； 当时，有. 子集至少有两个不同元素，且要满足，则需在相同的情况下选择， 又，，…，中有且只有一个为2，所以. 当时，因为不能同时出现，不能同时出现，不能同时出现； 所以中最多有3个元素. （3） 不具有性质，理由如下： 记中1的个数为， 当时，有； 当时，有； 当时，有； 当时，有； 当时，有； 当时，有. 子集至少有两个不同元素，且要满足，则需在相同的情况下选择， 又，，…，中有且只有一个为2，所以或. 当时，若有且只有，则中最多含4个元素； 同理，对，中最多有4个元素. 当时，若有且只有，则中最多含有或或两个元素. 综上所述，中最多有4个元素. 所以中不可能有5个元素. 即若中的元素个数为5，不具有性质. 【解析】 【分析】（1）对于，任取两个元素，验证性质即可； （2）记中1的个数为，分析当，，，和时的元素，再依据性质分析可得； （3）记中1的个数为，分析的不同取值对应的元素，再依据性质分析可得中元素个数的最大值，由此判断即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师大附中2026—2027学年（上）高一期中考试 数学试卷 一、选择题 共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列函数中为奇函数，且在定义域上为增函数的有（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知奇函数在上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的零点所在区间可以是（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数在区间上单调递增的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数为上的减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 定义在上的函数对任意，都有在上的平均变化率为负数，且关于中心对称，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，集合是的非空子集，定义集合，集合，且，求集合中元素个数的最大值为（ ） A. 2040 B. 1020 C. 680 D. 510 二、填空题 共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域是________________________． 12. 关于x的一元二次方程有一个正根和一个负根，写出一个满足条件的实数a的值为__________________；的值为__________________． 13. 已知函数，若，都有，则实数a的取值范围是________________________． 14. 已知函数，当时，则______；若函数有三个零点，则实数a的取值范围是______． 15. 如果函数满足对任意、，有，则称为优函数．给出下列四个结论： ①为优函数； ②若为优函数，则； ③若为优函数，则在上单调递增； ④若在上单调递减，则为优函数． 其中所有正确结论的序号是________________________． 三、解答题 共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数 （1）判断函数的奇偶性，并证明； （2）用函数单调性定义证明：函数在区间上是减函数； （3）若不等式成立，求实数的取值范围． 17. 已知集合， （1）求集合； （2）当时， （i）求集合 （ii）若，求实数的取值范围． 18. 闪存（Flash Memory）是一种非易失性电子存储器，能够在断电后保持存储的数据不丢失.它由许多小的电容构成，通过高电压供电来写入数据，具有高信息密度、大量读写、随机存取时间短等特点.几乎所有的电子设备都依赖于闪存，包括智能手机、笔记本电脑、台式机等.鉴于目前闪存的市场行情，某闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装万片，还需要万元的变动成本，通过调研得知，当不超过120万片时，；当超过120万片时，，封装好后的闪存颗粒售价为200元/片，且能全部售完. （1）求公司获得的利润的函数解析式； （2）封装多少万片时，公司可获得最大利润？ 19. 已知函数满足，且，设． （1）求b，c的值； （2）若存在，使得对任意，都有，求实数m的取值范围； （3）设，，若对于任意的，线段的长度恒大于5，求实数m的取值范围． 20. 设函数． （1）当时， （i）求在区间上的最值； （ii）比较与的大小，并说明理由； （2）设函数．若关于的方程的解集中恰有2个元素，，且满足，求实数的取值范围． 21. 给定正整数，设集合．对于集合的子集，若任取中两个不同元素，，有，且，，…，中有且只有一个为2，则称具有性质． （1）当时，判断是否具有性质，并说明理由； （2）当时，具有性质，求中元素个数的最大值，并说明理由； （3）当时，若中的元素个数为5，判断是否具有性质，若具有，写出一个集合，若不具有，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $