精品解析：福建厦门大学附属科技中学（两校区）2026-2027学年高三上学期期中考试数学试题

2026-2027学年（上）厦门大学附属科技中学高三期中考试 考试时长：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，， 则. 2. 在中，若，，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算列方程组计算求解即可. 【详解】因为，所以， 因为， 所以，解得，故. 3. 已知正项数列为等比数列，，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【详解】正项数列为等比数列，，； . 4. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角恒等代换进行化简变形，再求值. 【详解】，即 所以，， 根据余弦函数的性质，，（无整数解，舍去） 或，，又，所以. 5. 在各项均不为零的数列中，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用数列各项非零的条件对递推式变形，构造倒数形式的等差数列，求出数列通项公式后即可求的值. 【详解】已知数列各项均不为零，即对任意，有，因此可对递推式两边同时除以， 化简得 ， 所以数列是等差数列， ，公差为，可得， 所以，故. 6. 已知函数，若存在，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】函数，，则， 设， ，则， 因为，得，所以，且， 所以，所以，得 所以. 7. 已知实数使得对任意恒成立，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数单调性将原不等式转化为二次函数恒成立问题，推导得到与的不等关系，再化简目标表达式结合基本不等式求解最小值. 【详解】因为对任意恒成立， 所以，即对任意恒成立. 所以，则，且. 所以，当且仅当即时等号成立. 所以当时，取得最小值. 8. 已知正实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】已知条件等价于，利用函数的单调性得，相加后利用等号成立的条件求出的值，从而可得结论. 【详解】因为，都为正实数， 所以， 所以原等式化为， 设，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，即在时恒成立，即， 当且仅当时取等号，所以当时，， 所以，又根据已知条件为， 所以，即，所以. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设正项数列的前项和是，且，，下列选项中正确的有（ ） A. 若是等差数列，则 B. 若是等比数列，则 C. 若是等差数列，则 D. 若是等比数列，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据已知条件，结合等差数列，等比数列的定义，以及数列的性质，对每个选项进行逐一分析，求解即可. 【详解】对A：是等差数列，，则，故A正确； 对B：是等比数列，，，故，则，故B错误； 对C：因为，，则， 又是等差数列，故，也即，解得，故C正确； 对D：由C知，，，又是等比数列，故， 也即，，，解得，或， 又为正项数列，故，则，D错误. 10. 已知函数（，），，为图象上的两点，且的最小值为．是的对称中心，则下列选项正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 是偶函数 D. 方程在区间上存在2个不同的解 【答案】AC 【解析】 【分析】先根据函数最高点的最小距离求出周期，进而得到的值；再结合对称中心的条件求出，确定的解析式，最后逐一分析各选项的正确性. 【详解】选项A：的最大值为，图象上纵坐标为的点均为最高点，相邻最高点的最小距离为，即函数周期，由周期公式，A正确. 选项B：由是的对称中心，所以， 结合，取得， 所以， 令， 当时，可得， 函数在上单调递增，在上单调递减， ∴在上单调递增，在上单调递减， 在区间上不单调，B错误. 选项C：， 令，为偶函数，C正确. 选项D：因为，由， 所以或，. 即或，. 位于区间的解有，，，共3个，故D错误. 11. 已知函数，的定义域为，且，，，则下列结论正确的是（） A. 为偶函数 B. 为奇函数 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】A.令代入第一式可推得，是奇函数；B.是奇函数、是偶函数，奇函数与偶函数相乘仍为奇函数，故为奇函数；C.由得，结合得，于是，即；D.由得，结合得，于是，即，故. 【详解】A.已知对任意，，令，得，故； 令，，即，故为奇函数，错误； B.已知对任意，且，令，得，即， 结合得；令，得，即，故为偶函数； 由是奇函数、是偶函数，奇函数与偶函数相乘仍为奇函数，故为奇函数，正确； 由是奇函数、是偶函数，可得、， 对，以代，得，即， 对，以代，得，即， 令，， ， 即，由，，归纳可得， ， 即，归纳可得， 再由， 对，令，得，于是. C.由，，故， 由，得， 由，取：， 而，故，正确； D．由，条件即， 由，得， 由，取，， 而，得，错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线是曲线在处的切线，则________． 【答案】0 【解析】 【详解】由得， 由题意得在处的切线斜率为，故，解得， 又切点坐标为，代入切线方程得，解得， 因此． 13. 已知函数在区间上的最小值为，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先分两种情况讨论，，，然后利用三角函数的性质即可求解. 【详解】显然，，分两种情况： 若，当时，， 因函数在区间的最小值为， 所以，解得 若，当时，， 因函数在区间的最小值为， 所以，解得 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为： 14. 对于集合的子集，将中的元素按从小到大排列为．若对所有的，的奇偶性与相同，则称为的交替子集．约定空集为交替子集．例如，，均为交替子集．记为的交替子集的个数，则__________． 【答案】233 【解析】 【分析】先明确交替子集的定义，将问题转化为满足“第i个元素与i奇偶性相同”的递增序列计数问题，空集单独计入总数然后找递推关系：考虑第个元素是否在交替子集中，如果为奇数，那么它只能作为序列的奇数位置元素，以此建立和、的关联，最后确定初始条件：计算、的数值，再根据递推式逐步计算到. 【详解】设为集合的交替子集总数， 所有的交替子集，本身也属于的交替子集，这部分共个. 若要把元素追加到某个的交替子集末尾， 若是奇数，追加后它是新子集的最后一位，要求它的奇偶性和它的位置序号相同， 即追加前的子集最后一位是偶数位（空集也满足，空集追加奇数后得到单元素奇子集，符合要求）， 这类子集的总数恰好是. 得到递推公式：，这是斐波那契型递推， 初值：，， . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，． （1）求A，C； （2）若，求a，c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，由余弦定理结合三角形面积公式求出，结合三角形内角求出，利用得出关系，分类讨论求出； （2）利用正弦定理和三角形面积公式计算求解． 【小问1详解】 ，， 又，， ， ,所以, （舍）或， 当时，， ，， 综上，． 【小问2详解】 由（1）知，， 由正弦定理，， ， ． 16. 已知等差数列的公差不为零，，且成等比数列. （1）求的通项公式： （2）若为数列的前项和，求证：． 【答案】（1） （2） 由（1）可得，则， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 由，故单调递增，则， 又因为． 故，得证. 【解析】 【分析】（1）设出等差数列公差，利用基本量表示已知等量关系，建立方程求解可得； （2）由数列通项证明是等比数列，再利用公式法求和，结合表达式及条件，分析范围可得. 【小问1详解】 由题意，设等差数列的公差为， 因为成等比数列，所以， 整理得，由，解得， ， 所以的通项公式为； 【小问2详解】 略 17. 已知函数，将的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到的图象，且在区间内的最大值为. （1）求的值； （2）在锐角中，若，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用图象变换求出函数的解析式，由求出，利用正弦函数的基本性质求出，结合已知条件可求得实数的值； （2）利用为锐角三角形求出角的取值范围，利用切化弦结合三角恒等变换思想得出，求出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1）将函数的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到的图象， 则， ，， 当，即时，最大值，所以，； （2）， ，则，所以，，所以，， ， 是锐角三角形，由，解得， 所以，，，则. 【点睛】方法点睛：求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 18. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）当时. （i）证明：，； （ii）当时，，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为； （2） （i）设，， 则， 因为，所以，， 所以， 所以， 所以在内单调递增，则， 故，； （ii）. 【解析】 【分析】（1）当时求，解不等式，，根据导数与函数的单调性的关系求函数的单调区间； （2）（i）设，利用导数证明函数在内单调递增，结合证明结论； （ii）验证时不等式成立，令，利用导数证明当时，，由此可得此时，当时，设，证明当时，，由此可得，综合考虑可得结论. 【小问1详解】 当时，， 令，解得，， 令解得，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 【小问2详解】 （i）略 （ii）当时，，， 对任意的，不等式成立， 当时，不等式可化为， 令，则， 令，则， 令，则， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 因为，，， 所以存在，使得， 当时，，函数在单调递增， 当时，，函数在单调递减， 又，， 所以当时，，所以单调递增， 所以当时，，则， 当时，设， 因为当时，，所以， 又因为，所以， 所以在上单调递增， 此时， 故当时，，则. 综上，实数的取值范围为. 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，设，当时，的面积取得最大值． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，（点在点，之间）． （i）求的取值范围； （ii）若为椭圆上一点，且，求四边形的面积． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）设，则，设为椭圆的半焦距，则，可求出，求的面积的最大值就是求的最大值，根据的范围可得，由得到，通过解方程组得到的值，从而得到椭圆的标准方程； （2）（i）设直线的方程，直线和椭圆联立方程组，消去，得到的一元二次方程，设的坐标，由题意可知的一元二次方程的，从而解出的取值范围，利用韦达定理求出和，从而得到同号，求出，由和求出，由的范围求出的范围，换元法设，由点在点，之间得到， 由的范围求出的范围，即得到的范围，继而得到的范围即为所求；（ii）得到和四边形为平行四边形，求出即得的坐标，将点代入椭圆的方程求出的值，利用弦长公式求出，设点直线的距离为，利用点到直线的距离公式求出，则代入数集求解即可. 【小问1详解】 设，则，设为椭圆的半焦距，则， ， 当取最大值时，的面积取得最大值时， ，时，取最大值，此时，或， 的最大面积为，的最大面积为， ，此时，则， ，， 又，联立，解得， 椭圆的标准方程； 【小问2详解】 （i）如图，直线的方程为时，不存在，不满足题意， 设直线的方程为， 联立，消去，得到， 整理得， 设，，， 过点的直线与椭圆交于不同的两点，， ，， ，，同号， ， ，同号，， ，， ，，， ， 设，点在点，之间，则， 转化为， ，，，， ，，，， 的取值范围. （ii）如图，作出符合题意的图形， ，， ，，且四边形为平行四边形， ，， ，为椭圆上一点，， ，， ， ，， 设点直线的距离为，， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年（上）厦门大学附属科技中学高三期中考试 考试时长：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，若，，则（ ） A. B. C. 1 D. 3. 已知正项数列为等比数列，，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 4. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 在各项均不为零的数列中，若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若存在，满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数使得对任意恒成立，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设正项数列的前项和是，且，，下列选项中正确的有（ ） A. 若是等差数列，则 B. 若是等比数列，则 C. 若是等差数列，则 D. 若是等比数列，则 10. 已知函数（，），，为图象上的两点，且的最小值为．是的对称中心，则下列选项正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 是偶函数 D. 方程在区间上存在2个不同的解 11. 已知函数，的定义域为，且，，，则下列结论正确的是（） A. 为偶函数 B. 为奇函数 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线是曲线在处的切线，则________． 13. 已知函数在区间上的最小值为，则的取值范围是________． 14. 对于集合的子集，将中的元素按从小到大排列为．若对所有的，的奇偶性与相同，则称为的交替子集．约定空集为交替子集．例如，，均为交替子集．记为的交替子集的个数，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，． （1）求A，C； （2）若，求a，c． 16. 已知等差数列的公差不为零，，且成等比数列. （1）求的通项公式： （2）若为数列的前项和，求证：． 17. 已知函数，将的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到的图象，且在区间内的最大值为. （1）求的值； （2）在锐角中，若，求的取值范围. 18. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）当时. （i）证明：，； （ii）当时，，求实数的取值范围. 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，设，当时，的面积取得最大值． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，（点在点，之间）． （i）求的取值范围； （ii）若为椭圆上一点，且，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $