福建厦门市第十中学2026-2027学年第一学期高三期中质量检测数学试题

厦门市第十中学2026一2027学年第一学期高三期中质量检测 数学试题 满分150分考试时间120分钟 班级： 姓名： 座号： 一、单选题：本小题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。 1.已知复数z满足(1-i)z=4i,则z=() A.-2 B.2 C.5 D.2W2 2.已知宋合4-=m受 B={x-1<x<2},则AnB=() A.{-1,} B.{0, C.{-1,0, D.{-1,0,1,2 3.在公差不为零的等差数列{a,}中，Sn为其前n项和，若Ss=5(a+a,+a),则k=() A.14 B.15 C.16 D.17 4.如图所示，ā+b=() A.2e+3e2 B.-2e+3e2 C.4e+5e2 D.4e,+5e2 5.临沂广播电视塔坐落于山东临沂北城新区，是山东省最高的广播电视塔，也是临沂的标志性城市建筑. 如图，某测绘小组为了测量电视塔的实际高度OP,选取了与塔底O在同一水平面内的两个测量基点A, B,现测得∠PAB=15°，∠PBA=135°，A,B两点相距163V6m,在点A测得塔顶P的仰角为C (cosa=V6 则塔高OP=() 3 B A.313m B.163v3m C.326m D.133V6m 6.将f=2sin2x+p0<< 图象向左移严个单位长度，得到函数g()的图象，若g()是偶函数， 则)() A.-1 B.1 C.-V5 D.3 7.在△ABC中，AC=2,BC=4,∠C=60°，点P为△ABC所在平面内的一个动点，且PC=1,则 PA.PB的最大值是() A.3+27 B.5+2√7 C.3+2V5 D.7+25 8.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(x+I)=1,且当x∈[0，J时，f(x)=x2.若f(x)的图象与曲 线y=logx(a>0且a≠1)恰有4个交点，则实数a=() A.5 B.6 C.7 D.8 二、多选题：本小题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的四个选项中，有多个选项符合 题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 则() A。代)的最小正周期为号 B.f(x)的图象关于点 【0成中心对称 C.f(x)在区间 0上单润递 D.若)的图象关于直线x=x对称，则m2号 10.已知a,6ceR,满足e=hb=。,则a,b,c的大小关系可能是〈) A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a 11.己知数列{an}共有n项，且每一项为1或2，若存在正整数i(1≤i≤n),使得a1+a2+.+a,=n,则 称该数列为“n-完美数列”.设项数为n的“n-完美数列”的个数为Sn,则() A.数列2,1,2是“3-完美数列° B.S4=5 C.以1为首项的“n-完美数列的个数为Sn(n≥3) D.S=S1+2S-2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.己知向量a=(2,),6=(1,),若a1(2a-b),则6= 13.已知a∈ sin2a=1 14. 已知不等式m+x-sinx≥0对x∈[0，+o)恒成立，则实数m的取值范围是 四、解答题：共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)在数列{a}中，4=2，=a,+n n+l n (1)证明 为等差数列，并求数列{an}的通项公式： n 1 (2)设Sn= ,证明：Sn<1. 41a2 a l6.(15分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知向量m=a,V3b),n=(cosA,sinB),且 m11n. (1)求角A的大小；并当a=2V3,且△ABC的面积为2V3时，求△ABC的周长： (②)在(1)的条件下，若点D为BC的中点，求中线AD的长度， 17.(15分)已知函数f(x)=nx-x. (I)讨论∫(x)的单调性： (2)若f(x)有最大值，且最大值大于0，求a的取值范围. 18.(17分)在△ABC中，角A,B,C所对边的边长分别为a,b,c,且满足sinB+sinC=2 sin AcosB. C D (1)证明：a-b2=bc: (2)若2c=a+b,求cos∠ABC的值： (3)如图，点D在线段AB的延长线上，且AB=3,BD=1,当点C运动时，探究CD-CA是否为定值？若 是，求出该定值，若不是，说明理由， 19.(17分)已知函数f()=h(a)+2g-a其中a>0. ①当a=时，求曲线y=f在点(0)处切线方程： (2)求f(x)的单调区间： ⑧区间+re≥号} 求实数a的取值范围。《厦门市第十中学2026一2027学年第一学期高三期中质量检测数学》参考答案 题号 1 2 3 5 6 9 10 答案 D B A 0 D A BC ABC 题号 11 答案 ACD 4i:+i）=4+4i-2+2i,所以4=V4+4=25 D【详解】肉为0-2=41，所以20+罗 2.B【详解1由4=sm受neZ-L0,B=-1x<2列，则10B=0明 3.A【详解】设等若效列公若为dd≠0.则，-a+4,)广(24+14d=15a+74. 又Ss=5(a+a+a4)=5[3a+(k+7)d],故15(a+7d=5[3a+(k+7)d, 化简整理得k+7=21,解得k=14. 4.C【详解】由图可知，a=3g+e2,b=g+4e2,则ā+b=4+5e, AB PA 5.C【详解】在aPAB中，∠APB=180-15-135°=30，由正弦定理得sin∠APB=sin∠PBA' 则PM=4Bsin∠PBA_163N6×simI35-326V5m. sin∠APB sin30 因为在点A测得塔顶P的仰角为a,所以∠PAO=a且0°<a<90°， 叉cosa6,故sina=-cosa2,从而OP=P4sina=3263xB =326m 3 6.D【详解】由愿，g=+}2an2+引p-2an2x+骨+p 因为（国为偶函数，所以写+p= +k,即p=T+km,k∈Z, 2 6 又0<p< 则f号}=2sm(2p)=2sm)=5. 7.B【详解】因为AC=2,BC=4,∠C=60°， 所以由余弦完理可得：B=4+16-2x2×4×12,所以B=25, 又因为AC2+AB2=BC2,所以AC⊥AB, 所以建立如图所示的平面直角坐标系，C(2,0),B0,2V3,40,0), 因为点P为△ABC所在平面内的一个动点，且PC=1, 5 所以P点的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆， 取AB的中点M,则MA=-MB,PA-PB=(PM+MA(PM+MB)=(PM+MAPM-MA m-r 而PM=CM+1=VCA+aM+1=22+(V3+1=V7+1, 所以(PAPB）=(V7+1-3=5+27. 8.A【详解】因为f(x)+f(x+1)=1,所以f(x+)+f(x+2)=1, 从而可得f(x+2)=f(x),所以函数是以2为周期的周期函数， 当xe[0,]时，f(x)=x2,可得0≤f(x)≤1： 当x∈[l,2]时，x-1∈[0，，由f(x)+f(x+1)=1,可得f(x)=1-f(x-), 所以f(x)=1-(x-1)2,从而可得0≤f(x)≤1， 所以，在R上有：0≤f(x)≤1， 又y=log。x(a>0,且a≠1)的定义域为(0，+∞)， 当0<a<1时，作出两函数的图象，如图， y x) 2345678x y=log x 由图可知，两函数的图象只有1个交点，不符合题意. 当a>1时，作出两函数的图象，如图， y-Ax)y=logx 01 2345678六 结合函数∫(x)的周期性可知，两函数的图象在(0,1]上没有交点；在(1,3]，(3,5]，上均有2个交点： 要使f(x)的图象与曲线y=logx(a>0,且a≠1)恰有4个交点， 由图可知，只需logn5=1,解得a=5. 9.BC【详解】由f)=2s如2x-引，最小正周期T=牙=，A错 由/停-2m2x引}-0.停0是对路中心B对 白x0引则2x-骨孕1、显然在区间[0到引单调增，c对： 由腿意2=k+→2%=+ 2 6 ,故sin2x0=± ,D错 故选：BC M 10.ABC M 【详解】令e°=hb==k,因为e>0恒成立，所以k>0, C 则有a=nk,b=e,c= 1 设fx)=e-x-1,则f'(x)=e-1, 况#与7的为) 当x>0时，f(x)=e-1>0,f(x)单调递增， (作图即可 w5少灾夜5为抄 当x<0时，f'(x)=e-1<0,f(x)单调递减， 0为M7时，有c人&b 巴m时，有<c2少 所以f(x)mm=f(0)=e°-0-1=0，即f(x)≥0恒成立， 白岁m∠2H,有a2bc 即e-x-1≥0，即e*≥x+1, 令x=k,则有e≥k+1,进而有e≥k+1>k, 令x=nk,因为k>0.所以x∈R,即ehk≥lnk+1,即k≥nk+l,进而lnk≤k-1, 因此e>k>lnk,即b>a恒成立，排除D选项， 取k-1,a=h1=-06=e=6e-l, 此时0<1<e,即a<c<b,B选项正确， 取&=克a-h06=e“>0c=05-2, b2=c,c2=4,c2>b2,所以c>b,进而有a<b<c,A选项正确， k=2,a=In2<Ine=1,6=e2>1,c=I=Ine2, 2 由上知e<2,所以n2>n,即a>c,进而c<a<b,故C正确， 11.ACD 【详解】A选项，数列2,1,2的项数是3，i=2时，4+a2=2+1=3=n, 因此数列2,1,2是“3-完美数列”，故A正确： B选项，数列项数为4，数列的每一项为1或2，i=1不合题意： 1 i=2,a1=a2=2,此时a1+a2=4（数列有4个：2,2,1,1,2,2,1,2,2,2,2,2,2,2,2,1)： i=3,a+a2+43=4(此时不可以有a,+a2=4,否则a=0), 则a,a2,4分别为1,1,2或1,2,1或2,1,1，第4项可以为1也可以为2，这样的数列共有6个， (实际上此时已经可能判定B选项错误)： i=4,即a,+a2+a+a4=4,数列只能为l,1,l,1共1个， 所以S4=11,故B错误： C选项，以1为首项的“n-完美数列'，4，=1，存在正整数i(2≤i≤n), 使得a,+a2+..+a,=n,则a2+4+…+a,=n-1, 即存在正整数i(1≤i≤n-1),使得a+1+a+2+…+a+=n-1, 所以数列a2,a,…,an（共n-1项)是“(n-1)-完美数列”，共有S1个，故C正确； D选项，数列{an}是“n-完美数列'， 则存在正整数i(1≤i≤n),使得a+a2+..+a,=n, 若a=l,则C选项知，个数为S1, 若a=2,则a2+..+a,=n-2, 显然这里i≤n-1(否则若i=n,a2+a3+…+a,≥n-1), 因此对数列a,a,…,an-1（共n-2项)， 存在正整数1≤i≤n-2),使得a1+a2+…+a+=n-2, 即数列a2,43,…,an1是“(n-2)-完美数列”， 而an有两种取法：1或2，因此共有2Sn2个， 所以Sn=Sn1+2Sn2,故D正确. 12.65 【详解】已知à=(2,1)，故2à=(4,2)，结合b=(L,),可得：2à-b=(4-1,2-2)=(3,2-) 由a⊥(2a-b)得：a:(2a-b)=0, 代入坐标计算：2×3+1×(2-2)=0，即8-=0，解得元=8. 此时6=4,8)，得：1b卡VP+82=V65 13.55 22 【详解】因为&∈ 所以sina>0,cosa>0,从而sina+cosa>0, (sina+cos a)=sinacoa+2sinacosasin23 22 所以sina+cosa= 3√6 V2-2 所以sina+4 sin a cos- 4 42(na+cosa)=2x6-25 2242 14.[0,+oo) 【详解】m≥sinx-x对xe[0,+oo)恒成立， 令f(x)=sinx-x,x∈[0，+oo),f'(x)=cosx-1≤0， 所以f(x)在[0，+o)上单调递减，且f(0)=0,所以f(x)≤0， 所以m∈[0，+o) 15.【详解】(1)由0=a,+n n+1 得=1， n n+l n 又4=2，所以数列 是首项为2，公差为1的等差数列， 1 n 所以a=2+(n-)=n+1, 故an=n2+n 111 (2)证明：由(1)知， an nn+l' 8一 女好g店】 17布入 16【详1因为m-y.i=(@s4s,且m/a,则mB=屁.示人|一3 所以sin Asin B=√5 sin BcosA,又B∈(0，元)，则sinB≠0，所以sinA=V3cosA, 则mA=5,又4eQ,所以4=子一4 2 又a8c的面积为25，所以c血4=25，得到hc=8.一（ 没写邦 又a-25,在c中，由余致定县82-5+c-2a子-6f-3张，一b'CpW中化 所以(b+c)2=12+24=36,解得b+c=6,所以△ABC的周长为23+6. 才拉吻 9 ②因为点D为C的p点，则0-+，一一1 所以4丽-+26.aC+ac)e+6e+6),一☑ 由知c=8,+e=20.所以丽-20+8列-=7，故-万.一/水 1.【群解11)由思应钓f)-1x>0小，——一2 ①当a≤0时，f'(x)>0,所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，无递减区间， ②当a>0时，0<x<合可得f(>0,心。（国0， 必】a(夜) 所以e在0)上单调递，在仁o上单调滋藏 獭物。 综上，当a≤0时，f(x)在(0，+o)上单调递增，无递减区间 四同弃周 (2)因为f(x)有最大值，且最大值大于0， 故a>0,且f)在x=处取最大值/日)： 2 f8)-a-1>0,即<-1,解得0<a<一 e 因此a的取值范围是 e 18.【详解】(1)已知sinB+sinC=2 sin AcosB 由正弦定理得b+c=2 acos B, 又由余弦定理cosB=a+c2-B 2ac 代入得b+c=2a. a2+c2-b2 →bc+c2=a2+c2-b2, 2ac 即a2-b2=bc (2)由(1)知，a2-b2=bc,即(a+bab)=bc,又2c=a+b, 3b 所以2c(a-b)=bc→2a=3b→a= ,所以2c=a+b= 5b、5b →C= 2 4 962+2562-b 在aABC中，由余弦定理得cos∠ABC=+C2-_4+i6 3 2ac ×3b5b—= 2 24 (3)由题意得AB=c=3,代入a2-b2=bc得a2-b2=3b→a2=b2+3b 在△BCD中，BD=1,∠CBD=π-∠ABC, 1 由余弦定理得CD=BC2+BD-2.BC,BD·cOS∠CBD 即CD2=a2+12-2a(-cos∠ABC)=a2+1+2acos∠ABC 金8C水，余滋理带wc.一什 2ac 6a 所以CD2=d+1+2a.d+9-B=B+36+1++36+9-=2+4h+4=(6+2y, 6a 3 因此CD=b+2,所以CD-CA=(b+2)-b=2, 7 即CD-CA为定值2. 7 所以0-0又：f0=h2.线过点-h2 且斜率为0，则所求切线方程为y= -ln2. 2》由题知季数定义发为aUa网，一【已 42-0八1(x>0且x≠a),令f'(x)=0,→（2x-a八x-2a= 或x=2a, 由a>0,→0<g<a<2a, 2 则由f)>0,可得0<x<号或x>2a,由/)<0，可得号<x<a或a<<a, uwga.ag-]小a一》 哦制》 (3)由2)得，当a>0时，f在(0）(2a+o)上华词谎塔，在a20)上单词递减 当0<a≤)时，2a≤l,则f(x)在(，+o)上单调递增，一 101 而/0=ha+20司20可1品。号与意不体，合去：一(2/ a1a1 当<a≤1时，2a>1,则()在(L,2a)上单调递减，在(2a+o)上单润递增， 一B/ wo=o片分.2e.e号a1 2 当a>1时，x=a在(，+o)上，但f(x)在x=a处无定义，舍去.、 综上所述，a的取值范围是 1