精品解析：北京市第五十五中学2026-2027学年上学期九年级期中考试数学试卷

北京市第五十五中学2026-2027学年度第一学期 期中调研试卷 初三海洋数学 本试卷共5页，共100分，调研时长120分钟 第一部分（选择题 共24分） 一、单项选择（每题3分，共24分） 1. 下列各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系内，点P（-3，2）关于原点的对称点Q的坐标为（ ） A. （2，－3） B. （3，2） C. （3，－2） D. （－3，－2） 3. 有下列说法：过圆心的线段是直径；圆的对称轴一定经过圆心；直径是圆中最长的弦；平分弦的直径垂直于弦．其中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝59°，则∠C等于（ ） A. 29° B. 31° C. 59° D. 62° 5. 二次函数的图象如图所示，下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点在反比例函数图象上，过点作轴于点，若的面积为1，则此反比例函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 7. 一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为，则这个圆锥底面圆的半径为（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 8. 计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：若圆半径为1，当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d（x）．下列描述正确的是（　　） A. B. 当时， C. 当时， D. 当时， 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 的直径为，若圆心与直线的距离为，则与的位置关系是______（填“相交”、“相切”或“相离”）． 10. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和，若，则的值为________． 11. 在平面直角坐标系中，点和点在反比例函数的图象上．若，写出一个满足条件的的值________． 12. 如图，的半径为10，为弦，，垂足为，如果，那么的长是___________． 13. 如图，在中，，，，两等圆、外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为_____． 14. 如图，，，分别与相切于点，，三点．若，则的周长为_____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，与轴相切于点，与轴交于，两点，则点的坐标是__________． 16. 如图，的直径弦CD于点F，，，点为上一动点，直线AE于点..，连接OP，点在上运动的过程中，线段OP长的最大值为__________． 三、解答题（共60分） 17. 解方程和不等式 （1）； （2）； （3）； （4）若，解关于的不等式． 18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，函数的图像与直线交于点． （1）求m，k的值； （2）已知点是x轴上一动点，过点P作平行于y轴的直线，交直线于点M，交函数的图像于点N．若，结合图像，直接写出a的取值范围． 19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两个实数根之积为，求的值． 20. 如图，是的直径，弦于点E，G是上任意一点，连接，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 如图，某学校计划围一个矩形花园，矩形花园的一边靠墙（墙的最大可用长度为），另三边用篱笆围成，中间隔有一道篱笆，已知篱笆总长为．当边的长为多少时，矩形花园面积最大，最大面积是多少？ 22. 如图，是的直径，是的切线，为延长线上一点，延长交于点，，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示） （2）已知和是抛物线上的两点，若对于，，都有，求的取值范围． 24. 关于，的方程组有两组解，，求证为定值． 25. 对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第五十五中学2026-2027学年度第一学期 期中调研试卷 初三海洋数学 本试卷共5页，共100分，调研时长120分钟 第一部分（选择题 共24分） 一、单项选择（每题3分，共24分） 1. 下列各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，“如果一个图形绕某点旋转，和自身能够完全重合，那么这个图形叫中心对称图形”，据此即可求解． 【详解】解：各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，是中心对称图形的是 故选：C． 2. 在平面直角坐标系内，点P（-3，2）关于原点的对称点Q的坐标为（ ） A. （2，－3） B. （3，2） C. （3，－2） D. （－3，－2） 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于原点对称的横纵坐标分别与原坐标互为相反数，问题可解. 【详解】解：P（-3，2）关于原点对称的点的坐标为P′（3，-2）． 故选C． 考点：关于原点对称的点的坐标． 3. 有下列说法：过圆心的线段是直径；圆的对称轴一定经过圆心；直径是圆中最长的弦；平分弦的直径垂直于弦．其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本概念，垂径定理的推论，根据直径，对称轴，弦的关系，垂径定理的应用逐一分析即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：过圆心的弦是直径，原说法错误，不符合题意； 圆的对称轴一定经过圆心，原说法正确，符合题意； 直径是圆中最长的弦，原说法正确，符合题意； 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意； ∴正确的是， 故选：． 4. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝59°，则∠C等于（ ） A. 29° B. 31° C. 59° D. 62° 【答案】B 【解析】 【详解】∵AB是O的直径， ∴∠ADB=90°， ∵∠ABD=59°， ∴∠A=90°−∠ABD=31°， ∴∠C=∠A=31° 故选B. 5. 二次函数的图象如图所示，下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，根据函数图象可以判断a、b、c的正负情况，从而可以解答本题． 【详解】解：由函数图象，可得： A、函数开口向上，则，选项不符合题意； B、对称轴在y轴右侧，则，选项符合题意； C、图象与y轴交点在y轴正半轴，则，选项不符合题意； D、图象与x轴有两个交点，则，选项不符合题意； 故选：B． 6. 已知点在反比例函数图象上，过点作轴于点，若的面积为1，则此反比例函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，求反比例函数解析式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设反比例函数解析式为，根据反比例函数中的几何意义即可得到答案． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 由题意得：， ， 反比例函数图象位于第一、三象限， ， ， 反比例函数解析式为， 故选： A． 7. 一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为，则这个圆锥底面圆的半径为（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．解题的关键就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解． 圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长，利用此关系列方程求解． 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为 ， ∵ 圆锥底面圆的周长为 ，且扇形弧长为 ， ∴， 解得 ． 故选B． 8. 计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：若圆半径为1，当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d（x）．下列描述正确的是（　　） A. B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知，利用图象判断即可． 【详解】解：如图，当时， 当时，； A、，本选项不符合题意； B、当时，，本选项不符合题意； C、当时，与可能相等，可能不等，本选项不符合题意； D、当时，，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了圆知识的应用，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 的直径为，若圆心与直线的距离为，则与的位置关系是______（填“相交”、“相切”或“相离”）． 【答案】相切 【解析】 【分析】此题重点考查直线与圆的位置关系，由的直径为，求得的半径为，而圆心与直线的距离为，则圆心与直线的距离等于的半径，所以与相切，于是得到问题的答案． 【详解】解：的直径为，， 的半径为， 圆心与直线的距离为， 圆心与直线的距离等于的半径， 与相切， 故答案为：相切． 10. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和，若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，先将点和代入函数解析式得出，，结合题意可得，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点和， ∴，， 又∵， ∴， 即； 即的值为． 故答案为：． 11. 在平面直角坐标系中，点和点在反比例函数的图象上．若，写出一个满足条件的的值________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据随的增大而增大，可得，进而即可求解． 【详解】解：∵点和点在反比例函数的图象上．，， ∴随的增大而增大，则函数图象位于第二、四象限， ∴， ∴（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 12. 如图，的半径为10，为弦，，垂足为，如果，那么的长是___________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，垂径定理．连接，先由勾股定理求出，再根据垂径定理即可求解． 【详解】解：连接， ∵的半径为10， ∴， ∵， ∴在中，， ∵为弦，，是半径， ∴． 故答案为∶16． 13. 如图，在中，，，，两等圆、外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查不规则图形的面积计算，根据题意可知阴影部分的面积为圆心角为的扇形的面积，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴阴影部分的面积等于圆心角为90°的扇形的面积． ∵，，， ∴根据勾股定理得：， ∴扇形的半径为5． ∴阴影部分的面积=． 故答案为：． 14. 如图，，，分别与相切于点，，三点．若，则的周长为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．根据的周长为：，结合，，，代换计算即可． 【详解】解：直线、、分别与相切于点、、，， ，，， 的周长为：， 故答案为：5． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，与轴相切于点，与轴交于，两点，则点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，坐标与图形，正确作出辅助线是解题的关键． 过点作于，连接，由点的坐标可得，，进而由垂径定理得，即得，又根据切线的性质可得四边形是矩形，即得，，得到，利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：过点作于，连接，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵与轴相切于点， ∴轴， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 16. 如图，的直径弦CD于点F，，，点为上一动点，直线AE于点..，连接OP，点在上运动的过程中，线段OP长的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，过点作于点，如图，利用勾股定理先计算出，再计算出，根据垂径定理得到，接着利用直角三角形斜边上的中线性质得到，然后利用勾股定理得到，最后利用三角形三边的关系得到，所以的最大值为． 【详解】解：连接、，过点作于点，如图， ， ， 在中，，， ， 在中，， ，， ， ， ， ， 在中，， （当且仅当、、共线时取等号）， 的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形性质，等腰三角形三线合一，三角形三边关系定理，圆半径相等，掌握相关知识是解决问题的关键． 三、解答题（共60分） 17. 解方程和不等式 （1）； （2）； （3）； （4）若，解关于的不等式． 【答案】（1）， （2）， （3） （4）当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为或 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可； （3）先移项得，根据二次根式有意义的条件和非负性得到，再给方程两边平方，整理得到，进而利用因式分解解方程即可，注意舍去不符合条件的根； （4）设，则该抛物线的开口向上，令，解得，，则抛物线与轴的交点坐标为，，分为，，三种情况，分别利用二次函数的图象与性质求解即可． 【小问1详解】 解：原方程化为 ∴或 ∴，； 【小问2详解】 解：这里，， ∴， ∴ ∴，； 【小问3详解】 解：移项，得 ∴且，则 方程两边平方，得 整理，得，即 解得，， ∵不满足题意，舍去， ∴； 【小问4详解】 解：设， ∵， ∴该抛物线的开口向上， 令，则， ∴，解得，， ∴抛物线与轴的交点坐标为，， ∴当即时，当或时，，即； 当即时，当时，，即； 当即时，当或时，，即， 综上，当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为或． 18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，函数的图像与直线交于点． （1）求m，k的值； （2）已知点是x轴上一动点，过点P作平行于y轴的直线，交直线于点M，交函数的图像于点N．若，结合图像，直接写出a的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入，求出，那么，再将Q的坐标代入，即可求出k的值； （2）当时，点M在点N的上方，根据函数的图像与直线交于点，结合图像即可得出a的取值范围． 【小问1详解】 解：∵直线经过点， ∴， ∴． ∵函数经过点， ∴； 【小问2详解】 解：如图， ∵函数的图像与直线交于点， 又∵点是x轴上一动点，过点P作平行于y轴的直线，交直线于点M，交函数的图像于点N， ∴当时，． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求反比例函数的解析式，函数图像上点的坐标特征，利用数形结合是解本题的关键． 19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两个实数根之积为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据判别式与根的个数的关系，列不等式，求解即可； （2）根据根与系数的关系可得两根之积，结合题干列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理，得， 解得； 【小问2详解】 解：设方程的两根为、， 由根与系数的关系可得， 根据题意可得， 整理，得， 解得， ∵， ∴的值为． 20. 如图，是的直径，弦于点E，G是上任意一点，连接，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：，是圆的直径， ， ； （2）6 【解析】 【分析】（1）利用垂径定理可得，即可解答； （2）连接，根据勾股定理求出，然后利用垂径定理求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 如图，某学校计划围一个矩形花园，矩形花园的一边靠墙（墙的最大可用长度为），另三边用篱笆围成，中间隔有一道篱笆，已知篱笆总长为．当边的长为多少时，矩形花园面积最大，最大面积是多少？ 【答案】边的长为时，矩形花园面积最大，最大面积是 【解析】 【分析】设，矩形花园面积为，则，由矩形的边长可列不等式组求出x的取值范围；根据题意和矩形的面积公式可得出y与x的函数关系式，然后根据二次函数的性质可得结论． 【详解】解：设，矩形花园面积为，则， ∵墙的最大可用长度为 ∴且， 解得， 根据题意，得， ∵， 该函数对应的抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值，最大值为， 答：边的长为时，矩形花园面积最大，最大面积是． 22. 如图，是的直径，是的切线，为延长线上一点，延长交于点，，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明：连接， 是的直径，是的切线， ， ， ，， ， ， ， 四边形中，， ， ， 是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质得，根据四边形的内角和是及，，可得，进而即可证明结论； （2）根据证明，得，根据勾股定理求出，进而根据勾股定理建立方程即可求得的半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 中，， 在中，， 即， 解得， 即的半径为． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示） （2）已知和是抛物线上的两点，若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）通过配方将一般式化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）分和两种情况，根据开口方向，利用点到对称轴的距离与纵坐标大小的关系列不等式，求解得到的取值范围 ． 【小问1详解】 解：   ∴抛物线的顶点坐标为 ； 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴为直线， 点的横坐标， ∴到对称轴的距离为 ， ∵点满足 ， ∴ ， 当时，抛物线开口向上，点离对称轴越远，纵坐标越大， 要使对所有 都有，则到对称轴的距离不小于到对称轴距离的最大值， ∴ ， ∵， 所∴， 解得，符合条件； 当时，抛物线开口向下，点离对称轴越近，纵坐标越大， 要使对所有 都有，则到对称轴的距离不大于到对称轴距离的最小值， ∴ ， ∴， ∴ ， 解得， 结合得 ，符合条件 综上，的取值范围是  或 ． 24. 关于，的方程组有两组解，，求证为定值． 【答案】 证明：将代入， 整理得， 由根与系数的关系，得 ，， ∵ ，， ∴ ，， 则 ， 将与代入上式： 分子为， 分母为 ， ∴ 原式， 故为定值． 【解析】 【分析】因为方程组有两组解，所以将方程代入方程，消去得到关于的一元二次方程．因为方程组有两组解，所以该一元二次方程有两个不同的实根，利用根与系数的关系得到和的表达式．因为，，所以将中的用和表示，化简该式．将根与系数的关系得到的​和​代入化简后的式子，消去，得到定值． 【详解】略 25. 对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】先化简原不等式为二次不等式形式，再按二次项系数的正负分类讨论当时，二次函数的最小值，令最小值大于0，求解得的范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 设，需满足当时，恒成立， （1）当时，， ∵， ∴，不符合题意； （2）当时，二次函数开口向上，对称轴为直线， ①若，即：当时，随的增大而增大，在处取得最小值，最小值为， 令，解得， 结合，得， ②若，即：函数在顶点处取得最小值，最小值为， 令， ∵， ∴， 因式分解得， ∵，， ∴，即，与矛盾，此情况无解； ③若，即： 当时，随的增大而减小，在处取得最小值，最小值为， 令，解得，与矛盾，此情况无解； （3）当时，二次函数开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴， ∴， ∴当时，随的增大而减小， 当时取得最小值，最小值为， ∵， ∴，不符合题意； 综上所述，实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $