精品解析：甘肃天水市第一中学、第三中学2026-2027学年高二上学期期中质量检测数学试题

2026-2027学年普通高中高二上学期期中质量检测 数 学 一．选择题（本题有8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1. 过点 、 的直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】直线斜率为. 2. 已知直线和直线互相平行，则实数的值为（ ） A. 或3 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】直线和直线互相平行， 则，解得， 故实数的值为. 3. 已知空间向量，且，则在上的投影向量为（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设在上的投影向量为， 则， 因为，，， . 4. 已知空间向量，，，，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，因为，所以与的夹角为. 5. 如图，三棱锥中，，，点为的中点，记，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 6. 若直线恒过定点，则点关于直线对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出定点，再由点关于直线对称求解即可． 【详解】由得，，则，得， 得定点， 设点关于直线对称的点的坐标为， 则，解得， 故所求对称的点的坐标为． 7. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知圆，点和点，为圆上的动点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点，求得，其中，结合即可求解. 【详解】设点，由圆，点和点，为圆上的动点，可得 ，其中， 易知点在圆外，点在圆内，如图所示， 可得， 当且仅当为的延长线与圆的交点时，取得等号， 所以的最大值为. 8. 已知圆与圆交于，两点，则四边形的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】将两圆方程作差求相交弦方程，再应用弦心距、半径与弦长关系，利用两点间距离公式，进而求得四边形的面积. 【详解】圆的方程配方得，因此圆心，半径； 圆的方程配方得，因此圆心，半径. 由两点间距离公式得. 将两圆方程相减，消去二次项得到公共弦所在直线方程，即. 点到直线的距离， 因此弦长的一半为，即. 四边形可拆分为以为公共底的两个三角形和， 点到直线的距离， 因此总面积. 二．多选题（本题有3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中至少有一个符合要求，全部选对得6分部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 下列说法正确的是（　　） A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是18 B. 直线（为参数）必过第四象限 C. 过两点的直线方程为 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为和 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，令，解得，令，解得， 则该直线与两坐标轴围成的三角形面积，A错误； 对于B，直线可化为， 由，解得，即该直线过定点，故其必过第四象限，B正确； 对于C，当这两个点的横坐标或纵坐标相等时，两点式方程的分母就是0，此时直线不能用两点式表示，故C错误； 对于D，当直线过原点时，设其方程为，将点代入，解得，直线方程为； 当直线不过原点时，设其方程为，将点代入，解得，直线方程为， 综上，所求直线方程为和，故D正确. 10. 已知直线与圆相交于，两点，则（ ） A. 的斜截式为 B. 圆的半径为 C. 圆心在直线上 D. 直线截圆的弦长为 【答案】BD 【解析】 【详解】对A，由，所以直线的斜截式为.故A错误； 对B，由得圆的圆心为，半径.故B正确； 对C，因为，即圆心不在直线上.故C错误； 对D，圆心到直线的距离为， 所以弦长.故D正确. 11. 在直三棱柱中，是的中点，，，，为侧面（含边界）上一点，平面，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 直线与直线所成角的余弦值是 C. 点到平面的距离是 D. 线段的长的最大值是2 【答案】CD 【解析】 【分析】先以为原点建立空间直角坐标系，求出各个点的坐标，求出平面的一个法向量的坐标，对于A，求出的坐标，计算即可判断对错；对于B，分别求出与的坐标，利用向量的夹角即可求出两直线的夹角；对于C，求出的坐标，利用点面距的向量公式即可求解；对于D，根据点的位置，设出点的坐标，求出的坐标，利用平面，将线段的长度表示为关于的函数，即可求解最大值. 【详解】在直三棱柱中，， 所以以为原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 因为，，所以， 所以，，， ，，， ， 则，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，得，，即， 对于A，因为， 因为， 所以与平面不平行，故A错误； 对于B，，， 所以直线与直线所成角的余弦值为： ，故B错误； 对于C，， 所以点到平面的距离为： ，故C正确； 对于D，因为为侧面（含边界）上一点， 所以设，，， 则， 因为平面，且平面， 则，即， 得， 则，即， 则线段的长为 对于函数，， 开口向上，对称轴为直线， 所以当时， ， 当时， ， 所以线段的长的最大值是，故D正确. 三．填空题（本题有3个小题，共15分.） 12. 已知直线：，则直线的一个方向向量为_______． 【答案】（答案不唯一，所有与共线的非零向量均正确，如等）． 【解析】 【详解】因为直线：的斜率， 所以它的一个方向向量可以取. 13. 设点，，直线关于直线对称的直线与圆：有公共点，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用对称性转化：直线关于对称后的直线与圆有公共点，等价于直线与圆关于直线的对称圆有公共点；先求出圆的对称圆，再写出直线的方程，利用圆心到直线距离小于等于半径列不等式求解即可. 【详解】圆：，圆心，半径，直线的斜率. 设关于直线的对称点. 由，解得，即，半径. 因为，直线方程为，即. 直线和圆有公共点，所以圆心到直线的距离. 即.整理得，解得或. 所以实数的取值范围是. 14. 已知正方体的棱长为，有一个圆柱以为轴，使得正方体均在圆柱内部，则该圆柱体积的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】要使正方体在以为轴的圆柱内部，所以圆柱的高为，只有底面半径最小时，体积最小，用向量的方法计算所有顶点（除）到轴​的距离，并取最大值为圆柱的底面半径，从而可得圆柱的体积的最小值. 【详解】要使正方体在以体对角线为轴的圆柱内部， 所以正方体的所有顶点（除）到轴​的距离都不超过圆柱底面半径，圆柱的高为， 要让圆柱体积最小，需取为正方体所有顶点到的最大距离. 以点为原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，如图： 则，所以， 由正方体的对称性，四点到对角线的距离相等，两点到对角线的距离相等， ①，，所以到体对角线的距离为， 则. 所以四点到对角线的距离为. ②，，所以点到对角线的距离为， 则. 所以两点到对角线的距离为. 综上，，因此正方体的所有顶点（除）到轴​的距离为. 因此圆柱的底面半径最小值为， 所以圆柱的最小体积. 因此该圆柱体积的最小值为. 四．解答题（本题有5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 将一张长为2宽为1的矩形纸片置于平面直角坐标系中，其中． （1）若直线与均过点B，且，分别求出与的直线斜截式方程． （2）将矩形纸片折叠，使O点落在线段上，记为点，记折痕所在直线为l，其斜率为k，求k的取值范围． 【答案】（1）的斜截式方程为，的斜截式方程为 （2）的取值范围为 【解析】 【分析】（1）根据是长为2宽为1的矩形求出点坐标，因为，所以，. （2）根据已知条件得直线l为线段的垂直平分线. 【小问1详解】 因为是长为2宽为1的矩形，且， 所以，，因为，所以，， 即，， 直线的方程为，故直线的斜截式方程为； 直线的方程为，故直线的斜截式方程为. 【小问2详解】 根据题意可得直线l为线段的垂直平分线， 因为在线段上，所以， 当时，，此时； 当时，，故，此时，所以， 综上，. 16. 已知定点，点为圆：上的动点，为线段的中点，若点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程. （2）已知圆：，判断圆与曲线的位置关系；如果相交求公共弦长. 【答案】（1） 曲线E的方程为； （2） 圆与曲线E相交，公共弦长为。 【解析】 【分析】（1）通过中点坐标建立动点M与圆上点Q的坐标对应关系，代入已知圆的方程化简得到M的轨迹方程； （2）先将两圆方程化为标准形式，通过圆心距与两半径的数量关系判断位置关系，再通过两圆一般式作差得到公共弦所在直线，结合点到直线距离公式与弦长公式计算公共弦长. 【小问1详解】 设动点，圆上的动点， 因为M为线段的中点，且，可得 ， 得 ， 由于点Q在圆上，代入得 ， 化简整理得  ，所以曲线E的方程为. 【小问2详解】 由得   ，因此圆的圆心为，半径， 由（1）可知，曲线E是圆心为，半径的圆， 两圆圆心距为  ， ，，由于，因此圆与曲线E的位置关系为相交，  ， 将两圆的一般式方程相减，得到公共弦所在直线的方程为  ， 圆心到公共弦所在直线的距离为 ， 所以公共弦长 . 17. 如图，，，为圆锥的三条母线，且． （1）证明：； （2）若为圆锥底面圆的直径，且圆锥侧面积为，（体积为，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：取中点M，连接，，如图所示： 因为，所以， 又因为，，，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为M是中点，所以． （2）． 【解析】 【分析】（1）通过证明平面，可得，结合M是中点，可完成证明； （2）另设中点，故为底面圆的圆心，以为坐标原点，，，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，算出平面与平面的法向量，结合空间向量知识可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为为直径，可另设中点，故为底面圆的圆心，且平面， 由（1）知，所以以为坐标原点，，，分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系 ． 因为圆锥侧面积为，体积为，设圆锥底面圆半径为，母线长为， 则有，又，解得，， 故，，，， 故，，， 设为平面的法向量，则， 令，则，，所以， 设为平面的法向量，则， 令，则，，所以， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 如图，在四棱锥中，，底面是正方形，，为的中点． （1）求证：； （2）求点到平面的距离 【答案】（1） 以为原点，分别以、、的方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系. 由，底面为正方形，得，，，，. 为中点，故. ，，. ，故； ，故. 又，、平面，由线面垂直的判定定理，平面. （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，. 设平面的法向量，故即， 故，， 点到平面的距离. 19. 如图，在几何体中，已知菱形边长为4，，，，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求点到直线的距离； （3）在线段上是否存在点，使直线与平面夹角为？若存在，求的值；不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：中，因，则得， 同理可得，又，平面，则平面； 又为菱形， 则可以为原点，为轴，为轴，作平行于的直线为轴，如图建系： 则，，，， 则，，， 设为平面的法向量， 则,故可取， 则 故平面 ； （2） （3）存在 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直判定定理证明、、两两垂直，以为原点， 、、分别为、、轴，建立空间直角坐标系，利用线面垂直的空间向量证法可得答案； （2）利用空间向量中点到直线的距离公式，代入点和直线的方向向量计算； （3）设在上的参数，写出的方向向量，结合平面的法向量，利用线面夹角公式列方程求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， ∴点到直线距离. 【小问3详解】 假设线段上存在点，设，， 则 由（1）已得平面的法向量为， ∵直线与平面夹角为 ∴， 解得，， ∴存在符合题意，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年普通高中高二上学期期中质量检测 数 学 一．选择题（本题有8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1. 过点 、 的直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线和直线互相平行，则实数的值为（ ） A. 或3 B. 3 C. D. 3. 已知空间向量，且，则在上的投影向量为（     ） A. B. C. D. 4. 已知空间向量，，，，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，三棱锥中，，，点为的中点，记，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若直线恒过定点，则点关于直线对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知圆，点和点，为圆上的动点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆与圆交于，两点，则四边形的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 二．多选题（本题有3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中至少有一个符合要求，全部选对得6分部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 下列说法正确的是（　　） A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是18 B. 直线（为参数）必过第四象限 C. 过两点的直线方程为 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为和 10. 已知直线与圆相交于，两点，则（ ） A. 的斜截式为 B. 圆的半径为 C. 圆心在直线上 D. 直线截圆的弦长为 11. 在直三棱柱中，是的中点，，，，为侧面（含边界）上一点，平面，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 直线与直线所成角的余弦值是 C. 点到平面的距离是 D. 线段的长的最大值是2 三．填空题（本题有3个小题，共15分.） 12. 已知直线：，则直线的一个方向向量为_______． 13. 设点，，直线关于直线对称的直线与圆：有公共点，则实数的取值范围是________. 14. 已知正方体的棱长为，有一个圆柱以为轴，使得正方体均在圆柱内部，则该圆柱体积的最小值为________． 四．解答题（本题有5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 将一张长为2宽为1的矩形纸片置于平面直角坐标系中，其中． （1）若直线与均过点B，且，分别求出与的直线斜截式方程． （2）将矩形纸片折叠，使O点落在线段上，记为点，记折痕所在直线为l，其斜率为k，求k的取值范围． 16. 已知定点，点为圆：上的动点，为线段的中点，若点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程. （2）已知圆：，判断圆与曲线的位置关系；如果相交求公共弦长. 17. 如图，，，为圆锥的三条母线，且． （1）证明：； （2）若为圆锥底面圆的直径，且圆锥侧面积为，（体积为，求平面与平面的夹角的余弦值． 18. 如图，在四棱锥中，，底面是正方形，，为的中点． （1）求证：； （2）求点到平面的距离 19. 如图，在几何体中，已知菱形边长为4，，，，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求点到直线的距离； （3）在线段上是否存在点，使直线与平面夹角为？若存在，求的值；不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $