4.3 四分位数和箱线图 知识清单 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

2026—2027学年　苏科版　九年级数学（上册）　第四章　数据的集中趋势和离散程度
4.3　四分位数和箱线图
班级＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿＿＿＿　得分＿＿＿＿＿＿

使用说明　求四分位数之前先排序，位置由数据的个数算出，不能凭眼睛把数据切成四段。箱线图上只有五个数，读得出集中与分散，读不出平均数和人数。

一、中位数管不到的地方

中位数把排好的数据分成前后两半，但只说了一件事：正中间那个数是多少。两批数据的中位数完全一样，中间那些人是挤在一起还是散得很开，两头各拖出去多远，中位数一个字也交代不了。

九年级两个班各 11 名同学参加一分钟跳绳测试。甲班成绩从小到大是 148、149、150、151、152、152、153、154、155、156、156，中位数 152 个；乙班是 96、110、128、140、148、152、168、180、190、200、208，中位数也是 152 个。两个班的中位数一模一样，可甲班所有人都在 148 到 156 之间，乙班从 96 一直铺到 208，差了 112 个。

换成平均数也不解决问题。乙班有 4 个人跳到 180 个以上，平均数被拉到 156.4 个，比中位数多出 4.4 个，可这个数说明不了班里大多数人的水平落在哪一段。要看清内部的分层，得在中间多切几刀。

切三刀最省事：把排好的数据分成四段，每段各占四分之一。三个刀口上的数就是四分位数，它们分别回答三个问题——最低的那四分之一人最多到多少，中间那个人是多少，最高的那四分之一人从多少起步。

二、把有序数据分成四段

把一组数据从小到大排好，用三个分点把它分成个数大致相等的四段，这三个分点上的数叫做这组数据的四分位数。第一个分点叫下四分位数，记作 Q1，也叫第一四分位数，它是 25% 分位数 m25；第二个分点是中位数，记作 Q2，即 m50；第三个分点叫上四分位数，记作 Q3，也叫第三四分位数，即 m75。

分点的位置由数据的个数决定。n 个数据排好后，下四分位数的位置是 n 的四分之一，中位数的位置是 n 的一半，上四分位数的位置是 n 的四分之三，即

，　，　

算出来的位置常常不是整数，于是有两条规则：位置算得整数 a，就取第 a 个与第 a＋1 个数据的平均数；位置不是整数，就取它整数部分加 1 所对应的那个数据。三个位置都用这两条规则，只是位置各不相同。

规则为什么这样定，看 n＝10 就明白：位置是 2.5，取第 2 个数据，不超过它的只有 2 个，占 20%，不足四分之一；取第 3 个，连同它自己在内有 3 个不超过它，占 30%，越过了四分之一。两条规则选的都是“让至少有四分之一的数据不超过这个数”的那一个，位置恰是整数时，分界线正好落在第 a 个与第 a＋1 个之间，所以取这两个数的平均数。

有的资料换一种说法：先求中位数，再以它为界把数据分成两半，各取一半的中位数当下、上四分位数。数据个数是 4 的倍数时，两种做法算出的结果相同；个数不是 4 的倍数时，两种做法可能相差一个数。这里统一按位置算，前后各题的规则一致，便于对照。

还有一点容易忽略：四分位数依附于“这一组数据”。个数一变，位置全部重算，哪怕新数据只是在末尾添了一个、在开头去掉了一个，三个四分位数都可能挪位。

三、四分位距

上四分位数与下四分位数之差叫做四分位距，记作 IQR：

IQR＝Q3－Q1

Q1 到 Q3 这一段里装的正好是中间 50% 的数据，所以四分位距描述的是“中间那一半人”的跨度。IQR 小，说明中间一半人挨得紧；IQR 大，说明中间一半人拉得开。它的单位与原数据相同，仍然是多少个、多少分、多少度。

与极差比，四分位距稳得多。极差是最大值减最小值，两个端点里只要有一个是异常的大数或小数，极差立刻跟着变形；四分位距两端各扔掉了 25% 的数据，少数几个特别大或特别小的值动不了它。一批数据里混进一个记错的数，极差会翻几倍，四分位距几乎不动。

两个量不要混：极差量的是全部数据从头到尾有多长，四分位距量的是中间一半有多宽；IQR 也不能除以 4 当作“每一段的长度”，四段只是个数上大致相等，跨度并不相等。

中位数和四分位距配成一对来用最合适：中位数说中间在哪，四分位距说中间那一半有多宽。只说中位数，等于只知道队伍的中段站在哪，不知道中段排得有多长。

四、箱线图

把一组数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值这五个数合起来，叫做这组数据的五数概括。把这五个数标到同一条数轴上，就画出了箱线图。

画法分五步：①把数据从小到大排好，求出五数；②画一条竖直数轴，按最大值与最小值定出范围，均匀标上刻度；③在数轴上找出五个数对应的位置，各用一条短横线标出；④以下四分位数为下边界、上四分位数为上边界画一个矩形，再在矩形里中位数的高度画一条横线；⑤从矩形上边的中点向上画线段到最大值，从下边的中点向下画线段到最小值。

画出来的矩形叫箱体，箱体的下边界是 Q1、上边界是 Q3，箱内那条横线是中位数；上下两段线段叫须，上须连着最大值，下须连着最小值。箱体的长度就是四分位距，两条须的端点之间隔开的是极差。

图1 是按上面五步画出来的一张箱线图。看的时候先找箱体，再找箱内的横线，最后看上下两条须各有多长。

图1　一组数据的箱线图：箱体、箱内横线与上下两段须

几十个数据排成一列，很难看出门道；把五数摆到同一条数轴上，中间在哪、中间挤不挤、两头各拖多长，位置关系一目了然。几组数据画在一起时，谁的中位数高、谁的箱体长，不必逐个数去比。

五、读图与比较

一张箱线图上能读出的有：五个数本身；箱体的长度，即四分位距；两条须的端点之间隔开的距离，即极差；中位线在箱体里的位置，偏上还是偏下；几组数据画在一起时，各自的高低与宽窄。

读不出的也不少：平均数、众数、数据的个数，以及每一个数据的具体值。箱线图只记下了五个位置，中间那些数据怎么分布，图上没有画。箱体短也不能理解成“所有数据都集中”，它只说明中间 50% 挨得紧，两头有没有拖远的数，要看须。

比较两组数据看三处：中位线谁高，比的是整体水平；箱体谁短，比的是中间 50% 谁更集中；须谁长、须的端点谁更远，比的是整体跨度与极端值。

这三处未必同向。一组数据可能中间很整齐、两头却各有一个很远的数，画出来箱体短、须很长；另一组可能中间拉得开、两头收得住，画出来箱体长、须短。只报其中一处就说谁好谁差，结论容易片面。

中位线偏在箱体的一侧也有说法。偏下，说明 Q1 到中位数这一段短、中位数到 Q3 那一段长，数据在上半段拉得更开；偏上则相反。箱体被中位线分成两段，两段的相对长短就是这个意思。