4.4数据的离散程度2导学案2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“数据的离散程度（2）——分组的合理性”，核心知识点为组内离差平方和的概念及以其最小为标准的最优两组分组。课堂导入通过回顾平均数、离差平方和旧知，结合鸢尾花散点图实例，引导学生思考分组标准，搭建从离散程度刻画到合理分组的知识支架。 该导学案以自主探究为主线，通过文创分组典例分析和计算机算法流程图阅读，培养学生有序枚举与准确计算能力，发展数据意识与推理能力。分层练习结合投篮、身高分组等实际案例，兼顾不同水平学生，体现用数学语言解决现实问题的应用意识，助力数据分析素养提升。

4.4 数据的离散程度（2） —分组的合理性 学业质量要求： 1. 理解组内离差平方和的概念.掌握以组内离差平方和最小作为两组数据合理分组的标准. 2. 会计算分组后的组内离差平方和.能够枚举分割点完成两组最优分组.读懂分组算法流程图. 3. 经历数据分组探究过程.感受数据分析思想.发展数据分析素养.体会计算机算法在大数据处理中的价值. 学习重点： 理解组内离差平方和的含义.运用组内离差平方和最小的标准完成最优两组分组. 学习难点： 有序枚举所有分割情况.准确计算组内离差平方和.读懂分组算法流程图. 学习过程： 一、回顾旧知.铺垫新知 我们已经学习了平均数、离差平方和.离差平方和可以刻画一组数据的离散程度.在解决问题时.为了更好地描述数据的分布特征.我们常对数据进行分组． 观察鸢尾花散点图.同品种花的数据分布比较集中.异品种花的数据分布比较分散. 思考：如何对数据分组更加合理？分组的标准是什么？ 二、自主探究.新知建构 1. 概念学习 整组数据比较分散.感觉整组数据的离差平方和是比较大的；分为三组后.各组内的数据比较集中.各组内的离差平方和会变小. 一般地.有n个数据x1.x2.x3.….xn.如果把这些数据分成两组.前m个数据为第一组.后(n－m)个数据为第二组.记为x1.x2.xm的平均数,为的平均数,那么这些数据分组后各组的离差平方和为： 第一组的离差平方和:= ; 第二组的离差平方和:= . 44数据的离散程度 称为 离差平方和． 研究表明,当达到 时,分组较合理,可以将“组内离差平方和达到 ”作为数据的分组标准． 要点解读： ①分组前一般先将全部数据从小到大排序,再依次选取分割点； ②组内离差平方和越小,代表各组内部数据越集中,分组效果越好. 2. 思考探究 请比较分组之后.各组的离差平方和总和与整组数据的离差平方和的大小关系. 3. 典例分析 例 在学校“国风·文化”主题体验日活动中,某班级计划把6种不同进价的传统文创分成两组,对同组文创采取相同的定价,以方便在义卖中销售． 品种 书签 香包 剪纸 毛笔 折扇 木梳 进价/元 5.5 7.5 6.5 8.0 9.5 9.0 请按进价的组内离差平方和最小的标准将这6种文创分成两组． 思路分析:第一步,将数据从小到大排序；第二步,枚举全部分割情况,分别计算每组对应的组内离差平方和；第三步,对比结果,选取组内离差平方和最小的分组方案. 解：先将6个数据按从小到大的顺序排列： 5.5,6.5,7.5,8.0,9.0,9.5 然后.将这些数据依次分为两组.共有五种情况.计算各组离差平方和.可以得到下面的结果： 分类情况 组内离差平方和 第一组 1 个，第二组 5 个 5.7 第一组 2 个，第二组 4 个 第一组 3 个，第二组 3 个 3.17 第一组 4 个，第二组 2 个 3.81 第一组 5 个，第二组 1 个 7.3 (补全解题过程） 4.阅读拓展（书P158)：大数据最优两组分组计算机算法 流程图核心步骤： 1. 输入数据,从小到大排序； 2. 依次取前i个数为第一组,剩余数为第二组； 3. 分别计算两组平均数、离差平方和,得到组内离差平方和； 4. 列举全部分割情况,对比所有,找到最小值对应的分组并输出. 变式：若给定 8 个有序数据进行两组最优划分.一共有______种不同的分割方式. 三、学以致用.当堂巩固 某篮球兴趣小组有6名组员，他们一分钟定点投篮的平均投中个数如下表．现要把这些组员根据平均投中个数的多少分成两组开展训练，请给出合理的分组方案，并说明理由． 组员序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 平均投中个数/个 8 7 3 4 5 3 四、梳理归纳.素养提升 1. 根据本节课所学知识.自主完善知识框架： 2. 课堂反思 ①进行两组最优分组时.为什么需要先对数据排序？ ②组内离差平方和的大小反映了分组怎样的效果？ ③如果数据总量很大.手工计算有什么局限.可以如何解决？ ①参考：最优分组的分割点只能出现在相邻大小的数据之间.如果不排序，大小混杂，枚举分割点会产生大量无意义的分组，无法找到真正最优分组；排序后只需要在相邻数据的间隙枚举分割点，减少无效计算. ②参考：组内离差平方和越小，说明每一组内部的数据波动越小、数据越集中，分组效果越好；组内离差平方和越大，说明组内数据离散程度大，分组效果差. ③参考：局限：分割点数量多，枚举、求平均数、计算离差平方和计算量大，手工计算耗时久，容易出现计算错误. 解决办法：借助计算机编写算法程序，自动完成排序、枚举分割点、计算、筛选最优分组. 五、分层落实.拓展延伸 1．关于“组内离差平方和最小”原则.下列说法正确的是（ ） A．只需让某一组的离差平方和最小即可 B．是所有组的组内离差平方和之和最小 C．分组后每组数据必须完全相同 D．与数据的集中程度无关 2．现有数据：6.9.12.15.18.21．若将其分为2组：第一组.第二组.则组内离差平方和为 ． 3．某校舞蹈队共10名学生.测量并获取了所有学生的身高（单位：）.数据整理如下：161.162.162.163.166.168.168.168.169.169． (1)上述数据中.中位数为__________.众数为__________． (2)通常组内学生身高越整齐则认为该组舞台呈现效果越好.按照“组内离差平方和最小”的方法.将学生按身高分为两组．嘉嘉和琪琪的分组方法如下： 嘉嘉的分组方法： 甲组学生的身高：161.162.162.163.166； 乙组学生的身高：168.168.168.169.169． 琪琪的分组方法： 甲组学生的身高：161.162.162.163； 乙组学生的身高：166.168.168.168.169.169． 请通过计算.比较嘉嘉和琪琪谁的分组方法更好． 分层落实.拓展延伸参考答案 1.【答案】B 【知识点】组内离差平方和最小原则 【详解】解：“组内离差平方和最小” 原则.指分组后所有组的组内离差平方和之和最小. A 错误.不是某一组最小；C 错误.分组后每组数据不需要完全相同；D 错误.和数据集中程度有关.故选 B. 2.数据：第一组 {6.9.12}.第二组 {15.18.21} 第一组平均数 第一组离差平方和： 第二组平均数 第二组离差平方和： 总和： 【答案】36 3.原始数据排序：161.162.162.163.166.168.168.168.169.169 (1) 一共 10 个数据.中位数为第 5、第 6 个数平均数：=167 众数：出现次数最多的是 168 【答案】中位数.众数 (2)【知识点】组内离差平方和分组好坏判断：两组组内离差平方总和越小.分组越好 嘉嘉分组 甲组：161.162.162.163.166 = 甲组离差平方和： 乙组：168.168.168.169.169 乙组离差平方和： =0.48+0.72=1.2 嘉嘉总和：14.8+1.2= 琪琪分组 甲组：161.162.162.163 =162 甲组离差平方和： =1+0+0+1=2 乙组：166.168.168.168.169.169 =168 乙组离差平方和： =4+0+2=6 琪琪总和： ∵8<16.琪琪分组的组内离差平方总和更小 ∴琪琪的分组方法更好 学科网（北京）股份有限公司 $