2.1 反比例函数的概念知识清单 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

九年级数学　课堂学习清单

 

2.1　反比例函数的概念

2026—2027学年　苏科版　九年级数学（上册）　第二章　反比例函数

班级＿＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿＿　得分＿＿＿＿

　使用说明　 配合九年级上册第 2 章第 1 节使用。判断题要写出理由，求表达式的题把设、代、解写完整。答案在最后。

一、从乘积一定说起

先看三个例子。

一块长方形纸片面积是 24 cm2，设长为 x cm、宽为 y cm，由 xy＝24 得 y＝；甲、乙两地相距 120 km，汽车速度为 v、所花时间为 t，由 vt＝120 得 t＝；60 名学生做操排成 a 行，每行 n 人，由 an＝60 得 n＝。

三个式子的结构一样：两个变量的乘积是一个不变的数，写成函数时，分子是不含自变量的常数，分母是自变量。一个量扩大到原来的几倍，另一个量就缩小到原来的几分之一。

正比例函数 y＝kx 里不变的是比值 y÷x，一次函数 y＝kx＋b 里 y 是 x 的若干倍再加一个常数，上面三例不变的是乘积。看一个关系是不是反比例函数，先弄清不变的是乘积还是比值：把 xy＝12 写成 y＝12x，就是把乘积一定当成了比值一定。

二、定义、写法与自变量

定义　一般地，形如 y＝（k 为常数，k≠0）的函数叫作反比例函数，其中 x 是自变量，k 叫作比例系数。也说 y 与 x 成反比例。

k≠0 和 x≠0 都要有理由：k＝0 时 y＝0，y 不随 x 变化；x＝0 时式子没有意义。又因为 k≠0，y 也取不到 0。

同一个关系可以写成三种样子，做题时哪一种方便就用哪一种：

y＝，xy＝k，y＝kx－1（k≠0）。

第三种里的 x－1 就是 ，所以写成一个式子时要看的是：能不能写成「不含 x 的非零常数」除以 x。x 只出现在分母里，分母除 x 之外最多再带一个常数系数，不能再有加减项，也不能把 x 换成 x2。k 可以是正数、负数，也可以是分数。

说「y 与 x 成反比例」，说的是两个量之间的关系；说「y 是 x 的反比例函数」，还指明了把 x 看作自变量。写表达式前要交代清楚谁作自变量，同一个实际关系换一个量作自变量，结论可能就不同。

自变量取值范围分两层看。只看解析式，x 可以取 0 以外的一切实数；放到实际问题里还要按题意收紧：长度、时间、单价取正数，人数、本数取整数，题目给了上下界也要写上。例如把 2400 册书平均分给 x 个班，每班 y 册，y＝，这里 x 得是正整数，只写「x≠0」不够。

三、判断一个式子是不是反比例函数

判断时只看一件事：能不能通过恒等变形把它写成 y＝（k≠0）。三种写法是等价的：x≠0 时，由 xy＝k 两边同除以 x 得 y＝；反过来，y＝ 两边同乘 x 得 xy＝k；y＝kx－1 只是把 写成 x－1。所以拿到一个式子，先把它往这三种样子上整理。

下面几个式子容易混：

xy＝8 可以化成 y＝，是；y＝ 已经是标准形式，是；y＝ 的分母虽带常数 3，却能写成 ·，也就是常数 除以 x，仍然是反比例函数。

y＝＋2 多了常数项，化不成；y＝ 的分母是 x2，不是 x 的一次；y＝ 的分母含常数项，变形也消不掉；y＝ 是正比例函数，比值一定而不是乘积一定。这四个都不是。

另外，式子里含字母时还要查两件事：指数是不是凑成 －1，系数是不是不为 0，两个条件缺一不可。

四、求表达式：待定系数法

反比例函数只有一个待定系数 k，一组 x 与 y 的对应值就能把它定下来；一次函数需要两组值，这里一组就够。先设 y＝（k≠0），把已知的一组值代进去解出 k，再写回表达式。因为 k＝xy，也可以直接把那组值相乘求出 k。

要是题目没说成反比例，只给了几组对应值，要先算各组的 xy：每组乘积都相等，才能设 y＝；有一组对不上，就不能按反比例函数处理。

求出表达式以后，常接着问「x 取某值时 y 是多少」或「y 取某值时 x 是多少」。前者直接代入，后者相当于解一个关于 x 的一元一次方程，解出后检验 x≠0。

五、例题

例 1　下列各式中，y 是 x 的反比例函数的是哪些？说明理由。

A．y＝　　B．xy＋1＝6　　C．y＝5x－1

D．y＝　　E．y＝　　F．y＝

解　A、B、D、E 是。A 已是标准形式，k＝8；B 由 xy＝5 得 y＝，k＝5；D 可写成 ·，k＝；E 的 k＝－4。

C 是一次函数；F 的分子含 x，化成 y＝1＋ 后多出常数项，化不成 y＝。

讲评　A、B、D、E 的 k 分别是 8、5、、－4：比例系数不一定是整数，也不一定是正数。

例 2　一个圆锥的体积是 100 cm3。

（1）设底面积为 S、高为 h，写出 h 与 S 的关系式，判断 h 是不是 S 的反比例函数；

（2）设底面半径为 r，由 S＝πr2 写出 h 与 r 的关系式，判断 h 是不是 r 的反比例函数。

解　（1）由 Sh＝100 得 Sh＝300，h＝。分子 300 是不含 S 的常数，分母就是 S，所以 h 是 S 的反比例函数，比例系数是 300。

（2）把 S＝πr2 代入，得 h＝。常数 π 可以提到分子去，但分母里 r 是二次，化不成「常数除以 r」，所以 h 不是 r 的反比例函数。同一个圆锥，换一个量作自变量，结论就变了。