山西省太原市2026-2027学年第一学期高二年级期中学业诊断数学试卷

2026—2027学年第一学期阶段学业诊断高二数学参考答案与解析 一．单项选择题：1—4ADAB 5—8BDCA 二．多项选择题：9．AC 10．ABD 11．ACD 三．填空题：12． 13． 14． 四．解答题 15．（13分） （1）由，得的中点为，且．因为垂直平分线与垂直，所以垂直平分线的斜率． 4分 又它经过点，由点斜式得边的垂直平分线所在直线的方程为，化为一般式得． 6分 （2）由（1）知边的垂直平分线为．设的中点为，由，得，且，所以，边的垂直平分线的斜率为，其方程为，即． 9分 联立与，解得，． 所以，得外接圆的圆心为． 11分 又，所以，的外接圆的方程为． 13分 16．（15分） （1），． 故． 4分 ． 故． 7分 （2），，． 9分 ．故． 11分 ，故． 13分 又，，平面，所以，平面． 15分 17．（15分） （1）证明：取的中点，连接，．因为为的重心，所以，在上，且．又因为在棱上，且，所以，．从而有． 2分 又平面，平面，所以，平面． 5分 （2）取上靠近点的三等分点，连接，，则，计算可得，从而有，．又由平面平面，平面平面，平面，所以，平面．又由平面，可知． 7分 以为原点，以为轴，为轴，为轴建立如图所示空间直角坐标系． 由题意可得，，，．平面内有两个向量，． 9分 设平面的法向量为，则． 取，得，且． 11分 设在棱上，且，．因为，， 所以，．所以，． 12分 设直线与平面所成角为，则 ． 13分 若，则．所以，，化简得．解得或．因为，所以，． 此时，．所以，存在点，且的长为． 15分 18．（17分） （1）由离心率为，得．又椭圆经过点，所以，．又由，得，．所以，椭圆的标准方程为． 5分 （2）①由（1）知．当直线与轴重合时，，为长轴的两个端点， ，不合题意． 7分 当直线与轴不重合时，设：，，．联立 并消去，得，其判别式，且，． 9分 所以，， 即．于是，． 11分 由得，解得，所以，直线的方程为或． 13分 ②因为，，所以，， 故． 15分 令，则，所以，， 当且仅当，即，直线：垂直于轴时取等号． 所以，面积的最大值为． 17分 19．（17分） （1）圆的方程可化为，圆的方程可化为．两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为． 2分 由题意，该直线为，故，即，且，即，整理得．故与满足（，且）． 5分 （2）由（1），取，则， 即圆：，圆心，半径． 7分 因为，且，所以圆与圆相交，符合题意．圆：与轴的交点为，．由圆的方程，知在圆外． 9分 设过的直线的方程为（为斜率，），代入，得．设，，则，，且（，）． 11分 直线过与，直线过与．设它们的交点为，则在上，满足，在上满足．两式联立消去，得． 14分 将（，）代入上式，消去（，）并整理，得 ， 15分 将，代入，化简可得， 从而，与的取值无关．因此直线与直线的交点在定直线上． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年第一学期高二年级阶段学业诊断 数学试卷 （考试时间：下午2:30—4:30） 说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分． 题号 一 二 三 四 总分 得分 一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．直线的倾斜角为 A． B． C． D． 2．椭圆的焦点坐标为 A．和 B．和 C．和 D．和 3．在空间直角坐标系中，点关于坐标平面对称的点的坐标为 A． B． C． D． 4．直线与直线之间的距离是 A． B． C． D． 5．圆关于直线轴对称的圆的方程为 A． B． C． D． 6．已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是 A． B． C． D． 7．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上，则下列结论正确的是 A．椭圆的长轴长为 B．椭圆的焦距为 C．椭圆上存在点，使得取得最大值 D．椭圆上存在点，使得 8．如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，点是正方形（含边界）内的动点，则数量积的取值范围是 A． B． C． D． 二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线：，圆：，则下列结论正确的是 A．直线恒过定点 B．不存在，使得直线与圆相切 C．若直线与圆交于，两点，则的最大值为 D．圆上到直线的距离为的点最多有个 10．已知圆：，点在直线：上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列结论正确的是 A．直线与圆相离，且切线长的最小值为 B．当取得最小值时，切点弦的方程为 C．切点弦的长度的最大值为 D．过，，三点的圆的面积的最小值为 11．对于空间向量，（），定义一种新的运算：．则下列结论正确的是 A．对任意，，都有 B．对任意，（，），都有 C．对任意，，，都有 D．若，则 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知空间向量，满足，，且，则与的夹角为________． 13．已知圆：，过点的直线与圆交于，两点，则当取得最小值时，直线的方程为________． 14．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则的面积为________． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分） 已知的三个顶点分别为，， （1）求边的垂直平分线的一般式方程； （2）求的外接圆的方程． 16．（本小题15分） 如图，在斜三棱柱中，底面满足，，侧棱，且，．记，，，为棱的中点，为棱的中点． （1）用，，表示向量，并求； （2）用向量法证明：平面． 17．（本小题15分） 如图，在四边形中，，，．将沿对角线翻折至的位置，使平面平面，如图． （1）设为棱上一点，且，为的重心，证明：平面； （2）设点为线段上的动点（包括端点），是否存在这样的点，使得直线与平面所成角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 18．（本小题17分） 已知椭圆：的离心率为，且经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）设，分别为椭圆的左、右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点． ①若，求直线的方程； ②求面积的最大值． 19．（本小题17分） 我国古代数学名著《九章算术》中蕴含着丰富的与圆的相关知识．如书中的“圆田术”给出了圆的面积的计算方法．圆作为一类重要的平面几何图形，其相关性质是解析几何的重要研究内容．已知圆：，圆：． （1）若圆与圆相交，且两圆公共弦所在的直线方程为，试求实数与所满足的关系式； （2）根据（1）所得的与的关系式，若取，并设圆与轴交于，两点，其中在的左侧．过点的一条直线与圆交于，两点，试判断直线与直线的交点是否落在一条定直线上，并证明你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 $