广西壮族自治区柳州市柳州地区民族高级中学2026-2027学年高二上学期11月期中数学试题

柳州地区民族高级中学2026—2027学年秋季学期期中考试 高二数学试题 考试范围：必修一、必修二、选择性必修一第一章至第三章3.2 考试时间120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数，则z的虚部为（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知，，且，则x的值为（ ） A． B． C． D． 4．若圆锥的表面积为，其侧面展开图为一个半圆，则下列结论正确的为（ ） A．圆锥的母线长为 B．圆锥的底面半径为 C．圆锥的体积为 D．圆锥的侧面积为 5．已知直线l过直线：和：的交点，且与平行，则直线l的方程是（ ） A． B． C． D． 6．过点引圆的切线，则切线的方程为（ ） A．或 B． C．或 D． 7．已知椭圆C：，直线l与椭圆C交于A，B两点，且点是线段的中点，则直线l的斜率为（ ） A． B． C． D． 8．设椭圆E：的右焦点为F，过坐标原点O的直线与E交于A，B两点，点C满足，若，，则E的离心率为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知圆C：，直线l：，则下列结论正确的是（ ） A．圆的半径为 B．直线恒过定点 C．当时，直线平分圆 D．当时，直线与圆相切 10．设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的动点，则下列结论正确的是（ ） A．椭圆的离心率 B． C．面积的最大值为 D．的最小值为 11．如图，在长方体中，，，动点M在体对角线（含端点）上，则下列结论正确的是（ ） A．当点为的中点时，为钝角 B．当点为的中点时，四棱锥的外接球的表面积为 C．存在点，使得平面 D．直线与平面所成角的最大正切值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若，则________． 13．已知双曲线，，分别是双曲线的左右焦点，点M在双曲线上且，则的面积是________． 14．已知点O是坐标原点，点M是圆C：上的动点，当动点P在直线上运动时，的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分）某单位有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为24，16，8，现在通过某项检查，采用分层抽样的方法从中抽取6人进行前期检查． （1）求甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取的人数和每一位员工被抽到的概率； （2）若所抽取的6人中恰有2人合格，4人不合格，现从这6人中再随机抽取2人检查，求至少有1人合格的概率． 16．（15分）如图，在中，已知． （1）求的值； （2）若D是边上一点，，，，求的长． 17．（15分）已知点，圆C的圆心在直线上，且与y轴切于点． （1）求圆C的方程； （2）设点Q在圆C上运动，求线段的中点N的轨迹方程． 18．（17分）在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）．将沿折起到的位置，使得平面平面（如图2）． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19．（17分）已知椭圆C：的离心率为，长轴为4． （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线：与椭圆交于A，B两点，求弦长； （3）点在C上，过点的直线交椭圆C于P，Q两点（异于点H），设直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 柳州地区民族高级中学2026—2027学年秋季学期期中考试 高二数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A D C B C A D ABD AC BC 12． 13． 14．12 15．（1）甲3人，乙2人，丙1人；；（2）． 【详解】（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为， 1分 由于采用分层抽样的方法从中抽取6人， 因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，1人． 3分 该企业总共有名员工， 记事件A：“任意一位被抽到”，由于每位员工被抽到的概率相等， 4分 所以每一位员工被抽到的概率为． 6分 （2）记事件B：“至少有1人合格” 记其中合格的2人的分别为a，b，不合格的4人的分别为c，d，e，f， 7分 则从6人的中随机抽取2人的所有可能结果有：，，，，，，，，，，，，，，，共15种， 9分 其中至少有1人的合格的结果有：，，，，，，，，，共9种， 11分 故至少有1人的合格的概率为． 13分 16．（1）；（2）． 【详解】（1）因为，所以， 1分 ， 2分 所以由正弦定理可知，， 4分 所以 5分 因为在中，，所以 6分 所以 8分 （2）由余弦定理可知，在中，， 10分 因为，所以， 11分 12分 由正弦定理可知，在中，， 13分 所以，所以 15分 17．（1）；（2）． 【详解】（1）设圆心坐标为， 圆C的圆心在直线上且与y轴切于点， ，解得， 3分 圆心， 4分 半径， 5分 故圆C的方程为 6分 （2）设点N的坐标为，点Q的坐标为， 7分 点，又点N为的中点，，， 9分 ， 11分 即点Q的坐标为， 12分 Q在圆C上运动，， 13分 即， 14分 点N的轨迹方程为 15分 18．【详解】（1）因为在梯形中，，，P为的中点， 所以，，所以四边形为平行四边形， 2分 因为线段与交于O点，所以O为线段的中点，所以中， 3分 因为平面，平面，所以平面 4分 （2）平行四边形中，，所以四边形是菱形，，垂足为O， 所以，， 5分 因为平面，平面，所以是二面角的平面角， 因为平面平面，所以，即 6分 可以如图建立空间直角坐标系，其中， 因为在图1菱形中，，所以，， 则，，，，，，， 7分 设平面的一个法向量为，则取，得， 8分 平面的一个法向量为， 9分 由图得二面角为锐角，设二面角为， 故， 11分 （3）假设线段上存在点Q使得与平面所成角的余弦值为，则与平面所成角的正弦值为．设， 12分 因为，，， 所以， 13分 设平面的一个法向量为， 则取，得， 14分 ， 15分 所以，因为，所以， 16分 故线段上存在点Q，且，使得与平面所成角的余弦值为． 17分 19．（1）；（2）；（3）证明如下； 【详解】（1）由题知，，又有，解得，，， 3分 所以椭圆C的标准方程为． 4分 （2）联立，消元可得， 5分 设，，则，， 6分 所以弦长 8分（公式1分） （3）由已知直线过点，且交椭圆C于P，Q两点，所以直线的斜率存在． 当直线的斜率为0时，方程为，此时P，Q两点坐标为，，又， 则 9分 当直线的斜率不为0时，由已知设直线：， 10分 设点，且与点不重合， 联立直线与椭圆C的方程，消去x，得， 整理得， 11分 则，即， 解得或，且，，………12分 则 ， 14分 代入，， 得． 16分 综上，为定值，且． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $