专题7.2 相似三角形的判定（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测） 2026-2027学年苏科版九年级数学下册

简一数理 初中专题讲义 专题7.2 相似三角形的判定 （新教材苏科版） 知识点一、相似三角形概念 2 知识点二、相似三角形的判定定理（核心） 2 知识点三、平行判定（平行线相似：A字型、8字型） 2 知识点四、直角三角形相似的特殊判定 3 知识点五、做题思路与易错点 3 【题型1 利用两角对应相等判定相似】 3 【题型2 利用两边对应成比例且夹角相等判定相似】 6 【题型3 利用平行判定相似】 8 【题型4 利用三边对应成比例判定相似】 10 【题型5 相似三角形判定综合】 12 【题型6 选择或补充条件使得三角形相似】 14 【题型7 直角三角形相似判定】 17 【探究式学习】 20 【课后检测】 29 【复盘笔记】 40 知识点一、相似三角形概念 在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于” 知识点二、相似三角形的判定定理（核心） (1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA). 如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF. (2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A＝∠D，，则△ABC∽△DEF. (3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若，则△ABC∽△DEF. 知识点三、平行判定（平行线相似：A字型、8字型） 1.A字型相似 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似． 如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC. 2.8字型相似 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB∥CD，则. 知识点四、直角三角形相似的特殊判定 1. 有一个锐角相等的两个直角三角形相似（AA）。 2. 两组直角边对应成比例，两个直角三角形相似（SAS）。 3. 斜边和一条直角边对应成比例，两个直角三角形相似（HL 相似） 知识点五、做题思路与易错点 1.解题思路 (1) 先找角：优先找两组相等角（AA，优先用）； (2) 找不到两组等角，再找边：看是否两边成比例夹角相等； (3) 三边都给长度，用三边成比例 SSS。 2.易错点 (1) 写相似时，对应顶点不能乱序，否则对应边、对应角出错； (2) SAS 相似：必须是夹角！SSA 不能判定相似； (3) 相似是边成比例，不是相等；全等是边相等； (4) 判定直角三角形 HL 相似：是斜边 + 一条直角边成比例，不是相等。 【题型1 利用两角对应相等判定相似】 【例1】如图，在中，点分别在边上，添加一个条件能使，则这个条件不可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理：三组对应边的比相等的两个三角形相似，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，有两组角对应相等的两个三角形相似，逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴，故选项不符合题意； B、∵，， ∴，故选项不符合题意； C、∵，， ∴，故选项不符合题意； D、∵，它们夹角与不一定相等， ∴与不一定相似，故选项符合题意． 【变式1-1】如图，在四边形中，，对角线与相交于点．图中与一定相似的三角形是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，利用平行线的性质得出内错角相等，结合对顶角相等，利用相似三角形的判定定理即可得出结论．也可以根据平行线直接判定相似． 【详解】∵， ∴，． ∴． 【变式1-2】如图，已知，点在上，添加下列条件中的一个：①；②；③；④，能判定的条件的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定方法一一判定即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 当时，则，故①能判定； 当时，则，故②能判定； 当，不是夹角的对应边比，不能判定，故③不能判定； ④，不能判定，故④不能判定； 综上，能判定的条件的个数为个． 【变式1-3】如图，，将沿虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意； D、这两个三角形两边成比例且夹角相等（比值均为，夹角为公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意． 【题型2 利用两边对应成比例且夹角相等判定相似】 【例2】能判定的条件是（     ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】C 【详解】解：A、仅两边对应成比例，无相等夹角，则不能判定相似； B、是，的夹角，但不是，的夹角，则不能判定相似； C、满足两边对应成比例且夹角相等，则能判定相似； D、这对应成比例的两边的夹角是，，则不能判定相似． 【变式2-1】如图，线段，交于点，连接，．添加下列一个条件后，仍无法判定与相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意有：， A项，，结合，利用两角分别对应相等，可以判定与相似，故此项不符合题意； B项，，结合，利用两角分别对应相等，可以判定与相似，故此项不符合题意； C项，，无，无法利用两边成比例且夹角相等来判定与相似，故此项符合题意； D项，，结合，利用两边成比例且夹角相等，可以判定与相似，故此项不符合题意； 故选：C． 【变式2-2】以下命题，错误的是（     ） A．底角相等的两个等腰三角形一定相似 B．有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似 C．两边之比是的两个等腰三角形一定相似 D．两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形一定相似 【答案】D 【详解】解：A、等腰三角形两底角相等，若底角对应相等，则三个内角对应相等，两三角形相似，故A正确； B、直角三角形有一个直角，若再有一个锐角对应相等，则两角对应相等，两三角形相似，故B正确； C、设等腰三角形两边长分别为和，若腰长为，底边长为，则，不满足三角形三边关系，不能构成三角形；故只能是底边长为，腰长为，此时三边比为，化简得，所有满足条件的三角形三边对应成比例，一定相似，故C正确； D、举反例：第一个等腰三角形顶角为，腰长为，腰上的高在三角形内部，由直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，得高为，高与腰的比为； 第二个等腰三角形顶角为，腰长为，腰上的高在腰的延长线上，顶角的外角为，同理得高为，高与腰的比为， 两三角形腰上的高与腰的比相等，但顶角分别为和，内角不对应相等，故不相似，故D错误． 【变式2-3】如图，点在边上，添一个条件，使，下列正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两个三角形有公共角，根据两角分别相等的两个三角形相似，只需再找一组对应角相等，即可判定． 【详解】解：在和中， （公共角）， 选项A、，根据题意不能得到为，角的对应关系错误，不能证明； 选项B、，可以证明（两角分别相等，两三角形相似）； 选项C、，化简得，即，无法证明相似； 选项D、，两边不是夹公共角的对应边，不满足两边成比例且夹角相等，不能证明相似． 【题型3 利用平行判定相似】 【例3】如图，点在的边的延长线上，连接分别交于F、G．图中相似的两个三角形共有（   ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定进行分析即可． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即，是一对特殊的相似， ∴相似的两个三角形共有6对． 【变式3-1】如图，点E是菱形的边上一点，连接并延长，交的延长线于点F．若，则的长为（   ） A．15 B．12 C．10 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由，求得，则，由菱形的性质得，则，所以，则，求得于是得到问题的答案． 【详解】解：， ， ， 四边形是菱形，点在上，点在的延长线上， ， ， ， ， ． 故选：D． 【变式3-2】如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件仍不能判定与相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴A、添加，根据“两角相等的两个三角形相似”可以得到，选项不符合题意； B、添加，得到，根据“两角相等的两个三角形相似”可以得到，选项不符合题意； C、添加，根据“两组边对应成比例及夹角相等的两个三角形相似”可以得到，选项不符合题意； D、添加，不能判定与相似，选项符合题意． 【变式3-3】如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能满足的条件有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定条件，逐一进行判断即可. 【详解】解：在和中，， 当时，根据两角相等的两个三角形相似，可以得到，故①正确； 当时，，故②不正确； 当时，根据两组对应边成比例，夹角相等的两个三角形相似，可以得到，故③正确； 当，即时，无法得到，故④不正确； 当时，根据两角相等的两个三角形相似，可以得到，故⑤正确； 故能满足的条件有3个. 【题型4 利用三边对应成比例判定相似】 【例4】如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据图形可得，，， ∴根据，可以排除AC选项； B选项中两个短边比例为，选项中的三角形（阴影部分）与相似，符合题意； D选项中两个短边比例为，选项中的三角形（阴影部分）与不相似，不符合题意． 【变式4-1】如图，每个小正方形的边长均为，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三边对应成比例的两个三角形相似，借助网格先得到各选项的三边长度，再逐一判断即可． 【详解】解：已知由短到长的三边之比为， 选项A：图中阴影三角形由短到长的三边之比为，舍去； 选项B：图中阴影三角形由短到长的三边之比为，符合题意； 选项C：图中阴影三角形由短到长的三边之比为，舍去； 选项D：图中阴影三角形由短到长的三边之比为，舍去； 故选：B． 【变式4-2】下列各组线段，能构成相似三角形的一组是（     ） A．2，3，4和4，6，7 B．3，4，5和6，8， C．2，4，5和4，9， D．，，和，， 【答案】B 【分析】根据三边成比例的两三角形相似，分别计算A、B、C、D各选项两组线段的比值，再判断是否成比例即可得答案. 【详解】解：A.∵， ∴2，3，4和4，6，7不能构成相似三角形，故A错误. B.∵， ∴3，4，5和6，8，能构成相似三角形，故B正确. C.∵, ∴2，4，5和4，9，不能构成相似三角形，故C错误. D.∵， ∴，，和，，不能构成相似三角形，故D错误. 【变式4-3】下列条件中，不能判定的是（     ） A． B． C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定规则逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：∵选项A中，符合两角分别相等的判定规则，∴A可以判定 ； ∵选项B中，符合三边成比例的判定规则，∴B可以判定； ∵选项C中，且相等角是两组比例边的夹角，符合两边成比例且夹角相等的判定规则，∴C可以判定； ∵选项D中，相等的角不是这两组成比例的边的夹角，不满足相似三角形的判定规则，∴D不能判定． 【题型5 相似三角形判定综合】 【例5】如图，点是边上一点，连接．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、由，，故A能判定，不符合题意； B、，，故B能判定，不符合题意； C、，但不一定等于，故C不能判定，符合题意； D、， ，故D能判定，不符合题意； 故选：C． 【变式5-1】如图，已知：在和中，，，，，若使，嘉嘉和琪琪分别添加如下条件，“嘉嘉：”，“琪琪：”，以下说法正确的是（     ） A．嘉嘉对、琪琪错 B．嘉嘉错，琪琪对 C．嘉嘉和琪琪都对 D．嘉嘉和琪琪都错 【答案】C 【分析】利用相似的判定方法进行判断即可． 【详解】解：当时， ，，，， ， ， ； 当时， ，，，， ， ， ， ， ； 故两人的说法都正确． 【变式5-2】下列各组图形中，不一定相似的是（   ） A．两个等腰直角三角形 B．两个顶角相等的等腰三角形 C．有两个内角对应相等的两个三角形 D．有两条边对应成比例的两个直角三角形 【答案】D 【分析】直角三角形中两条边对应成比例但未明确对应关系时，不一定相似. 【详解】解：A. 两个等腰直角三角形的内角均为，，，对应角相等，一定相似； B. 两个顶角相等的等腰三角形, 底角也对应相等, 三个内角对应相等, 一定相似； C. 有两个内角对应相等的两个三角形, 第三个内角也相等, 即三个内角对应相等，一定相似； D. 有两条边对应成比例的两个直角三角形, 若成比例的边对应类型不同(如一个是两条直角边, 另一个是一条直角边与斜边), 则不满足相似判定条件, 不一定相似. 【变式5-3】下列说法错误的是（     ） A．任意两个菱形不一定相似 B．两边及第三边的中线对应成比例的两个三角形相似 C．若线段，点是线段的黄金分割点且，则 D．顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形必是矩形 【答案】D 【分析】根据相似图形判定、三角形相似判定、黄金分割计算和中点四边形性质，逐一判断选项即可得到错误结论． 【详解】解：∵对于选项A，菱形的对应边一定成比例，但对应内角不一定相等， ∴任意两个菱形不一定相似，A说法正确，不符合题意； ∵对于选项B，延长第三边的中线构造全等三角形，可推得两个三角形三边对应成比例，可证明两个三角形相似， ∴B说法正确，不符合题意； ∵对于选项C，当时，黄金分割满足，代入得， ∴C说法正确，不符合题意； ∵对于选项D，根据三角形中位线定理，顺次连接四边形四边中点所得四边形的边长等于原四边形对角线长度的一半， ∴原四边形对角线相等时，所得四边形四边相等，是菱形但不一定是矩形，D说法错误，符合题意． 【题型6 选择或补充条件使得三角形相似】 【例6】如图，不能判定和相似的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对顶角相等可得，结合相似三角形的判定定理逐项分析即可． 【详解】解：与是对顶角， ． 对于A，由得， 此时已知，但这组角不是，与，的夹角， 无法判定和相似，故选项A符合题意； 对于B，，且， 可判定，故选项B不符合题意； 对于C，， ， 又， 可判定，故选项C不符合题意； 对于D，，且, 可判定，故选项D不符合题意． 【变式6-1】如图，在中，为边上一点，下列给出的条件不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定方法逐项分析判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ， 故选项不符合题意； ∵，， ∴， ∵， ， 故选项不符合题意； ，， ， 故选项不符合题意； 添加条件，没有夹角的条件，无法证明， 故选项符合题意． 【变式6-2】如图，是的边上一点，连接，下列条件中，能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知两个三角形有一组公共角，若要使两个三角形相似，只需夹这组公共角的两边对应成比例即可． 【详解】解：∵， ∴要证明需要满足， ∴，故C符合题意； A、B、D中的条件结合现有条件无法证明． 【变式6-3】如图所示，有下列条件：，，，，，其中能使的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【详解】解：， ∴； ， ∴，即， ∵， ∴； ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ， ∴； ， ∴，无法得到， 所以一共有4个． 【题型7 直角三角形相似判定】 【例7】下列说法正确的是（     ） A．两个直角三角形相似 B．两个等腰三角形相似 C．两个等腰直角三角形相似 D．有一个角是的两个等腰三角形相似 【答案】C 【分析】根据相似三角形对应角相等的要求，逐一判断各选项即可得出结论． 【详解】解：A、两个直角三角形只有一组直角相等，其余两个锐角不一定对应相等， ∴两个直角三角形不一定相似，故A错误； B、两个等腰三角形的顶角、底角不一定对应相等， ∴两个等腰三角形不一定相似，故B错误； C、所有等腰直角三角形的三个角都为，，，对应角都相等， ∴两个等腰直角三角形相似，故C正确； D、有一个角是的等腰三角形，可以是顶角也可以是底角，两个三角形的内角不一定对应相等， ∴不一定相似，故D错误． 【变式7-1】对于相似形，小明提出以下命题： 邻边之比为的两个平行四边形是相似形； 有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似； 两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形一定相似； 有两边及第三边上的中线对应成比例的两三角形相似； 两边对应成比例的两个直角三角形一定相似； 其中，正确的个数有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，判断各命题的正确性：错误，因相似平行四边形需对应角相等且对应边成比例，仅邻边比相等不足以保证；正确，直角三角形一锐角相等则三角对应相等，故相似；错误，两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形不一定相似；正确，两边及第三边中线对应成比例可推导出第三边成比例，故三边成比例相似；正确，直角三角形两边对应成比例则第三边也成比例，故三边成比例相似，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵邻边之比为的两个平行四边形对应角不一定相等， ∴错误； ∵两个直角三角形有一个锐角相等，则另一个锐角也相等（直角均为）， ∴两角对应相等的两个三角形相似，故正确； 设等腰三角形的顶角为，腰长为，腰上高为，则， 条件意味着两个三角形的顶角正弦值相等，则顶角可能相等或互补，当顶角互补且不相等时，三角形不相似， ∴错误； ∵有两边及第三边上的中线对应成比例的两三角形相似 ∴正确； ∵直角三角形两边对应成比例，则第三边可由勾股定理推导出成比例， ∴三边对应成比例， ∴正确； ∴正确个数为， 故选：． 【变式7-2】如图，是直角三角形斜边上的中线，交的延长线于点E． (1)证明： (2)若，求 【答案】(1) 解：∵是斜边中线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，直角三角形性质； （1）先证明，再证明进而证明相似即可； （2）由相似得出，进而求出，设，则，根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴  ， ∵  ， ∴， ∴， 设，则，   由勾股定理  ， ∴， ∴． 【变式7-3】如图，在中，于点，且．求证：是直角三角形． 【答案】 证明：∵， ∴ ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴是直角三角形． 【分析】本题主要考查了垂直的定义、相似三角形的判定与性质等知识点，证得是解题的关键． 由垂直的定义可得，再证明，再根据相似三角形的性质可得即可证明结论． 【详解】略 【探究式学习】 1．综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． 【问题解决】 (1)如图3，在四边形中，，，．求：与的位置关系为： ； 【方法应用】 (2)如图4，在中，．将绕点逆时针旋转至，点恰好落在上，求证：四边形是双等四边形． (3)如图5，在等腰三角形中，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明：为旋转得到， ， 令，则，， ， 由旋转得，， 又， ∴， ， ， ， 四边形为双等四边形； (3)或或 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，从而可得； （2）根据双等四边形的定义进行证明即可． （3）分，或，或，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：略． （3）解：作于点， ，， ，， 设，则： ， 在中，，即， 解得：， ，， 若，时，； 若，时， ， 作于点， ∴， ， ， 若，时，如图， ， ， ， ， ． 综上所述：满足条件时，或或． 2．综合与实践 问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：在中，，，为的或边上一点，为直线右侧一点，且，将绕点逆时针旋转得到，、对应点分别为、，直线经过点． (1)初步探究 如图1，当时， ①若点在边上，则的度数为_____； ②若点为边的中点，点为下方一点，过点作交于点，则线段与线段的数量关系是_____； (2)类比探究 如图2，当，为边的中点，为内部一点时，过点作交直线于点，写出线段与线段的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用 当，，在三角形内部时，将绕点在平面内自由旋转．若以、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出的长． 【答案】(1)①；②； (2) 解：，理由如下： 如图，过点C作于点G， 根据旋转性质有：，，，， 即：， ∴， ∵， ∴， ∵点为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在等腰中，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴； (3)或 【分析】（1）①点在边上，根据旋转的性质有：，即可作答；②结合旋转的性质证明，得出，再证明，即可作答； （2）过点C作于点G，结合旋转的性质，利用“”先证明，再求出，根据的角度，利用三角形函数，即可作答； （3）分情况讨论，第一种情况：此时以、、、为顶点的四边形为平行四边形，连接交于点L，连接交于点T，、交于点J，过点A作于点S，过点D作于点H，先证明平行四边形是菱形，再根据对应边成比例且其夹角相等证明，即可求出，；利用两个对应角相等证明，即可求出、，再利用相似可得，此时问题可结；第二种情况，如图，此时以、、、为顶点的四边形为平行四边形，过点O作于点K，先证明是等边三角形，根据，可求出角的度数，结合直角三角形中的特殊角即可求解． 【详解】（1）解：①点在边上，如图， ∵中，，， ∴， 根据旋转性质有：， ∴， ②根据旋转性质有：，，， 即：， ∵， ∴， ∵点为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴在等腰中，； ∴； （2）略 （3）第一种情况，如图，此时以、、、为顶点的四边形为平行四边形，即，，连接交于点L，连接交于点T，、交于点J，过点A作于点S，过点D作于点H， ∵，，， ∴是等腰直角三角形， 即：，， ∵在中，，， ∴是等边三角形，即， 又∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形，即， ∴、互相垂直平分，即，， ∴，即， 根据旋转的性质有：， ∴，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在等腰中，， ∴， ∴在中，， 即， ∵在等腰中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，， ∵在平行四边形中，， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 第二种情况，如图，此时以、、、为顶点的四边形为平行四边形，过点O作于点K， 同第一种情况可得：是等边三角形，平行四边形是菱形， ∴， ∵根据旋转的性质有：， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴在中，，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上：的长为：或． 【点睛】本题是一道压轴题，主要考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，三角函数，相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质等知识，问题难点集中在第三问，合理构造辅助线，灵活运用相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【课后检测】 1．能判定的条件是（     ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键． 【详解】解：选项A：有对应边成比例，缺少条件成比例的两对应边的夹角相等，即，不符合题意； 选项B：有对应边成比例，且角相等的条件为夹角，正确，符合题意； 选项C：边成比例但不是对应边，角是同一个三角形内的角相等，错误，不符合题意； 选项D：对应边成比例，但角不是给出成比例对应边的夹角，错误，不符合题意． 故选：B ． 2．已知如图，则下列4个三角形中，与相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，再根据相似三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A选项中的等腰三角形的顶角为，与不相等，故二者不相似，不符合题意； B选项中的三角形为等边三角形，而不是等边三角形，故二者不相似，不符合题意； C选项中的等腰三角形的顶角为，与相等，故二者相似，符合题意； D选项中的等腰三角形的顶角为，与不相等，故二者不相似，不符合题意． 3．下列的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与相似的三角形所在的网格图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理求线段的长，相似三角形的判定方法：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，判断即可． 【详解】解：根据勾股定理，， 由题意可知：， 所以，夹直角的两边的比为， A、该三角形中无直角，故本选项不符合题意； B、该三角形中，夹直角的两边的比为，故本选项不符合题意； C、该三角形中，夹直角的两边的比为，故本选项符合题意； D、该三角形中，夹直角的两边长为和，比为，故本选项不符合题意． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴轴交于点和点，将直线绕点顺时针旋转后，所得直线与轴的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求直线与坐标轴的交点坐标，将直线绕点A顺时针旋转后，利用互余角关系证明，由相似三角形对应边成比例求出长度，结合点D在y轴负半轴，得到交点坐标． 【详解】解：当时，；当时，，解得， ，， 如图，将直线绕点顺时针旋转后得到直线与轴交于点， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 点的坐标为，故选B． 5．如图，四边形为平行四边形，则图中相似的三角形共有（     ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】由题意得出，进而得出相似三角形即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴图中相似的三角形共有3对． 6．如图，，，请你添加一个条件，使，这个条件是___________（写一个即可）． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】已知，，可得，要使，根据相似三角形的判定方法，只需再添加一组对应角相等或夹直角的两边对应成比例即可． 【详解】解：，， ， 若添加， ，， ； 若添加， ，， ； 若添加， ，， ． 7．如图所示，已知和，，，，，当______时，． 【答案】// 【详解】解：若， 则， ， 解得：． 8．如图，在中，、分别是、边上的点，，，，．求证：． 【答案】证明：∵，，，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 【分析】根据两边成比例且夹角相等证明即可． 【详解】略 9．定义：有且只有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“单邻等补四边形”， 如图1，在四边形中，，，则四边形为“单邻等补四边形”． (1)下列图形一定为单邻等补四边形的是________． A． B． C． D． 【特例探究】 (2)如图，在单邻等补四边形中，，，，，连接，求的长． 解：过D作交于点E，过D作交的延长线于点F，由题意得：________°． 易证：（________）（选择填写：、、、、） 补全求解过程…… 【归纳分析】 (3)如图，在单邻等补四边形中，，延长，交于点E，连接，若，请你求出和，之间的关系． 【灵活应用】 (4)如图，在中，，，，在射线或射线上存在一点F，当四边形为“单邻等补四边形”时，请直接写出此时的长． 【答案】(1)A (2)60；；补全求解过程见解析 (3) (4)或 【详解】（1）解：A、图中，且只有一组邻边相等，，所以四边形为“单邻等补四边形”，符合题意； B、因为四边形的所有邻边都相等，所以四边形不是“单邻等补四边形”； C、因为四边形中没有邻边相等，所以四边形不是“单邻等补四边形”； D、，， 四边形不是“单邻等补四边形”； （2）解：过D作交于点E，过D作交， 在单邻等补四边形中，，， ， ， ， ， ， ； （3）解：过D作于点G，于点F， 在单邻等补四边形中，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ，， ， ， ， ， （4）解：或．理由如下： 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 当点F在射线上时，，，， ，， ， 过点B作于点G，于点H， 由（3）知，， ， ， ， ， ， 又由（3）知，， ，， ， ， 解得， 在中，， ； 当点F在射线上时，，，， ，， ， 过点D作于点G，于点H，延长，相交于点K， 由（3）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 由（3）知，， ， 解得， ， ， ， ； 综上所述，或． 10．如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且满足，． (1)求证：； (2)若，，的面积为，求的面积． 【答案】(1)证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据两边对应成比例且夹角相等，证明两个三角形相似即可； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵的面积为， ∴． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 40 页 第 1 页 共 40 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题7.2 相似三角形的判定 （新教材苏科版） 知识点一、相似三角形概念 2 知识点二、相似三角形的判定定理（核心） 2 知识点三、平行判定（平行线相似：A字型、8字型） 2 知识点四、直角三角形相似的特殊判定 3 知识点五、做题思路与易错点 3 【题型1 利用两角对应相等判定相似】 3 【题型2 利用两边对应成比例且夹角相等判定相似】 4 【题型3 利用平行判定相似】 5 【题型4 利用三边对应成比例判定相似】 6 【题型5 相似三角形判定综合】 7 【题型6 选择或补充条件使得三角形相似】 8 【题型7 直角三角形相似判定】 9 【探究式学习】 10 【课后检测】 13 【复盘笔记】 17 知识点一、相似三角形概念 在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于” 知识点二、相似三角形的判定定理（核心） (1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA). 如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF. (2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A＝∠D，，则△ABC∽△DEF. (3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若，则△ABC∽△DEF. 知识点三、平行判定（平行线相似：A字型、8字型） 1.A字型相似 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似． 如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC. 2.8字型相似 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB∥CD，则. 知识点四、直角三角形相似的特殊判定 1. 有一个锐角相等的两个直角三角形相似（AA）。 2. 两组直角边对应成比例，两个直角三角形相似（SAS）。 3. 斜边和一条直角边对应成比例，两个直角三角形相似（HL 相似） 知识点五、做题思路与易错点 1.解题思路 (1) 先找角：优先找两组相等角（AA，优先用）； (2) 找不到两组等角，再找边：看是否两边成比例夹角相等； (3) 三边都给长度，用三边成比例 SSS。 2.易错点 (1) 写相似时，对应顶点不能乱序，否则对应边、对应角出错； (2) SAS 相似：必须是夹角！SSA 不能判定相似； (3) 相似是边成比例，不是相等；全等是边相等； (4) 判定直角三角形 HL 相似：是斜边 + 一条直角边成比例，不是相等。 【题型1 利用两角对应相等判定相似】 【例1】如图，在中，点分别在边上，添加一个条件能使，则这个条件不可以是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在四边形中，，对角线与相交于点．图中与一定相似的三角形是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，已知，点在上，添加下列条件中的一个：①；②；③；④，能判定的条件的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】如图，，将沿虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（     ） A． B． C． D． 【题型2 利用两边对应成比例且夹角相等判定相似】 【例2】能判定的条件是（     ） A． B．且 C．且 D．且 【变式2-1】如图，线段，交于点，连接，．添加下列一个条件后，仍无法判定与相似的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】以下命题，错误的是（     ） A．底角相等的两个等腰三角形一定相似 B．有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似 C．两边之比是的两个等腰三角形一定相似 D．两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形一定相似 【变式2-3】如图，点在边上，添一个条件，使，下列正确的是（   ）． A． B． C． D． 【题型3 利用平行判定相似】 【例3】如图，点在的边的延长线上，连接分别交于F、G．图中相似的两个三角形共有（   ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 【变式3-1】如图，点E是菱形的边上一点，连接并延长，交的延长线于点F．若，则的长为（   ） A．15 B．12 C．10 D．9 【变式3-2】如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件仍不能判定与相似的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能满足的条件有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【题型4 利用三边对应成比例判定相似】 【例4】如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，每个小正方形的边长均为，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】下列各组线段，能构成相似三角形的一组是（     ） A．2，3，4和4，6，7 B．3，4，5和6，8， C．2，4，5和4，9， D．，，和，， 【变式4-3】下列条件中，不能判定的是（     ） A． B． C．，且 D．，且 【题型5 相似三角形判定综合】 【例5】如图，点是边上一点，连接．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，已知：在和中，，，，，若使，嘉嘉和琪琪分别添加如下条件，“嘉嘉：”，“琪琪：”，以下说法正确的是（     ） A．嘉嘉对、琪琪错 B．嘉嘉错，琪琪对 C．嘉嘉和琪琪都对 D．嘉嘉和琪琪都错 【变式5-2】下列各组图形中，不一定相似的是（   ） A．两个等腰直角三角形 B．两个顶角相等的等腰三角形 C．有两个内角对应相等的两个三角形 D．有两条边对应成比例的两个直角三角形 【变式5-3】下列说法错误的是（     ） A．任意两个菱形不一定相似 B．两边及第三边的中线对应成比例的两个三角形相似 C．若线段，点是线段的黄金分割点且，则 D．顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形必是矩形 【题型6 选择或补充条件使得三角形相似】 【例6】如图，不能判定和相似的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，在中，为边上一点，下列给出的条件不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 【变式6-2】如图，是的边上一点，连接，下列条件中，能使的是（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图所示，有下列条件：，，，，，其中能使的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【题型7 直角三角形相似判定】 【例7】下列说法正确的是（     ） A．两个直角三角形相似 B．两个等腰三角形相似 C．两个等腰直角三角形相似 D．有一个角是的两个等腰三角形相似 【变式7-1】对于相似形，小明提出以下命题： 邻边之比为的两个平行四边形是相似形； 有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似； 两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形一定相似； 有两边及第三边上的中线对应成比例的两三角形相似； 两边对应成比例的两个直角三角形一定相似； 其中，正确的个数有（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，是直角三角形斜边上的中线，交的延长线于点E． (1)证明： (2)若，求 【变式7-3】如图，在中，于点，且．求证：是直角三角形． 【探究式学习】 1．综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． 【问题解决】 (1)如图3，在四边形中，，，．求：与的位置关系为： ； 【方法应用】 (2)如图4，在中，．将绕点逆时针旋转至，点恰好落在上，求证：四边形是双等四边形． (3)如图5，在等腰三角形中，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 2．综合与实践 问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：在中，，，为的或边上一点，为直线右侧一点，且，将绕点逆时针旋转得到，、对应点分别为、，直线经过点． (1)初步探究 如图1，当时， ①若点在边上，则的度数为_____； ②若点为边的中点，点为下方一点，过点作交于点，则线段与线段的数量关系是_____； (2)类比探究 如图2，当，为边的中点，为内部一点时，过点作交直线于点，写出线段与线段的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用 当，，在三角形内部时，将绕点在平面内自由旋转．若以、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出的长． 【课后检测】 1．能判定的条件是（     ） A． B．且 C．且 D．且 2．已知如图，则下列4个三角形中，与相似的是（     ） A． B． C． D． 3．下列的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与相似的三角形所在的网格图形是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴轴交于点和点，将直线绕点顺时针旋转后，所得直线与轴的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 5．如图，四边形为平行四边形，则图中相似的三角形共有（     ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 6．如图，，，请你添加一个条件，使，这个条件是___________（写一个即可）． 7．如图所示，已知和，，，，，当______时，． 8．如图，在中，、分别是、边上的点，，，，．求证：． 9．定义：有且只有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“单邻等补四边形”， 如图1，在四边形中，，，则四边形为“单邻等补四边形”． (1)下列图形一定为单邻等补四边形的是________． A． B． C． D． 【特例探究】 (2)如图，在单邻等补四边形中，，，，，连接，求的长． 解：过D作交于点E，过D作交的延长线于点F，由题意得：________°． 易证：（________）（选择填写：、、、、） 补全求解过程…… 【归纳分析】 (3)如图，在单邻等补四边形中，，延长，交于点E，连接，若，请你求出和，之间的关系． 【灵活应用】 (4)如图，在中，，，，在射线或射线上存在一点F，当四边形为“单邻等补四边形”时，请直接写出此时的长． 10．如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且满足，． (1)求证：； (2)若，，的面积为，求的面积． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 40 页 第 1 页 共 40 页 学科网（北京）股份有限公司 $