专题11统计和概率的简单应用同步讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年苏科版九年级数学下册

专题11统计和概率的简单应用同步讲义 【题型01 调查收集数据的过程与方法】.....................................3 【题型02 用样本百分比估计总体数量】.....................................5 【题型03 依样本频率区间预估总体数量】...................................7 【题型04 样本率与总体率的换算与估计】..................................10 【题型05 样本频数映射总体频数的策略】..................................12 【题型06 用样本平均数估计总体平均数】..................................14 【题型07 借助调查做决策】..............................................16 【题型08 统计与预测】..................................................20 【题型09 抽签合理性探究】..............................................22 【题型10 概率的估算应用】..............................................25 【解答题5题】..........................................................28 ★知识梳理 知识点01:数据收集与抽样 1. 基本概念 总体：考察对象的全体（如全校学生视力） 个体：总体中的每一个考察对象（如每个学生视力） 样本：从总体中抽取的部分个体（如抽取的 200 名学生视力） 样本容量：样本中个体的数量（无单位） 2. 抽样调查 适用：总体数量大、调查具有破坏性、耗时耗力 核心要求：代表性、随机性（样本需能反映总体特征，避免偏差） 关键结论：样本容量越大，估计总体越可靠 3. 普查与抽样对比 方式 优点 缺点 适用场景 普查 数据全面准确 耗时、费力、破坏性 总体小、无破坏性 抽样调查 省时省力、可测破坏性 存在误差 总体大、有破坏性 知识点02:数据分析与决策 1. 数据代表（集中趋势） 平均数：=x，反映平均水平，易受极端值影响 中位数：数据排序后，中间位置的数（奇数个）或中间两数平均（偶数个），不受极端值影响 众数：出现次数最多的数据，反映多数水平，可多个 2. 数据波动（离散程度） 极差：最大值−最小值，反映数据变化范围 方差： s2=[(x1−)2+(x2−)2+⋯+(xn−)2] 方差越小，数据越稳定 标准差：方差的算术平方根（s），单位与原数据一致 3. 统计图表 扇形图：表示各部分占总体百分比 条形图：直观对比各组数据大小 折线图：反映数据变化趋势 频数分布直方图：展示数据分布规律 4. 决策原则 关注数据来源可靠性、可比性 综合分析集中趋势 + 离散程度，避免单一指标决策 样本无代表性时，决策易不合理 知识点03:统计预测 1. 散点图 将两个变量的数据在平面直角坐标系中用点表示，直观判断变量关系 2. 线性拟合（回归直线） 适用：散点图中点大致在一条直线附近（线性相关） 表达式：y=kx+b（k为斜率 / 变化率，b为截距） 应用：代入自变量x，预测因变量y；仅适用于线性相关场景 知识点04:概率基础与公平性 1. 事件分类 确定事件：必然事件（P=1）、不可能事件（P=0） 随机事件：发生与否不确定，0<P<1 2. 等可能概率（古典概型） 公式：P(A)=​ 方法：列表法、树状图法（计算两步及以上随机事件概率） 3. 游戏公平性判断 核心：双方获胜概率相等则公平，否则不公平；可通过调整规则使概率相等 知识点05:概率估计与应用 1. 频率与概率关系 频率：，随机波动 概率：大量重复试验时，频率稳定在某个常数，该常数为概率（频率是概率的近似值） 2. 用频率估计概率 方法：大量重复试验→计算频率→用频率稳定值估计概率 典型模型：捉放法（标记重捕法） 公式：≈，用于估计总体数量（如鱼塘鱼数、野生动物数量） 高频易错点 1.混淆普查 / 抽样适用场景，忽视样本代表性 2.误用平均数（受极端值影响），忽略中位数 / 众数 3.混淆频率 / 概率，认为频率 = 概率 4.线性预测超出适用范围（非线性关系强行拟合） 5.等可能概率计算时，遗漏或重复计数 【题型1.调查收集数据的过程与方法】 【典例】下列数据是定量数据的有_______．（填序号） ①七年级（1）班学生的立定跳远成绩；②某地区11月份的平均降雨量；③食客对某道菜品的满意情况；④春节档某部电影大年初一当天的票房． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了定量数据和定性数据，定量数据是指可以用数值表示的数据，通常涉及测量或计数；立定跳远成绩、平均降雨量和票房都是数值型数据，而满意情况通常是分类数据，不属于定量数据． 根据定量数据和定性数据的定义逐条分析即可． 【详解】解：①立定跳远成绩是测量得到的数值，属于定量数据； ②平均降雨量是计算得到的数值，属于定量数据； ③食客对菜品的满意情况通常是用类别描述，属于定性数据，不是定量数据； ④票房是计数得到的金额数值，属于定量数据． 故答案为①②④． 【跟踪专练1】课堂上，老师设计了如下不完整的调查问卷： 你平时最喜欢的一项体育运动是（    ） A．a　　　　B．b　　　　C．c　　　　D．d　　　　E．其他 并准备在下列6个备用选项中选取四个分别作为a，b，c，d：①室外体育运动；②游泳；③跳绳；④羽毛球；⑤跑步；⑥球类运动，那么选项合理的是（    ） A．①②③④ B．①②③⑥ C．②③④⑤ D．③④⑤⑥ 【答案】C 【分析】本题考查了调查收集数据的过程与方法，根据调查问卷设置选项的不重复性，不包含性，即可解答． 【详解】解：根据体育项目的隶属包含关系，选项合理的是选取②③④⑤． 故选：C． 【跟踪专练2】小芸为了解同学们最感兴趣的在线学习方式，设计了如下的调查问题（选项不完整）：你最感兴趣的一种在线学习方式是（    ）（单选） ．．．．其他 她准备从“①在线听课，②在线讨论，③在线学习小时，④用手机在线学习，⑤在线阅读”中选取三个作为该问题的备选答案，合理的选取是_____．（填序号） 【答案】①②⑤ 【分析】根据调查问题的设计方法解答． 【详解】根据题意可知： ①在线听课，②在线讨论，⑤在线阅读， 作为该问题的备选答案合理， 故答案为：①②⑤． 【点睛】本题考查问卷调查的应用，设计调查问卷时，注意各选项不能重复且各选项的选取标准要一致． 【跟踪专练3】下面的调查适合用试验法收集数据的是（    ） A．推荐班长候选人 B．调查同学们的生日 C．你在10 s内能跑多少米 D．世界上发生“禽流感”的情况 【答案】C 【分析】实验方法适用于不易直接操作掌控情况，只有实地测量才能得出结果的统计． 【详解】解：A、可以直接调查得到数据； B、可以直接调查得到数据； C、适合实验方法，可以直接通过实验实地测量； D、可借助于报纸、信息库等资料来查阅得到； 故选：C． 【点睛】本题考查了调查收集数据的过程与方法，解答本题要理解每个选项所说的含义． 【题型2.用样本百分比估计总体数量】 【典例】图书馆作为社会核心文化基础设施，具有不可替代的社会功能和文化价值．某图书馆准备购进5000本图书，了解了某段时间内借阅的500本图书的种类，绘制成如图所示的统计图，根据图中信息，估计该图书馆购进的5000本图书种类需求最多的数量为________本． 【答案】1700 【分析】本题考查了用样本估计总体，熟练掌握用样本估计总体的方法是解题的关键．根据题意购进图书种类需求最多自然科学所占的比例为，计算即可得到答案． 【详解】解：根据表格信息可得自然科学类图书需求最多， ∴该图书馆购进图书种类需求最多的图书的数量为（本）， 故答案为：1700． 【跟踪专练1】为了估计鱼塘中鱼的总数，采用标记重捕法：首次捕捞条鱼，做上标记后放回；待鱼充分混合后，再随机捕捞100条鱼，发现其中有3条带有标记．若据此估算出塘中大约有2400条鱼，则的值是（   ） A．72 B．60 C．240 D．86 【答案】A 【分析】本题考查通过样本估计总体，利用标记鱼在总体和样本中的比例相等列方程求解即可． 【详解】解：∵标记重捕法中，标记鱼数与鱼塘总鱼数的比例等于重捕中标记鱼数与重捕鱼数的比例， ∴， 解得， 故选：A． 【跟踪专练2】某鱼塘放养鱼苗10万条，根据这几年的经验可知，鱼苗死亡率为10%．一段时间后准备打捞出售，需要估计鱼塘中鱼的总质量，于是分三次打捞称重．第一次网出40条，称得平均每条鱼重，第二次网出25条，称得平均每条鱼重，第三次捞出35条，称得平均每条鱼重．由此可推出鱼塘中的鱼的总质量大约是__________万千克（结果保留整数）． 【答案】23 【分析】此题主要考查了利用样本估计总体的思想，解题时首先求出样本平均数，然后利用样本估计总体的思想即可解决问题，正确计算是解题的关键． 根据三次打捞数据计算加权平均重量，再乘以成活鱼数得到总质量，最后换算单位并精确到万位． 【详解】解：三次打捞总重量为 kg， 总条数为 条， 平均每条鱼重 kg． 成活鱼数为 条， 总质量 kg． 换算为万千克： 万千克，精确到万位得 23 万千克． 故答案为 ：． 【跟踪专练3】下列说法正确的是（   ） A．买中奖率为的奖券100张，一定会中奖 B．“同旁内角互补”是必然事件 C．连续抛掷一枚质地均匀的硬币100次，有51次正面向上，则抛掷一枚硬币正面向上的概率为 D．某校有3000名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了200名学生，其中有80名学生表示喜欢的项目是打羽毛球，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为羽毛球的学生约有1200人 【答案】D 【分析】本题考查概率的意义、必然事件的定义及用样本估计总体的方法，需逐个分析选项判断正误． 【详解】解：选项A：中奖率为1%是指每张奖券中奖的可能性为1%，买100张奖券也有可能不中奖，A选项错误，不符合题意； 选项B：只有两直线平行时同旁内角才互补，否则同旁内角不互补，所以“同旁内角互补”是随机事件，B选项错误，不符合题意； 选项C：抛掷质地均匀的硬币，正面向上的概率是固定的，是此次试验的频率，不是概率，C选项错误，不符合题意； 选项D：用样本估计总体，该校喜欢羽毛球的学生约有人，D选项正确，符合题意； 故选：D． 【题型3.依样本频率区间预估总体数量】 【典例】某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量(单位：g)，得到的数据如下： 50.03   49.99     49.98     50.01     50.00 49.97   49.99     50.04     50.02     50.02 当一个工件的质量x(单位：g)满足 时，评定该工件为一等品．根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数是_______． 【答案】 【分析】本题考查了用样本估计总体，熟练掌握知识点是解题的关键．先计算出10个工件中为一等品的频率，再乘以总数200即可求解． 【详解】解：10个工件中为一等品的有49.99，50.01，50.00，49.99这4个， ∴这200个工件中一等品的个数为个， 故答案为：80． 【跟踪专练1】胖东来超市因其对食品质量的严格把控而广受好评，特别是售卖的鱼，会在优质水域空养十天，确保鱼的质量安全后才上市销售．为评估一批鱼的质量，超市随机抽取120条已经养殖了10天的鱼进行检测，发现108条达标，12条不达标．根据此抽样，超市估算整批（1000条）鱼中质量达标的鱼大约有（   ） A．800条 B．900条 C．960条 D．1000条 【答案】B 【分析】本题考查利用样本估计总体，用总体乘以样本中的频率，进行求解即可． 【详解】解：（条）； 故选B． 【跟踪专练2】为了解区内赋能教学实践的情况，从名九年级学生中，随机抽取名学生进行了关于辅助教学工具使用满意度的调查，调查结果如下： 满意度 不满意 一般 比较满意 满意 非常满意 频数 频率 根据统计表中的信息，估计区内九年级学生中，选择“满意”的人数是______． 【答案】人 【分析】本题考查用样本估计总体，先求得样本中选择“满意”的人数的频率，然后用样本估计总体即可．解题的关键是掌握：频率等于频数除以数据总数，各组的频率之和等于． 【详解】解：选择“不满意”的人数的频率为：， 选择“比较满意”的人数的频率为：， 选择“满意”的人数的频率为：， ∴（人）， ∴选择“满意”的人数是人． 故答案为：人． 【跟踪专练3】为了解去年半程马拉松的比赛情况，数学兴趣小组对参赛选手进行随机抽样调查．根据调查数据绘制了如下所示不完整的统计图表．则下列说法正确的是（    ） 组别 参赛者成绩 频数 4 12 12 7 A．抽样数据的样本容量是60 B．E组数据对应的扇形统计图的圆心角度数为 C．抽样数据的中位数落在组 D．抽样数据的平均值是96 【答案】C 【分析】本题考查了扇形统计图与频数分布表，从图表中获取信息是关键；根据图表中C的百分比及频数，可求得抽取的总人数，从而可判定A；由E的频数及样本数，求得其百分比，即可求得扇形统计图的圆心角，从而可判定B；根据中位数的意义可判定C；利用平均数的方法求出平均数即可判定D，最后获利问题的答案． 【详解】解：抽取的总人数为：，即样本容量为50，故选项A错误； ，故选项B错误； 由于，故中位数落在C组，故选项C正确； ， 平均数为：，故选项D错误； 故选：C． 【题型4.样本率与总体率的换算与估计】 【典例】某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下： 50.03 49.98 50.01 49.99 50.02 49.99 50.01 49.97 50.00 50.02 若这一组数据的中位数是x，则x的值为___________ ；估计这200个工件中质量超过的个数是___________ ． 【答案】 50.005 100 【详解】本题考查中位数，样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．根据中位数的定义可求出x的值；利用样本估计总体即可求解． 【解答】解：样本数据从小到大第5、6个数是50.00，50.01， ∴样本数据的中位数是50.005， ∵样本中超过50克的数据有5个， ∴估计这200个工件中质量超过的个数是， 故答案为：50.005，100． 【跟踪专练1】某区为了解初中生近视情况，对全区初中生开展视力随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率估计，最合理的选项是（    ）． 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.400 0.401 0.413 0.409 0.410 A．0.423 B．0.410 C．0.413 D．0.400 【答案】B 【分析】本题考查用频率估计概率，解题关键是掌握：当试验次数足够大时，频率会逐渐稳定在概率附近，可用稳定的频率估计概率. 【详解】解：∵在大量重复试验中，频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数可作为概率的估计值. 观察表格可知，随着累计抽测学生数增大，近视学生数与的比值逐渐稳定在. ∴对该区初中生近视概率的估计最合理的是. 【跟踪专练2】某班同学开展“50人中有2个人的生日相同”的试验活动．每个同学课外调查20个人的生日，然后从全班的调查结果中随机选取50个被调查人的生日，记录其中有无2个人的生日相同．每选取50个被调查人的生日为一次试验，经过重复多次试验，部分数据记录如下（保留两位小数）： 试验的总次数 50 100 150 200 250 … “有2个人的生日相同”的次数 45 97 144 194 242 … “有2个人的生日相同”的频率 ▲ 0.97 0.96 0.97 ▲ … 请根据上表中的数据，估计“50人中有2个人的生日相同”的概率是_______． 【答案】0.97 【分析】根据频率=频数÷总数计算出▲对应的频率，从而可以估计出“50人中有2个人的生日相同”的概率． 【详解】解： ∴随着试验次数的增加“50个人中有2个人生日相同”的频率逐渐稳定到0.97，所以估计“50个人中有2个人生日相同”的概率为0.97． 故答案为：0.97 【点睛】本题主要考查频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【跟踪专练3】2025年5月4日，贵州省榕江县“村超”超级星期六足球之夜将举行盛大的烟花秀活动．榕江县某校共有2000个学生，随机调查了200个学生，其中有20个学生将在5月4日将去“村超”现场观看烟花秀展演．在该校随机问一个学生，他在去“村超”现场的概率大约是（   ） A．0.001 B．0.01 C．0.1 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了概率，样本估计总体，根据以样本估计总体可知样本中的概率即为总体学生的概率，求出样本中去看烟花秀展演的概率即可解题． 【详解】解：随机调查了200个学生，其中有20个学生将在5月4日将去“村超”现场观看烟花秀展演， 学生去看烟花秀展演的概率为， 故选：C． 【题型5.样本频数映射总体频数的策略】 【典例】为了估计学校池塘中鱼的数量，九年级一班的同学采用如下方法：从池塘中捕上50条鱼做上标记，然后放回池塘，经过一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，再捕上50条，若其中带有标记的鱼有10条，则池塘中鱼估计有_______条． 【答案】250 【分析】根据捕上50条鱼，发现其中带标记的鱼有10条，求出有标记的鱼占的百分比，再根据共有50条鱼做上标记，即可得出答案．此题考查了用样本估计总体，关键是求出带标记的鱼占的百分比，运用了样本估计总体的思想． 【详解】解：捕上50条，其中带有标记的鱼有10条， 有标记的鱼占， 从池塘中捕上50条鱼做上标记 鱼塘中估计有（条）． 故答案为：250． 【跟踪专练1】为增强学生网络常识及安全意识，某校举行了一次全校6000名学生参加的安全知识竞赛．从中随机抽取150名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级（），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图．请据此估计全校学生中竞赛成绩低于80分的人数是（    ） A．2160 B．2640 C．3000 D．3360 【答案】B 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，用样本估计总体，用6000乘以样本中竞赛成绩低于80分的人数占比即可得到答案． 【详解】解：人， ∴估计全校学生中竞赛成绩低于80分的人数是2640， 故选：B． 【跟踪专练2】为了解某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉只，戴上识别卡并放回，经过一段时间后观察发现，只A种候鸟中有只佩有识别卡，由此估计该湿地约有______只A种候鸟． 【答案】 【分析】在样本中只A种候鸟中有只佩有识别卡，即可求得有识别卡的所占比例，而这一比例也适用于整体，据此即可解答． 【详解】解：设该湿地约有只A种候鸟， 则，解得． 答：估计该湿地约有只A种候鸟． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可． 【跟踪专练3】某市为全面落实《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，明确要求初中生每天的书面作业平均完成时间不得超过．某校随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果制成了如下不完整的统计图表．则下列说法不正确的是(    ) 作业时间频数分布表          组别 作业时间/ 频数 A 20 B 35 C m D 8 作业时间扇形统计图 A．调查的样本容量为100 B．频数分布表中m的值为37 C．若该校有1000名学生，作业完成时间超过的学生约80人 D．在扇形统计图中，B所对扇形的圆心角是 【答案】D 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，样本容量等等，用组别的人数除以其人数占比求出参与调查的人数即可判定A；再求出组别的人数即可判断B；用1000乘以样本中作业完成时间超过的学生人数占比即可判断C；用360度乘以样本中组别的人数占比即可判断D． 【详解】解；A、人，则样本容量为100，原说法正确，不符合题意； B、，原说法正确，不符合题意； C、人，则若该校有1000名学生，作业完成时间超过的学生约80人，原说法正确，不符合题意； D、在扇形统计图中，B 所对扇形的圆心角是，原说法错误，符合题意； 故选：D． 【题型6.用样本平均数估计总体平均数】 【典例】电表的计数器上先后两次读数之差，即为该段时间内的用电量．某家庭6月1日0时电表显示的读数为125度，6月7日24时电表显示的读数为167度．则预计这个家庭六月份的总用电量为________． 【答案】度 【分析】本题考查了用样本估计总体，解题关键是熟练掌握平均数的计算方法，能够用样本平均数估计总体平均数．先计算7天的电量，再进一步用样本估计总体，求出六月份的总用电量即可． 【详解】解：由题意可知，某家庭六月份前7天的电量为度， 则预计这个家庭六月份的总用电量为度， 故答案为：度． 【跟踪专练1】某学校在开展“节约每一滴水”的活动中，从九年级的500名同学中任选出10名同学汇报了各自家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下表所示，请你估计这500名同学的家庭一个月节约的水总量大约是（   ）． 节水量（单位：） 同学数（人） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用样本估计总体，涉及统计表、加权平均数的计算等知识，先根据统计表得到10名同学各自家庭一个月的节水平均值，进而估算出这500名同学的家庭一个月节约用水的总量，熟练掌握加权平均数的计算公式及用样本估计总体的方法是解决问题的关键． 【详解】解：由统计表得到10名同学各自家庭一个月的节水平均值为， 这名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是， 故选：C． 【跟踪专练2】某班开展“节约每一滴水”活动，为了解开展活动一个月以来节约用水的情况，从全班40名同学中选取8名同学统计了各自家庭一个月节约用水情况如表，从中可以估计这40名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是_________． 节水量/ 0.1 0.2 0.3 0.4 家庭数/个 1 3 3 1 【答案】/10立方米 【分析】此题考查的是根据样本估计总体．先计算这8名同学各自家庭一个月的节水量的平均数，即样本平均数，然后乘以总数40即可解答． 【详解】解：8名同学各自家庭一个月平均节约用水是： ， 因此这40名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是： ， 故答案为：． 【跟踪专练3】为了调查某小区居民的口罩使用情况，随机抽查了 10 户家庭的一周使用的口罩数，结果如表，则关于这 10 户家庭的一周使用的口罩数，下列说法错误的是（  ） 每周用的口罩数量 20 21 23 30 总数 3 4 2 1 A．方差是 5 B．众数是 21 C．极差是 10 D．中位数是 21 【答案】A 【分析】根据中位数的确定方法，将一组数据按照大小顺序排列，位于最中间的两个数的平均数或者最中间一个数就是中位数，众数的定义是在一组数中出现次数最多的就是众数，极差就是一组数据中最大数与最小数的差，运用方差公式求出这组数据的方差． 【详解】A项，这组数据的平均数为（20+20+20+21+21+21+21+23+23+30）÷10=22，方差是： ，错误； B项，根据几组数据的个数，可以确定众数为21，正确； C项，极差为：30-20=10，正确 D项，这10个数据是：20,20,20,21,21,21,21,23,23,30，所以中位数是（21+21）÷2=21，正确； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了方差、极差、中位数和众数等知识，熟记定义和公式是解决问题的关键． 【题型7.借助调查做决策】 【典例】小强家想购买一套商品房，他爸爸通过媒体查询，获得以下信息： 位置 面积 房价/万元 小强到学校 的路程 A处 82 106.6 0.5 B处 67 73.7 2 C处 73 87.6 1 D处 84 75.6 0.8 已知小强家对住房面积的要求在之间，考虑到房价及小强到学校的路程，则小强家应首选上述四处中的________处． 【答案】D 【分析】本题考查了调查收集的过程与方法．统计表可以将大量数据的分类结果清晰、一目了然地表达出来．根据四处商品房的房价及到小强学校的路程判断即可． 【详解】解：首选D处，理由如下： 由题意可知，A处离学校的路程最短，但房价最贵； B处和C处房价较低，但离学校的路程较远； D处离学校的路程较近，房价中等． 小强家应该首选D处， 故答案为：D． 【跟踪专练1】为迎接端午节，某餐厅推出四种新款粽子（分别以表示），请顾客免费试吃后选出最喜欢的品种．结果反馈如下： 通过以上数据，你能获得的信息是（   ） A．喜欢两款粽子的人加起来占样本的一半 B．款粽子比款粽子更受欢迎 C．喜欢款粽子的人只占样本的五分之一 D．款粽子最受欢迎 【答案】D 【分析】本题考查根据调查结果，下结论，通过统计各款粽子的频数，比较后得出正确结论即可． 【详解】解：由调查结果可知：喜欢款粽子的有8人；喜欢款粽子的有5人；喜欢款粽子的有5人；喜欢款粽子的有4人； 故总人数为， 喜欢两款粽子的人为9人，不到样本的一半；故A错误； 款粽子和款粽子一样受欢迎；故B错误； 喜欢款粽子的人占样本的，不到五分之一；故C错误； 款粽子最受欢迎；故D正确； 故选D． 【跟踪专练2.】目标达成度也叫完成率，一般是指个体的实际完成量与目标完成量的比值，树立明确具体的目标，能够帮助人们更好的自我认知，迅速成长．某销售部门有位员工（编号分别为），下图是根据他们月初制定的目标销售任务和月末实际完成情况绘制的统计图，有下列结论： ①超额完成了目标任务； ②目标与实际完成相差最多的是； ③的目标达成度为100%； ④月度达成率超过且实际销售额大于万元的有三个人． 其中正确的结论是：______． 【答案】①②③④ 【分析】本题是散点统计图，根据统计图中的数据分别计算即可得出结论．通过坐标轴以及横坐标等读懂本图，根据图中所示的数量解决问题是解题的关键． 【详解】解：由统计图得： ①月初制定的目标是万元，月末实际完成万元，超额完成了目标任务，结论正确； ②月初制定的目标是万元，月末实际完成万元，目标与实际完成相差最多，结论正确； ③月初制定的目标是万元，月末实际完成万元，目标达成度为，结论正确； ④实际销售额大于万元的有个人，分别是、、、， 月度达成率为：， 月度达成率为：， 月度达成率为：， 月度达成率为：， ∴月度达成率超过且实际销售额大于万元的有、、三个人，结论正确； 即正确的结论是①②③④． 故答案为：①②③④． 【跟踪专练3】如图，是某学校甲、乙两位同学的综合素质评价结果网状图，以为圆心的五个同心圆分别代表5个维度的五个等级，由低到高分别赋分1至5分，由原点出发的五条线段分别指向能力水平的五个维度，网状图能够更加直观的描述该生的优势和不足，观察图形，有以下几个推断：①甲和乙的动手操作能力都很强；②缺少探索学习能力是甲的不足之处；③与甲相比，乙需要加强沟通合作能力；④乙的各项评分之和比甲要高．其中合理的是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了统计图表，根据统计图表中的数据对各个选项的问题进行分析即可，根据统计图表及其所反映的信息对各个选项作出分析是解题的关键． 【详解】解：由图形可知： 甲和乙的动手操作能力都是5分，即最高等级，故①合理； 甲的探索学习的能力为1分，故缺少探索学习能力是甲的不足，故②合理； 甲与他人的沟通和合作能力为5分，乙与他人的沟通和合作能力为3分，故与甲相比，乙需要加强沟通合作能力，故③合理； 乙的各项评分之和为：，甲的各项评分之和为：，因此乙的各项评分之和比甲要高．故④合理； 综上，合理的选项有①②③④． 故选：D． 【题型8.统计与预测】 【典例】如图，表示小华每个月测量他栽种的小树的高度之间的趋势图，去掉一个点后，剩下的五个点大致分布在如图这条直线附近，这个点是________． 【答案】 【分析】本题考查了统计图的应用，从图中获取信息是解题的关键．根据统计图即可判断远离这条直线． 【详解】解：由图可知远离这条直线，因此掉点后，剩下的5个点大致分布在如图这条直线附近， 故答案为：． 【跟踪专练1】小明参加短跑训练，今年2~6月的训练成绩为（单位：s），绘制出趋势图如图．请根据趋势图预测小明下个月短跑的成绩最接近的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了趋势图，解题关键是学会看趋势图，会预测接下来的数据，本题根据趋势图可直接看出下个月成绩预测在到之间，即可求解． 【详解】解：根据趋势图的直线预测，小明下个月短跑的成绩最接近的是 故选：C ． 【跟踪专练2】为了选拔2名学生代表班级参与学校数学竞赛，姜老师对全班同学进行了三次测试，如图的气泡图展示了其中5位同学的测试成绩．（气泡圆的圆心横、纵坐标分别表示第一次和第二次测试成绩，气泡的大小表示三次成绩的平均分的高低；气泡越大平均分越高） 下面有3个推断： ①在位同学中，有位同学前两次测试成绩都在分以上； ②在位同学中，有位同学第一次成绩比第二次成绩高； ③在甲、乙两位同学中，甲同学的第三次成绩高； 其中合理的是__________．（写序号） 【答案】③ 【分析】本题考查象形统计图，算术平均数等知识，解题的关键是理解题意，读懂图象信息，属于中考常考题型． 根据气泡圆的圆心横、纵坐标分别表示第一次和第二次测试成绩，气泡的大小表示三次成绩的平均分的高低，气泡越大平均分越高，由此一一判断即可解决问题． 【详解】解：由题意可知， 在位同学中，只有甲和乙前两次测试成绩都在分以上，故①错误． 在位同学中，有个同学第一次成绩比第二次成绩高，故②错误． 在甲、乙两位同学中，甲同学的第三次成绩高，故③正确． 故答案为：③． 【跟踪专练3】通常来说，广告支出越多，商品销售收入越高．下图是一家广告公司为了更加清楚明了地看到变化情况，绘制的销售收入随广告支出增加的变化趋势图，根据趋势图可预测当广告支出为8万元时，销售收入是_____万元． 【答案】50 【分析】本题考查趋势图，根据题意知销售收入随广告支出增加而增加，这些点大致落在一条呈上升趋势的直线附近，由此可得答案． 【详解】解：如图，延长趋势线，可得广告支出为8万元时，销售收入是50万元， 故答案为：50． 【题型9.抽签合理性探究】 【典例】甲、乙两人做游戏，他们准备了一个质量分布均匀的正六面体骰子，骰子的正六面分别标有1，2，3，4，5，6．若掷出的骰子的点数是偶数，则甲赢；若掷出的骰子的点数是3的倍数，则乙赢，这个游戏对甲、乙来说是_________的．（填“公平”或“不公平”） 【答案】不公平 【分析】根据所出现的情况，分别计算两人能赢的概率，即可解答． 【详解】解：∵骰子的点数是偶数的有2，4，6，其概率为， 骰子的点数是3的倍数的有3，6，其概率为， 故游戏规则对甲有利． 故答案为：不公平. 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【跟踪专练1】众所周知，“石头、剪刀、布”游戏规则是比赛时双方任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种．石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，若双方出相同手势，则算打平，小明和小红玩这个游戏，他们随机出一种手势，则小明获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明获胜的情况，再利用概率公式即可求得答案. 【详解】解：根据题意画出树状图： ∴共有9种等可能的结果，小明获胜的有3种情况， ∴小明获胜的概率 P==， 故选: B. 【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比. 【跟踪专练2】某课外兴趣小组为了了解所在地区居民对扫码支付的使用情况,分别做了下列四种不同的抽样调查:①在公园调查了1000名老年人对扫码支付的使用情况;②在某超市调查了100名年轻顾客对扫码支付的使用情况;③调查了100名初中生对扫码支付的使用情况;④利用派出所的户籍网随机抽取该地区1%的家庭采取电话调查对扫码支付的使用情况.你认为抽样比较合理的是____(填序号). 【答案】④ 【分析】抽取样本注意事项就是要考虑样本具有广泛性与代表性，所谓代表性，就是抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现． 【详解】④利用派出所的户籍网随机抽取该地区1%的家庭采取电话调查对扫码支付的使用情况，样本具有广泛性与代表性， 故答案为④． 【点睛】本题考查了抽样调查的可靠性，样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现． 【跟踪专练3】下列说法错误的是（    ） A．袋中装有一个红球和两个白球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，充分摇动后，再从中随机摸出一个球，两次摸到不同颜色的球的概率是 B．甲、乙、丙三人玩“石头、剪刀、布”的游戏，游戏规则是如果甲、乙两人的手势相同，那么丙获胜，如果甲、乙两人的手势不同，按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定甲、乙的获胜者．这个游戏规则对甲、乙、丙三人是公平的 C．连续抛两枚质地均匀的硬币，“两枚正面朝上”“两枚反面朝上”和“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，这三种结果发生的概率是相同的 D．一个小组的八名同学通过依次抽签（卡片外观一样，抽到不放回）决定一名同学获得元旦奖品，先抽和后抽的同学获得奖品的概率是相同的，抽签的先后不影响公平 【答案】C 【分析】利用列表法或树状图法分别计算出所求的概率，即可得答案． 【详解】A.两次摸球所有可能出现的结果，用表列举如下： ∵有9种等可能的结果，两次摸球颜色不同有4种， ∴两次摸球颜色不同的概率为．故该选项正确； B.甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率也为，所以这个游戏规则对三人是公平的．故该选项正确； C.设正面朝上为A，反面朝上为B，画树状图如下：    ∴P（两枚正面朝上）（两枚反面朝上）， P（―枚正面朝上，一枚反面朝上）．故该选项错误； D.等可能事件，每人抽签获奖的概率均为．故该选项正确， 故选C． 【点睛】本题考查了概率的意义、游戏的公平性；概率=所求情况数与总情况数之比；熟练掌握概率公式是解题关键． 【题型10.概率的估算应用】 【典例】小刚将二维码打印在面积为10的正方形纸片上，如图所示．为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，多次试验后获得如下数据： 重复试验次数 30 50 100 300 800 点落在阴影部分次数 19 32 59 183 483 “点落在阴影部分”的频率（结果保留两位小数） 0.67 0.64 0.59 0.61 0.60 由此可以估计此二维码中黑色阴影部分的面积为_____．（结果保留整数） 【答案】6 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，熟练掌握用频率估计概率是解题的关键．根据总面积乘以“点落在阴影部分”的频率的稳定值即可得到答案． 【详解】解：估计此二维码中黑色阴影部分的面积为， 故答案为：． 【跟踪专练1】某校九年级数学兴趣小组做摸球试验，在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的黑球、白球共20个．将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色后再放入袋中，不断重复，下表是试验中的一组数据，由此可以估计袋中白球的个数为（   ） 摸球次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 50 28 0.56 100 61 0.61 150 93 0.62 200 124 0.62 250 145 0.58 300 189 0.63 500 300 0.60 A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查由频率估计概率，由表中数据得到摸到黑球的概率，进而得到黑球的个数，最后根据黑球的个数求出白球的个数，即可解题． 【详解】解：由表中数据可知，摸到黑球的概率为0.6， 袋中白球的个数为（个）， 故选：B． 【跟踪专练2】某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由该图可估计移植这种树苗2000棵，成活的大约有______________棵． 【答案】1600 【分析】本题考查折线统计图，频率估计概率，利用样本的概率估计总体数量，正确记忆相关知识点是解题关键． 根据图形可以发现，频率在0.8附近波动，从而可以估计这种树苗移植成活的概率，再根据成活概率估算总体数量即可． 【详解】解：由图可得这种树苗成活的频率约为0.8， ∴这种树苗成活的概率为0.8， ∴这种树苗移植2000棵，成活的大约有：（棵）， 故答案为：1600． 【跟踪专练3】如图1所示，有一个不规则的图案（图中画图部分），小帆想估算该图案的面积.他采取了以下的办法：用一个长为，宽为的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图2（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），则不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何概率和用频率估计概率，解题的关键是理解题意，得出小球落在不规则图案内的概率约为．根据图可得，小球落在不规则图案内的概率约为，设不规则图案的面积为，再根据几何概率可得：不规则图案的面积长方形的面积=小球落在不规则图案内的概率，列出方程即可求解． 【详解】解：由题意可得：小球落在不规则图案内的概率约为， 长方形的面积为， 设不规则图案的面积为，则， 解得：． 即不规则图案的面积约为． 故选：B． 【解答题】 1．百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析，评分分数用表示，分为四个等级： （：，：，：，：） 下面给出了部分信息： 甲款评分数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 乙款评分数据中组包含的所有数据：，，，，，，，． 甲、乙款评分统计表： 设备 平均数 中位数 众数 甲 乙 乙款聊天机器人的评分人数扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中___________，___________； (2)计算乙款聊天机器人的评分扇形统计图中组对应的圆心角； (3)在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（）的用户总人数： (4)Deepseek（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法列出所有可能的结果，求出两人中至少有一人选择Deepseek的概率． 【答案】(1)； (2) (3)人 (4) 【分析】本题考查统计量的计算， 扇形统计图，用样本估计总体，掌握统计量的计算是解题关键． （1）先找出甲款评分中出现次数最多的数得到众数，再根据乙款各等级人数确定中位数位置，取第、个数的平均数得到； （2）先算出乙款组人数占样本的比例，再用乘以该比例得到对应圆心角； （3）分别计算甲、乙款样本中“非常满意”的比例，再用各自总人数乘以该比例，最后相加得到总人数估计值； （4）用树状图列出所有种等可能结果，数出至少一人选丙的种情况，用符合条件的结果数除以总结果数得到概率． 【详解】（1）解：根据题意可知，甲款满意度的众数为，故； 乙款、组共有个数据，则乙组的中位数为第个、第个数的平均数，即，故． 答：，． （2）解：根据（1）可知，乙款组人数为人，则组人数为人， 则其对应圆心角：． 答：． （3）解：乙款组人数为人， 组人数占比为， 组人数占比为， 组人数为人， 在乙款调查用户中，非常满意的人数为人， 在甲组用户中，非常满意的人数为人， 对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人． 答：对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人． （4）解：画树状图列出所有可能的结果为： 共有种等可能的结果数，其中两人中至少有一人选择Deepseek的结果数为种， 故两人中至少有一人选择Deepseek的概率为． 答：． 2．为了弘扬航天精神、普及航天知识，某校组织七、八两个年级学生参加航天知识测试．现从七年级和八年级学生测试成绩中各随机抽取20名学生成绩，将成绩分成4组：第一组：，第二组：，第三组：，第四组：（学生成绩均不低于80分），并将成绩数据绘制成不完整的统计图如下： 其中七年级和八年级第三组成绩如下： 七年级第三组学生的成绩：90，93，94，90，94，94； 八年级第三组学生的成绩：93，92，94，92，91，92，92，94，92； 七年级和八年级抽取20名学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 93 a 94 50 八年级 93 92 b (1)______，______，______，并补全频数直方图； (2)已知该校七年级和八年级学生数分别有1200名、800名，若学生测试成绩达到90分以上（含90分）为优秀，请你估计该学校本次测试成绩达到优秀的总人数； (3)根据以上数据，哪个年级的学生对我国航天知识了解得更好一些？请说明理由．（写出一条理由即可） 【答案】(1)90，92，45，见解析； (2)1180人； (3)七年级的学生对我国航天知识了解得更好一些，见解析 【分析】（1）根据中位数，众数的定义进行求解，然后补全频数直方图即可； （2）利用样本频数估计总体频数即可； （3）根据方差进行决策． 【详解】（1）解：∵七年级数据总数为20， ∴中位数取第20和21位的平均数， 第1组有4人，第2组有5人， ∴第20位和21位数据在第3组，第20位和21位数据分别是90和90， ∴中位数为； 八年级第1组数据数为， 八年级第2组数据数为， 八年级第4组数据数为， 八年级第3组数据中92出现了5次， ∴众数； 八年级第3组数据的占比为， ∴； 七年级第3组数据为6，补全的频数直方图如图所示； （2）解：（人）， 答：估计该学校本次测试成绩达到优秀的总人数为1180人； （3）解：七年级的学生对我国航天知识了解得更好一些， 理由：因为七年级和八年级学生成绩的平均数相等，而七年级的方差小于八年级的，所以七年级学生成绩比八年级学生成绩稳定，所以七年级的学生对我国航天知识了解得更好一些． 3．2024年国家提出推进中国式现代化，推进乡村全面振兴后，甲村经济发展进入了快车道．为了解甲村去年下半年经济发展状况，从该村400户家庭中随机抽取了部分家庭调查其去年下半年的收入情况，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图． 组别 分组（万元） 频数（户） 每组平均收入 4 7 5 8.3 a 9 b 9.5 请根据图表中提供的信息，解答下列问题： (1)请补全统计表和统计图_____；_____；_____； (2)所抽取家庭去年下半年家庭收入的中位数落在_____组； (3)求所抽取家庭去年下半年家庭收入的平均数； (4)试估计去年下半年甲村400户家庭中收入不低于8.5万元的户数． 【答案】(1)8，3， (2)C (3)万元 (4)220户 【分析】（1）用B组户数除以所占的百分比，求出总户数，用总户数乘以D组所占的比例求出的值，再用总户数减去其它组的户数，求出的值，用的值除以总户数求出即可； （2）根据中位数的定义进行判断即可； （3）根据平均数的计算公式进行计算即可； （4）用样本估计总体的思想进行求解即可． 【详解】（1）解：，； ； ； （2）解：将数据排序后第10个和第11个数据所在的组即为中位数所在的组， ∵， ∴第10个和第11个数据均在C组， ∴中位数落在C组； （3）解：（万元）； 答：所抽取家庭去年下半年家庭收入的平均数为万元； （4）解：（户）； 答：估计去年下半年甲村400户家庭中收入不低于8.5万元的户数为220户． 4．不透明的袋中装有个大小相同，红、白两种颜色的小球，现在每次从袋中摸1个，然后放回搅匀再摸，在摸球试验中得到下列表格中部分数据． 摸球次数 出现红色的频数 出现红色的频率 (1)将数据表补充完整．(精确到) (2)根据表中数据可知，从袋中摸出一个球，恰为红球的概率是多少？(精确到 (3)由以上结果估计袋中约有红球多少个？ 【答案】(1)，，，； (2)； (3)个 【分析】（1）根据“频率=出现红色的次数÷摸球次数”的公式，分别计算对应摸球次数下的红色球频率，精确到； （2）观察频率数据，随着试验次数增加，频率会稳定在某一常数附近，该常数即为摸出红球的概率； （3）用袋中总球数乘以估计的红球概率，即可得到红球的估计个数． 【详解】（1）解：根据频率计算公式“频率”，计算： 当摸球次数为次时，频率为； 当摸球次数为次时，频率为； 当摸球次数为次时，频率为； 当摸球次数为次时，频率为； 故补充表格如下： 摸球次数 出现红色的频数 出现红色的频率 .（2）解：观察表中频率数据，随着摸球次数的增加，出现红色的频率逐渐稳定在附近， ∴估计从袋中摸出一个球恰为红球的概率是； （3）解：∵袋中共有个小球，摸出红球的概率约为， ∴估计袋中红球的个数为(个)． 答：袋中约有红球个． 5．学校为探究辅助学习工具的反馈，从七、八年级各随机抽取20名学生进行使用满意度评分，随后将评分进行整理、描述和分析（评分为百分制且为整数，均不低于60分，用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生评分在B组的数据为：80，83，84，85，87，88，88，89 八年级20名学生的评分是：65，68，70，72，74，76，78，80，82，82，84，86，86，86，88，90，92，93，94，94 七、八年级所抽取学生使用满意度评分统计表 年级 七年级 八年级 平均数 82 82 中位数 a 83 众数 78 b (1)上述图表中________，_______，________； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对辅助学习工具的满意度更高？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若该校七年级有600人，八年级有500人，请估计该校七、八年级所有学生中评分达到“非常满意”（不低于90分）的总人数． 【答案】(1)，， (2)八年级的学生对辅助学习工具的满意度更高，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据中位数和众数的定义计算即可得出结果； （2）根据中位数和众数分析即可得出结果； （3）用乘以七年级所有学生中评分达到“非常满意”（不低于90分）的人数所占的比例，用乘以八年级所有学生中评分达到“非常满意”（不低于90分）的人数所占的比例，再求和即可． 【详解】（1）解：七年级20名学生评分在A组中的数据有（人），在D组中的数据有（人），在B组中的数据有8人，在C组中的数据有， 将七年级20名学生评分按照从小到大排列后的第10和11个数据是80，83，故； ∴，即； 八年级20名学生评分中出现次数最多的是86，故， 七年级20名学生评分在C组中的数据有， （2）解：八年级的学生对辅助学习工具的满意度更高，理由如下： 七、八年级所抽取学生使用满意度评分统计表可得，七、八年级的平均数相等，但八年级的中位数和众数均高于七年级的中位数和众数，故八年级的学生对辅助学习工具的满意度更高； （3）解：（人）， 故该校七、八年级所有学生中评分达到“非常满意”（不低于90分）的总人数人． . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11统计和概率的简单应用同步讲义 【题型01 调查收集数据的过程与方法】.....................................3 【题型02 用样本百分比估计总体数量】.....................................4 【题型03 依样本频率区间预估总体数量】...................................5 【题型04 样本率与总体率的换算与估计】...................................6 【题型05 样本频数映射总体频数的策略】...................................7 【题型06 用样本平均数估计总体平均数】...................................8 【题型07 借助调查做决策】...............................................9 【题型08 统计与预测】..................................................11 【题型09 抽签合理性探究】..............................................12 【题型10 概率的估算应用】..............................................13 【解答题5题】..........................................................15 ★知识梳理 知识点01:数据收集与抽样 1. 基本概念 总体：考察对象的全体（如全校学生视力） 个体：总体中的每一个考察对象（如每个学生视力） 样本：从总体中抽取的部分个体（如抽取的 200 名学生视力） 样本容量：样本中个体的数量（无单位） 2. 抽样调查 适用：总体数量大、调查具有破坏性、耗时耗力 核心要求：代表性、随机性（样本需能反映总体特征，避免偏差） 关键结论：样本容量越大，估计总体越可靠 3. 普查与抽样对比 方式 优点 缺点 适用场景 普查 数据全面准确 耗时、费力、破坏性 总体小、无破坏性 抽样调查 省时省力、可测破坏性 存在误差 总体大、有破坏性 知识点02:数据分析与决策 1. 数据代表（集中趋势） 平均数：=x，反映平均水平，易受极端值影响 中位数：数据排序后，中间位置的数（奇数个）或中间两数平均（偶数个），不受极端值影响 众数：出现次数最多的数据，反映多数水平，可多个 2. 数据波动（离散程度） 极差：最大值−最小值，反映数据变化范围 方差： s2=[(x1−)2+(x2−)2+⋯+(xn−)2] 方差越小，数据越稳定 标准差：方差的算术平方根（s），单位与原数据一致 3. 统计图表 扇形图：表示各部分占总体百分比 条形图：直观对比各组数据大小 折线图：反映数据变化趋势 频数分布直方图：展示数据分布规律 4. 决策原则 关注数据来源可靠性、可比性 综合分析集中趋势 + 离散程度，避免单一指标决策 样本无代表性时，决策易不合理 知识点03:统计预测 1. 散点图 将两个变量的数据在平面直角坐标系中用点表示，直观判断变量关系 2. 线性拟合（回归直线） 适用：散点图中点大致在一条直线附近（线性相关） 表达式：y=kx+b（k为斜率 / 变化率，b为截距） 应用：代入自变量x，预测因变量y；仅适用于线性相关场景 知识点04:概率基础与公平性 1. 事件分类 确定事件：必然事件（P=1）、不可能事件（P=0） 随机事件：发生与否不确定，0<P<1 2. 等可能概率（古典概型） 公式：P(A)=​ 方法：列表法、树状图法（计算两步及以上随机事件概率） 3. 游戏公平性判断 核心：双方获胜概率相等则公平，否则不公平；可通过调整规则使概率相等 知识点05:概率估计与应用 1. 频率与概率关系 频率：，随机波动 概率：大量重复试验时，频率稳定在某个常数，该常数为概率（频率是概率的近似值） 2. 用频率估计概率 方法：大量重复试验→计算频率→用频率稳定值估计概率 典型模型：捉放法（标记重捕法） 公式：≈，用于估计总体数量（如鱼塘鱼数、野生动物数量） 高频易错点 1.混淆普查 / 抽样适用场景，忽视样本代表性 2.误用平均数（受极端值影响），忽略中位数 / 众数 3.混淆频率 / 概率，认为频率 = 概率 4.线性预测超出适用范围（非线性关系强行拟合） 5.等可能概率计算时，遗漏或重复计数 【题型1.调查收集数据的过程与方法】 【典例】下列数据是定量数据的有_______．（填序号） ①七年级（1）班学生的立定跳远成绩；②某地区11月份的平均降雨量；③食客对某道菜品的满意情况；④春节档某部电影大年初一当天的票房． 【跟踪专练1】课堂上，老师设计了如下不完整的调查问卷： 你平时最喜欢的一项体育运动是（    ） A．a　　　　B．b　　　　C．c　　　　D．d　　　　E．其他 并准备在下列6个备用选项中选取四个分别作为a，b，c，d：①室外体育运动；②游泳；③跳绳；④羽毛球；⑤跑步；⑥球类运动，那么选项合理的是（    ） A．①②③④ B．①②③⑥ C．②③④⑤ D．③④⑤⑥ 【跟踪专练2】小芸为了解同学们最感兴趣的在线学习方式，设计了如下的调查问题（选项不完整）：你最感兴趣的一种在线学习方式是（    ）（单选） ．．．．其他 她准备从“①在线听课，②在线讨论，③在线学习小时，④用手机在线学习，⑤在线阅读”中选取三个作为该问题的备选答案，合理的选取是_____．（填序号） 【跟踪专练3】下面的调查适合用试验法收集数据的是（    ） A．推荐班长候选人 B．调查同学们的生日 C．你在10 s内能跑多少米 D．世界上发生“禽流感”的情况 【题型2.用样本百分比估计总体数量】 【典例】图书馆作为社会核心文化基础设施，具有不可替代的社会功能和文化价值．某图书馆准备购进5000本图书，了解了某段时间内借阅的500本图书的种类，绘制成如图所示的统计图，根据图中信息，估计该图书馆购进的5000本图书种类需求最多的数量为________本． 【跟踪专练1】为了估计鱼塘中鱼的总数，采用标记重捕法：首次捕捞条鱼，做上标记后放回；待鱼充分混合后，再随机捕捞100条鱼，发现其中有3条带有标记．若据此估算出塘中大约有2400条鱼，则的值是（   ） A．72 B．60 C．240 D．86 【跟踪专练2】某鱼塘放养鱼苗10万条，根据这几年的经验可知，鱼苗死亡率为10%．一段时间后准备打捞出售，需要估计鱼塘中鱼的总质量，于是分三次打捞称重．第一次网出40条，称得平均每条鱼重，第二次网出25条，称得平均每条鱼重，第三次捞出35条，称得平均每条鱼重．由此可推出鱼塘中的鱼的总质量大约是__________万千克（结果保留整数）． 【跟踪专练3】下列说法正确的是（   ） A．买中奖率为的奖券100张，一定会中奖 B．“同旁内角互补”是必然事件 C．连续抛掷一枚质地均匀的硬币100次，有51次正面向上，则抛掷一枚硬币正面向上的概率为 D．某校有3000名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了200名学生，其中有80名学生表示喜欢的项目是打羽毛球，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为羽毛球的学生约有1200人 【题型3.依样本频率区间预估总体数量】 【典例】某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量(单位：g)，得到的数据如下： 50.03   49.99     49.98     50.01     50.00 49.97   49.99     50.04     50.02     50.02 当一个工件的质量x(单位：g)满足 时，评定该工件为一等品．根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数是_______． 【跟踪专练1】胖东来超市因其对食品质量的严格把控而广受好评，特别是售卖的鱼，会在优质水域空养十天，确保鱼的质量安全后才上市销售．为评估一批鱼的质量，超市随机抽取120条已经养殖了10天的鱼进行检测，发现108条达标，12条不达标．根据此抽样，超市估算整批（1000条）鱼中质量达标的鱼大约有（   ） A．800条 B．900条 C．960条 D．1000条 【跟踪专练2】为了解区内赋能教学实践的情况，从名九年级学生中，随机抽取名学生进行了关于辅助教学工具使用满意度的调查，调查结果如下： 满意度 不满意 一般 比较满意 满意 非常满意 频数 频率 根据统计表中的信息，估计区内九年级学生中，选择“满意”的人数是______． 【跟踪专练3】为了解去年半程马拉松的比赛情况，数学兴趣小组对参赛选手进行随机抽样调查．根据调查数据绘制了如下所示不完整的统计图表．则下列说法正确的是（    ） 组别 参赛者成绩 频数 4 12 12 7 A．抽样数据的样本容量是60 B．E组数据对应的扇形统计图的圆心角度数为 C．抽样数据的中位数落在组 D．抽样数据的平均值是96 【题型4.样本率与总体率的换算与估计】 【典例】某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下： 50.03 49.98 50.01 49.99 50.02 49.99 50.01 49.97 50.00 50.02 若这一组数据的中位数是x，则x的值为___________ ；估计这200个工件中质量超过的个数是___________ ． 【跟踪专练1】某区为了解初中生近视情况，对全区初中生开展视力随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率估计，最合理的选项是（    ）． 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.400 0.401 0.413 0.409 0.410 A．0.423 B．0.410 C．0.413 D．0.400 【跟踪专练2】某班同学开展“50人中有2个人的生日相同”的试验活动．每个同学课外调查20个人的生日，然后从全班的调查结果中随机选取50个被调查人的生日，记录其中有无2个人的生日相同．每选取50个被调查人的生日为一次试验，经过重复多次试验，部分数据记录如下（保留两位小数）： 试验的总次数 50 100 150 200 250 … “有2个人的生日相同”的次数 45 97 144 194 242 … “有2个人的生日相同”的频率 ▲ 0.97 0.96 0.97 ▲ … 请根据上表中的数据，估计“50人中有2个人的生日相同”的概率是_______． 【跟踪专练3】2025年5月4日，贵州省榕江县“村超”超级星期六足球之夜将举行盛大的烟花秀活动．榕江县某校共有2000个学生，随机调查了200个学生，其中有20个学生将在5月4日将去“村超”现场观看烟花秀展演．在该校随机问一个学生，他在去“村超”现场的概率大约是（   ） A．0.001 B．0.01 C．0.1 D．1 【题型5.样本频数映射总体频数的策略】 【典例】为了估计学校池塘中鱼的数量，九年级一班的同学采用如下方法：从池塘中捕上50条鱼做上标记，然后放回池塘，经过一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，再捕上50条，若其中带有标记的鱼有10条，则池塘中鱼估计有_______条． 【跟踪专练1】为增强学生网络常识及安全意识，某校举行了一次全校6000名学生参加的安全知识竞赛．从中随机抽取150名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级（），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图．请据此估计全校学生中竞赛成绩低于80分的人数是（    ） A．2160 B．2640 C．3000 D．3360 【跟踪专练2】为了解某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉只，戴上识别卡并放回，经过一段时间后观察发现，只A种候鸟中有只佩有识别卡，由此估计该湿地约有______只A种候鸟． 【跟踪专练3】某市为全面落实《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，明确要求初中生每天的书面作业平均完成时间不得超过．某校随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果制成了如下不完整的统计图表．则下列说法不正确的是(    ) 作业时间频数分布表          组别 作业时间/ 频数 A 20 B 35 C m D 8 作业时间扇形统计图 A．调查的样本容量为100 B．频数分布表中m的值为37 C．若该校有1000名学生，作业完成时间超过的学生约80人 D．在扇形统计图中，B所对扇形的圆心角是 【题型6.用样本平均数估计总体平均数】 【典例】电表的计数器上先后两次读数之差，即为该段时间内的用电量．某家庭6月1日0时电表显示的读数为125度，6月7日24时电表显示的读数为167度．则预计这个家庭六月份的总用电量为________． 【跟踪专练1】某学校在开展“节约每一滴水”的活动中，从九年级的500名同学中任选出10名同学汇报了各自家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下表所示，请你估计这500名同学的家庭一个月节约的水总量大约是（   ）． 节水量（单位：） 同学数（人） A． B． C． D． 【跟踪专练2】某班开展“节约每一滴水”活动，为了解开展活动一个月以来节约用水的情况，从全班40名同学中选取8名同学统计了各自家庭一个月节约用水情况如表，从中可以估计这40名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是_________． 节水量/ 0.1 0.2 0.3 0.4 家庭数/个 1 3 3 1 【跟踪专练3】为了调查某小区居民的口罩使用情况，随机抽查了 10 户家庭的一周使用的口罩数，结果如表，则关于这 10 户家庭的一周使用的口罩数，下列说法错误的是（  ） 每周用的口罩数量 20 21 23 30 总数 3 4 2 1 A．方差是 5 B．众数是 21 C．极差是 10 D．中位数是 21 【题型7.借助调查做决策】 【典例】小强家想购买一套商品房，他爸爸通过媒体查询，获得以下信息： 位置 面积 房价/万元 小强到学校 的路程 A处 82 106.6 0.5 B处 67 73.7 2 C处 73 87.6 1 D处 84 75.6 0.8 已知小强家对住房面积的要求在之间，考虑到房价及小强到学校的路程，则小强家应首选上述四处中的________处． 【跟踪专练1】为迎接端午节，某餐厅推出四种新款粽子（分别以表示），请顾客免费试吃后选出最喜欢的品种．结果反馈如下： 通过以上数据，你能获得的信息是（   ） A．喜欢两款粽子的人加起来占样本的一半 B．款粽子比款粽子更受欢迎 C．喜欢款粽子的人只占样本的五分之一 D．款粽子最受欢迎 【跟踪专练2.】目标达成度也叫完成率，一般是指个体的实际完成量与目标完成量的比值，树立明确具体的目标，能够帮助人们更好的自我认知，迅速成长．某销售部门有位员工（编号分别为），下图是根据他们月初制定的目标销售任务和月末实际完成情况绘制的统计图，有下列结论： ①超额完成了目标任务； ②目标与实际完成相差最多的是； ③的目标达成度为100%； ④月度达成率超过且实际销售额大于万元的有三个人． 其中正确的结论是：______． 【跟踪专练3】如图，是某学校甲、乙两位同学的综合素质评价结果网状图，以为圆心的五个同心圆分别代表5个维度的五个等级，由低到高分别赋分1至5分，由原点出发的五条线段分别指向能力水平的五个维度，网状图能够更加直观的描述该生的优势和不足，观察图形，有以下几个推断：①甲和乙的动手操作能力都很强；②缺少探索学习能力是甲的不足之处；③与甲相比，乙需要加强沟通合作能力；④乙的各项评分之和比甲要高．其中合理的是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【题型8.统计与预测】 【典例】如图，表示小华每个月测量他栽种的小树的高度之间的趋势图，去掉一个点后，剩下的五个点大致分布在如图这条直线附近，这个点是________． 【跟踪专练1】小明参加短跑训练，今年2~6月的训练成绩为（单位：s），绘制出趋势图如图．请根据趋势图预测小明下个月短跑的成绩最接近的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】为了选拔2名学生代表班级参与学校数学竞赛，姜老师对全班同学进行了三次测试，如图的气泡图展示了其中5位同学的测试成绩．（气泡圆的圆心横、纵坐标分别表示第一次和第二次测试成绩，气泡的大小表示三次成绩的平均分的高低；气泡越大平均分越高） 下面有3个推断： ①在位同学中，有位同学前两次测试成绩都在分以上； ②在位同学中，有位同学第一次成绩比第二次成绩高； ③在甲、乙两位同学中，甲同学的第三次成绩高； 其中合理的是__________．（写序号） 【跟踪专练3】通常来说，广告支出越多，商品销售收入越高．下图是一家广告公司为了更加清楚明了地看到变化情况，绘制的销售收入随广告支出增加的变化趋势图，根据趋势图可预测当广告支出为8万元时，销售收入是_____万元． 【题型9.抽签合理性探究】 【典例】甲、乙两人做游戏，他们准备了一个质量分布均匀的正六面体骰子，骰子的正六面分别标有1，2，3，4，5，6．若掷出的骰子的点数是偶数，则甲赢；若掷出的骰子的点数是3的倍数，则乙赢，这个游戏对甲、乙来说是_________的．（填“公平”或“不公平”） 【跟踪专练1】众所周知，“石头、剪刀、布”游戏规则是比赛时双方任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种．石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，若双方出相同手势，则算打平，小明和小红玩这个游戏，他们随机出一种手势，则小明获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】某课外兴趣小组为了了解所在地区居民对扫码支付的使用情况,分别做了下列四种不同的抽样调查:①在公园调查了1000名老年人对扫码支付的使用情况;②在某超市调查了100名年轻顾客对扫码支付的使用情况;③调查了100名初中生对扫码支付的使用情况;④利用派出所的户籍网随机抽取该地区1%的家庭采取电话调查对扫码支付的使用情况.你认为抽样比较合理的是____(填序号). 【跟踪专练3】下列说法错误的是（    ） A．袋中装有一个红球和两个白球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，充分摇动后，再从中随机摸出一个球，两次摸到不同颜色的球的概率是 B．甲、乙、丙三人玩“石头、剪刀、布”的游戏，游戏规则是如果甲、乙两人的手势相同，那么丙获胜，如果甲、乙两人的手势不同，按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定甲、乙的获胜者．这个游戏规则对甲、乙、丙三人是公平的 C．连续抛两枚质地均匀的硬币，“两枚正面朝上”“两枚反面朝上”和“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，这三种结果发生的概率是相同的 D．一个小组的八名同学通过依次抽签（卡片外观一样，抽到不放回）决定一名同学获得元旦奖品，先抽和后抽的同学获得奖品的概率是相同的，抽签的先后不影响公平 【题型10.概率的估算应用】 【典例】小刚将二维码打印在面积为10的正方形纸片上，如图所示．为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，多次试验后获得如下数据： 重复试验次数 30 50 100 300 800 点落在阴影部分次数 19 32 59 183 483 “点落在阴影部分”的频率（结果保留两位小数） 0.67 0.64 0.59 0.61 0.60 由此可以估计此二维码中黑色阴影部分的面积为_____．（结果保留整数） 【跟踪专练1】某校九年级数学兴趣小组做摸球试验，在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的黑球、白球共20个．将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色后再放入袋中，不断重复，下表是试验中的一组数据，由此可以估计袋中白球的个数为（   ） 摸球次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 50 28 0.56 100 61 0.61 150 93 0.62 200 124 0.62 250 145 0.58 300 189 0.63 500 300 0.60 A．7 B．8 C．10 D．12 【跟踪专练2】某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由该图可估计移植这种树苗2000棵，成活的大约有______________棵． 【跟踪专练3】如图1所示，有一个不规则的图案（图中画图部分），小帆想估算该图案的面积.他采取了以下的办法：用一个长为，宽为的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图2（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），则不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 【解答题】 1．百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析，评分分数用表示，分为四个等级： （：，：，：，：） 下面给出了部分信息： 甲款评分数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 乙款评分数据中组包含的所有数据：，，，，，，，． 甲、乙款评分统计表： 设备 平均数 中位数 众数 甲 乙 乙款聊天机器人的评分人数扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中___________，___________； (2)计算乙款聊天机器人的评分扇形统计图中组对应的圆心角； (3)在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（）的用户总人数： (4)Deepseek（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法列出所有可能的结果，求出两人中至少有一人选择Deepseek的概率． 2．为了弘扬航天精神、普及航天知识，某校组织七、八两个年级学生参加航天知识测试．现从七年级和八年级学生测试成绩中各随机抽取20名学生成绩，将成绩分成4组：第一组：，第二组：，第三组：，第四组：（学生成绩均不低于80分），并将成绩数据绘制成不完整的统计图如下： 其中七年级和八年级第三组成绩如下： 七年级第三组学生的成绩：90，93，94，90，94，94； 八年级第三组学生的成绩：93，92，94，92，91，92，92，94，92； 七年级和八年级抽取20名学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 93 a 94 50 八年级 93 92 b (1)______，______，______，并补全频数直方图； (2)已知该校七年级和八年级学生数分别有1200名、800名，若学生测试成绩达到90分以上（含90分）为优秀，请你估计该学校本次测试成绩达到优秀的总人数； (3)根据以上数据，哪个年级的学生对我国航天知识了解得更好一些？请说明理由．（写出一条理由即可） 3．2024年国家提出推进中国式现代化，推进乡村全面振兴后，甲村经济发展进入了快车道．为了解甲村去年下半年经济发展状况，从该村400户家庭中随机抽取了部分家庭调查其去年下半年的收入情况，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图． 组别 分组（万元） 频数（户） 每组平均收入 4 7 5 8.3 a 9 b 9.5 请根据图表中提供的信息，解答下列问题： (1)请补全统计表和统计图_____；_____；_____； (2)所抽取家庭去年下半年家庭收入的中位数落在_____组； (3)求所抽取家庭去年下半年家庭收入的平均数； (4)试估计去年下半年甲村400户家庭中收入不低于8.5万元的户数． 4．不透明的袋中装有个大小相同，红、白两种颜色的小球，现在每次从袋中摸1个，然后放回搅匀再摸，在摸球试验中得到下列表格中部分数据． 摸球次数 出现红色的频数 出现红色的频率 (1)将数据表补充完整．(精确到) (2)根据表中数据可知，从袋中摸出一个球，恰为红球的概率是多少？(精确到 (3)由以上结果估计袋中约有红球多少个？ 摸球次数 出现红色的频数 出现红色的频率 5．学校为探究辅助学习工具的反馈，从七、八年级各随机抽取20名学生进行使用满意度评分，随后将评分进行整理、描述和分析（评分为百分制且为整数，均不低于60分，用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生评分在B组的数据为：80，83，84，85，87，88，88，89 八年级20名学生的评分是：65，68，70，72，74，76，78，80，82，82，84，86，86，86，88，90，92，93，94，94 七、八年级所抽取学生使用满意度评分统计表 年级 七年级 八年级 平均数 82 82 中位数 a 83 众数 78 b (1)上述图表中________，_______，________； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对辅助学习工具的满意度更高？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若该校七年级有600人，八年级有500人，请估计该校七、八年级所有学生中评分达到“非常满意”（不低于90分）的总人数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $