专题7.1 相似多边形（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测） 2026-2027学年苏科版九年级数学下册
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精品
内容正文：
简一数理 初中专题讲义
专题7.1 相似多边形
（新教材苏科版）
知识点一、相似图形 2
知识点二、相似三角形 2
知识点三、相似多边形 2
知识点四、比例线段 2
知识点五、比例的基本性质 2
知识点六、平行线分线段成比例定理 3
知识点七、位似变换 3
知识点八、作图-位似变换 4
知识点九、黄金分割 4
【题型1 比例线段】 4
【题型2 成比例线段】 5
【题型3 比例的性质】 5
【题型4 黄金分割】 6
【题型5 由平行判断成比例的线段】 7
【题型6 由平行截线求相关线段的长或比值】 8
【题型7 位似图形相关概念辨析】 9
【题型8 位似图形的识别】 10
【题型9 判定位似中心】 11
【题型10 画已知图形放大或缩小n倍的位似图形】 13
【题型11 求位似图形的对应坐标】 15
【题型12 求两个位似图形的相似比】 16
【题型13 在坐标系中求位似图形的相似比、周长比、面积比】 17
【题型14 在坐标系中画位似图形】 18
【题型15 在坐标系中画位似中心】 20
【题型16 相似多边形】 22
【题型17 相似多边形的性质（边长、周长、面积）】 23
【探究式学习】 25
【课后检测】 27
【复盘笔记】 33
知识点一、相似图形
相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.
要点：
(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形全等；
知识点二、相似三角形
在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”
知识点三、相似多边形
相似多边形的性质：
（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似多边形的周长比等于相似比．
（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．
要点：
用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况：
（1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形；
（2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形；
（3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形.
知识点四、比例线段
在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
知识点五、比例的基本性质
(1)基本性质：⇔ ad＝bc；（b、d≠0）
(2)合比性质：⇔＝；（b、d≠0）
(3)等比性质：＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)⇔
＝k.（b、d、···、n≠0）
知识点六、平行线分线段成比例定理
（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则.
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB∥CD，则.
（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．
如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.
知识点七、位似变换
（1）位似图形的定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：①两个图形必须是相似形；
②对应点的连线都经过同一点；
③对应边平行．
（2）位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
知识点八、作图-位似变换
（1）画位似图形的一般步骤为：
①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小．
（2） 注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的．
知识点九、黄金分割
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝=≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
【题型1 比例线段】
【例1】下列四组数作为长度的线段中，是比例线段的一组为（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【变式1-1】在一幅比例尺为的地图上，量得某段高速公路长5.5厘米，则这段高速公路的实际长度是（ ）
A．55米 B．550米 C．5500 米 D．55千米
【变式1-2】如图，已知，与相交于点，点是的中点，过点作交于点，如果，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（1）已知，则代数式的值是_____；
（2）已知线段，，则线段a，b的比例中项是_______．
【题型2 成比例线段】
【例2】已知线段、、，求作线段，使．下列作图方法中都有，作法合理的一项是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】下面四组线段中，不成比例的是（ ）
A．3、6、2、4 B．4、6、8、10
C．1、、、 D．、、4、6
【变式2-2】如图，正方形中，点E是对角线上的一点，，过点E作，，垂足分别为点F，G，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】下列命题正确的是（）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．相等的弦所对的弧相等
C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
D．若点是线段的黄金分割点，则与的比叫做黄金比
【题型3 比例的性质】
【例3】若，则下列等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【变式3-2】若四条线段满足，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
【变式3-3】若，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【题型4 黄金分割】
【例4】宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感．现在，按照如下的步骤作图：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取的中点M、N，连接；第三步：以点N为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点E；第四步：过点E作，交的延长线于F．则下列四个矩形中是黄金矩形的是（ ）．
A．矩形 B．矩形 C．矩形 D．矩形
【变式4-1】玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比时，可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】如图，相同的瓶子里装入了不同量的水，用棒敲击瓶子时，可发出不同的音调．通过实验发现，当瓶子的水面高度与瓶高之比为黄金比时，可以发出“”的音调．已知瓶高，若瓶子可以发出“”的音调，则下列高度最接近水面高度的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】如图，正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（阴影部分），已知点、都是线段的黄金分割点，已知，则的长为________．
【题型5 由平行判断成比例的线段】
【例5】如图，已知，它们依次交直线，于点、、和点、、，若，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】已知线段，求作线段，使，下面作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】如图，已知直线，分别交直线，于点，，，，，，若，，则的长为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【变式5-3】如图，在中，，点 D、E 分别是 的中点，以为直径作 交 于点 F、G，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．
【题型6 由平行截线求相关线段的长或比值】
【例6】如图，，点，分别在线段，上，已知，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】如图，在中，，，分别是边，，上的点，，，且，那么（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】如图，，，，，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】如图，已知，，，线段的长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【题型7 位似图形相关概念辨析】
【例7】如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（ ）
A． B．点A，O，三点在同一直线上
C． D．
【变式7-1】在平面直角坐标系中，将一个图形以原点为位似中心，经过位似变换，使其扩大为原来的3倍，则该图形上各点坐标可能的变化是（ ）
A．横、纵坐标分别加3 B．纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍
C．横、纵坐标分别乘3 D．横、纵坐标分别变为原来的
【变式7-2】如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心．若，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-3】下列命题是真命题的是（ ）
A．平行四边形一定是轴对称图形
B．平行四边形一定是中心对称图形
C．两个相似多边形一定位似
D．两个位似多边形一定全等
【题型8 位似图形的识别】
【例8】下列图形中，不是位似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-1】如图，是由以点O为位似中心放大得到，还可以看作是经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次平移和1次位似；②1次旋转和1次位似；③2次轴对称和1次位似；④1次轴对称、1次旋转和1次位似．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【变式8-2】视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“ ”均是相似图形，其中不是位似图形的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和④ D．②和④
【变式8-3】下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型9 判定位似中心】
【例9】如图，在平面直角坐标系中，四边形的各顶点坐标分别是 ， ， ， ，四边形的各顶点坐标分别是 ， ， ， ．有下列说法：①四边形 与四边形的形状相同；②；③ ；④连接各对应顶点的直线相交于一点．其中说法正确的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【变式9-1】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形，位似中心在y轴上，对应点B、F的坐标分别为（﹣4，4）、（2，1），则位似中心的坐标为（ ）
A．（0，1） B．（0，2） C．（0，3） D．（0，4）
【变式9-2】如图，正方形与正方形是位似图形，且位似中心位于两正方形的同侧．已知，则位似中心的坐标是___________．
【变式9-3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，．
(1)画出将先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的；
(2)以原点为位似中心，在轴的右侧画出与位似的，使它与的相似比为；
(3)请在图中标出和的位似中心点，并写出点的坐标．
【题型10 画已知图形放大或缩小n倍的位似图形】
【例10】如图，将先向左平移4个单位，得到，再以原点O为位似中心，作的位似三角形，使它与的相似比为且在同一象限内，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式10-1】将某个图形上各点的横、纵坐标都乘，所得图形与原图形相比（ ）
A．完全没有变化 B．对应线段的长度扩大为原来的 2 倍
C．对应线段的长度缩小为原来的 D．关于纵轴成轴对称
【变式10-2】如图，在网格图中，以O为位似中心，把△ABC缩小到原来的，则点A的对应点为（ ）
A．D点 B．E点 C．D点或G点 D．D点或 F点
【变式10-3】如图，在正方形网格中，点、、都在格点上，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）
(1)在图1中，以为位似中心，位似比为；请画出放大后的．
(2)在图2中，线段上作点，利用格点作图使得．
【题型11 求位似图形的对应坐标】
【例11】如图，和是以点O为位似中心的位似图形，且．若点C的坐标为，则点F的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式11-1】如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式11-2】在平面直角坐标系中，的顶点A、B的坐标分别为，以点O为位似中心，在原点的另一侧作，且与的位似比为，则点B的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式11-3】如图，已知点，，以为位似中心，按比例，把缩小，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【题型12 求两个位似图形的相似比】
【例12】如图， 四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，则四边形与四边形面积之比是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【变式12-1】如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（ ）
A． B．点三点在同一条直线上
C． D．
【变式12-2】如图，以某点为位似中心，将进行位似变换得到，记与对应边的比为k，那么位似中心的坐标和k的值分别为（ ）
A．； B．；
C．； D．；
【变式12-3】如图，在平面直角坐标系中，已知，以原点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点A的对应点的坐标为( )
A． B． C．或 D．或
【题型13 在坐标系中求位似图形的相似比、周长比、面积比】
【例13】如图，正方形的两边，分别在平面直角坐标系的、轴的正半轴上，正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，已知，若点的坐标为，则正方形与正方形的相似比是（ ）
A． B． C． D．
【变式13-1】如图，四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式13-2】如图，与位似，其位似中心为点O，且，则与的周长比是（ ）
A． B． C． D．
【变式13-3】如图，与是位似图形，位似中心为点O．若的面积为m，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【题型14 在坐标系中画位似图形】
【例14】如图，网格中每个小正方形的边长都是1，的三个顶点均在格点上，与位似，点为位似中心，且位似比为1：2．若在网格中建立坐标系，点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B．或 C． D．或
【变式14-1】如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别是，，，与关于原点位似，点，，的对应点分别为点，，，其中点的坐标是．
(1)与的相似比是__________．
(2)请在图中画出，并求出的面积为__________．
【变式14-2】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为．
(1)以坐标原点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，使与位于位似中心的两侧，请在平面直角坐标系中画出；
(2)设与的周长分别为、，则___________．
【变式14-3】如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为个单位长度，已知的顶点坐标分别为，，．
(1)在图中画出；
(2)以点为位似中心，在图中画出，使与位似，且点的坐标为；
(3)与的相似比是__________．
【题型15 在坐标系中画位似中心】
【例15】如图，△ABO是等边三角形，其中点O与原点重合，点B的坐标为（6，0），点A在反比例函数的图象上，数学兴趣小组对等边△ABO进行变换操作，得到如下结论：
①将等边△ABO沿AO方向平移6个单位长度，恰好存在一个顶点在反比例函数的图象上；
②将△ABO绕着点O分别逆时针旋转30°，60°，180°，210°，240°，恰好都存在一个顶点在反比例函数的图象上；
③将等边△ABO以点O为位似中心，位似比为1，得到的位似图形恰好存在一个顶点在反比例函数的图象上；
④将等边△ABO以直线或直线为对称轴进行翻折，恰好存在一个顶点在反比例函数的图象上．
其中正确的是（ ）
A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【变式15-1】如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，它们顶点的横坐标、纵坐标都是整数，则位似中心的坐标为__________．
【变式15-2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)是的边上一点，经平移后点的对应点为，请画出上述平移后的；
(2)以点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为2；
(3)若与是关于某一点为位似中心的位似图形，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标：
【变式15-3】在如图所示的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，是的边上一点．
(1)以原点为位似中心，在轴的左侧画出的一个位似图形，使它与的相似比为，并分别写出点，的对应点，的坐标；
(2)将向右平移5个单位长度后得，判断与能否是以某一点为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标．
【题型16 相似多边形】
【例16】如图，两个正方形、两个等边三角形、两个等腰直角三角形、两个矩形各成一组，同组的两个图形不一定相似的是（ ）
A． B． C． D．
【变式16-1】如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（ ）
A．正六边形 B．矩形和正六边形
C．三角形和矩形 D．三角形和正六边形
【变式16-2】如图，矩形和矩形，要判定他们是否相似，小明有以下2种方法．
①如图1，将放在上，连接并延长与交于点．若点在同一直线上，则矩形和矩形相似；
②如图2，连接和，若，则矩形和矩形相似．
上述说法正确的是（ ）
A．①②都对 B．①②都错 C．①对②错 D．①错②对
【变式16-3】下列图形中，不一定相似的是（ ）
A．两条对角线的比相等的两个平行四边形
B．邻边之比相等的两个矩形
C．有一组角对应相等的两个菱形
D．四条边对应成比例且对应角相等的两个平行四边形
【题型17 相似多边形的性质（边长、周长、面积）】
【例17】如图，在正方形网格中，五边形和五边形的顶点均在格点（网格线的交点）上，已知五边形五边形，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式17-1】矩形中，，点E、F分别在边、上，四边形是正方形，四边形四边形，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．无法计算
【变式17-2】我们手中拿着的试卷是一张纸，将它对折后得到一张的纸．你知道吗？纸和纸是相似的矩形，动手试一试，由此你能得出一张纸的宽与长的比应该是（ ）
A． B． C． D．
【变式17-3】以下是利用出入相补原理解决比例线段问题的一个例子：
如图，设O是矩形对角线上任意一点，过点O分别作一组邻边的平行线，直线分别与边交于点P、Q，直线分别与边交于点R、S，那么由矩形与矩形的面积相等可以得到：，这个结论通常表示为
部分同学进一步研究了这个图形，提出以下两个命题：
命题甲：矩形与矩形相似．
命题乙：如果将矩形、矩形、矩形的面积依次记为、、，那么是和的比例中项．
关于这两个命题，下列判断正确的是（ ）
A．命题甲是真命题，命题乙是假命题 B．命题甲是假命题，命题乙是真命题
C．命题甲、命题乙都是真命题 D．命题甲、命题乙都是假命题
【探究式学习】
1．【问题背景】如图，以矩形的宽为边，在其内部作正方形，若，则称矩形为“黄金矩形”，其长与宽的比（）称为“黄金比率”．
【问题探究】求“黄金比率”：
设，，则，
∵，∴，即．
∴．
∴，（负数不合题意，舍去）．
∴黄金比率为：．
(1)【问题提出】如图，以矩形的宽为边在其内部作两个正方形，，若，则称矩形为“白银矩形”，其长与宽的比（）称为“白银比率”，求“白银比率”．
(2)【问题拓展】如图，从正方形上剪下宽的矩形后，剩余部分（矩形）是“白银矩形”，求正方形的边长．
2．定义：如图1，点、把线段分割成三条线段、和，若，则称是线段的比例中段，、是线段的中段分点．
(1)已知点、是线段的中段分点．
①若，，则 ；
②在图1中，若，，求的长．
(2)如图2，在中，是线段的比例中段，、分别是线段、延长线上的点，且，、的延长线分别交线段于点，．探究是否为线段的比例中段，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．.
【课后检测】
1．下面四组线段中不是成比例线段的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
2．已知，，，是成比例线段，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将按相似比缩小，得到，若点的对应点为，则点的坐标为（ ）
A．或 B．
C． D．或
4．如图，，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．下面是嘉嘉课堂笔记的一部分，其中，括号内应填入的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，已知，若舞台的长为，则舞台从到的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，，若，，，则的长为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
8．如图，是的中线，点E在上，交于点F，若，为（ ）
A． B． C． D．
9．已知，线段，点，是线段的两个黄金分割点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，点P为线段的黄金分割点，且，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，已知，直线分别交直线，，于点，，，直线分别交直线，，于点，，，，，，则的长为_________．
12．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是，，，，已知矩形与矩形位似，位似中心是原点，且矩形面积等于矩形面积的，则点的坐标为________．
13．如图，黄金矩形中，，以宽为边在其内部作正方形，得到四边形是黄金矩形．依此作法，四边形，四边形也是黄金矩形．若，则的长为_________．
14．如图，直线，相交于点，．若，，，则___________．
15．若，则______．
16．已知线段，的长满足．
(1)求的值．
(2)若，线段是，的比例中项，求线段的长．
17．在网格中建立平面直角坐标系，，，，．
(1)以点为位似中心，在网格中作的位似图形，使的边长放大到原来的倍．
(2)某同学在探索“函数的系数，，与图象的关系”时分别经过，，，这四个点中的三个点画出二次函数的图象，则选哪三个点的抛物线对应的函数表达式最小？请在中选择个填入横线________
18．如图，平面直角坐标系中，各顶点坐标．
(1)画以点为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍，得到；
(2)内有一点在中的对应点的坐标为_________．
19．如图，直线、、分别交直线于点、、，交直线于点、、，且，已知，．
(1)求的长；
(2)当，时，求的长．
20．如图，在中，，过边的中点作的垂线，交于点，点，在射线上，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求的长．
21．如图，在中，，，以为直角边，向上作，，，连接，过点作交于点，交于点．
(1)如图1，若，，求的长度；
(2)如图2，点为线段上一点，连接，若，请用等式表示线段，，的数量关系并证明；
(3)如图3，若，连接，当取得最小值时，请直接写出的值．
22．如图，四边形是正方形，P是对角线的延长线上一点，连接，交的延长线于点E．
(1)求证：；
(2)过点E作于点F，过点P作交于点G，当时，求的长；
(3)请猜想，与之间的数量关系，并证明．
【复盘笔记】
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简一数理 初中专题讲义
专题7.1 相似多边形
（新教材苏科版）
知识点一、相似图形 2
知识点二、相似三角形 2
知识点三、相似多边形 2
知识点四、比例线段 2
知识点五、比例的基本性质 2
知识点六、平行线分线段成比例定理 3
知识点七、位似变换 3
知识点八、作图-位似变换 4
知识点九、黄金分割 4
【题型1 比例线段】 4
【题型2 成比例线段】 6
【题型3 比例的性质】 8
【题型4 黄金分割】 10
【题型5 由平行判断成比例的线段】 12
【题型6 由平行截线求相关线段的长或比值】 15
【题型7 位似图形相关概念辨析】 17
【题型8 位似图形的识别】 19
【题型9 判定位似中心】 22
【题型10 画已知图形放大或缩小n倍的位似图形】 27
【题型11 求位似图形的对应坐标】 30
【题型12 求两个位似图形的相似比】 32
【题型13 在坐标系中求位似图形的相似比、周长比、面积比】 35
【题型14 在坐标系中画位似图形】 38
【题型15 在坐标系中画位似中心】 43
【题型16 相似多边形】 49
【题型17 相似多边形的性质（边长、周长、面积）】 52
【探究式学习】 56
【课后检测】 59
【复盘笔记】 79
知识点一、相似图形
相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.
要点：
(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形全等；
知识点二、相似三角形
在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”
知识点三、相似多边形
相似多边形的性质：
（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似多边形的周长比等于相似比．
（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．
要点：
用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况：
（1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形；
（2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形；
（3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形.
知识点四、比例线段
在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
知识点五、比例的基本性质
(1)基本性质：⇔ ad＝bc；（b、d≠0）
(2)合比性质：⇔＝；（b、d≠0）
(3)等比性质：＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)⇔
＝k.（b、d、···、n≠0）
知识点六、平行线分线段成比例定理
（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则.
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB∥CD，则.
（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．
如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.
知识点七、位似变换
（1）位似图形的定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：①两个图形必须是相似形；
②对应点的连线都经过同一点；
③对应边平行．
（2）位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
知识点八、作图-位似变换
（1）画位似图形的一般步骤为：
①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小．
（2） 注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的．
知识点九、黄金分割
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝=≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
【题型1 比例线段】
【例1】下列四组数作为长度的线段中，是比例线段的一组为（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】A
【详解】解：A、由于，则四条线段成比例线段，故A选项符合题意；
B、由于，则四条线段不成比例线段，故B选项不符合题意；
C、由于，则四条线段不成比例线段，故C选项不符合题意；
D、由于，则四条线段不成比例线段，故D选项不符合题意．
【变式1-1】在一幅比例尺为的地图上，量得某段高速公路长5.5厘米，则这段高速公路的实际长度是（ ）
A．55米 B．550米 C．5500 米 D．55千米
【答案】D
【分析】本题主要考查了比例线段，、比例尺的定义等知识点，根据比例尺的定义列出算式是解题的关键．
根据比例尺的定义列式计算，然后再把单位换算为千米即可．
【详解】解：这段高速公路的实际长度是．故大桥的实际长度是55千米．
故选：D．
【变式1-2】如图，已知，与相交于点，点是的中点，过点作交于点，如果，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先证明△ADO∽△CBO，得到，再根据点是的中点，得到，最后证明△OGE∽△OBC，即可得到．
【详解】解：∵AD∥BC，
∴△ADO∽△CBO，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，GD=BG，
∴，
∴，
∵，
∴△OGE∽△OBC，
∴．
故选：A
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质定理并能熟练根据比的性质进行线段比转化是解题关键．
【变式1-3】（1）已知，则代数式的值是_____；
（2）已知线段，，则线段a，b的比例中项是_______．
【答案】 /
【分析】本题考查了比例线段，理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．
（1）根据比例的性质即可求解；
（2）根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．
【详解】解：（1）∵，
∴，设，
∴，
故答案为：；
（2）∵线段，，
设：它们的比例中项是，
∴，
，（线段是正数，负值舍去）．
故答案为：．
【题型2 成比例线段】
【例2】已知线段、、，求作线段，使．下列作图方法中都有，作法合理的一项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将已知等式转化为比例式，结合平行线分线段成比例定理或相似三角形性质，分析各选项中线段对应关系及作图可行性．
【详解】解：A、，
∴，即，
但线段或的位置依赖于未知线段，无法直接作出，故此选项不符合题意；
B、，
∴，即，
但线段的位置依赖于未知线段，无法直接作出，故此选项不符合题意；
C、设两直线交点为，
，
，
，且、、均为已知线段，可从点直接截取，作法合理，故此选项符合题意；
D、设两直线交点为，
，
，
，故此选项不符合题意．
【变式2-1】下面四组线段中，不成比例的是（ ）
A．3、6、2、4 B．4、6、8、10
C．1、、、 D．、、4、6
【答案】B
【详解】解：A选项：，四条线段成比例，不符合题意；
B选项：，四条线段不成比例，符合题意；
C选项：，四条线段成比例，不符合题意；
D选项：，四条线段成比例，不符合题意．
【变式2-2】如图，正方形中，点E是对角线上的一点，，过点E作，，垂足分别为点F，G，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】证明四边形是正方形，得到，根据勾股定理求出，进而计算的值即可．
【详解】解：∵正方形，点E是对角线上的一点，，，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，
设，
则，
，
，
．
【变式2-3】下列命题正确的是（）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．相等的弦所对的弧相等
C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
D．若点是线段的黄金分割点，则与的比叫做黄金比
【答案】C
【分析】根据矩形判定，圆中弦弧关系，平行线分线段成比例定理，黄金分割定义逐一判断命题正误即可.
【详解】解：、对角线相等的平行四边形才是矩形，任意对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等但不是矩形，故该选项错误，不符合题意；
、只有在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧才相等，未给出同圆或等圆的条件，故该选项错误，不符合题意；
、该表述是平行线分线段成比例的基本定理，表述正确，故该选项正确，符合题意；
、黄金比是较长线段与整条线段的比，选项未说明是较长线段，表述不严谨，故该选项错误，不符合题意．
【题型3 比例的性质】
【例3】若，则下列等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设参数表示、，代入各选项验证．
【详解】解：∵，∴设，（），
对A：∵，，∴，成立；
对B：∵，∴等式成立；
对C：∵，∴等式成立；
对D：∵，∴等式不成立．
【变式3-1】已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】设比例比值为参数k，用k表示a,b,c后代入分式约分化简．
【详解】解：设，则，，．
．
【变式3-2】若四条线段满足，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】由可得，，再代入进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴．
【变式3-3】若，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将待求分式变形为含的形式，代入已知比例值计算即可．
【详解】解：∵，，
∴．
∴．
【题型4 黄金分割】
【例4】宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感．现在，按照如下的步骤作图：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取的中点M、N，连接；第三步：以点N为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点E；第四步：过点E作，交的延长线于F．则下列四个矩形中是黄金矩形的是（ ）．
A．矩形 B．矩形 C．矩形 D．矩形
【答案】B
【分析】设正方形的边长为，利用勾股定理求出的长，进而得到和的长，计算矩形的宽与长的比即可判断．
【详解】解：设正方形的边长为．
∵点N为的中点，
∴，，
在 中，，
由作图可知，
∴，
对于矩形，，是黄金矩形；
对于矩形，，不是黄金矩形；
对于矩形，是正方形，宽长比为1，不是黄金矩形；
对于矩形，，不是黄金矩形．
【变式4-1】玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比时，可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可．
【详解】解：∵液面高度与瓶高之比为黄金比，
∴，
【变式4-2】如图，相同的瓶子里装入了不同量的水，用棒敲击瓶子时，可发出不同的音调．通过实验发现，当瓶子的水面高度与瓶高之比为黄金比时，可以发出“”的音调．已知瓶高，若瓶子可以发出“”的音调，则下列高度最接近水面高度的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：根据题意，可知，
∵，
∴，
故选项C符合题意，选项A、B、D不符合题意．
【变式4-3】如图，正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（阴影部分），已知点、都是线段的黄金分割点，已知，则的长为________．
【答案】
【分析】根据黄金分割比例求出的长，再求出的长，进而可求出的长．
【详解】解：∵点、都是线段的黄金分割点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【题型5 由平行判断成比例的线段】
【例5】如图，已知，它们依次交直线，于点、、和点、、，若，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，
∴，
∴，
根据现有条件无法得到，，
故只有B选项中的结论正确，符合题意．
【变式5-1】已知线段，求作线段，使，下面作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．
【详解】解：由A得，，则，A错误；
由B得，，则，B正确；
由C得，，则，C错误；
由D得，，则，D错误．
【变式5-2】如图，已知直线，分别交直线，于点，，，，，，若，，则的长为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理可得，即可求解．
【详解】解：∵直线，
∴，即
∴．
【变式5-3】如图，在中，，点 D、E 分别是 的中点，以为直径作 交 于点 F、G，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据勾股定理求出的长，得到圆的半径，过点O作，过点C作，连接，结合垂径定理即可求解
【详解】解：∵，
∴，
∵D、E 分别是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴，，
∴ 的半径为 ．
过点O作，过点C作，交于点H，连接，则，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【题型6 由平行截线求相关线段的长或比值】
【例6】如图，，点，分别在线段，上，已知，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，点，分别在线段，上，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【变式6-1】如图，在中，，，分别是边，，上的点，，，且，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵，
∴．
【变式6-2】如图，，，，，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，从而列出比例式，求得的长度．
【详解】解：已知，根据平行线分线段成比例的性质可得，
将，，代入比例式可得，
，解得．
【变式6-3】如图，已知，，，线段的长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】A
【分析】根据平行线分线段成比例定理，由可得，代入已知数据计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
解得：．
【题型7 位似图形相关概念辨析】
【例7】如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（ ）
A． B．点A，O，三点在同一直线上
C． D．
【答案】C
【详解】解：∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，
∴，点A，O，三点在同一直线上，，
，即，
∴四个选项中只有C选项的说法不正确，符合题意．
【变式7-1】在平面直角坐标系中，将一个图形以原点为位似中心，经过位似变换，使其扩大为原来的3倍，则该图形上各点坐标可能的变化是（ ）
A．横、纵坐标分别加3 B．纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍
C．横、纵坐标分别乘3 D．横、纵坐标分别变为原来的
【答案】C
【分析】以原点为位似中心，将图形扩大为原来的3倍，则图形上各点的横、纵坐标都要乘3；平移是坐标做加减，只改变横坐标或只改变纵坐标不是位似变换，乘是缩小为原来的，据此判断选项即可．
【详解】解：A、横、纵坐标分别加3属于平移变换，不是位似变换，此选项不符合题意；
B、纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍，不是原点为位似中心的位似变换，此选项不符合题意；
C、横、纵坐标分别乘3，是以原点为位似中心扩大到原来的3倍的坐标变化，此选项符合题意；
D、横、纵坐标分别变为原来的，图形会缩小为原来的，此选项不符合题意．
【变式7-2】如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心．若，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据位似图形的性质得到，，，且三点共线，三点共线，证明推出，同理可证明，得到，据此逐一判断即可．
【详解】解：∵五边形与五边形是位似图形，
∴，，，且三点共线，三点共线，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可证明，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四个选项中，A、B、C选项正确，不符合题意，只有D选项中的结论错误，符合题意．
【变式7-3】下列命题是真命题的是（ ）
A．平行四边形一定是轴对称图形
B．平行四边形一定是中心对称图形
C．两个相似多边形一定位似
D．两个位似多边形一定全等
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的对称性、相似多边形与位似多边形的关系，解题的关键是准确掌握轴对称图形、中心对称图形的定义，以及相似与位似、位似与全等的区别和联系．
依据轴对称图形、中心对称图形定义，判断平行四边形的对称性；依据相似、位似、全等的定义与关系，判断相似多边形与位似、位似多边形与全等的关系，确定正确答案．
【详解】A． 普通平行四边形没有对称轴，只有菱形和矩形等特殊类型才有，因此一定是轴对称图形错误，故该选项不符合题意；
B．平行四边形的对角线互相平分，绕对角线交点旋转后与原图重合，一定是中心对称图形，故该选项符合题意；
C．两个相似多边形对应边不一定平行或对应点连线不一定交于一点，不一定位似，故该选项不符合题意；
D．位似多边形是相似多边形，但位似比不一定为1，不一定全等，，故该选项不符合题意；
故选：B
【题型8 位似图形的识别】
【例8】下列图形中，不是位似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，根据位似图形的定义逐项判断即可得出答案．
【详解】解：、是位似图形，故本选项不符合题意；
、是位似图形，故本选项不符合题意；
、是位似图形，故本选项不符合题意；
、不是位似图形，故本选项符合题意．
【变式8-1】如图，是由以点O为位似中心放大得到，还可以看作是经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次平移和1次位似；②1次旋转和1次位似；③2次轴对称和1次位似；④1次轴对称、1次旋转和1次位似．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【分析】本题考查图形变换—平移，轴对称，旋转和位似，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：针对①②③④逐一画图分析即可得解．
【详解】解：①如图，
假设沿所在直线向下平移得到，
由图很明显可知与是位似图形，
所以经过一次平移和一次位似可以得到，
故①正确；
②如图，
假设绕点C旋转，得到，
由图很明显可知与是位似图形，
所以经过一次旋转和一次位似可以得到，
故②正确；
③两次轴对称之后，可以看作一次平移，
所以结合①我们可知，再通过一次位似图形可以得到，
故③正确；
④如图，
假设先沿所在直线轴对称，得到，
再绕点O旋转得到，
由图很明显可知其对应点连线并未交于同一点，所以其与不是位似图形，
故④错误；
故选：A．
【变式8-2】视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“ ”均是相似图形，其中不是位似图形的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和④ D．②和④
【答案】B
【分析】位似图形必须同时满足两个条件：（1）两个图形是相似图形；（2）两个相似图形每组对应点连线所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），据此逐项判断即可得．
【详解】解：A、①和②是位似图形，则此项不符合题意；
B、②和③对应点的连线不在同一个点，不是位似图形，则此项符合题意；
C、①和④是位似图形，则此项不符合题意；
D、②和④是位似图形，则此项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了位似图形，熟记定义是解题关键．
【变式8-3】下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相平行（或共线），像这样的两个图形叫做位似图形．
【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形，
图3中、不平行，故与不成位似图形，
∴与成位似图形有3个．
【题型9 判定位似中心】
【例9】如图，在平面直角坐标系中，四边形的各顶点坐标分别是 ， ， ， ，四边形的各顶点坐标分别是 ， ， ， ．有下列说法：①四边形 与四边形的形状相同；②；③ ；④连接各对应顶点的直线相交于一点．其中说法正确的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】C
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化的知识，掌握位似图形的性质是解题的关键；
首先根据两个四边形的顶点坐标的关系，可知四边形 与四边形为位似图形，再结合位似图形的性质分析判断各说法，即可解题．
【详解】解：根据各点坐标可看出四边形横纵坐标都乘2得到四边形，所以两个四边形形状相同，故①正确．
四边形边长扩大2倍为四边形的边长，所以，故②正确，③不正确．
由图知，
连接各个对应顶点的直线相交于点O，故④正确，
综上所述，说法正确的有①②④共3个
故选：C．
【变式9-1】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形，位似中心在y轴上，对应点B、F的坐标分别为（﹣4，4）、（2，1），则位似中心的坐标为（ ）
A．（0，1） B．（0，2） C．（0，3） D．（0，4）
【答案】B
【分析】如图，连接BF交y轴于P，根据位似图形的定义可得点P为位似中心，根据点B、F坐标可得点C、G坐标，可得CG的长，根据相似三角形的性质可求出GP的长，即可求出点P的坐标．
【详解】如图，连接BF交y轴于P，
∵矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形，位似中心在y轴上，点B、F为对应点，
∴点P为位似中心，
∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），
∴点C的坐标为（0，4），点G的坐标为（0，1），BC=4，GF=2，OG=1，
∴CG＝3，
∵BC∥GF，
∴△BCP∽△FGP，
∴＝＝，PC=CG-PG，
解得：GP＝1，
∴OP=OG+GP=2，
∴点P的坐标为（0，2），
故选：B．
【点睛】本题考查位似图形的定义、相似三角形的判定与性质，理解位似图形的定义、熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
【变式9-2】如图，正方形与正方形是位似图形，且位似中心位于两正方形的同侧．已知，则位似中心的坐标是___________．
【答案】
【分析】此题主要考查了位似图形的性质以及待定系数法求一次函数解析式，正确求出一次函数解析式是解题的关键．根据位似中心位于两正方形的同侧，得出C与E是对应点，D与F是对应点，分别利用待定系数法求出直线和的解析式，再将两个解析式组成方程组，求得x和y的值即可得出位似中心的坐标．
【详解】解：∵位似中心位于两正方形的同侧，
∴点C和E是对应点，点D和F是对应点，
由题意可得，
设直线的解析式为：，
则 ，
解得： ，
故直线的解析式为：，
设直线的解析式为：，
则 ，
解得： ，
故直线的解析式为：，
则 ，
解得： ，
即位似中心是：．
【变式9-3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，．
(1)画出将先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的；
(2)以原点为位似中心，在轴的右侧画出与位似的，使它与的相似比为；
(3)请在图中标出和的位似中心点，并写出点的坐标．
【答案】(1)解：根据题意，画图如下：
则即为所求．
(2)解：根据题意，画图如下：
则即为所求．
(3)解：根据题意，画图如下：
则点即为所求．且点的坐标为．
【分析】（1）根据平移的原则，画图解答即可；
（2）根据位似的性质，确定，，顺次连接三个点得到即可．
（3）根据位似的性质，对应点连线的交点即为所求，解答即可．
【详解】（1）解：略．
（2）解：略．
（3）解：略．
【题型10 画已知图形放大或缩小n倍的位似图形】
【例10】如图，将先向左平移4个单位，得到，再以原点O为位似中心，作的位似三角形，使它与的相似比为且在同一象限内，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别求得、、的坐标，画出图形，根据求线段中点的坐标公式，即可求得．
【详解】解：、、，将向左平移4个单位，得到，
、、，
如图：
以原点O为位似中心，作的位似三角形，使它与的相似比为且在同一象限内，
的坐标为，即，
故选：C．
【点睛】本题考查了平移和位似作图，熟练掌握和运用平移和位似作图的方法是解决本题的关键．
【变式10-1】将某个图形上各点的横、纵坐标都乘，所得图形与原图形相比（ ）
A．完全没有变化 B．对应线段的长度扩大为原来的 2 倍
C．对应线段的长度缩小为原来的 D．关于纵轴成轴对称
【答案】C
【分析】本题考查平面直角坐标系中图形的缩放变换，根据横纵坐标同乘正数的变换性质判断图形变化即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵将图形上各点的横、纵坐标都乘，是对原图形进行以原点为位似中心，位似比为的位似变换，
∴所得图形与原图形相似，且对应线段的长度缩小为原来的，
故选：C．
【变式10-2】如图，在网格图中，以O为位似中心，把△ABC缩小到原来的，则点A的对应点为（ ）
A．D点 B．E点 C．D点或G点 D．D点或 F点
【答案】C
【分析】结合题意，根据位似图形的性质分析，即可得到答案．
【详解】如图，连接AO并延长于点G
根据题意，得：
以O为位似中心，把△ABC缩小到原来的
当△ABC缩小后，在位似中心同侧时，点A的对应点为点D
当△ABC缩小后，在位似中心异侧时，点A的对应点为点G
故选：C．
【点睛】本题考查了位似的知识，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质，从而完成求解．
【变式10-3】如图，在正方形网格中，点、、都在格点上，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）
(1)在图1中，以为位似中心，位似比为；请画出放大后的．
(2)在图2中，线段上作点，利用格点作图使得．
【答案】(1)，即为所作
(2)点M即为所作
【分析】（1）根据网格图，结合位似图形的特点以及位似比作图即可；
（2）连接，运用网格线合理取点即可作答．
【详解】（1）解：延长至网格点，延长至网格点，连接，点与点C重合，图形如答案所示，
结合网格图可知：，，
即：，，满足位似比为；
（2）连接，线段刚好被点A、点B之间四根竖直的网格线分为5等分，选取如图所示的5等分点M，
即有，
作图见答案．
【题型11 求位似图形的对应坐标】
【例11】如图，和是以点O为位似中心的位似图形，且．若点C的坐标为，则点F的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用位似图形的性质确定位似比，根据图形位置关系确定坐标变换规律．
【详解】解：∵和是以点O为位似中心的位似图形，且，
∴位似比为；
∵由图可知，点F与点C在位似中心O的两侧，
∴ 点F的横坐标为，纵坐标为，
∴点F的坐标为．
【变式11-1】如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据位似图形的性质解答即可．
【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为，
∴与的位似比为2，
∴点的对应点的坐标为，即．
【变式11-2】在平面直角坐标系中，的顶点A、B的坐标分别为，以点O为位似中心，在原点的另一侧作，且与的位似比为，则点B的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵位似中心为原点，与的位似比为，且对应点在原点另一侧，
∴点的对应点的横、纵坐标分别为点横、纵坐标乘，
∵点的坐标为，
∴的横坐标为，纵坐标为，
即点的坐标为．
【变式11-3】如图，已知点，，以为位似中心，按比例，把缩小，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据位似变换的性质，以原点为位似中心时，点的对应坐标等于原坐标乘以位似比或其相反数，位似比为，把缩小，即缩小倍或倍．
【详解】解：∵点，位似中心为原点，位似比为，把缩小，
∴点A的对应点的坐标为或，
即或．
【题型12 求两个位似图形的相似比】
【例12】如图， 四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，则四边形与四边形面积之比是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【详解】解：∵四边形与四边形位似，
∴四边形与四边形相似，
∵，
∴四边形与四边形相似比为，
∴四边形与四边形面积之比是．
【变式12-1】如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（ ）
A． B．点三点在同一条直线上
C． D．
【答案】C
【分析】根据位似图形性质，相似比为，对应边比为，对应点连线过位似中心，对应边互相平行，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，由此选出错误选项．
【详解】由题意知，与是位似图形，把放大为原图形的2倍得到，
因此相似比为．
选项A、因为相似图形的对应边成比例，所以，选项A正确；
选项B、因为位似图形的对应点的连线经过位似中心，因此点在同一直线上，选项B正确；
选项C、因为位似图形的周长比等于相似比，所以，选项C错误；
选项D、因为位似图形的对应边互相平行，所以，选项D正确．
【变式12-2】如图，以某点为位似中心，将进行位似变换得到，记与对应边的比为k，那么位似中心的坐标和k的值分别为（ ）
A．； B．；
C．； D．；
【答案】D
【分析】本题考查了位似图形的知识；连接、，并延长交点为，由位似图形的性质得为位似中心，进一步即可得到答案．
【详解】解：如图，连接、，并延长交点为，
则为位似中心，
∴，
∴，
结合图形知点的坐标为．
故选：D．
【变式12-3】如图，在平面直角坐标系中，已知，以原点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点A的对应点的坐标为( )
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题考查了位似变换的性质，解题的关键是明确位似中心为原点时，对应点坐标的变化规律．
已知点，以原点为位似中心，将缩小为原来的，则位似比为或当位似比为时,的坐标为；当位似比为时,的坐标为
【详解】解：∵以原点为位似中心，将缩小为原来的，
∴位似比为或．
∵点的坐标为，
∴当位似比为时,的坐标为；
当位似比为时,的坐标为．
∴点的对应点的坐标为或．
故选：．
【题型13 在坐标系中求位似图形的相似比、周长比、面积比】
【例13】如图，正方形的两边，分别在平面直角坐标系的、轴的正半轴上，正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，已知，若点的坐标为，则正方形与正方形的相似比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长交于点E，根据，可得，即可求解．
【详解】解：如图，延长交于点E，
在正方形中，，
∴，
∵，
∴，
∵点的坐标为，
∴，
∴，
∵正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，
∴，
∴，
∴，
∴正方形与正方形的相似比是．
【变式13-1】如图，四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对应点坐标求出位似比，再利用对应边之比等于位似比求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形，
∴，即，
∴．
【变式13-2】如图，与位似，其位似中心为点O，且，则与的周长比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据位似图形的概念求出与的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】解：∵，
，
∴，
与是位似图形，
与的位似比是．
与的相似比为，
与的周长比为．
【变式13-3】如图，与是位似图形，位似中心为点O．若的面积为m，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了位似图形的性质．
根据位似图形面积比等于位似比的平方求出面积比，进而求的面积即可．
【详解】解：∵与是位似图形，位似中心为点O，，
∴，
∵的面积为m，
∴．
故选：C．
【题型14 在坐标系中画位似图形】
【例14】如图，网格中每个小正方形的边长都是1，的三个顶点均在格点上，与位似，点为位似中心，且位似比为1：2．若在网格中建立坐标系，点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【分析】根据位似变换的概念和性质、结合图形解答．
【详解】解：如图，
由图可知，点C的坐标为(-2，3)，
以点A为位似中心，在网格中画，使与△ABC位似，且位似比为1：2，
则点的坐标为(-5，0)或(-1，4)，
故选：D．
【点睛】本题考查位似变换的应用，熟练掌握位似变换的概念和性质是解题关键．
【变式14-1】如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别是，，，与关于原点位似，点，，的对应点分别为点，，，其中点的坐标是．
(1)与的相似比是__________．
(2)请在图中画出，并求出的面积为__________．
【答案】(1)
(2)即为所求，
【分析】（1）位似图形中，对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（2）先求出点、的坐标，再描点、连线即可，最后利用三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）解：∵点的坐标为，点的坐标是，与关于原点位似，
∴横坐标比为，纵坐标比为，即与的相似比是；
（2）解：∵与的相似比是，，，
∴点的坐标为，即，点的坐标为，即，
图略，
由图可得，，
∴的面积为．
【变式14-2】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为．
(1)以坐标原点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，使与位于位似中心的两侧，请在平面直角坐标系中画出；
(2)设与的周长分别为、，则___________．
【答案】(1)如图，即为所求，
(2)
【分析】（1）利用以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B、C横纵坐标都乘以得到点、、的坐标，然后描点即可；
（2）根据位似的性质得到，相似比为，然后根据相似三角形的性质解决问题．
【详解】（1）略
（2）解：∵以坐标原点为位似中心，将缩小为原来的得到．
，相似比为，即周长比为．
【变式14-3】如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为个单位长度，已知的顶点坐标分别为，，．
(1)在图中画出；
(2)以点为位似中心，在图中画出，使与位似，且点的坐标为；
(3)与的相似比是__________．
【答案】(1)如图，即为所求；
(2)如图，即为所求；
(3)
【分析】（1）分别描出点，，，再依次连接即可；
（2）根据、求出，，再在坐标系中描出点、、，最后依次连接即可；
（3）根据点坐标求出，，得到，即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：点的对应点为，，，
，，即，，
（3）解：，，，，
，，
，
与的相似比是．
【题型15 在坐标系中画位似中心】
【例15】如图，△ABO是等边三角形，其中点O与原点重合，点B的坐标为（6，0），点A在反比例函数的图象上，数学兴趣小组对等边△ABO进行变换操作，得到如下结论：
①将等边△ABO沿AO方向平移6个单位长度，恰好存在一个顶点在反比例函数的图象上；
②将△ABO绕着点O分别逆时针旋转30°，60°，180°，210°，240°，恰好都存在一个顶点在反比例函数的图象上；
③将等边△ABO以点O为位似中心，位似比为1，得到的位似图形恰好存在一个顶点在反比例函数的图象上；
④将等边△ABO以直线或直线为对称轴进行翻折，恰好存在一个顶点在反比例函数的图象上．
其中正确的是（ ）
A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据反比例函数图象的对称性，通过画出相应图形，可得出结论．
【详解】解：过点A作AH⊥OB于点H，
∵△ABC是等边三角形
∴AB=OA=OB=6，∠OAB=∠OBA=∠AOB=60°
∴OH=3，
∴A的坐标为（ ， ）
∴反比例函数表达式为
①如图所示，△ABO沿AO方向平移6个单位长度，点A恰好与O重合，点O平移到E点，此时OE=OA=6，
∴A、E关于原点对称，
∴点E在反比例函数图象上，①正确．
②若将△ABO绕着点O分别逆时针旋转30°，点A恰好落在y轴上（0，6），此时，点B恰好落在（ ， ），
∵
∴B的对应点落在反比例函数图象上；
若将△ABO绕着点O分别逆时针旋转60°，点B恰好落在（ ， ）处，在反比例函数图象上；
若将△ABO绕着点O分别逆时针旋转180°，点A恰好落在（- ，- ），
∵
∴A的对应点落在反比例函数图象上；
若将△ABO绕着点O分别逆时针旋转210°，点A恰好落在y轴上（0，-6），此时，点B恰好落在（- ，- ）处，
∵
∴B的对应点落在反比例函数图象上；
若将△ABO绕着点O分别逆时针旋转240°，点B恰好落在（- ，- ）处，在反比例函数图象上；
∴将△ABO绕着点O分别逆时针旋转30°，60°，180°，210°，240°，恰好都存在一个顶点在反比例函数的图象上，②正确．
③将等边△ABO以点O为位似中心，位似比为1，相当于将A绕点O旋转180°，点A的对应点恰好落在为（- ，- ），在反比例函数图象上，③正确．
④根据反比例函数图象的对称性，将等边△ABO以直线或直线为对称轴进行翻折，点A的对应点都在反比例函数的图象上，④正确．
故选：D
【点睛】本题考查反比例函数图象的对称性质，轴对称、旋转、位似、翻折等，灵活运用反比例函数对称性是解题的关键．
【变式15-1】如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，它们顶点的横坐标、纵坐标都是整数，则位似中心的坐标为__________．
【答案】
【分析】连接交于，根据坐标系求出点的坐标，再根据位似中心的概念解答即可．
【详解】解：连接交于，则点为位似中心，
设的解析式为：，将，，
代入可得：，解得：，
∴的解析式为：，
当时，
∴点的坐标为，
则位似中心的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是位似变换，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．还考查了待定系数法求一次函数解析式．
【变式15-2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)是的边上一点，经平移后点的对应点为，请画出上述平移后的；
(2)以点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为2；
(3)若与是关于某一点为位似中心的位似图形，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标：
【答案】(1)
(2)
(3)
位似中心的坐标为．
【分析】（1）因为点平移后对应点为，所以可确定平移规则为向左平移3个单位、向上平移1个单位；将的三个顶点按此规则平移，得到对应点坐标后顺次连接，即可画出平移后的．
（2）因为以为位似中心、在轴右侧作相似比为2的位似图形，所以可利用位似变换的坐标规律，将原三角形各顶点的横、纵坐标同时乘以2，得到对应点坐标后顺次连接，即可画出．
（3）因为位似中心是两组对应顶点连线的交点，所以连接与两组对应顶点，两条连线的交点即为位似中心，再根据坐标系读出的坐标．
【详解】（1）解：由点平移后得到，
可知平移规则是：所有点向左平移3个单位，向上平移1个单位．
根据原顶点坐标、、，
计算平移后对应点坐标：
，，，
在坐标系中描出三点并顺次连接，就得到．
（2）解：以原点为位似中心，在轴右侧作相似比为2的位似图形，
位似变换规则是将原图形各点横、纵坐标都乘2：
可得，
，
点坐标保持不变，
描出三点顺次连接，就得到符合要求的．
（3）解：位似图形的位似中心是两组对应顶点连线的交点：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴延长到Q使，
再延长，，
这三条线交于点Q，点就是位似中心，
∵，
∴轴，，
∴，
∴．
【变式15-3】在如图所示的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，是的边上一点．
(1)以原点为位似中心，在轴的左侧画出的一个位似图形，使它与的相似比为，并分别写出点，的对应点，的坐标；
(2)将向右平移5个单位长度后得，判断与能否是以某一点为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标．
【答案】(1)， ，
(2)
【分析】（1）根据原点为位似中心、相似比、在轴左侧的条件，将点、点横纵坐标同时乘，得到，，再画出．
（2）先利用向右平移 5 个单位，横坐标加 5 纵坐标不变求出，，再延长两组对应顶点连线，交点就是位似中心．
【详解】（1）解：∵ 以原点为位似中心，在轴左侧作位似图形，相似比为，
∴ 对应点的横、纵坐标都乘．
∵ ，，，
∴ ，．
在方格中描出，，，连接得到．
（2）解：∵ 向右平移个单位长度得到，
平移规律：横坐标加，纵坐标不变．
连接对应顶点，对应直线交于一点，
∴ 与是以点为位似中心的位似图形，
据图可知，位似中心的坐标为．
【题型16 相似多边形】
【例16】如图，两个正方形、两个等边三角形、两个等腰直角三角形、两个矩形各成一组，同组的两个图形不一定相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据相似多边形的定义：对应角相等，对应边成比例，对各选项进行判断即可．
【详解】解：A．两个正方形对应角相等，对应边成比例，一定相似；
B．两个等边三角形对应角相等，对应边成比例，一定相似；
C．两个等腰直角三角形对应角相等，对应边成比例，一定相似；
D．两个矩形对应角相等，但对应边不一定成比例，不一定相似．
【变式16-1】如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（ ）
A．正六边形 B．矩形和正六边形
C．三角形和矩形 D．三角形和正六边形
【答案】D
【分析】本题主要考查了相似图形的定义，根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案，解题的关键是正确理解边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形．
【详解】解：矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件；
锐角三角形的原图与外框相似，因为其三个角均相等，三条边均对应成比例，符合相似的条件；
正六边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件；
故选：．
【变式16-2】如图，矩形和矩形，要判定他们是否相似，小明有以下2种方法．
①如图1，将放在上，连接并延长与交于点．若点在同一直线上，则矩形和矩形相似；
②如图2，连接和，若，则矩形和矩形相似．
上述说法正确的是（ ）
A．①②都对 B．①②都错 C．①对②错 D．①错②对
【答案】A
【分析】根据两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，逐一证明，①如图1，连接，若点P、G、C在同一直线上，证明，得到，同理得到，根据，得到，由，，得到，即可说明；证明，，得到，即可说明．
【详解】①如图1，连接，若点P、G、C在同一直线上，
由题意可知矩形和矩形的八个内角都是直角，故它们的对应角相等，
，
，
，
，
同理，
，
，
，
，，
，
矩形和矩形相似，
故说法①正确；
②由题意可知矩形和矩形的八个内角都是直角，故它们的对应角相等，
，，
，
，
，
即，
，
，
，
，
矩形和矩形相似，
故说法②正确；
故选：A．
【点睛】本题考查相似图形、相似三角形的判定与性质、矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式16-3】下列图形中，不一定相似的是（ ）
A．两条对角线的比相等的两个平行四边形
B．邻边之比相等的两个矩形
C．有一组角对应相等的两个菱形
D．四条边对应成比例且对应角相等的两个平行四边形
【答案】A
【分析】相似多边形要求各边对应成比例，各角对应相等，按照定义逐一判断即可．
【详解】A.两条对角线的比相等的两个平行四边形对应角不一定相等，不一定相似，故此选项符合题意；
B. 邻边之比相等的两个矩形各边对应成比例，各角对应相等，一定相似，故此选项不符合题意；
C.有一组角对应相等的两个菱形各边对应成比例，各角对应相等，一定相似，故此选项不符合题意；
D. 四条边对应成比例且对应角相等的两个平行四边形一定相似，故此选项不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查相似形，解题的关键熟悉四边形的性质．
【题型17 相似多边形的性质（边长、周长、面积）】
【例17】如图，在正方形网格中，五边形和五边形的顶点均在格点（网格线的交点）上，已知五边形五边形，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：设小正方形的边长为
∵五边形五边形，
．
【变式17-1】矩形中，，点E、F分别在边、上，四边形是正方形，四边形四边形，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．无法计算
【答案】C
【分析】设，根据正方形性质及相似多边形对应边成比例列方程求解．
【详解】解：设，
四边形是正方形，四边形是矩形，，
，，，
，
四边形四边形，
，即，
整理得，
解得，
，
．
【变式17-2】我们手中拿着的试卷是一张纸，将它对折后得到一张的纸．你知道吗？纸和纸是相似的矩形，动手试一试，由此你能得出一张纸的宽与长的比应该是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查相似矩形的性质，通过对折操作建立比例关系求解，关键是对折后新矩形的长宽与原矩形的关系．由纸对折得到纸，且两者相似，设纸长为，宽为，对折后纸的长为，宽为，根据相似矩形的性质，长宽比相等，建立方程求解．
【详解】解：设纸的长为，宽为，则长宽比为，
对折后，纸的长为，宽为，
纸与纸相似，
长宽比相等，即，
化简得：，
交叉相乘可得：，
，
纸的宽长比为，
纸的宽长比也为．
故选：A．
【变式17-3】以下是利用出入相补原理解决比例线段问题的一个例子：
如图，设O是矩形对角线上任意一点，过点O分别作一组邻边的平行线，直线分别与边交于点P、Q，直线分别与边交于点R、S，那么由矩形与矩形的面积相等可以得到：，这个结论通常表示为
部分同学进一步研究了这个图形，提出以下两个命题：
命题甲：矩形与矩形相似．
命题乙：如果将矩形、矩形、矩形的面积依次记为、、，那么是和的比例中项．
关于这两个命题，下列判断正确的是（ ）
A．命题甲是真命题，命题乙是假命题 B．命题甲是假命题，命题乙是真命题
C．命题甲、命题乙都是真命题 D．命题甲、命题乙都是假命题
【答案】C
【分析】本题主要考查了相似图形的判定与性质、矩形的性质等知识点，熟练掌握相似图形的性质是解题的关键
根据矩形的性质以及题干结论得出矩形与矩形对应边成比例，从而得到两个矩形相似；假设的值，根据相似三角形的性质，列出，，的数量关系，从而得到，与的数量关系，然后根据比例中项的定义求解即可．
【详解】解：，，
四边形为平行四边形，
∵，
四边形为矩形，
，
，
，
矩形矩形，
命题甲为真命题；
设，
，，
，，
，，
，，
，
，，
，，
，
是和的比例中项，
命题乙也是真命题．
故选：C．
【探究式学习】
1．【问题背景】如图，以矩形的宽为边，在其内部作正方形，若，则称矩形为“黄金矩形”，其长与宽的比（）称为“黄金比率”．
【问题探究】求“黄金比率”：
设，，则，
∵，∴，即．
∴．
∴，（负数不合题意，舍去）．
∴黄金比率为：．
(1)【问题提出】如图，以矩形的宽为边在其内部作两个正方形，，若，则称矩形为“白银矩形”，其长与宽的比（）称为“白银比率”，求“白银比率”．
(2)【问题拓展】如图，从正方形上剪下宽的矩形后，剩余部分（矩形）是“白银矩形”，求正方形的边长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，，则，再根据求解即可；
（2）设正方形的边长为，则，根据矩形是“白银矩形”结合由（1）得白银比率为，推出，求解即可．
【详解】（1）设，，则，
∵，
∴，即，
∴，
∴，（负数不合题意，舍去），
∴白银比率为：；
（2）设正方形的边长为，则，
∵矩形是“白银矩形”，由（1）得白银比率为，
∴，则，解得，
∴正方形的边长为．
2．定义：如图1，点、把线段分割成三条线段、和，若，则称是线段的比例中段，、是线段的中段分点．
(1)已知点、是线段的中段分点．
①若，，则 ；
②在图1中，若，，求的长．
(2)如图2，在中，是线段的比例中段，、分别是线段、延长线上的点，且，、的延长线分别交线段于点，．探究是否为线段的比例中段，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．.
【答案】(1)①，②1或4.
(2)
是线段的比例中段．
理由如下：设
，
，
，
同理，，，
，，，
是线段的比例中段，
，
，
，
即是线段的比例中段．
【分析】（1）根据点、是线段的中段分点，可得，据此进行计算即可；
（2）设，根据平行线分线段成比例定理，得出，，，再根据，得出，即可得到是线段的比例中段．
【详解】（1）①由题可得，，，，
；
故答案为：；
②设，则由题可得：，
解得或4，
的长为1或4；
（2）略．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的综合应用，解决问题的关键是掌握：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
【课后检测】
1．下面四组线段中不是成比例线段的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】B
【分析】把每组四条线段按长度从小到大排列，用成比例线段的判定方法：最短线段与最长线段的乘积等于另外两条线段的乘积时，这四条线段能组成比例式；含二次根式的线段要先比较大小再算乘积，逐组计算这两个乘积并比较，即可找出不能成比例的一组．
【详解】解：A组从小到大排列为，，，．
∵，．
∴，A组四条线段成比例．
B组从小到大排列为，，，．
∵，．
∴，B组四条线段不成比例．
C组从小到大排列为，，，．
∵．
∵．
∴，C组四条线段成比例．
D组从小到大排列为，，，．
∵，．
∴，D组四条线段成比例．
2．已知，，，是成比例线段，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：，，，是成比例线段，
，
，，，
，
，
，
故选：A．
3．在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将按相似比缩小，得到，若点的对应点为，则点的坐标为（ ）
A．或 B．
C． D．或
【答案】A
【详解】解：∵以原点为位似中心，将按相似比缩小得到，点的坐标为，
∴点的坐标为或，即或．
4．如图，，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
∴．
5．下面是嘉嘉课堂笔记的一部分，其中，括号内应填入的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，
∴，
∴括号内应填入的是．
6．如图所示，电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，已知，若舞台的长为，则舞台从到的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意得，，
∵舞台的长为，
∴，
∴舞台从到的距离为．
7．如图，，若，，，则的长为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
8．如图，是的中线，点E在上，交于点F，若，为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作交于点，根据平行线分线段成比例，进行求解即可.
【详解】解：作交于点，
则，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴，
∴，
∴.
9．已知，线段，点，是线段的两个黄金分割点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据点，是线段的两个黄金分割点，则，即可解答．
【详解】解：∵线段，点，是线段的两个黄金分割点，
∴．
10．如图，点P为线段的黄金分割点，且，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据黄金分割点的定义：较长线段是全线段与较短线段的比例中项，且较长线段与全线段的比值为，逐项判断即可．
【详解】解：点P为线段的黄金分割点，且，则：
，即，故①正确；
设，则，
∴，
∴，故②错误；
∵，，
∴，故③正确；
∵，，
∴,
∴,故④正确，
综上所述，正确的结论有①③④，共3个．
11．如图，已知，直线分别交直线，，于点，，，直线分别交直线，，于点，，，，，，则的长为_________．
【答案】
【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
12．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是，，，，已知矩形与矩形位似，位似中心是原点，且矩形面积等于矩形面积的，则点的坐标为________．
【答案】或
【详解】解：∵矩形与矩形位似，位似中心是原点，且矩形等于矩形面积的，
∴矩形与矩形位似，且位似比为，
∵，
∴或，
∴点的坐标为或．
13．如图，黄金矩形中，，以宽为边在其内部作正方形，得到四边形是黄金矩形．依此作法，四边形，四边形也是黄金矩形．若，则的长为_________．
【答案】/
【分析】先根据黄金矩形的定义求出长，再根据正方形的性质求出，最后根据黄金矩形的定义求解．
【详解】解：，，
，
四边形是正方形，
，
，
四边形是黄金矩形，
∴，即，
∴．
14．如图，直线，相交于点，．若，，，则___________．
【答案】
【分析】由可得，根据线段的和差关系求出的长，代入计算即可．
【详解】解：，
，
，，
，
又，
．
15．若，则______．
【答案】6或
【分析】根据分母和是否为0分类讨论，根据等比性质推导第一种情况：若，且，则；然后讨论分母和为0时的情况，两种情况综合得出结论．
【详解】解：由等比性质可得：，此时；
当时，可得，
则；
综上所述，m的值为6或．
16．已知线段，的长满足．
(1)求的值．
(2)若，线段是，的比例中项，求线段的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把直接代入代数式，化简计算即可；
（2）先根据算出的值，再利用比例中项定义：若是的比例中项，则．
【详解】（1）解：，
．
（2）解：，
，
线段是的比例中项，
，
代入得：，
又线段长度为正数，
．
17．在网格中建立平面直角坐标系，，，，．
(1)以点为位似中心，在网格中作的位似图形，使的边长放大到原来的倍．
(2)某同学在探索“函数的系数，，与图象的关系”时分别经过，，，这四个点中的三个点画出二次函数的图象，则选哪三个点的抛物线对应的函数表达式最小？请在中选择个填入横线________
【答案】(1)如图所示：
(2)
【分析】第问考查以原点为位似中心的位似变换，位似比为时，对应点坐标就是原坐标乘以；
第问需要把个三点组合全部枚举，分别求二次项系数，再比较数值大小，负数比正数小，负得越多，越小．
【详解】（1）解：图见答案
作图思路：位似作图：以原点为位似中心，放大倍，坐标直接乘：，，，依次连接，，，得到．
（2）解：四点中任取三点共可组成四组，逐一求出二次项系数：
选、、：过、，设，代入得，．
选、、：设，由解得．
选、、：设，代入得，．
选、、：设，代入三点坐标得，解得．
比较得，最小的一组为、、，
故填、、．
18．如图，平面直角坐标系中，各顶点坐标．
(1)画以点为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍，得到；
(2)内有一点在中的对应点的坐标为_________．
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据位似图形的性质，画出即可；
（2）根据题意，得到点的横纵坐标均为点的横纵坐标的倍，即可得出结果.
【详解】（1）略
（2）解：∵以点为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍，得到，
∴内有一点在中的对应点的坐标为.
19．如图，直线、、分别交直线于点、、，交直线于点、、，且，已知，．
(1)求的长；
(2)当，时，求的长．
【答案】(1)9
(2)
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理求解即可；
（2）过作分别交于，因为，则可证四边形，为平行四边形，且，利用相似及平行四边形的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵，且，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：作分别交于，
∵，
∴四边形，为平行四边形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
20．如图，在中，，过边的中点作的垂线，交于点，点，在射线上，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
(2)
【分析】（1）证明，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）过点作于，可得四边形是矩形，得到，，由含角直角三角形的性质可得，利用勾股定理及平行四边形的性质得到，再由平行推出是的中位线，得到，最后根据线段的和差关系即可求出的长．
【详解】（1）略
（2）解：过点作于，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵是边的中点，，
∴，
∴，即是边的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴．
21．如图，在中，，，以为直角边，向上作，，，连接，过点作交于点，交于点．
(1)如图1，若，，求的长度；
(2)如图2，点为线段上一点，连接，若，请用等式表示线段，，的数量关系并证明；
(3)如图3，若，连接，当取得最小值时，请直接写出的值．
【答案】(1)
(2)．理由如下：
过A作于M，交于N．
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
∵，，
∴．
∵交于点E，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点分别是边的中点，
∴是的中位线．
∴．
∴．
∵，
∴．
(3)
【分析】（1）先得，则．由等腰三角形的性质得，由勾股定理可得．可求的长度；
（2）过A作于M，交于N，先证，再证，可得，再证，则；
（3）作点E关于的对称点，连接，取的中点S，连接，作于P，先得出当取得最小值时，．过A作于M，得出与同底等高．设，则，设．建如图所示的平面直角坐标系：则，，，，，延长与y轴交于点Q，设直线为，解得，可得的值．
【详解】（1）解∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，，，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）略
（3）解：作点E关于的对称点，连接，，取的中点S，连接，作于P，如图，
∴，．
∵中，，
∴S、A、共线时，，此时最小，即取最小值．
在和中，
，
∴．
∴．
∵，
∴，．
∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴，
∵，
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
∴与同底等高．
∴，
设，则，
设．建如图所示的平面直角坐标系：则，，，，，延长与y轴交于点Q，
设直线解析式为，
将，分别代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
∵于F，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
对于，
当时，．
解得，
∴，
∴，
∴．
22．如图，四边形是正方形，P是对角线的延长线上一点，连接，交的延长线于点E．
(1)求证：；
(2)过点E作于点F，过点P作交于点G，当时，求的长；
(3)请猜想，与之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)证明：连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，．
∵，正方形内角为，
∴四边形中，，
又∵，
∴，
得，
∵，
∴；
(2)
(3)解：，证明如下：
由正方形的性质得，
如图，延长交延长线于，设与交于点，
由（2）得，
∵，
∴，
∴，
同理，
∴，
由（2）得，
∴，
即，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【分析】（1）连接，根据正方形的性质得到，，可证，得到，，根据多边形内角和求出，可知，根据等角对等边即可证明；
（2）根据垂线的定义得到，根据平行线的判定和性质得到，根据三角形外角的性质得到，证明，即可求出的长；
（3）根据正方形的性质得到，由（2）得，根据三角形内角和及等角对等边求出，，即，由（2）得，可知，根据平行线分线段成比例求出，根据等角对等边及勾股定理求出，即可得到，与之间的数量关系．
【详解】（1）略；
（2）解：∵，，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3） 略．
【复盘笔记】
“化繁为简，一通百通”
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