专题08锐角三角函数同步讲义（1）(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年苏科版九年级数学下册

专题08锐角三角函数同步讲义（1） 【正切 正弦 余弦】 【题型01 正切的概念辨析】..............................................3 【题型02 求角的正切值】................................................3 【题型03 已知正切值求边长】............................................4 【题型04 正弦的概念辨析】..............................................5 【题型05 求角的正弦值】................................................6 【题型06 已知正弦值求边长】............................................7 【题型07 求角的余弦值】................................................8 【题型08 余弦的概念辨析】..............................................9 【题型09 已知余弦求边长】.............................................10 【解答题6题】.........................................................10 ★知识梳理 知识点01:正切 一、核心定义（必背） 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A 的对边为 a，邻边为 b，斜边为 c： tanA== 二、关键性质 1.唯一性：正切值只与锐角大小有关，与直角三角形边长、大小无关。 2.取值与增减：锐角正切值为正数；角度越大，tanA 越大，角越陡。 3.书写规范：tanA 是整体符号，不可拆分；用三个字母表示角时需写 tan∠BAC。 三、核心应用 1.比较斜坡、梯子的倾斜程度：tanA 越大，倾斜角越大，越陡。 2.直角三角形中：已知两边求锐角正切；已知一边与正切值，求另一边。 知识点02:正弦、余弦 一、核心定义（必背） 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A 的对边 a、邻边 b、斜边 c： sinA​ cosA 二、关键性质 1.取值范围：锐角的 0<sinA<1，0<cosA<1。 2.增减性： sinA：角度增大，值增大； cosA：角度增大，值减小。 3.书写规范：sinA、cosA 为整体符号，不可拆分；sin2A=(sinA)2，非 sinA2。 三、重要关系（高频考点） 平方关系：sin2A+cos2A=1 商数关系：tanA​ 2.互余角关系（∠A + ∠B = 90°） sinA=cosB, cosA=sinB 四、核心应用 直角三角形中：已知一边与一锐角，求其余边；已知两边，求锐角的正弦、余弦值。 结合同角 / 互余关系，进行三角函数值的转化与计算。 五.核心对比（速记） 三角函数 定义（Rt△ABC，∠C=90°） 核心特点 正切（tanA） 无上限，角度越大值越大 正弦（sinA） 01，角度越大值越大 余弦（cosA） 01，角度越大值越小 【题型1.正切.的概念辨析】 【典例】在中，，，则 ______． 【跟踪专练1】在中，，，，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在轴上，且点在点右方，连接，，若，则点的坐标为 _____．    【跟踪专练3】如图，在中，，于点，下列不能表示的是（   ） A． B． C． D． 【题型2.求角的正切值】 【典例】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，则的值为______． 【跟踪专练1】如图，在中，，是的中线．若，则的长为（　　） A．10 B．15 C．18 D．20 【跟踪专练2】如图，的三个顶点均在正方形网格格点上，求________． 【跟踪专练3】在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，与相交于O，则的值等于（ ） A． B． C．3 D．2 【题型3.已知正切值求边长】 【典例】.在中，，则___________． 【跟踪专练1】．如图，在中，若，，，则的值估计在（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【跟踪专练2】如图，中，，是边上一点，将沿翻折得到，使线段、相交于点，若，，则_____． 【跟踪专练3】如图，矩形中，，以为圆心，3为半径作，为上一动点，连接，以为直角边作，使，，则点与点的最小距离为（    ） A． B． C． D． 【题型4.正弦的概念辨析】 【典例】在中，，，则______． 【跟踪专练1】在中，，，，的对边分别用表示，则下列等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在中，，若，则_____． 【跟踪专练3】如图，中，，．分别以三边为底边向外作等腰直角三角形，连结．若与面积比为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【题型5.求角的正弦值】 【典例】如图，在中，，，，则的值是______． 【跟踪专练1】如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值不等于的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，点在的延长线上，且，则的值是__________． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，从坐标原点出发的两条射线，．且，两射线分别与函数和相交，交点分别为，，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 【题型6.已知正弦值求边长】 【典例】在中，，如果，那么的长是___________． 【跟踪专练1】如图，在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，则的值是_______． 【跟踪专练3】如图，在中，，，延长到点D，使得，连结，过点D作的垂线交BC的延长线于点E，则的值为（   ） A． B． C． D． 【题型7.求角的余弦值.】 【典例】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若的顶点都在格点上，则的值为_________________． 【跟踪专练1】两个矩形的位置如图所示，若，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】.《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，则的值为 __________________ ． 【跟踪专练3】如图，是的外接圆，若的半径为5，，则（   ） A． B． C． D． 【题型8.余弦的概念辨析】 【典例】在中，，若，则的值为_________． 【跟踪专练1】如图，，是斜边上的高，点是边上的动点，连结，作交于点，连结，当点在上运动时，下列比值会变化的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，点在上，，，则的值是______． 【跟踪专练3】我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角，点在伞柄上，，则的长度可表示为（    ） A． B． C． D． 【题型9.已知余弦求边长】 【典例】已知等腰中，，，则___________； 【跟踪专练1】在矩形中，，，垂足为，设，且，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，的垂直平分线交于点D，连接，若，则的长是___________． 【跟踪专练3】如图，在▱ABCD中，∠DAB=60°，AB=8，AD=10，BE为∠ABC的平分线.利用尺规在▱ABCD中作图，作图痕迹如图所示，AF交BE于点F，连接FD，则FD的长为（  ） A．3 B．3 C．5 D．2 【解答题】 1．计算： 2．如图，内接于，，是上一点，连接交于点，使，延长至点，连接，使． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长度． 3．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并保留适当的作图痕迹． (1)在图①中的边上确定一点，连接，使得； (2)在图②中的边上确定一点，连接，使得； (3)在图③中的边上确定一点，连接，使得． 4．如图，在中，，（a为常数且），延长到点A，使． (1)求的度数及的值； (2)作，求的长． 5．如图，在等腰中，，过点作于点． (1)求的长； (2)若点是中点，连结，求的值． 6．在菱形中，． (1)如图1，求的值． (2)如图2，E是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点P，连接． ①当时，求的长． ②求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08锐角三角函数同步讲义（1） 【正切 正弦 余弦】 【题型01 正切的概念辨析】..............................................3 【题型02 求角的正切值】................................................5 【题型03 已知正切值求边长】............................................8 【题型04 正弦的概念辨析】.............................................12 【题型05 求角的正弦值】...............................................16 【题型06 已知正弦值求边长】...........................................19 【题型07 求角的余弦值】...............................................23 【题型08 余弦的概念辨析】.............................................25 【题型09 已知余弦求边长】.............................................28 【解答题6题】.........................................................32 ★知识梳理 知识点01:正切 一、核心定义（必背） 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A 的对边为 a，邻边为 b，斜边为 c： tanA== 二、关键性质 1.唯一性：正切值只与锐角大小有关，与直角三角形边长、大小无关。 2.取值与增减：锐角正切值为正数；角度越大，tanA 越大，角越陡。 3.书写规范：tanA 是整体符号，不可拆分；用三个字母表示角时需写 tan∠BAC。 三、核心应用 1.比较斜坡、梯子的倾斜程度：tanA 越大，倾斜角越大，越陡。 2.直角三角形中：已知两边求锐角正切；已知一边与正切值，求另一边。 知识点02:正弦、余弦 一、核心定义（必背） 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A 的对边 a、邻边 b、斜边 c： sinA​ cosA 二、关键性质 1.取值范围：锐角的 0<sinA<1，0<cosA<1。 2.增减性： sinA：角度增大，值增大； cosA：角度增大，值减小。 3.书写规范：sinA、cosA 为整体符号，不可拆分；sin2A=(sinA)2，非 sinA2。 三、重要关系（高频考点） 1.同角三角函数关系 平方关系：sin2A+cos2A=1 商数关系：tanA​ 2.互余角关系（∠A + ∠B = 90°） sinA=cosB, cosA=sinB 四、核心应用 直角三角形中：已知一边与一锐角，求其余边；已知两边，求锐角的正弦、余弦值。 结合同角 / 互余关系，进行三角函数值的转化与计算。 五.核心对比（速记） 三角函数 定义（Rt△ABC，∠C=90°） 核心特点 正切（tanA） 无上限，角度越大值越大 正弦（sinA） 01，角度越大值越大 余弦（cosA） 01，角度越大值越小 【题型1.正切.的概念辨析】 【典例】在中，，，则 ______． 【答案】60° 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，锐角的对边与邻边的比叫做的正切．根据正切的定义得到，再根据直角三角形的两个锐角互余计算即可． 【详解】解：在中，， 则， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】在中，，，，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，先根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义即可解答；理解三角函数的相关定义是解题的关键． 【详解】解：如图:∵，， ∴， ∴． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在轴上，且点在点右方，连接，，若，则点的坐标为 _____．    【答案】 【分析】根据已知条件得出，根据等面积法得出，设，则，进而即可求解． 【详解】解：∵点，点， ∴， ， ∵， ∴， 过点作于点，    ∵，是的角平分线， ∴ ∵ ∴ 设，则， ∴ 解得：或（舍去） ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了正切的定义，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，在中，，于点，下列不能表示的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形相关知识，熟练掌握锐角三角函数在直角三角形中的应用是解题关键． 【详解】解：∵在中，，是边上的高， ∴均为直角三角形， 又∵，， ∴， 在中，，故A可以表示，不符合题意； 在中，，故C可以表示，不符合题意； 在中，，故D可以表示，不符合题意； 不能表示，故B符合题意． 故选：B． 【题型2.求角的正切值】 【典例】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，则的值为______． 【答案】 【分析】题目主要考查正切函数的定义，根据网格求解即可． 【详解】解：如图所示，在直角三角形中，， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，，是的中线．若，则的长为（　　） A．10 B．15 C．18 D．20 【答案】B 【分析】先由的正切值求出长，再由中点求出的长，最后由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，的三个顶点均在正方形网格格点上，求________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数定义，连接，由图形得到与垂直，得到为直角三角形，利用勾股定理求出与的长，利用锐角三角函数定义即可求出的值． 【详解】解：连接，根据图形得到，即， 根据勾股定理得：，， 则， 故答案为：． 【跟踪专练3】在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，与相交于O，则的值等于（ ） A． B． C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，能根据题意构造出合适的直角三角形及熟知正切的定义是解题的关键． 根据题意，利用平行线的性质将进行转化，再结合正切的定义进行求解即可． 【详解】解：连接，如图所示， 由网格可知，，， 则， 不妨令小正方形网格的边长为1， 则由勾股定理得， ， ， 在中， ， 所以． 故选：C． 【题型3.已知正切值求边长】 【典例】.在中，，则___________． 【答案】10 【分析】本题主要考查勾股定理，正切值的计算，利用正切定义求出，再应用勾股定理求． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， 故答案为：10． 【跟踪专练1】．如图，在中，若，，，则的值估计在（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形，无理数的估算，根据正切的定义得到，则，再根据无理数的估算方法求出的范围即可得到答案． 【详解】解：∵在中，若，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的值估计在4到5之间， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，中，，是边上一点，将沿翻折得到，使线段、相交于点，若，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，作出合适的辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点作交于点，根据锐角三角函数的定义设，，结合勾股定理求出，，根据折叠的性质得出，设，结合勾股定理列出方程，即可求解． 【详解】解：过点作交于点，如图： 在中，，，， 故设，， 则， 解得（负值舍去）， 故，， 根据题意可得， 故设， 则，， 在中，， 即， 解得， 即． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，矩形中，，以为圆心，3为半径作，为上一动点，连接，以为直角边作，使，，则点与点的最小距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，取的中点，连接，，，DE由，推出，因为，可得，推出点的运动轨迹是以为圆心1为半径的圆，再利用两点之间线段最短即可解决问题． 【详解】如图，取的中点，连接，，，DE． ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点的运动轨迹是以为圆心1为半径的圆， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题是一个动点问题，考查了矩形、圆、三角形相似的判定和性质、两点间线段最短等知识，本题的难点是点G的运动轨迹的探索，关键是构造两个相似的三角形． 【题型4.正弦的概念辨析】 【典例】在中，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦与余切的定义是解题关键．先画出图形，根据正弦的定义可得，再根据余切的定义即可得． 【详解】解：∵，， 设，则，， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】在中，，，，的对边分别用表示，则下列等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，根据锐角三角函数的定义进行解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、，即，该选项等式正确，不合题意； 、，即，该选项等式不正确，符合题意； 、，即，该选项等式正确，不合题意； 、，即，该选项等式正确，不合题意； 故选：．    【跟踪专练2】在中，，若，则_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦与余弦的定义是解题关键．先画出图形，根据正弦的定义可得，再根据余弦的定义即可得． 【详解】解：如图，∵， ∴， 故答案为：． ． 【跟踪专练3】如图，中，，．分别以三边为底边向外作等腰直角三角形，连结．若与面积比为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据锐角三角函数即可得出，再根据，可得出四点共圆，即可得出，故．由，，可得出，，即可得出，．故．由，以及可得出，令，求出的值即可得出答案． 【详解】解：在等腰直角三角形中， ， 设， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴四点共圆． 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴到的距离相等，到的距离相等， ∴是以为底的，高相等的三角形；都是以为底的，高相等的三角形， ∴，， ∴ ， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 令， ∴， ∴， ∴，， ∵， 即， ∴， ∴， ∴． 故答案为：B． 【点睛】本题考查了隐圆，锐角三角函数，平行线间的距离处处相等，难度系数较大，思维要求较为灵活，灵活运用以上知识点是解题的关键． 【题型5.求角的正弦值】 【典例】如图，在中，，，，则的值是______． 【答案】/ 【分析】先根据勾股定理求出，再根据即可求解． 【详解】∵，，，， ∴根据勾股定理，， ∴． 【跟踪专练1】如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值不等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别在和中，根据正弦的定义求解，根据余角的性质可得出，然后根据同角的正弦相等判断即可． 【详解】解：在中， ， 在中， ， ∵ ， ， ， 在中，， 故选项D符合题意． 【跟踪专练2】如图，在中，，点在的延长线上，且，则的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，勾股定理解直角三角形；过点C作，在等腰中，求出、，再在中即可求出． 【详解】解：过点C作，如图所示， ∵，， ∴， ∵，， ∴为斜边的中线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，从坐标原点出发的两条射线，．且，两射线分别与函数和相交，交点分别为，，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，相似三角形的判定与性质，正弦的定义及勾股定理，分别过点作轴于点，轴于点，，结合反比例函数k的几何意义，求出，再利用勾股定理求出，最后利用正弦的定义即可求解． 【详解】解：分别过点作轴于点，轴于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【题型6.已知正弦值求边长】 【典例】在中，，如果，那么的长是___________． 【答案】 【分析】本题考查正弦，根据正弦的定义，等于对边与斜边的比，结合勾股定理求解． 【详解】解：在中，，，， 所以． 由勾股定理，，即， 解得：． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角函数定义及勾股定理，熟记勾股定理求线段长的方法及三角函数值定义是解决问题的关键． 数形结合，在中，由，可设，再由勾股定理求出长度，最后根据求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 在中，，，则设， 由勾股定理可得， 则， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在中，，则的值是_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，由题意得，设，则由勾股定理得，由余弦函数的定义求出，再证明即可求解． 【详解】解：在中，， 设， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在中，，，延长到点D，使得，连结，过点D作的垂线交BC的延长线于点E，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角函数、相似三角形、勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形、三角函数的性质；过点B作，交于点F，根据三角函数性质和勾股定理的性质，得，从而得，过点E作，交于点G，再根据相似三角形的性质，得，结合勾股定理计算，即可得到答案． 【详解】如图，过点B作，交于点F， ∵， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵过点D作的垂线交BC的延长线于点E，即 ∴ ∴， 过点E作，交于点G， ∴ ∴ 设 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， 故选：D． 【题型7.求角的余弦值.】 【典例】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若的顶点都在格点上，则的值为_________________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求角的余弦值，利用网格过点A作交的延长线于点M，再利用勾股定理求出，，再根据余弦的定义求解即可． 【详解】解：过点A作交的延长线于点M， ∵每个小正方形的边长均为1， ∴，， 在中，． 故答案为： 【跟踪专练1】两个矩形的位置如图所示，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的余弦函数值，矩形的性质，根据三角形外角的性质以及矩形的性质得出，进而求得根据特殊角的余弦函数值即可得． 【详解】解：如图， ∵， ∴, ∴, ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】.《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，则的值为 __________________ ． 【答案】/ 【分析】利用勾股定理建立方程求出，再结合余弦定义求解，即可解题． 【详解】解：尺， ， 尺，， ， 解得尺， ． 【跟踪专练3】如图，是的外接圆，若的半径为5，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接并延长与圆交于点，连接，利用勾股定理求出，然后利用余弦的定义求出，再通过圆周角定理可得到． 【详解】解：如图，连接并延长与圆交于点，连接， ∴为的直径， ∴，且， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 故选C． 【题型8.余弦的概念辨析】 【典例】在中，，若，则的值为_________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形的有关计算，熟练掌握三角函数定义，是解题的关键．根据，，得出，求出即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，，是斜边上的高，点是边上的动点，连结，作交于点，连结，当点在上运动时，下列比值会变化的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，余弦的定义，证明，，推出，再根据为定值，可得，为定值，再根据是变值，即可得到是变化的，即可得出答案． 【详解】解：∵，是斜边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵为定值， ∴，为定值，故选项A，C，D不符合题意； ∵是变值， ∴是变化的，故选项B符合题意． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在中，，点在上，，，则的值是______． 【答案】/ 【分析】先由，，得到，再由勾股定理求出，即可求出的值． 【详解】解：，， ， ， 由勾股定理得：， ， 故答案为：． 【点睛】考查的是锐角三角函数的定义及勾股定理，熟记三角函数的定义及勾股定理是解题关键． 【跟踪专练3】我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角，点在伞柄上，，则的长度可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、解直角三角形．连接交于点，根据四边形是菱形，根据菱形的性质可知是直角三角形且，根据余弦的定义可得，根据菱形的定义可知． 【详解】解：如下图所示，连接交于点， ， 四边形是菱形， ，， ， ， 在中，， ， ， ． 故选： D． 【题型9.已知余弦求边长】 【典例】已知等腰中，，，则___________； 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的性质、锐角三角函数，过点作于点，根据锐角三角函数和等腰三角形的性质得，求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ，， ∴， 故答案为：6． 【跟踪专练1】在矩形中，，，垂足为，设，且，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，锐角三角函数，利用矩形的性质可得，，进而由余角性质可得，再根据余弦的定义求出即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【跟踪专练2】如图，在中，的垂直平分线交于点D，连接，若，则的长是___________． 【答案】 【分析】此题考查三角函数，勾股定理，根据，设，求出，再根据勾股定理求出． 【详解】在中，， ∴， 设， ∵垂直平分， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为． 【跟踪专练3】如图，在▱ABCD中，∠DAB=60°，AB=8，AD=10，BE为∠ABC的平分线.利用尺规在▱ABCD中作图，作图痕迹如图所示，AF交BE于点F，连接FD，则FD的长为（  ） A．3 B．3 C．5 D．2 【答案】D 【分析】通过分析作图痕迹的除相应的作图，可分析出图中做的是角的角平分线，根据角平分线的性质，结合平行四边形的性质，三角函数，即可解决本题． 【详解】解：过点作于点，如题所示， 由作图痕迹可知，为的平分线， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵为的平分线， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴，，且， ∴， ∴在中，，， ∴， 在中，， 故选D． 【点睛】本题考查尺规作图，平行四边的性质，角平分线的性质，等边三角形的性质和判定，锐角三角函数，勾股定理，能够再图中构造合适的辅助线是解决本题的关键． 【解答题】 1．计算： 【答案】 3 【分析】本题考查了实数的混合运算，涵盖有理数乘方、绝对值、特殊角三角函数值的运算规则，解题的关键是严格遵循“先乘方、再乘除、后加减”的运算顺序，准确计算各部分数值． 先分别计算乘方与绝对值，即、、、，再确定特殊角三角函数值，进而得到；接着依次进行乘法运算，最后做加减运算得出结果． 【详解】解： 2．如图，内接于，，是上一点，连接交于点，使，延长至点，连接，使． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】（1）根据等边对等角和同弧所对的圆周角相等，得出，再根据直角三角形两锐角互余，推出，从而得出，最后根据90度的圆周角所对的弦是直径得出是直径，即可证明结论； （2）利用角的正切值，得出，利用等角对等边得出，证明，利用相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 内接于，， 是直径， 是的切线； （2）解：在中，，， ， ， 由（1）可知，， ， ， ， ，， ， ， ， 解得：． 3．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并保留适当的作图痕迹． (1)在图①中的边上确定一点，连接，使得； (2)在图②中的边上确定一点，连接，使得； (3)在图③中的边上确定一点，连接，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图——应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）在上取点，使，则点即为所求； （2）在点的正上方取点，使，连接交于点，则点即为所求； （3）在的延长线上取点，使，在点的正上方取点，使，连接交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图①所示，则， 此时． （2）解：如图②所示， ，． ． （3）解：如图③所示， ，， ． ． 4．如图，在中，，（a为常数且），延长到点A，使． (1)求的度数及的值； (2)作，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，三角形外角的定义等知识，解题的关键是： （1）根据等边对等角和三角形外角的性质求的度数即可，根据含的直角三角形的性质求出的长度，根据勾股定理求出的长度，则可求出的长度，然后根据正切的定义求解即可； （2）根据勾股定理求出的长度，然后在中根据正弦定义求出的值，最后在中根据正弦定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， （2）解：在中，，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．如图，在等腰中，，过点作于点． (1)求的长； (2)若点是中点，连结，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据垂直定义可得在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，然后在中，利用勾股定理求出，利用等腰三角形的三线合一性质可得，再利用同角的余角相等，得，把角转化掉再利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ， 在中，； （2）解：， ， 为的中点， ， ， ， ， ． 6．在菱形中，． (1)如图1，求的值． (2)如图2，E是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点P，连接． ①当时，求的长． ②求的最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）先根据菱形的性质可得，再根据勾股定理可得，然后根据正弦的定义求解即可得； （2）①连接，设交于点，同理求出，则；证明，得到，由轴对称的性质可得，则，据此可得，即可得到； ②由勾股定理得，根据，可求出，根据，可推出当有最小值时，有最小值，即此时有最大值，即当有最小值时，有最小值；过点B作于H，于T，由等面积法可得，则由轴对称的性质可得，由勾股定理得，则当有最小值时，有最小值，由垂线段最短可知，故当点P与点T重合时，有最小值，最小值为，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图1，设交于点， ∵在菱形中，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图所示，连接，设交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴， ∴； ②在中，由勾股定理得 ∵， ∴ ， ∵， ∴要使的值最小，则要最大， ∴要有最小值， 又∵的值随着的值增大而增大， ∴的值随着的值增大而增大， ∴当有最小值时，有最小值，即此时有最大值， ∴当有最小值时，有最小值； 如图所示，过点B作于H，于T， ∵， ∴， ∴由轴对称的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴当有最小值时，有最小值， 由垂线段最短可知， ∴当点P与点T重合时，有最小值，最小值为， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，求角的正弦值，勾股定理，轴对称图形的性质，等角对等边等等，解（2）的关键在于把求出的最小值转换成求出的最小值，进而转换成求出的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $