相似三角形的判定与应用——2026—2027学年苏科版九年级下册数学专题讲义
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相似三角形 教师详解版
相似三角形的判定与应用
2026—2027学年九年级下册数学专题讲义（苏科版）
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起始页
题型一
对应关系与相似比
2
题型二
平行线与成比例线段
3
题型三
两角对应相等的判定
5
题型四
边长条件下的相似判定
7
题型五
直角三角形斜边上的高
9
题型六
周长、面积与对应高的比
11
题型七
相似三角形的测量应用
13
题型八
平行截线中的综合问题
15
A组
基础达标
18
B组
综合进阶
19
C组
挑战突破
21
一 题型精讲
本专题从对应关系入手，结合平行线、直角三角形与测量问题，学习相似的判定和应用。
题型一 对应关系与相似比
知识要点：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫作相似三角形。写成时，A、B、C分别对应D、E、F，不能只凭图形朝向确定对应关系。
若，则，，，且。k是与的相似比；交换顺序后，相似比为。
同一比例式中的长度单位应统一。求边长时，先写对应边的比例，再代入数据；已知边的差或和时，可以先设对应边分别为相同比例中的倍数。
典例1 如图，，，，，。求FD、ED的长及与的相似比。
思路分析：先根据相似关系中的书写顺序确定对应边，再判断所求相似比是哪一个三角形与哪一个三角形的比。
解：由可知，A对应E，B对应F，C对应D，故AB与EF、BC与FD、AC与ED分别是对应边。
，所以，。
与的相似比为。
变式 1.1 已知，，，。求AC和DF。
解：由，得。
设，。由，得，。
所以，。
变式 1.2 一个三角形的三边长分别为3、4、6，与它相似的另一个三角形有两边长分别为6和8。求另一个三角形的第三边长。
解：已知两边的比为。原三角形任意两边由小到大的比分别为3∶4、3∶6和4∶6，只有3∶4与它相等。
所以6、8分别对应3、4，相似比为2，第三边对应原来的6，长为。
题型二 平行线与成比例线段
知识要点：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。比例中的线段必须来自对应的两层平行线，不能把整段与其中一段混配。
在中，D、E分别在AB、AC上，且，则，有。若题目给出AD∶DB，应先换成AD∶AB。
两条相交直线被两条平行线所截时，也可利用对顶角和内错角证明相似。交点位于两个三角形之间时，仍按对应顺序列比例，不因图形翻转而交换对应边。
典例2 如图，D、E分别在线段AB、AC上，，，，，。求AE、EC和DE。
思路分析：题目给的是AD和DB，列相似比前先求出整条边AB。
解：因为，所以，，故。
，所以。
，，。
变式 2.1 如图，AC与BD相交于O，，点的顺序分别为A、O、C和B、O、D。已知，，。求CD。
解：因为，所以，，故。
于是，所以。
变式 2.2 如图，，点A、B、C依次在一条直线上，点D、E、F依次在另一条直线上。已知，，。求DE和EF。
解：由，得。
又，所以，。
题型三 两角对应相等的判定
知识要点：两角分别相等的两个三角形相似。公共角、对顶角、平行线形成的角，以及两个直角，都是寻找相等角的常见依据。
当两个三角形共用一个角时，只要再找到另一组对应角相等即可判定相似；但要由角确定顶点对应顺序，再写边的比例。
有两条高时，先标明垂足和直角。大小不同、位置交错的两个直角三角形，也可能因同一个锐角而相似。
典例3 如图，在锐角中，于D，于E，，，。
（1）求证：；
（2）求AE。
思路分析：两条高分别给出两个直角；再利用公共的确定对应顺序。
解：（1）因为，，所以。
在和中，
所以。
（2）由相似可得，即，解得。
变式 3.1 如图，D在线段AB上，，，。求AD。
解：因为D在AB上，所以；又，所以。
由，得。
变式 3.2 如图，四边形ABCD中，，对角线AC、BD交于O，，，。求BO和DO。
解：因为，所以，，故。
因此。又，得，。
题型四 边长条件下的相似判定
知识要点：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。例如且时，可得。这里相等的角必须是所用两边的夹角。
三边对应成比例的两个三角形相似。已知三边时，可先按大小排序核对比例，再还原顶点对应顺序。
仅有两边成比例和一组非夹角相等，不能保证两个三角形相似；判定依据必须完整。两边同时加上同一个数，也不能保证比例不变。
典例4 如图，D、E分别在线段AB、AC上，，，，，。
（1）求证：；
（2）求DE。
思路分析：这里AD对应的是AC，AE对应的是AB。两组边成比例且夹角相等，但DE不需要与BC平行。
解：（1），。
在和中，
所以。
（2）由相似得，所以。
变式 4.1 与的边长分别为，，，，，。判断这两个三角形是否相似；若相似，按对应顺序写出相似关系，并求与另一个三角形的相似比。
解：把对应边逐一比较：，，。
三边对应成比例，所以两个三角形相似。AB对应FD，BC对应DE，AC对应FE，因此A对应F，B对应D，C对应E。
相似关系为，相似比为。
变式 4.2 已知和中，。下列条件中，能保证的是（ ）。
A．
B．
C．
D．
选B。选项B给出两边对应成比例，且、正是这些边的夹角，符合相似判定。
A只给一组边相等；C中已知角不是所给两边的夹角；D给的是角的和，均不能保证指定的相似关系。
题型五 直角三角形斜边上的高
知识要点：在中，，于D。两个小三角形都与原三角形相似：，。对应顺序应结合直角和公共锐角检查。
由相似可得·AB，·AB，·BD。这些等式来自对应边的比例，而不是任意直角三角形中都能直接套用的长度关系。
计算时配合和勾股定理。求出的边长应为正数，且小于相应直角三角形的斜边。
典例5 如图，中，，于D，，。
（1）求证：；
（2）求CD、AC和BC。
思路分析：先用两个锐角的余角关系判定相似，再把斜边上的两段与高联系起来。
解：（1）因为，，所以。
又，，所以，故。
（2）由相似得，所以·，。
由勾股定理，，。
变式 5.1 如图，中，，于D，，。求AD、BD和CD。
解：由勾股定理，。
因为，，所以，得·AB。故。
。由AB·AC·BC，得。
变式 5.2 如图，中，，于D，，。求AB。
解：由两个小直角三角形相似，得·DB。
设，则，。于是，解得负值舍去）。
所以。
题型六 周长、面积与对应高的比
知识要点：相似三角形的周长比、对应高之比、对应中线之比，都等于相似比。这里“对应”仍由三角形的顶点顺序确定。
相似三角形的面积比等于相似比的平方。若与的相似比为k，则。反过来，由面积比求边长比时，应取正的平方根。
在大三角形内作平行线时，小三角形与剩余四边形的面积比，不等于两个相似三角形的面积比。应先用“总面积小三角形面积剩余面积”统一比较对象。
典例6 已知，与的周长比为3∶5，中边EF上的高为20，两个三角形的面积之差为64。求中边BC上的高及两个三角形的面积。
思路分析：高用一次比，面积用平方比；面积之差可用相同比例中的倍数表示。
解：相似三角形的对应高之比等于周长比，所以中边BC上的高为。
两个三角形的面积比为9∶25。设，。
由，得。因此，。
变式 6.1 如图，D、E分别在线段AB、AC上，，，四边形DBCE的面积为42。求和。
解：。由，得，所以∶。
剩余四边形面积占面积的，所以。
故。
变式 6.2 如图，D、E分别在线段AB、AC上，。若∶，，求DE及AD∶DB。
解：由∶，得∶。
又，所以，相似比为1∶2。
故，，从而。
题型七 相似三角形的测量应用
知识要点：同一时刻的太阳光可看作平行光。物体竖直、地面水平时，物高与影长形成的直角三角形相似；不同时刻的影长不能直接按同一比例计算。
利用视线测量时，应先画出竖直线、水平线及视线，写清三角形相似的依据。观测点离地有高度时，相似关系常求出的是高度差，最后还要加上观测点的高度。
遇到墙面上的影子，要把地面影长和墙上影高分开表示。先在图中找出光线下降的高度与水平距离，不把墙影误当作完整的地面影长。
典例7 如图，同一时刻，一根竖直标杆AB的高为 m，水平地面上的影长BC为2 m；一棵竖直树DE的影长EF为12 m，两处地面水平。太阳光线。求树高DE。
思路分析：把物高、影长和太阳光线组成的两个直角三角形分别找出，再用对应边成比例列式。
解：因为标杆、树都竖直且地面水平，所以。太阳光线，因此。
所以，得，即。
解得。答：树高为9 m。
变式 7.1 如图，某人眼睛位于点A，距水平地面 m。竖直标杆BC高 m，竖直旗杆DE位于标杆后方，A、B、D在同一条视线上。人的脚下点F、标杆底端C、旗杆底端E依次共线， m， m。求旗杆高DE。
解：过A作水平线，分别交BC、DE于G、H。则 m， m， m。
因为，A、B、D共线，A、G、H共线，所以。
m。由，得 m。
m。答：旗杆高 m。
变式 7.2 如图，竖直标杆AB高 m，此时它在水平地面上的完整影长为 m。将标杆沿地面移到竖直墙前，杆底C距墙脚D为 m，太阳光方向不变，杆顶为E，部分影子落在墙上，墙影顶端为F。C、D在同一水平线上，求DF。
解：过F作水平线交EC于H。则EH是光线从杆顶到墙面时下降的高度， m，。
同一时刻太阳光方向相同，与标杆及其完整地面影子形成的直角三角形相似。
因此， m。
m。答：墙影高 m。
题型八 平行截线中的综合问题
知识要点：平行线随点移动时，相似关系往往保持不变，变化的是相似比。先给动点确定取值范围，再把对应边长表示成同一个变量。
面积随相似比的平方变化。求某个面积或乘积的最大值时，可先利用相似写出二次函数，再在题目规定的范围内求值。
证明两条线段乘积相等时，可把目标式改写为比例式，寻找包含这四条线段的两个三角形。辅助平行线必须说明经过哪个点、与哪条直线平行。
典例8 如图，中，，，。点D在线段AB内部，过D作交AC于E。设。
（1）用含x的式子表示AE；
（2）求AD·EC的最大值及此时x的值。
思路分析：先把AE和EC表示成x的式子，再把线段乘积化为二次函数。
解：（1）由，得，因此，，其中。
。
AD·。
因为，所以当时，AD·EC取得最大值12。
变式 8.1 如图，中，，高。点D在线段AB内部，交AC于E。设。
（1）用含x的式子表示点D到BC的距离；
（2）求面积的取值范围，并判断它能否等于的面积。
解：（1）设点D到BC的距离为h。由，得，对应高之比等于对应边之比。
因此，解得，其中。
（2）。
由可得。而，所以的面积不能等于的面积。
变式 8.2 如图，中，D在线段AB内部，E在线段AC内部，，BE与CD交于O。求证：。
解：由，得，，所以。
于是。又，故。
所以。
二 综合训练
【A组·基础达标】
A1 已知，，则∶________。
解：相似比为2∶5，面积比为它的平方，故填4∶25。
A2 两个三角形的三边长分别为4、5、6和8、10、12。下列说法正确的是（ ）。
A．两个三角形一定全等
B．两个三角形相似，相似比为1∶2
C．两个三角形的面积比为1∶2
D．两个三角形的对应角之比为1∶2
选B。三组对应边的比均为，两个三角形相似；对应角相等，面积比为1∶4，且两三角形不全等。
A3 如图，D、E分别为的边AB、AC的中点，，求DE及∶。
解：因为D、E分别为AB、AC的中点，所以，。
与的相似比为1∶2，因此∶。
A4 已知，，，，的周长为27。求DE、EF和DF。
解：的周长为，所以与的相似比为。
，，。
【B组·综合进阶】
B1 如图，中，D在线段AB上，E在线段AC上，，，，。求证：。
解：，，所以，。
又，所以。
由相似得。两角为同位角，所以。
B2 如图，中，，于D，，。求BC。
解：由，得·BD，所以。
在中，。
B3 如图，中，，，。D在线段AB内部，；E在线段AC内部，且。求AE、DE，并判断DE与BC是否平行。
解：由，得。
所以，。
若，则，应有；但，故DE与BC不平行。
B4 如图，同一时刻，两根竖直杆AB、CD立在水平地面上，AB高2 m、影长BE为3 m，CD的影长DF比BE长 m。求CD。
解：CD的影长为 m。同一时刻的太阳光可看作平行光，两杆与各自地面影子组成的直角三角形相似。
所以， m。
【C组·挑战突破】
C1 如图，在中，，D、E分别在线段AB、AC内部，BE与CD交于O。若，，求和。
解：由，得。由，得，所以。
又，所以∶，故。
相似还给出。、以OD、OC为底时高相同，所以；同理。
四边形DBCE的面积为。
而∶，所以四边形DBCE的面积占面积的。
因此。
C2 如图，中，，，。点D在线段AB内部，于E，于F，四边形CEDF为矩形。
（1）设，用含x的式子表示CF；
（2）求矩形CEDF面积的最大值。
解：（1）由、，得，所以。
因为，所以。由，得。矩形对边相等，故，其中。
（2）设矩形面积为S，则。
因为，所以当时，S取得最大值12。
C3 如图，中，，，。点D在线段AB内部。是否存在点D，使与相似？若存在，求所有符合条件的AD；若不存在，说明理由。
解：存在。因为，所以。的三边互不相等，三个角也互不相等。
由于D在AB内部，，所以相似时A只能对应A，另外两个顶点有两种对应方式。
①若，则，。作C到AB的垂线，垂足D满足，且，故该点符合条件。
②若，则AC与AC对应，相似比为1，得，此时D与B重合，不符合D在线段AB内部的条件。
所以所有符合条件的AD只有。
C4 如图，中，D、E分别在线段AB、AC内部，，，的面积为90。已知四边形DBCE的面积是面积的3倍。
（1）求DE；
（2）若BE与CD交于O，求。
解：（1）由题意，∶。，故，得，所以。
（2）D是AB中点，与同高，故。
由，得，所以。
与同高，面积比为1∶2，故。
第 1 页 共 24 页
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相似三角形的判定与应用
2026一2027学年九年级下册数学专题讲义（苏科版）
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题型一
对应关系与相似比
2
题型二
平行线与成比例线段
3
题型三
两角对应相等的判定
5
题型四
边长条件下的相似判定
7
题型五
直角三角形斜边上的高
9
题型六
周长、面积与对应高的比
11
题型七
相似三角形的测量应用
14
题型八
平行截线中的综合问题
16
A组
基础达标
18
B组
综合进阶
19
C组
挑战突破
21
姓名：
班级：
第1页共24页
相似三角形
学生版
一
题型精讲
本专题从对应关系入手，结合平行线、直角三角形与测量问题，学习相似的判定和
应用。
题型一对应关系与相似比
知识要点：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫作相似三角形。写成
△ABC一△DEF时，A、B、C分别对应D、E、F,不能只凭图形朝向确定对应关
系。
若△ABC~△DEF,则∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F,且
品器-品=太。k是△ABC与△DEF的相似比：交换顺序后，相似比为：
AB BC AC
同一比例式中的长度单位应统一。求边长时，先写对应边的比例，再代入数据；已
知边的差或和时，可以先设对应边分别为相同比例中的倍数。
典例1如图，△ABC~△EFD,AB=6,BC=8,AC-10,EF=9。求FD、
ED的长及△EFD与△ABC的相似比。
B
E
思路分析：先根据相似关系中的书写顺序确定对应边，再判断所求相似比是哪一个
三角形与哪一个三角形的比。
解：由△ABC一△EFD可知，A对应E,B对应F,C对应D,故AB与EF、BC
与FD、AC与ED分别是对应边。
需-8-是.所以Dx8=12,Dx10=15.
3
△EFD与△ABC的相似比为
第2页共24页
相似三角形
学生版
变式1.1已知△ABC~△DEF,AB=8,DE=12,AC+DF=25。求AC和DF。
变式1.2一个三角形的三边长分别为3、4、6，与它相似的另一个三角形有两边长分
别为6和8。求另一个三角形的第三边长。
题型二平行线与成比例线段
知识要点：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。比例中的线段必须来
自对应的两层平行线，不能把整段与其中一段混配。
在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC,则△ADE一△ABC,有
AD AF DE
AB=AC=BC。若题目给出AD:DB,应先换成AD:AB。
两条相交直线被两条平行线所截时，也可利用对顶角和内错角证明相似。交点位于
两个三角形之间时，仍按对应顺序列比例，不因图形翻转而交换对应边。
第3页共24页
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典例2如图，D、E分别在线段AB、AC上，DE∥BC,AD=3,DB=2,
AC=10,BC=8。求AE、EC和DE。
A
D B
思路分析：题目给的是AD和DB,列相似比前先求出整条边AB。
解：因为DE∥BC,所以∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,故
△ADE~△ABC。
AB=AD+DB=3+2=5,所以光-瓷-品。
AE号x10=6BC=AC-AB=10-6=4DE号x82号
变式2.1如图，AC与BD相交于O,AB∥CD,点的顺序分别为A、O、C和B、O、
D。已知OA=4,OC=6,AB=8。求CD。
B
C
第4页共24页
相似三角形
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变式22如图，AD∥BE∥CF,点A、B、C依次在一条直线上，点D、E、F依次
在另一条直线上。已知AB=4,BC=6,DF=15。求DE和EF。
B
E
题型三两角对应相等的判定
知识要点：两角分别相等的两个三角形相似。公共角、对顶角、平行线形成的角，
以及两个直角，都是寻找相等角的常见依据。
当两个三角形共用一个角时，只要再找到另一组对应角相等即可判定相似；但要由
角确定顶点对应顺序，再写边的比例。
有两条高时，先标明垂足和直角。大小不同、位置交错的两个直角三角形，也可能
因同一个锐角而相似。
第5页共24页
相似三角形
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典例3如图，在锐角△ABC中，BD LAC于D,CE⊥AB于E,AB=10,
AC=8,AD=6。
(1)求证：△ABD~△ACE;
(2)求AE。
C
A
E
B
思路分析：两条高分别给出两个直角；再利用公共的∠A确定对应顺序。
解：(1)因为BD LAC,CE⊥AB,所以∠ADB=∠AEC=90°。
在△ABD和△ACE中，
∠BAD=∠CAE
∠ADB=∠AEC
所以△ABD~△ACE。
(@)由相似可得2-品。即是-8。解得A迟头。
AD AB
第6页共24页
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变式3.1如图，D在线段AB上，∠ACD=∠ABC,AB=12,AC=8。求AD。
B
变式3.2如图，四边形ABCD中，AB∥CD,对角线AC、BD交于O,AB=6,
CD=9,BD=20。求BO和DO。
A
B
C
题型四边长条件下的相似判定
妃识要点：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。例侧如品-票且
∠A=∠D时，可得△ABC一△DEF。这里相等的角必须是所用两边的夹角。
三边对应成比例的两个三角形相似。已知三边时，可先按大小排序核对比例，再还
原顶点对应顺序。
第7页共24页
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仅有两边成比例和一组非夹角相等，不能保证两个三角形相似；判定依据必须完整。
两边同时加上同一个数，也不能保证比例不变。
典例4如图，D、E分别在线段AB、AC上，AB=8,AC=12,AD=6,AE=4,
BC=10.
(1)求证：△ADE~△ACB;
(2)求DE。
C
A
D
B
思路分析：这里AD对应的是AC,AE对应的是AB。两组边成比例且夹角相等，但
DE不需要与BC平行。
解：02-82铝-普-安
在△ADE和△ACB中，
AD AE
ACAB
∠DAE=∠CAB
所以△ADE~△ACB。
a)由相似得2品光员.所以D驱支x10=5。
第8页共24页
相似三角形
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变式4.1△ABC与∠DEF的边长分别为AB=6,BC=10,AC=8,DE=15,
EF=12,DF=9。判断这两个三角形是否相似，若相似，按对应顺序写出相似关
系，并求△ABC与另一个三角形的相似比。
变式4.2已知△ABC和△DEF中，∠A=∠D。下列条件中，能保证
△ABC~△DEF的是（)。
A.AB=DE
B.提丽
AB AC
AB BC
C.DE EF
D.∠B+∠E=180°
题型五直角三角形斜边上的高
知识要点：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD LAB于D。两个小三角形都与原
三角形相似：△ACD一△ABC,△CBD一△ABC。对应顺序应结合直角和公共
锐角检查。
第9页共24页
相似三角形
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由相似可得AC2=ADAB,BC2=BDAB,CD=ADBD。这些等式来自对应边
的比例，而不是任意直角三角形中都能直接套用的长度关系。
计算时配合AB=AD+BD和勾股定理。求出的边长应为正数，且小于相应直角三角
形的斜边。
典例5如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,AD=9,DB=16。
(1)求证：△ACD~△CBD;
(2)求CD、AC和BC。
B
思路分析：先用两个锐角的余角关系判定相似，再把斜边上的两段与高联系起来。
解：(1)因为∠ACB=90°，CD⊥AB,所以∠ADC=∠CDB=90°。
又∠ACD+∠BCD=90°，∠CBD+∠BCD=90°，所以∠ACD=∠CBD,
故△ACD△CBD。
AD CD
(2)由相似得C觉=部，所以CD2=ADBD=9x16=144,CD=12。
由勾股定理，AC=/92+122=15,BC=V162+122=20。
第10页共24页
相似三角形
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变式5.1如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD LAB于D,AC=6,BC=8。
求AD、BD和CD。
B
变式5.2如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,CD=6,
AD:DB=1:4。求AB。
A
B
D
题型六周长、面积与对应高的比
知识要点：相似三角形的周长比、对应高之比、对应中线之比，都等于相似比。这
里“对应”仍由三角形的顶点顺序确定。
相似三角形的面积比等于相似比的平方。若△ABC与△DEF的相似比为k,则
SAc=k。反过来，由面积比求边长比时，应取正的平方根。
ADEF
第11页共24页
相似三角形
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在大三角形内作平行线时，小三角形与剩余四边形的面积比，不等于两个相似三角
形的面积比。应先用“总面积=小三角形面积+剩余面积”统一比较对象。
典例6已知△ABC一DEF,△ABC与△DEF的周长比为3：5，△DEF中边EF
上的高为20，两个三角形的面积之差为64。求△ABC中边BC上的高及两个三角形
的面积。
D
A
BHC EI
F
思路分析：高用一次比，面积用平方比；面积之差可用相同比例中的倍数表示。
解：相似三角形的对应高之比等于周长比，所以AABC中边BC上的高为20x号
=12。
两个三角形的面积比为9：25。设S4ABC=9X,S4DEF=25x
由25x-9x=64,得x=4。因此S4ABc=36,S4DEF=100。
第12页共24页
相似三角形
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变式6.1如图，D、E分别在线段AB、AC上，DE∥BC,AD:DB=2:3,四边形
DBCE的面积为42。求SA4DB和SAABC.
C
变式6.2如图，D、E分别在线段AB、AC上，DE∥BC。若SAADE:S四边形DBCE
=1:3,BC=14,求DE及AD:DB。
C
E
D
B
第13页共24页
相似三角形
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题型七相似三角形的测量应用
知识要点：同一时刻的太阳光可看作平行光。物体竖直、地面水平时，物高与影长
形成的直角三角形相似；不同时刻的影长不能直接按同一比例计算。
利用视线测量时，应先画出竖直线、水平线及视线，写清三角形相似的依据。观测
点离地有高度时，相似关系常求出的是高度差，最后还要加上观测点的高度。
遇到墙面上的影子，要把地面影长和墙上影高分开表示。先在图中找出光线下降的
高度与水平距离，不把墙影误当作完整的地面影长。
典例7如图，同一时刻，一根竖直标杆AB的高为1.5m,水平地面上的影长BC为
2m;一棵竖直树DE的影长EF为12m,两处地面水平。太阳光线AC∥DF。求树
高DE。
B
E
思路分析：把物高、影长和太阳光线组成的两个直角三角形分别找出，再用对应边
成比例列式。
解：因为标杆、树都竖直且地面水平，所以∠ABC=∠DEF=90°。太阳光线
AC∥DF,因此∠ACB=∠DFE。
所以4ABC-6DEf,得品器，即b是最.
m1.52
解得DE=9。答：树高为9m。
第14页共24页
相似三角形
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变式7.1如图，某人眼晴位于点A,距水平地面1.6m。竖直标杆BC高2.4m,竖
直旗杆DE位于标杆后方，A、B、D在同一条视线上。人的脚下点F、标杆底端C、
旗杆底端E依次共线，FC=2m,CE=13m。求旗杆高DE。
B
AF
E
变式7.2如图，竖直标杆AB高1.8m,此时它在水平地面上的完整影长为2.4m。
将标杆沿地面移到竖直墙前，杆底C距墙脚D为1.2m,太阳光方向不变，杆顶为E,
部分影子落在墙上，墙影顶端为F。C、D在同一水平线上，求DF。
A
E
B
G
D
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相似三角形
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题型八平行截线中的综合问题
知识要点：平行线随点移动时，相似关系往往保持不变，变化的是相似比。先给动
点确定取值范围，再把对应边长表示成同一个变量。
面积随相似比的平方变化。求某个面积或乘积的最大值时，可先利用相似写出二次
函数，再在题目规定的范围内求值。
证明两条线段乘积相等时，可把目标式改写为比例式，寻找包含这四条线段的两个
三角形。辅助平行线必须说明经过哪个点、与哪条直线平行。
典例8如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8,AC=6。点D在线段AB内部，
过D作DE∥BC交AC于E。设AD=x。
(1)用含×的式子表示AE；
(2)求ADEC的最大值及此时x的值。
E
B
思路分析：先把AE和EC表示成x的式子，再把线段乘积化为二次函数。
解：()由D5∥BC,得AADB-4ABC,因此品-器-音，AB=是x,共
中0<x<8。
2EC=AC-AB=6-是x
ADBC=-x6星x)=x-42+12。
0<4<8,故当x=4时，ADEC的最大值为12。
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相似三角形
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变式8.1如图，△ABC中，BC=12,高AH=9。点D在线段AB内部，DE∥BC
交AC于E。设DE=X。
(1)用含x的式子表示点D到BC的距离；
(2)求△DBC面积的取值范围，并判断它能否等于△ABC的面积。
A
B
变式8.2如图，△ABC中，D在线段AB内部，E在线段AC内部，DE∥BC,BE
OD AD
与CD交于O。求证：O心-B。
E
B
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相似三角形
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二综合训练
【A组·基础达标】
A1已知△ABC~△DEF,AB:DE=2:5,则SAABC:SADEF=-
A2两个三角形的三边长分别为4、5、6和8、10、12。下列说法正确的是（）。
A.两个三角形一定全等
B.两个三角形相似，相似比为1：2
C.两个三角形的面积比为1：2
D.两个三角形的对应角之比为1：2
A3如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点，BC=18,求DE及S4ADE:
SAABC
B
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A4已知∠ABC~△DEF,AB=4,BC=6,AC=8,△DEF的周长为27。求DE、
EF和DF。
【B组·综合进阶】
B1如图，△ABC中，D在线段AB上，E在线段AC上，AD=4,DB=6,AE=6,
EC=9。求证：DE∥BC。
E
D
B
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相似三角形
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B2如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,AD=4,CD=6。求
BC.
B
B3如图，△ABC中，AB=6,AC=9,BC=8。D在线段AB内部，AD=3;E
在线段AC内部，且△ADE一△ACB。求AE、DE,并判断DE与BC是否平行。
C
E
A
7≥DR
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B4如图，同一时刻，两根竖直杆AB、CD立在水平地面上，AB高2m、影长BE为
3m,CD的影长DF比BE长4.5m。求CD。
A
B
【C组挑战突破】
C1如图，在△ABC中，DE∥BC,D、E分别在线段AB、AC内部，BE与CD交
于O。若AD:DB=2:3,SA0DB=8,求S4oBc和S4ABC。
A
E
B
C
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C2如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8。点D在线段AB内部，
DE⊥AC于E,DF LBC于F,四边形CEDF为矩形。
(1)设CE=x,用含x的式子表示CF;
(2)求矩形CEDF面积的最大值。
A
E
D
C
B
F
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C3如图，△ABC中，AB=10,AC=8,BC=6。点D在线段AB内部。是否存
在点D,使△ACD与△ABC相似？若存在，求所有符合条件的AD:若不存在，说
明理由。
A
D
B
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相似三角形
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C4如图，△ABC中，D、E分别在线段AB、AC内部，DE∥BC,BC=15,
△ABC的面积为90。已知四边形DBCE的面积是△ADE面积的3倍。
(I)求DE;
(2）)若BE与CD交于O,求S4BOD。
A
D
E
B
C
第24页共24页相似三角形
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相似三角形的判定与应用
2026一2027学年九年级下册数学专题讲义（苏科版）
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板块
内容
起始页
题型一
对应关系与相似比
2
题型二
平行线与成比例线段
3
题型三
两角对应相等的判定
5
题型四
边长条件下的相似判定
7
题型五
直角三角形斜边上的高
9
题型六
周长、面积与对应高的比
11
题型七
相似三角形的测量应用
13
题型八
平行截线中的综合问题
15
A组
基础达标
18
B组
综合进阶
19
C组
挑战突破
21
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相似三角形
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题型精讲
本专题从对应关系入手，结合平行线、直角三角形与测量问题，学习相似的判定和
应用。
题型一对应关系与相似比
知识要点：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫作相似三角形。写成
△ABC一△DEF时，A、B、C分别对应D、E、F,不能只凭图形朝向确定对应关
系。
若△ABC~△DEF,则∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F,且
品器-品=太。k是△ABC与△DEF的相似比：交换顺序后，相似比为：
AB BC AC
同一比例式中的长度单位应统一。求边长时，先写对应边的比例，再代入数据；已
知边的差或和时，可以先设对应边分别为相同比例中的倍数。
典例1如图，△ABC~△EFD,AB=6,BC=8,AC-10,EF=9。求FD、
ED的长及△EFD与△ABC的相似比。
B
E
思路分析：先根据相似关系中的书写顺序确定对应边，再判断所求相似比是哪一个
三角形与哪一个三角形的比。
解：由△ABC一△EFD可知，A对应E,B对应F,C对应D,故AB与EF、BC
与FD、AC与ED分别是对应边。
需-8-是.所以Dx8=12,Dx10=15.
3
△EFD与△ABC的相似比为
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相似三角形
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变式1.1已知△ABC~△DEF,AB=8,DE=12,AC+DF=25。求AC和DF。
解：由4ABC一4DE,得品-2-8-子.
设AC=2x,DF=3x。由AC+DF=25,得5x=25,X=5。
所以AC=10,DF=15。
变式1.2一个三角形的三边长分别为3、4、6，与它相似的另一个三角形有两边长分
别为6和8。求另一个三角形的第三边长。
解：已知两边的比为6：8=3：4。原三角形任意两边由小到大的比分别为3：4、3：6
和4：6，只有3：4与它相等。
所以6、8分别对应3、4，相似比为2，第三边对应原来的6，长为2×6=12。
题型二平行线与成比例线段
知识要点：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。比例中的线段必须来
自对应的两层平行线，不能把整段与其中一段混配。
在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC,则△ADE~△ABC,有
AD AF DE
AB=AC=BC。若题目给出AD:DB,应先换成AD:AB。
两条相交直线被两条平行线所截时，也可利用对顶角和内错角证明相似。交点位于
两个三角形之间时，仍按对应顺序列比例，不因图形翻转而交换对应边。
典例2如图，D、E分别在线段AB、AC上，DE∥BC,AD=3,DB=2,
AC=10,BC=8。求AE、EC和DE。
B
思路分析：题目给的是AD和DB,列相似比前先求出整条边AB。
第3页共24页
相似三角形
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解：因为DE∥BC,所以∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,故
△ADE一△ABC。
AE DE AD 3
AB=AD+DB=3+2=5,所以A元=BC=AB=5
AB-号x10=6BC=AC-AB=10-6=4,DE号x8-24.
变式2.1如图，AC与BD相交于O,AB∥CD,点的顺序分别为A、O、C和B、O、
D。已知OA=4,OC=6,AB=8。求CD。
B
C
解：因为AB∥CD,所以∠OAB=∠OCD,∠OBA=∠ODC,故
△OAB~△OCD。
于是品8%-告3.所以CD-8x号-12。
变式2.2如图，AD∥BE∥CF,点A、B、C依次在一条直线上，点D、E、F依次
在另一条直线上。已知AB=4,BC=6,DF=15。求DE和EF。
B
E
A
D
第4页共24页
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解：由AD驱1c,得2器2-各子。
3
又DE+EF=DF=15,所以DE=15×号=6，EF=15x号9。
题型三两角对应相等的判定
知识要点：两角分别相等的两个三角形相似。公共角、对顶角、平行线形成的角，
以及两个直角，都是寻找相等角的常见依据。
当两个三角形共用一个角时，只要再找到另一组对应角相等即可判定相似；但要由
角确定顶点对应顺序，再写边的比例。
有两条高时，先标明垂足和直角。大小不同、位置交错的两个直角三角形，也可能
因同一个锐角而相似。
典例3如图，在锐角△ABC中，BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,AB=10,
AC=8,AD=6。
(1)求证：△ABD~么ACE,
(2)求AE。
E
B
思路分析：两条高分别给出两个直角；再利用公共的∠A确定对应顺序。
解：(1)因为BD⊥AC,CE⊥AB,所以∠ADB=∠AEC=90°。
在△ABD和△ACE中，
∠BAD=∠CAE
∠ADB=∠AEC
所以△ABD~△ACE。
回)由相似可得器怨即是碧
解得AE=
5
第5页共24页
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变式3.1如图，D在线段AB上，∠ACD=∠ABC,AB=12,AC=8。求AD。
A
B
D
解：因为D在AB上，所以∠CAD=∠BAC;又∠ACD=∠ABC,所以
△ACD~△ABC。
2-胎得4048--9。
AB=12=3。
变式3.2如图，四边形ABCD中，AB∥CD,对角线AC、BD交于O,AB=6,
CD=9,BD=20。求B0和DO。
B
C
解：因为AB∥CD,所以∠ABO=∠CDO,∠BAO=∠DCO,故
△ABO~△CDO.
因此8%-2号8-3。又B0:D0-20,得80-8，D0=12.
第6页共24页
相似三角形
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题型四边长条件下的相似判定
知识要息：两边对应成此例侧且夹角相等的两个三角形相似。例如品二且
∠A=∠D时，可得△ABC~△DEF。这里相等的角必须是所用两边的夹角。
三边对应成比例的两个三角形相似。已知三边时，可先按大小排序核对比例，再还
原顶点对应顺序。
仅有两边成比例和一组非夹角相等，不能保证两个三角形相似；判定依据必须完整。
两边同时加上同一个数，也不能保证比例不变。
典例4如图，D、E分别在线段AB、AC上，AB=8,AC=12,AD=6,AE=4,
BC=10。
(1)求证：△ADE~△ACB；
(2)求DE。
A
D
B
思路分析：这里AD对应的是AC,AE对应的是AB。两组边成比例且夹角相等，但
DE不需要与BC平行。
AD 6 1 AF 4 1
解：()C=122,B82
在△ADE和△ACB中，
AD AF
ACAB
∠DAE=∠CAB
所以△ADE~△ACB。
(@)由相似得2器光-受所以D驱-2x10-5。
第7页共24页
相似三角形
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变式4.1△ABC与△DEF的边长分别为AB=6,BC=10,AC=8,DE=15,
EF=12,DF=9。判断这两个三角形是否相似；若相似，按对应顺序写出相似关
系，并求△ABC与另一个三角形的相似比。
A
B
AB_6_2BC_10_2AC_8_2
解：把对应边逐一比较：D品=9=，D定=15-3,2=12=3
三边对应成比例，所以两个三角形相似。AB对应FD,BC对应DE,AC对应FE,
因此A对应F,B对应D,C对应E。
相似关系为△ABC-△FD2,相似比为子。
变式4.2已知△ABC和△DEF中，∠A=∠D。下列条件中，能保证
△ABC一△DEF的是()。
A.AB=DE
B.是
AB AC
AB BC
C.DE EF
D.∠B+∠E=180°
选B。选项B给出两边对应成比例，且∠A、∠D正是这些边的夹角，符合相似判
定。
A只给一组边相等；C中已知角不是所给两边的夹角；D给的是角的和，均不能保证
指定的相似关系。
第8页共24页
相似三角形
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题型五直角三角形斜边上的高
知识要点：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD LAB于D。两个小三角形都与原
三角形相似：△ACD一△ABC,△CBD~△ABC。对应顺序应结合直角和公共
锐角检查。
由相似可得AC2=ADAB,BC2=BDAB,CD=ADBD。这些等式来自对应边
的比例，而不是任意直角三角形中都能直接套用的长度关系。
计算时配合AB=AD+BD和勾股定理。求出的边长应为正数，且小于相应直角三角
形的斜边。
典例5如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,AD=9,DB=16。
(1)求证：△ACD~△CBD;
(2)求CD、AC和BC。
B
D
思路分析：先用两个锐角的余角关系判定相似，再把斜边上的两段与高联系起来。
解：(1)因为∠ACB=90°，CD LAB,所以∠ADC=∠CDB=90°。
又∠ACD+∠BCD=90°，∠CBD+∠BCD=90°，所以∠ACD=∠CBD,
故△ACD~△CBD。
(回)由湘似得2品品。所以CD2=AD:BD=9x16=14,CD=12。
由勾股定理，AC=V92+122=15,BC=V162+122=20。
第9页共24页
相似三角形
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变式5.1如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD LAB于D,AC=6,BC=8。
求AD、BD和CD。
B
D
解：由勾股定理，AB=V62+82=10。
因为∠ADC=∠ACB=90°，∠CAD=∠CAB,所以△ACD一△ABC,得
AC2=ADAB。故AD8-。
BD=AB-AD=10-号-号。BCD-ACBC,得CD-608-告.
变武5.2如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD1AB于D,CD=6,
AD:DB=1:4。求AB。
B
D
解：由两个小直角三角形相似，得CD=ADDB。
设AD=x,则DB=4x,x>0。于是36=4x2,解得x=3(负值舍去)。
所以AB=AD+DB=5x=15。
第10页共24页
相似三角形
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题型六周长、面积与对应高的比
知识要点：相似三角形的周长比、对应高之比、对应中线之比，都等于相似比。这
里“对应”仍由三角形的顶点顺序确定。
相似三角形的面积比等于相似比的平方。若△ABC与△DEF的相似比为k,则
SAC=k?。反过来，由面积比求边长比时，应取正的平方根。
SADEF
在大三角形内作平行线时，小三角形与剩余四边形的面积比，不等于两个相似三角
形的面积比。应先用“总面积=小三角形面积+剩余面积”统一比较对象。
典例6已知△ABC一DEF,△ABC与△DEF的周长比为3：5，DEF中边EF
上的高为20，两个三角形的面积之差为64。求△ABC中边BC上的高及两个三角形
的面积。
A
BH C
E I
F
思路分析：高用一次比，面积用平方比；面积之差可用相同比例中的倍数表示。
解：相似三角形的对应高之比等于周长比，所以△ABC中边BC上的高为20×号
=12。
两个三角形的面积比为9：25。设S4ABC=9X,S4DEF=25X。
由25x-9x=64,得x=4。因此S44Bc=36,S4DEF=100。
第11页共24页
相似三角形
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变式6.1如图，D、E分别在线段AB、AC上，DE∥BC,AD:DB=2:3,四边形
DBCE的面积为42。求S4ADB和S4ABC。
C
E
A
B
解：AD:AB=2:5。由DE∥BC,得△ADE~△ABC,所以S4ADE:SAABC
=4:25。
利余四边形面积占△ABC面积的完。所以S4c-42÷完50。
故S44DB=50-42=8。
变式6.2如图，D、E分别在线段AB、AC上，DE∥BC。若SAADE:S四边形DBCE
=1:3,BC=14,求DE及AD:DB。
C
E
A
D
B
解：由S44DE:S四边形DBc8=1:3,得S4ADE:S4ABC=1:4。
又DE∥BC,所以△ADE一△ABC,相似比为1：2。
故DE=2×14=7,AD:AB=1:2,从而AD:DB=1:1。
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题型七相似三角形的测量应用
知识要点：同一时刻的太阳光可看作平行光。物体竖直、地面水平时，物高与影长
形成的直角三角形相似；不同时刻的影长不能直接按同一比例计算。
利用视线测量时，应先画出竖直线、水平线及视线，写清三角形相似的依据。观测
点离地有高度时，相似关系常求出的是高度差，最后还要加上观测点的高度。
遇到墙面上的影子，要把地面影长和墙上影高分开表示。先在图中找出光线下降的
高度与水平距离，不把墙影误当作完整的地面影长。
典例7如图，同一时刻，一根竖直标杆AB的高为1.5m,水平地面上的影长BC为
2m;一棵竖直树DE的影长EF为12m,两处地面水平。太阳光线AC∥DF。求树
高DE。
A
B
E
思路分析：把物高、影长和太阳光线组成的两个直角三角形分别找出，再用对应边
成比例列式。
解：因为标杆、树都竖直且地面水平，所以∠ABC=∠DEF=90°。太阳光线
AC∥DF,因此∠ACB=∠DFE。
所以4ABC-△DEF,得品器，即b是最.
m1.52
解得DE=9。答：树高为9m。
第13页共24页
相似三角形
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变式7.1如图，某人眼晴位于点A,距水平地面1.6m。竖直标杆BC高2.4m,竖
直旗杆DE位于标杆后方，A、B、D在同一条视线上。人的脚下点F、标杆底端C、
旗杆底端E依次共线，FC=2m,CE=13m。求旗杆高DE。
B
C
E
解：过A作水平线，分别交BC、DE于G、H。则CG=EH=AF=1.6m,
AG=FC=2 m,AHT=FE=2+13=15 mo
因为BG∥DH,A、B、D共线，A、G、H共线，所以△ABG一△ADH。
BC-Bc-CG=24-1.6=0.8m.2e-.得DH-0.8x5-6m,
DH AH
DE=DH+EH=6+1.6=7.6m。答：旗杆高7.6m。
D
B
H
C
E
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相似三角形
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变式7.2如图，竖直标杆AB高1.8m,此时它在水平地面上的完整影长为2.4m。
将标杆沿地面移到竖直墙前，杆底C距墙脚D为1.2m,太阳光方向不变，杆顶为E,
部分影子落在墙上，墙影顶端为F。C、D在同一水平线上，求DF。
B
G
D
解：过F作水平线交EC于H。则EH是光线从杆顶到墙面时下降的高度，
HF=CD=1.2m,CH=DF。
同一时刻太阳光方向相同，△EHF与标杆及其完整地面影子形成的直角三角形相似。
EH1.8
因此家=2.4，
EH=-1.2x28-0.9m
DF=CH=EC-EH=1.8-0.9=0.9m。答：墙影高0.9m。
A
E
H
B
C
题型八平行截线中的综合问题
知识要点：平行线随点移动时，相似关系往往保持不变，变化的是相似比。先给动
点确定取值范围，再把对应边长表示成同一个变量。
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相似三角形
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面积随相似比的平方变化。求某个面积或乘积的最大值时，可先利用相似写出二次
函数，再在题目规定的范围内求值。
证明两条线段乘积相等时，可把目标式改写为比例式，寻找包含这四条线段的两个
三角形。辅助平行线必须说明经过哪个点、与哪条直线平行。
典例8如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8,AC=6。点D在线段AB内部，
过D作DE∥BC交AC于E。设AD=X。
(1)用含x的式子表示AE;
(2）求ADEC的最大值及此时x的值。
A
B
思路分析：先把AE和EC表示成x的式子，再把线段乘积化为二次函数。
解：()由D5/BC,得4ADB-AABC,因此是-品-若。AB-是x,共
中0<x<8。
2EC=AC-AB=6-是x
ADEC=x6-星x=星x-42+12。
因为0<4<8，所以当x=4时，ADEC取得最大值12。
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相似三角形
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变式8.1如图，△ABC中，BC=12,高AH=9。点D在线段AB内部，DE∥BC
交AC于E。设DE=X。
(1)用含x的式子表示点D到BC的距离；
(2)求△DBC面积的取值范围，并判断它能否等于△ABC的面积。
A
D
E
B
H
C
解：(1)设点D到BC的距离为h。由DE∥BC,得△ADE~△ABC,对应高之
比等于对应边之比。
因此g2-瓷各解得a9
4x,其中0<x<12。
②)S6c=x12x9是x)-54-号x。
由0<x<12可得0<S4DBc<54。而SA4Bc=54,所以△DBC的面积不能等于
△ABC的面积。
变式8.2如图，△ABC中，D在线段AB内部，E在线段AC内部，DE∥BC,BE
OD AD
与CD交于O。求证：O心=AB。
A
E
B
C
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相似三角形
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解：由DE∥BC,得∠ODE=∠OCB,∠OED=∠OBC,所以
△ODE~△OCB。
于是8肥器。又4ADE-4ABC,做瓷-品。
OD DE
OD AD
所以OC=AB
二综合训练
【A组·基础达标】
A1已知△ABC一△DEF,AB:DE=2:5,则S4ABC:S4DEF=」
解：相似比为2：5，面积比为它的平方，故填4：25。
A2两个三角形的三边长分别为4、5、6和8、10、12。下列说法正确的是（)。
A.两个三角形一定全等
B.两个三角形相似，相似比为1：2
C.两个三角形的面积比为1：2
D.两个三角形的对应角之比为1：2
选B。三组对应边的比均为吃，两个三角形相似；对应角相等，面积比为1：4，且
两三角形不全等。
A3如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点，BC=18,求DE及S4ADr:
SAABC
A
D
B
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相似三角形
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解：因为D、E分别为AB、AC的中点，所以DE∥BC,DE=BC=9。
△ADE与△ABC的相似比为1：2，因此S4ADr:S44ABC=1:4。
A4已知ABC~△DEF,AB=4,BC=6,AC=8,∠DEF的周长为27。求DE、
EF和DF。
解：△ABC的周长为4+6+8=18，所以△DEF与△ABC的相似比为27：18=3：2。
DB=4×号-6E=6x号-9，DF=-8x3-12
【B组·综合进阶】
B1如图，△ABC中，D在线段AB上，E在线段AC上，AD=4,DB=6,AE=6,
EC=9。求证：DE∥BC。
D
B
解：AB=AD+DB=10,AC=AB+EC=15,所以品0系
A
6
AC=15=
。
又∠DAE=∠BAC,所以△ADE一△ABC。
由相似得∠ADE=∠ABC。两角为同位角，所以DE∥BC。
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相似三角形
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B2如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,AD=4,CD=6。求
BC.
B
D
解：由AACD△CBD,得CD2=ADBD,所以BD-6
9。
在Rt△BCD中，BC=NBD2+CD2=V92+62=3V13。
B3如图，△ABC中，AB=6,AC=9,BC=8。D在线段AB内部，AD=3;E
在线段AC内部，且△ADE一△ACB。求AE、DE,并判断DE与BC是否平行。
C
E
A
B
解：由4ADE-4AC8,得0-铝-2器-号-
所以AB-2,DE8。
若DE∥BC,则AADE~AABC,应有品-怨：但号≠行，敢DE与BC不平
行。
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相似三角形
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B4如图，同一时刻，两根竖直杆AB、CD立在水平地面上，AB高2m、影长BE为
3m,CD的影长DF比BE长4.5m。求CD。
A
B
E
D
解：CD的影长为DF=3+4.5=7.5m。同一时刻的太阳光可看作平行光，两杆与各
自地面影子组成的直角三角形相似。
CD DF 7.5
所以4gE3cD=2X75m
【C组挑战突破)
C1如图，在△ABC中，DE∥BC,D、E分别在线段AB、AC内部，BE与CD交
于O。若AD:DB=2:3,S4oDB=8,求SAOBCi和S4ABC。
A
B
C
解：由AD:DB=2:3,得AD:AB=2:5。由DE∥BC,得△ADE~△ABC,
所以DE:BC=2:5。
又A0DE-40CB,所以5408：S40cm=4:25,故340ac=8x25-50。
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相似三角形
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相似还给出OD:OC=OE:OB=2:5。△BOD、∠BOC以OD、OC为底时高相
同，所以540-号x50=20:同理S4c0s=20。
四边形DBCE的面积为8+50+20+20=98。
21
而SAAD驱：S4ABC=4:25,所以四边形DBCE的面积占△ABC面积的25
因此S64c-98+2完-350。
C2如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8。点D在线段AB内部，
DE LAC于E,DF⊥BC于F,四边形CEDF为矩形。
(1)设CE=x,用含x的式子表示CF;
(2）求矩形CEDF面积的最大值。
A
D
E
F
B
解：(1)由DE LAC、BC LAC,得DE∥BC,所以△AED△ACB。
因为C8=x,所以A迟-6-x。瓷怨得DB86。-8专短形对
DE AE
6
边相等，故CF=8-号x,其中0<x<6。
(2)设矩形面积为5，则5=x8号x)=号x-32+12。
因为0<3<6，所以当x=3时，S取得最大值12。
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相似三角形
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C3如图，△ABC中，AB=10,AC=8,BC=6。点D在线段AB内部。是否存
在点D,使△ACD与△ABC相似？若存在，求所有符合条件的AD;若不存在，说
明理由。
A
B
D
解：存在。因为62+82=102，所以∠ACB=90°。△ABC的三边互不相等，三个
角也互不相等。
由于D在AB内部，∠CAD=∠CAB,所以相似时A只能对应A,另外两个顶点
有两种对应方式。
①诺AACD-4ABC.则26.AD6-。作C到A8的垂线垂足D
满足AD-子，且0<号<10，故该点符合条件。
②若△ACD一△ACB,则AC与AC对应，相似比为1，得AD=AB=10,此时D
与B重合，不符合D在线段AB内部的条件。
32
所以所有符合条件的AD只有5。
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相似三角形
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C4如图，△ABC中，D、E分别在线段AB、AC内部，DE∥BC,BC=15,
△ABC的面积为90。已知四边形DBCE的面积是△ADE面积的3倍。
(I)求DE;
(2）)若BE与CD交于O,求S4BODo
A
D
B
C
解：(1)由题意，S4Ar:S4ABC=1:4。DE∥BC,故△ADE~△ABC,得
DE:BC=AD:AB=1:2,所以DE-岁。
(2)D是AB中点，△DBC与△ABC同高，故S4DBC=90÷2=45。
由DE∥BC,得△ODE~△OCB,所以OD:OC=1:2。
△BOD与△B0C同高，面积比为1：2，故S4B0D=45÷(1+2)=15。
第24页共24页相似三角形 学生版
相似三角形的判定与应用
2026—2027学年九年级下册数学专题讲义（苏科版）
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内容
起始页
题型一
对应关系与相似比
2
题型二
平行线与成比例线段
3
题型三
两角对应相等的判定
5
题型四
边长条件下的相似判定
7
题型五
直角三角形斜边上的高
9
题型六
周长、面积与对应高的比
11
题型七
相似三角形的测量应用
14
题型八
平行截线中的综合问题
16
A组
基础达标
18
B组
综合进阶
19
C组
挑战突破
21
姓名：________ 班级：________
一 题型精讲
本专题从对应关系入手，结合平行线、直角三角形与测量问题，学习相似的判定和应用。
题型一 对应关系与相似比
知识要点：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫作相似三角形。写成时，A、B、C分别对应D、E、F，不能只凭图形朝向确定对应关系。
若，则，，，且。k是与的相似比；交换顺序后，相似比为。
同一比例式中的长度单位应统一。求边长时，先写对应边的比例，再代入数据；已知边的差或和时，可以先设对应边分别为相同比例中的倍数。
典例1 如图，，，，，。求FD、ED的长及与的相似比。
思路分析：先根据相似关系中的书写顺序确定对应边，再判断所求相似比是哪一个三角形与哪一个三角形的比。
解：由可知，A对应E，B对应F，C对应D，故AB与EF、BC与FD、AC与ED分别是对应边。
，所以，。
与的相似比为。
变式 1.1 已知，，，。求AC和DF。
变式 1.2 一个三角形的三边长分别为3、4、6，与它相似的另一个三角形有两边长分别为6和8。求另一个三角形的第三边长。
题型二 平行线与成比例线段
知识要点：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。比例中的线段必须来自对应的两层平行线，不能把整段与其中一段混配。
在中，D、E分别在AB、AC上，且，则，有。若题目给出AD∶DB，应先换成AD∶AB。
两条相交直线被两条平行线所截时，也可利用对顶角和内错角证明相似。交点位于两个三角形之间时，仍按对应顺序列比例，不因图形翻转而交换对应边。
典例2 如图，D、E分别在线段AB、AC上，，，，，。求AE、EC和DE。
思路分析：题目给的是AD和DB，列相似比前先求出整条边AB。
解：因为，所以，，故。
，所以。
，，。
变式 2.1 如图，AC与BD相交于O，，点的顺序分别为A、O、C和B、O、D。已知，，。求CD。
变式 2.2 如图，，点A、B、C依次在一条直线上，点D、E、F依次在另一条直线上。已知，，。求DE和EF。
题型三 两角对应相等的判定
知识要点：两角分别相等的两个三角形相似。公共角、对顶角、平行线形成的角，以及两个直角，都是寻找相等角的常见依据。
当两个三角形共用一个角时，只要再找到另一组对应角相等即可判定相似；但要由角确定顶点对应顺序，再写边的比例。
有两条高时，先标明垂足和直角。大小不同、位置交错的两个直角三角形，也可能因同一个锐角而相似。
典例3 如图，在锐角中，于D，于E，，，。
（1）求证：；
（2）求AE。
思路分析：两条高分别给出两个直角；再利用公共的确定对应顺序。
解：（1）因为，，所以。
在和中，
所以。
（2）由相似可得，即，解得。
变式 3.1 如图，D在线段AB上，，，。求AD。
变式 3.2 如图，四边形ABCD中，，对角线AC、BD交于O，，，。求BO和DO。
题型四 边长条件下的相似判定
知识要点：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。例如且时，可得。这里相等的角必须是所用两边的夹角。
三边对应成比例的两个三角形相似。已知三边时，可先按大小排序核对比例，再还原顶点对应顺序。
仅有两边成比例和一组非夹角相等，不能保证两个三角形相似；判定依据必须完整。两边同时加上同一个数，也不能保证比例不变。
典例4 如图，D、E分别在线段AB、AC上，，，，，。
（1）求证：；
（2）求DE。
思路分析：这里AD对应的是AC，AE对应的是AB。两组边成比例且夹角相等，但DE不需要与BC平行。
解：（1），。
在和中，
所以。
（2）由相似得，所以。
变式 4.1 与的边长分别为，，，，，。判断这两个三角形是否相似；若相似，按对应顺序写出相似关系，并求与另一个三角形的相似比。
变式 4.2 已知和中，。下列条件中，能保证的是（ ）。
A．
B．
C．
D．
题型五 直角三角形斜边上的高
知识要点：在中，，于D。两个小三角形都与原三角形相似：，。对应顺序应结合直角和公共锐角检查。
由相似可得·AB，·AB，·BD。这些等式来自对应边的比例，而不是任意直角三角形中都能直接套用的长度关系。
计算时配合和勾股定理。求出的边长应为正数，且小于相应直角三角形的斜边。
典例5 如图，中，，于D，，。
（1）求证：；
（2）求CD、AC和BC。
思路分析：先用两个锐角的余角关系判定相似，再把斜边上的两段与高联系起来。
解：（1）因为，，所以。
又，，所以，故。
（2）由相似得，所以·，。
由勾股定理，，。
变式 5.1 如图，中，，于D，，。求AD、BD和CD。
变式 5.2 如图，中，，于D，，。求AB。
题型六 周长、面积与对应高的比
知识要点：相似三角形的周长比、对应高之比、对应中线之比，都等于相似比。这里“对应”仍由三角形的顶点顺序确定。
相似三角形的面积比等于相似比的平方。若与的相似比为k，则。反过来，由面积比求边长比时，应取正的平方根。
在大三角形内作平行线时，小三角形与剩余四边形的面积比，不等于两个相似三角形的面积比。应先用“总面积小三角形面积剩余面积”统一比较对象。
典例6 已知，与的周长比为3∶5，中边EF上的高为20，两个三角形的面积之差为64。求中边BC上的高及两个三角形的面积。
思路分析：高用一次比，面积用平方比；面积之差可用相同比例中的倍数表示。
解：相似三角形的对应高之比等于周长比，所以中边BC上的高为。
两个三角形的面积比为9∶25。设，。
由，得。因此，。
变式 6.1 如图，D、E分别在线段AB、AC上，，，四边形DBCE的面积为42。求和。
变式 6.2 如图，D、E分别在线段AB、AC上，。若∶，，求DE及AD∶DB。
题型七 相似三角形的测量应用
知识要点：同一时刻的太阳光可看作平行光。物体竖直、地面水平时，物高与影长形成的直角三角形相似；不同时刻的影长不能直接按同一比例计算。
利用视线测量时，应先画出竖直线、水平线及视线，写清三角形相似的依据。观测点离地有高度时，相似关系常求出的是高度差，最后还要加上观测点的高度。
遇到墙面上的影子，要把地面影长和墙上影高分开表示。先在图中找出光线下降的高度与水平距离，不把墙影误当作完整的地面影长。
典例7 如图，同一时刻，一根竖直标杆AB的高为 m，水平地面上的影长BC为2 m；一棵竖直树DE的影长EF为12 m，两处地面水平。太阳光线。求树高DE。
思路分析：把物高、影长和太阳光线组成的两个直角三角形分别找出，再用对应边成比例列式。
解：因为标杆、树都竖直且地面水平，所以。太阳光线，因此。
所以，得，即。
解得。答：树高为9 m。
变式 7.1 如图，某人眼睛位于点A，距水平地面 m。竖直标杆BC高 m，竖直旗杆DE位于标杆后方，A、B、D在同一条视线上。人的脚下点F、标杆底端C、旗杆底端E依次共线， m， m。求旗杆高DE。
变式 7.2 如图，竖直标杆AB高 m，此时它在水平地面上的完整影长为 m。将标杆沿地面移到竖直墙前，杆底C距墙脚D为 m，太阳光方向不变，杆顶为E，部分影子落在墙上，墙影顶端为F。C、D在同一水平线上，求DF。
题型八 平行截线中的综合问题
知识要点：平行线随点移动时，相似关系往往保持不变，变化的是相似比。先给动点确定取值范围，再把对应边长表示成同一个变量。
面积随相似比的平方变化。求某个面积或乘积的最大值时，可先利用相似写出二次函数，再在题目规定的范围内求值。
证明两条线段乘积相等时，可把目标式改写为比例式，寻找包含这四条线段的两个三角形。辅助平行线必须说明经过哪个点、与哪条直线平行。
典例8 如图，中，，，。点D在线段AB内部，过D作交AC于E。设。
（1）用含x的式子表示AE；
（2）求AD·EC的最大值及此时x的值。
思路分析：先把AE和EC表示成x的式子，再把线段乘积化为二次函数。
解：（1）由，得，因此，，其中。
。
AD·。
，故当时，AD·EC的最大值为12。
变式 8.1 如图，中，，高。点D在线段AB内部，交AC于E。设。
（1）用含x的式子表示点D到BC的距离；
（2）求面积的取值范围，并判断它能否等于的面积。
变式 8.2 如图，中，D在线段AB内部，E在线段AC内部，，BE与CD交于O。求证：。
二 综合训练
【A组·基础达标】
A1 已知，，则∶________。
A2 两个三角形的三边长分别为4、5、6和8、10、12。下列说法正确的是（ ）。
A．两个三角形一定全等
B．两个三角形相似，相似比为1∶2
C．两个三角形的面积比为1∶2
D．两个三角形的对应角之比为1∶2
A3 如图，D、E分别为的边AB、AC的中点，，求DE及∶。
A4 已知，，，，的周长为27。求DE、EF和DF。
【B组·综合进阶】
B1 如图，中，D在线段AB上，E在线段AC上，，，，。求证：。
B2 如图，中，，于D，，。求BC。
B3 如图，中，，，。D在线段AB内部，；E在线段AC内部，且。求AE、DE，并判断DE与BC是否平行。
B4 如图，同一时刻，两根竖直杆AB、CD立在水平地面上，AB高2 m、影长BE为3 m，CD的影长DF比BE长 m。求CD。
【C组·挑战突破】
C1 如图，在中，，D、E分别在线段AB、AC内部，BE与CD交于O。若，，求和。
C2 如图，中，，，。点D在线段AB内部，于E，于F，四边形CEDF为矩形。
（1）设，用含x的式子表示CF；
（2）求矩形CEDF面积的最大值。
C3 如图，中，，，。点D在线段AB内部。是否存在点D，使与相似？若存在，求所有符合条件的AD；若不存在，说明理由。
C4 如图，中，D、E分别在线段AB、AC内部，，，的面积为90。已知四边形DBCE的面积是面积的3倍。
（1）求DE；
（2）若BE与CD交于O，求。
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