精品解析：广西南宁市广西大学附属中学2026-2027学年高二上学期期中素质评价数学试题

2026-2027学年度上学期高二年级数学科期中素质评价试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，向量，且，则（ ） A. B. 10 C. 14 D. 24 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得， 则，即，解得， 所以. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设直线的倾斜角为， 由，得， 所以， 因为，所以即. 3. 椭圆的一个焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆标准方程的性质即可求解. 【详解】把椭圆方程化为标准方程可得 ， 所以椭圆焦点在轴，，坐标为. 4. 已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据，展开后根据空间向量的数量积公式计算即可得到结果. 【详解】由题意可得， . 故选：C 5. 若直线与互相垂直，则实数（ ） A. B. 或0 C. 或0 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据互相垂直的两直线的性质进行求解即可. 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，即，解得或. 故选：C. 6. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据渐近线的倾斜角求出渐近线的斜率，进而求得，再根据点到直线的距离公式可求出结果. 【详解】因为双曲线的一条渐近线的倾斜角为，， 所以该渐近线的方程为，所以， 解得或（舍去），所以， 此双曲线的右焦点坐标为，到一条渐近线的距离为. 故选：A 7. 已知点，，且线段是圆M的直径，则圆M的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，且线段是圆M的直径， 所以圆心为，半径，则圆M的方程为. 8. 设、分别为椭圆的左、右焦点，，、两点均在椭圆上且满足，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，设出，根据椭圆的定义可知，，在和中，利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】因为，所以设，则． 由椭圆的定义，得，， 在中，， 因为，所以．① 在中，，即．② 联立①②，解得，， 又因为，所以椭圆的离心率． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，正方体中，点分别为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明逐项推理判断. 【详解】正方体中，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 令，则， 对于A，，显然与不共线，因此与不平行，A错误； 对于B，平面的一个法向量为，， 则，又平面，因此平面，B正确； 对于C，，，因此，C正确； 对于D，，设平面的一个法向量为， 则，取，得， 显然，即，因此平面，D正确. 10. 已知圆，直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线l恒过定点 B. 圆C被x轴截得的弦长为 C. 圆C与圆相交 D. 圆C上的点到直线l的最大距离为13 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A，对直线的方程整理得， ，得，故直线恒过定点，A选项正确； 对于B，令，得，得或， 故圆被轴所截得的弦长为，B选项正确； 对于C，圆的圆心坐标，半径， 圆的圆心坐标，半径， 两圆圆心距，两圆内含，C选项错误； 对于D，直线恒过定点， 圆心C到直线l的最大距离为线段， 故圆C上的点到直线l的最大距离为，D选项错误. 11. 已知，为双曲线的两个焦点，为上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的离心率为 B. 的渐近线方程为 C. D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】将双曲线的方程化为标准形式，并求出实半轴长、虚半轴长及半焦距，再逐项分析判断. 【详解】由双曲线，得，则实半轴长、虚半轴长分别为 ，半焦距， 对于A，双曲线的离心率为，A正确； 对于B，双曲线的渐近线方程为，即，B正确； 对于C，由双曲线的定义，得， 而当时，，C错误； 对于D，设坐标原点为，当时，，则， 因此，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的方向向量是，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量法计算线面角即可. 【详解】设直线与平面所成的角为， 则 故. 故答案为：. 13. 若圆与圆相交于A，B两点，则公共弦的长为_____. 【答案】 【解析】 【分析】两圆相减，求出相交弦所在直线方程，圆心到直线的距离，即可求解. 【详解】圆与圆， 两圆的方程相减，得， 即为直线的方程， 的圆心到距离为， 所以 故答案为： 14. 已知为椭圆上的动点，为圆上的动点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】如图， 对椭圆，，，所以. 设为椭圆的右焦点，则， 因为，， 所以，即. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知. （1）求角C的大小； （2）若，的面积为，求的值. 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）由正弦定理将已知关系式边化角，结合两角和的正弦定理化简求解； （2）由面积公式结合第（1）问结果求出，再由及余弦定理求出，进而求得. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 又，所以，又， 故. 【小问2详解】 由，得， 由余弦定理，得，所以， 所以，故. 16. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一~五组区间分别为，，，，）． （1）求的值； （2）利用频率分布直方图，估计名市民的年龄的第百分位数； （3）若从第，组用分层抽样的方法选取名市民进行座谈，再从中选取人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为求出； （2）利用各组组中值乘以对应频率求和得到平均数，根据累积频率确定第百分位数所在区间，进而即可计算第百分位数； （3）先确定从第，组中分别抽取的人数，再用枚举法列出从名中选取名作重点发言的所有情况，再得到至少有一人的年龄在内的情况，进而根据古典概型公式即可求解概率． 【小问1详解】 由图可得，解得． 【小问2详解】 前三组的频率和为， 第四组的频率为， 所以第百分位数在第四组， 所以第百分位数为． 【小问3详解】 由题意得第组的人数，第组人数频率之比为∶， 又共抽取名参加座谈，所以应从第组抽取人，从第组中抽取人， 记第组的名分别为，，，第组的名分别为，， 则从名中选取名作重点发言的所有情况为：，，， ，，，，，，，共有10种， 其中第组的名，至少有一名被选中的有，，， ，，，，共有7种， 所以至少有一人的年龄在内的概率为． 17. 在多面体中，四边形是正方形，平面，，，为的中点. （1）求证：； （2）求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】 【分析】（1）首先证明，，，∴平面.即可得到平面，. （2）以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，带入公式求解即可. 【详解】（1）∵平面，平面，∴. 又∵四边形是正方形，∴. ∵，∴平面. ∵平面，∴. 又∵，为的中点，∴. ∵，∴平面. ∵平面，∴. （2）∵平面，，∴平面. 以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系. 如图所示： 则，，，. ∴，，. 设为平面的法向量， 则，得， 令，则. 由题意知为平面的一个法向量， ∴， ∴平面与平面所成角的正弦值为. 【点睛】本题第一问考查线线垂直，先证线面垂直时解题关键，第二问考查二面角，建立空间直角坐标系是解题关键，属于中档题. 18. 已知椭圆的焦点在轴上，一个顶点为，离心率，过椭圆的右焦点的直线与坐标轴不垂直，且交椭圆于，两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）当直线的斜率为时，求弦长的值； （3）设是线段（为坐标原点）上一个动点，且，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的一个顶点为，可得，利用离心率求得和关系进而求得，则椭圆的方程可得； （2）设直线的方程为，代入椭圆方程，消去可得则，利用弦长公式可得结果． （3）设直线的方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理结合向量的数量积公式可得，即可求得的取值范围； 【详解】（1）由椭圆的焦点在轴上，设椭圆的方程为， 椭圆的一个顶点为，即 由，解得：， 所以椭圆的标准方程为； （2）由得，设，，，， 设直线的方程为，代入椭圆方程，消去可得 则， ． （3）由是线段（为坐标原点）上一个动点可得， 直线的方程，代入椭圆方程，消去可得 则，， ,, ，，， ， ， ， ， 解得：， 当时， 故的范围为 【点睛】本题主要考查椭圆的方程与几何性质，考查了直线与椭圆的位置关系以及向量垂直的性质，属于难题.求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单. 19. 已知O为坐标原点，双曲线过点，离心率为． （1）求双曲线C的渐近线方程； （2）直线l过点，与双曲线C交于A、B两点． ①若直线，求的面积； ②在x轴上是否存在定点N，使得为定值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①；②存在， 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用待定系数法求出双曲线方程. （2）①求出直线的方程，与双曲线方程联立并求出弦长，进而求出三角形面积；②当直线的斜率不为0时，设直线，与双曲线方程联立，利用韦达定理及数量积的坐标表示列式求解. 【小问1详解】 设双曲线的半焦距为，由点在双曲线上，得， 由离心率为，得，又，联立解得， 所以双曲线的渐近线方程为． 【小问2详解】 由（1）知双曲线，设， ①直线斜率为，由直线l过点及，得直线的方程为， 代入双曲线，得， ，， 所以． 又点到的距离为， 的面积为． ②设，当直线不垂直于轴时，设，， 代入双曲线，得， ，，， 因此 ， 当且仅当，即时，为常数，为常数， 当直线斜率为0时，，，对于， 则， 所以在轴上存在定点，使得为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度上学期高二年级数学科期中素质评价试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，向量，且，则（ ） A. B. 10 C. 14 D. 24 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 椭圆的一个焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（ ） A. B. C. D. 4 5. 若直线与互相垂直，则实数（ ） A. B. 或0 C. 或0 D. 0 6. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 7. 已知点，，且线段是圆M的直径，则圆M的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 设、分别为椭圆的左、右焦点，，、两点均在椭圆上且满足，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，正方体中，点分别为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 10. 已知圆，直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线l恒过定点 B. 圆C被x轴截得的弦长为 C. 圆C与圆相交 D. 圆C上的点到直线l的最大距离为13 11. 已知，为双曲线的两个焦点，为上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的离心率为 B. 的渐近线方程为 C. D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的方向向量是，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角是__________． 13. 若圆与圆相交于A，B两点，则公共弦的长为_____. 14. 已知为椭圆上的动点，为圆上的动点，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知. （1）求角C的大小； （2）若，的面积为，求的值. 16. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一~五组区间分别为，，，，）． （1）求的值； （2）利用频率分布直方图，估计名市民的年龄的第百分位数； （3）若从第，组用分层抽样的方法选取名市民进行座谈，再从中选取人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 17. 在多面体中，四边形是正方形，平面，，，为的中点. （1）求证：； （2）求平面与平面所成角的正弦值. 18. 已知椭圆的焦点在轴上，一个顶点为，离心率，过椭圆的右焦点的直线与坐标轴不垂直，且交椭圆于，两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）当直线的斜率为时，求弦长的值； （3）设是线段（为坐标原点）上一个动点，且，求的取值范围. 19. 已知O为坐标原点，双曲线过点，离心率为． （1）求双曲线C的渐近线方程； （2）直线l过点，与双曲线C交于A、B两点． ①若直线，求的面积； ②在x轴上是否存在定点N，使得为定值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $