广西壮族自治区贵港市江南中学2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试题

贵港市江南中学2026一2027学年秋季学期期中考试 高二数学试题 考试范围：必修一、必修二、选择性必修一第一章至第三章3.2 考试时间120分钟出题人：廖俊审题人：蓝文香 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1.已知复数：=古片则：的虚部为() A B. C. D. 2.已知集合A={x-2<x<2},B={x1<x<3},则AUB=() A.{x-2<x<3} B.xI<x<2 c.{x<3} D.{x>-2 3.已知a=(2,-l,1),b=(-4,2,x),且ā16，则x的值为() A.9 B.5 C.6 D.10 4.已知一圆锥的底面半径为)，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则其母线长为() A.3 B.2 C.4 D.5 5.已知直线I过直线l:x-y=0和l2:x+y-2=0的交点，且与3x+4y-5=0平行，则直线I的方 程是() A.3x+4y+7=0 B.3x+4y-7=0 C.4x-3y+1=0 D.4x-3y-1=0 6.圆C:x2+y2+2x-4y=0在点P(1,1)处的切线方程为() A.2x+y-3=0 B.x-2y+1=0 C.2x-y-1=0 D.x+2y-3=0 7.已知椭圆E:+卡=1(a>b>0)的左、有顶点分别为4B,上顶点为C若∠4CB- y2 3 则E的离心率为() A.3 B.② C.6 3 D.3 2 3 8.已知椭圆C:亡+上 =1,直线I与椭圆C交于A,B两点，且点PL,)是线段AB的中点，则直 94 线I的斜率为() A.号 B.-9 c.4 D.-4 试卷第1页（共4页） 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知直线1：3x-y-6=0被圆C:x2+y2-2x-4y+1=0截得的弦为AB,则() A.圆C的标准方程为(x-1)+(y-2)=4 B.圆心C(1,2) C.圆心C到直线1的距离为√10 D.4B= 10.设椭园C:号+广1的左、右焦点分别为R、5,P是C上的动点，则下列结论正确的 2516 是() A,椭圆C的离心率e=3 5 B.PF+PF =5 C.△P?F面积的最大值为12 D.P的最小值为2 11.如图所示，棱长为2的正方体ABCD-AB,CD中，面对角线AC与BD相交于点O,则下列 0 说法正确的有() B A.OC//平面AB,D B.点B到平面ABD的距离为 3 C.沿正方体的表面从点A到点C的最短距离是22+2 D.过点A作与平面AD垂直的直线1，则I与直线BC夹角的余弦值为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.倾斜角为120°，且过点A(-1,1)的直线的一般式方程是 cos 13.若tan0=2,则sim日- 4 14.已知点O是坐标原点，点M是圆C:x2-6x+y2+8y+24=0上的动点，当动点P在直线 x-4y+17=0上运动时，PM+PO的最小值为 试卷第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(13分)某单位有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为24,16,8，现在通过某项 检查，采用分层抽样的方法从中抽取6人进行前期检查， (1)求甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取的人数和每一位员工被抽到的概率； (2)若所抽取的6人中恰有2人合格，4人不合格，现从这6人中再随机抽取2人检查， 求至少有1人合格的概率. 16.(15分)如图，在△4BC中，已知sin2A-V2 sin A.sin C=sin2(A+C)-sinC. 1)求corB+写)的值： (2)若D是BC边上一点，AD=5,AC=7,DC=3,求AB的长 17.（15分)已知点P(2,0),圆C的圆心在直线x-y-5=0上，且与y轴切于点M(0,-2). (1)求圆C的方程： (②)设点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点N的轨迹方程. 试卷第3页（共4页） 18.(17分)如图，在直角梯形ABCP中，CPMB,CP1CB,4B=BC=CP=2,D是CP的 中点，将△PAD沿AD折起，使得PD⊥CD. (I)求证：平面PCD⊥平面ABCD; (2)求二面角A-PB-C的大小. D 19.17分)已知椭圆cC:号+茶=6>0，焦点在轴上，辆园c过成（列 (1)求椭圆C的方程； (2)过点P(O,-2)的直线I与椭圆交于M,N两点，O为坐标原点，若Soww=V2,求直线I的 方程及弦长MN. 试卷第4页（共4页） 贵港市江南中学2026一2027学年秋季学期期中考试 高二数学参考答案 题号 2 3 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A D A B C C D ABD ACD AD 1B【详解1：片0-可可生号所以：的都为- 1+i 2.A【详解】由集合A={x-2<x<2},B={xl<x<3},得AUB={x-2<x<3}. 3.D【详解】因为a⊥6，所以à.b=2×(-4)+(-1)×2+x=-10+x=0,解得x=10 4.A【详解】设圆锥的母线长为1，圆锥底面圆的周长为C=2=2红×2元， 圆锥侧面展开图为扇形，其弧长等于底面圆周长，扇形弧长公式为l=01(其中0为扇形圆心角)， 已知圆心角0-号因此x=子1，解得1=3，则其母线长为3. x-y=0 5.B【详解】联立直线、☑的方程， x+y-2=0'解得x=y=1, 故直线(、I的交点坐标为(1,1)，因为直线1与直线3x+4y-5=0平行，设直线1的方程为3x+4y+m=0, 将点(1,1)的坐标代入直线1的方程可得3+4+m=0,解得m=-7.因此，直线1的方程为3x+4y-7=0. 故选：B 6.C【详解】圆x2+y2+2x-4y=0的标准方程是(x+1)2+(y-2)2=5,圆心坐标是(-1,2)， 过P点的半径所在直线的斜率2-1-1 -1-1=21 所以所求切线斜率为2，切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0. 7.C【详解】由题意知A(-a,0),C(0,b),设坐标原点为0，则∠4C0=∠4CB=元， 2 -3,tan∠4C0=%-V5, 即b_5,所以E的离心率e= (b 6 a 3 a 1-a 3 8.D【详解】设4，)，B2,因为A,B两点在曲线C:C+上 9+4 =1上，所以有： 艾+上=10 94 用()式减去(2)式可得： 三+监=1② 94 生+上三-生=0，子-至+片-生=0，G+x-++⅓0-2=0 9494 9 4 9 4 因为点P(I,)是线段AB的中点，根据中点坐标公式：可得： 答案第1页（共6页） +2=1 2 ,即x+x2=2,y+y2=2 y+y2=1 02 代入任+-)+出+0-)=0可得：2)+20%-2)-0化简得：五+五=0， 9 4 9 4 9 4 可得：丛一4而片立就是直线的斜率k,所以直线的斜率为-。故选：D. x1-X2 9.ABD【详解】对于A,对x2+y2-2x-4y+1=0配方得：(x-1)2+(y-2)2=4,A正确： 对于B,由A选项可知圆心坐标为：C(1,2),B正确： |3-2-65V10 对于C,圆心C到直线l的距离为 V32+(-1102,C错误： 厨于D,由A选项可知圆C的半径为r=2,所以A822:-°了 √6，D正确 D【详解】对于A,由椭圆方程得a=5,b=4,所以c=a-b2=3,所以离心率为e={, 对于B,由椭圆定义可知PF+PF=2a=10,故B错； 对于C,由椭圆图形的结构特征及性质可知当P位于椭圆上顶点或下顶点时， △PR面积取得最大，最大值为S=×2cxb=bc=12,故C对； 2 对于D,由椭圆性质可知a-c≤PF≤a+c,所以PF的最小值为2，故D对.故选：ACD 11.AD【详解】A选项：连接AC交B,D于点E,连接AE,则EC,/1AO且EC=AO, 故AOCE为平行四边形，所以CO∥AE,AEc平面ABD,CO￠平面AB,D, 所以OC,/I平面AB,D,A正确：B选项：连接BD,因为正方体ABCD-AB,CD棱长为2， 所以40=8-80=22.8a=5-25,5sx2-2, 点D,到平面ABB,的距离为AD=2,设点B到平面ABD1的距离为d,因为'ABn=V'-ABs, 所以写×25xd=写×2x2,解得d=25,故B错误 3 C选项：展开侧面BB,CC,设点C落在点M处，则点A到点C的最短距离是AM=V42+22=2√5， 故C错误；D选项：以A为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 则A0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),B(2,0,2),D(0,2,2), 设直线1的方向向量为1=(x,y,z),则i为平面ABD的法向量， 答案第2页（共6页） i⊥AB, 即 i⊥AD 因为AB=(2,0,2),AD=(0,2,2),所以 2x+2z=0 2y+2z=01 令z=-1,则x=y=1,1=(1,1,-1),又BC=(0,2,0), 设直线1与直线BC的夹角为0，则cos0=ko<i,Bc 7.BC Td 3 ,故D正确， 12.V3x+y+√3-1=0【详解】因为倾斜角为120°，故斜率k=tan120°=-√3，因为直线过点A(-1,1), 故直线方程为y-1=-V3(x+1),整理为一般式可得√3x+y+√3-1=0. cos0 cos0 √2 13.√2【详解】 =v2 sm0-到 (sino-cos0) tan0-1 故答案为：√2 14.12【详解】如图，设点O(0,0)关于直线x-4y+17=0对称的点为A(m,n), n=4 则m m=-2 ,解得 4经7=0 =8，即4(-2,8)， 由x2-6x+y2+8y+24=0得(x-3)+(y+4)2=1,其圆心为C(3,-4),半径r=1, 则PM+PO=PM+PA≥PC-1+PA≥AC-1=13-1=12, 当且仅当P,M均在线段AC上时，取得最小值12. 15.①甲3人，乙2人丙1人：g:2 【详解】（1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3：2：1,1分 由于采用分层抽样的方法从中抽取6人， 因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，1人.3分 该企业总共有24+16+8=48名员工， 记事件A:“任意一位被抽到”，由于每位员工被抽到的概率相等，…4分 所以每一位员工被拾到的孩率为P()报一名 .6分 (2)记事件B:“至少有1人合格” 记其中合格的2人的分别为a,b,不合格的4人的分别为c,d,,f,.7分 则从6人的中随机抽取2人的所有可能结果有：（a,b),(a,c),(a,d,（a,e),(a,f),(b,c),(b,d), (b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f）,(d,e),（d,f),(e,f),共15种，9分 其中至少有1人的合格的结果有：(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c,(b,d),(b,e),(b,f), 共9种，11分 故至少有1人的合格的概率为P(B)==。,13分 答案第3页（共6页） 4一 :(2)AB=56 2 【详解】(1)因为A+B+C=π，所以sin(A+C)=iB,1分 sin2A-√2 sin A.sinC=sin2B-sim2C,2分 所以由正弦定理可知BC2-V2BC·AB=AC2-AB2,BC2+AB2-AC2=V2BC·AB,4分 所以cosB-BC2+AB2-AC2V2 2BC·AB 25分 因为在AABC中，B∈(0，x),所以B= 46分 所以om8+号到-o号sm8咖}2x5-迈-6 8分 “322224 (2)由余弦定理可知，在44CD中，c0sC=DC+AC2-AD32+7?-521 2AC.DC 2×7x3141 .10分 因为C∈(0，π)，所以sinC>0,11分 sin C=v1-cos2( 5V3 4 12分 14 AB AC 由正弦定理可知，在△ABC中， sinC sin B 913分 AB 7 所以532，所以AB=5N6 2 15分 142 17.0x-3+0+2y=9:a☒c-+0+- 【详解】(1)设圆心坐标为C(a,b), 圆C的圆心在直线x-y-5=0上且与y轴切于点M(0,-2) a-b-5=0 ，解得 a=3 b=-2 b=-2’3分 .圆心C(3,-2),4分 半径r=MC=V(0-3)2+(-2+2)2=3,5分 故圆C的方程为(x-3)2+y+2)2=96分 （2)设点N的坐标为(x,y),点的坐标为(x,y),7分 点P2,0,又点N为P四的中点，x=2,=6 2 ，9分 x0=2x-2 =2y ’.11分 即点Q的坐标为(2x-2,2y),12分 2在圆C上运动，.(2x-2-3)2+(2y+2)2=9,13分 即(2x-5)2+(2y+2)2=9,14分 答案第4页（共6页） 点N的轨迹方程为：-多+0+-}15分 18.【详解】(1)直角梯形ABCP中，CD=AB=BC=2,CD/1AB,∠ABC=90°，故四边形ABCD为正方形 所以CD⊥AD,PD⊥AD2分 又PD⊥CD,AD∩CD=D,AD,CDC平面ABCD,所以PD⊥平面ABCD4分 因为PDc平面PCD,所以平面PCD⊥平面ABCD6分 (2)如图所示，以D为坐标原点，分别以DA,DC,DP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2）,8分 所以AB=(0,2,0),PB=(2,2,-2),BC=（-2,0,0),…9分 设平面PAB的一个法向量为m=(x,,)，则 m.AB=2y=0 m:PB=2x+2y-22=0’10分 令x=1,则以=0，名1=1，所以平面PAB的一个法向量为m=(1,0,1)11分 n-BC=-2x2=0 设平面PBC的一个法向量为1=(x2,y2,2),则 -PB=2x+2-2,=0’12分 令y2=1,则x2=0,22=1,所以平面PBC的一个法向量为i=(0,1,1)13分 列11 osm列-洞5x万方15分（公式1分） 由图可知，二面角A-PB-C为钝角，16分 所以二面角A-PB-C的大小为120°.17分 19.() +号-1：（②直线的方程为y=6: 4+2 2x-2或y=-6 x-2,弦长MW=√5 【详解】1)新员C:手+是=1的纸点在x转上，所以41分 将点(-5.代入方起得子+-13分 即=所以2=2.…4分 b22 因此精圆C的方程为产+号-1…5分 42 (2)当直线1的斜率不存在时，1：x=0与椭圆交于(0，V2,(0,-√2) 此时O,M,N共线，S.oMw=0,不合题意6分 当直线斜率存在时设l:y=ac-2,交点为M(x,),N(x2,y2)7分 y=kx-2 联立 +上=1消元得(+2k2)r-8%+4=08分 4 2 答案第5页（共6页） 8k 4 由韦达定理得x+名1+28061+2农9分 又Ss-×24-H-由Saw=2相5=510分 于是(+x2)2-4xx2=211分 代人达定莲的洁民e>45-2即82k-小-0+29子12分 令1=2k2,得8-)=1+0}，即u-3)2=0,所以1=3，即2= 213分 因此k=y6或k=-y6 .14分 此时A=16(2k-)小>0，直线1的方程为y=6: 2x-2或y=-6 t-215分 弦长州=i+FK-+写v5=517分 2 答案第6页（共6页）