精品解析：广东汕头市潮阳实验学校2026-2027学年度第一学期期中考试九年级数学

2026-2027学年度第一学期期中考试 九年级数学 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 2. 将一元二次方程化为一般形式后，则二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 7，3 B. 7， C. ，3 D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，在一元二次方程的一般式中，a、b、c分别为二次项系数、一次项系数和常数项．将方程化为一般形式 ，再确定二次项系数和一次项系数即可解答． 【详解】解：方程化成一般式为，则二次项系数为 7，一次项系数为 3． 故选：A． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点式解题即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为 故选：C 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式． 4. 若反比例函数的图象在第一、第三象限内，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 任意实数 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数图象的性质，当反比例函数的图象位于第一、第三象限时，比例系数，据此列不等式求解的取值范围即可. 【详解】反比例函数的图象在第一、第三象限， ， 解得． 5. 将抛物线y=x2向左平移两个单位，再向上平移一个单位，可得到抛物线（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线平移规律左加上加，计算即可． 【详解】解：∵抛物线y=x2向左平移两个单位，再向上平移一个单位， ∴新抛物线的解析式为， 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线的平移，抛物线平移不改变二次项的系数的值，熟记平移规律左加右减，上加下减是解题的关键． 6. 已知点，那么点关于原点的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：点的坐标为， 点关于原点的对称点的坐标为． 7. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 函数解析式为 B. 蓄电池的电压是18V C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】将将代入求出U的值，即可判断A，B，D，利用反比例函数的增减性可判断C． 【详解】解：设，将代入可得，故A错误； ∴蓄电池的电压是36V，故B错误； 当时，，该项正确； 当当时，，故D错误， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 8. 如图，将绕点A顺时针旋转一定的角度得到，此时点恰在边上，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由旋转的性质可得 ，结合  的长度利用线段的和差关系即可求解 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到 ，   ，  ， 点恰在边  上，，   ． 9. 有一个人患了感冒，经过两轮传染后总共传染了64人，按照这样的传染速度，经过三轮后患了感冒人数为（ ） A. 596 B. 428 C. 512 D. 604 【答案】C 【解析】 【分析】设第一个人传染了x人，根据两轮传染后共有64人患了感冒，列出方程并求解，然后求出三轮之后患感冒的人数即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人， 由题意得：， 解得，， ∵， ∴，不合题意，舍去， ∴， 则第三轮的感冒人数为：人． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出合适的未知数，找出等量关系，列方程求解． 10. 如图1，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，动点P从点A出发沿着AB运动至点B，再沿BC运动至点C，设点P的运动路程为x，，y关于x的函数图象，如图2，其中点M为图象的最低点，点N为两段曲线的公共点，则点N的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查动点的函数图象，菱形的性质，勾股定理等．由题意得，当时，对应图象上M点，根据勾股定理及求出，点P与点B重合时，对应图象上N点，则点N的纵坐标为 ． 【详解】解：由题意得，当时，对应图象上M点， ，， ， ， 设，则， ， 菱形中，， ， ， 整理得， 解得， 即， 点P与点B重合时，对应图象上N点， 点N的纵坐标为: ， 故选：A． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知是一元二次方程的两个根，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程的两个实数根，则，是解题的关键． 12. 已知A(-4，y1)，B(-1，y2)，C(2，y3)三点都在二次函数y=a(x+2)2+c（a>0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为__________． 【答案】y2˂ y1˂y3（y3>y1>y2 也可） 【解析】 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，然后比较三个点距离对称轴的距离，再利用二次函数的性质判断对应函数值的大小． 【详解】二次函数y=a(x+2)2+c（a>0）的图像开口方向向上，对称轴是x=-2， A(-4，y1) 距对称轴的距离是2，B(-1，y2)距对称轴的距离是1， C(2，y3) 距对称轴的距离是4 所以y2˂ y1˂y3 故答案为：y2˂ y1˂y3 【点睛】此题考查的是二次函数的图像与性质，求出抛物线的对称轴和开口方向是解题关键． 13. 如图，将绕点O逆时针旋转后得到，若，则的度数是______． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质．根据将绕点O按逆时针方向旋转后得到，可得，进一步计算即可得出答案． 【详解】解：∵将绕点O按逆时针方向旋转后得到， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 用公式法解一元二次方程，得：，则该一元二次方程是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据求根公式确定出方程即可． 【详解】解：根据题意得：，，， 则该一元二次方程是， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是利用公式法额一元二次方程方程，掌握求根公式：是解本题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，，四边形是平行四边形，过点A作反比例函数，图象交于点D，连结，则的面积是 ____________________ ． 【答案】 ## 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质求出点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数和直线的解析式，联立解析式求出点的坐标，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：， ， 四边形是平行四边形， ， ， 点的纵坐标为4，横坐标为， ， 反比例函数经过点， ， 反比例函数的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， 直线的解析式为， 联立， 整理得，解得， ， ， 当时，， ， ． 三、解答题（每题8分，共24分） 16. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练记住求根公式是解题的关键． 利用公式法解方程即可； 【详解】解：， ∴，，， ∴， ∴． 解得：，． 17. 如图，在中，，．将绕点B按逆时针方向旋转得，使点C落在边上，点A的对应点为点D，连接，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形内角和定理得，由旋转得，，，再结合等边对等角得，由即可求的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 由旋转得，，， ∴， ∴． 18. 如图，已知的三个顶点的坐标分别为． （1）画出关于原点O对称的； （2）若四边形是平行四边形，直接写出点D的坐标 ． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 【解析】 【分析】本题考查了画中心对称图形，平行四边形的判定，写出平面直角坐标系中点的坐标； （1）根据中心对称的性质找到的对应点，顺次连接，即可求解． （2）结合平行四边形的判定方法画出图形，再写出点D的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴点D的坐标为． 故答案为：． 四、解答题（每题9分，共27分） 19. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k为何值，方程总有两个实数根； （2）若等腰三角形的一边长为2，另两边长为这个方程的两个根，求k的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴无论k为何值，方程总有两个实数根； （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解； （2）设一元二次方程的两个根分别为，然后根据等腰三角形的定义、三角形三边关系及根与系数的关系可分类进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设一元二次方程的两个根分别为， 由等腰三角形的一边长为2，另两边长为这个方程的两个根，可分为： 当边长为2是该等腰三角形的腰长时，则令，根据根与系数的关系可得：， 解得：， ∴该等腰三角形的三边长分别为2、2、1，根据三角形三边关系可知符合题意； 当边长为2是该等腰三角形的底边长时，则有，根据根与系数的关系可得：， 解得：， ∴该等腰三角形的三边长分别为1、1、2，不符合三角形三边关系； 综上所述：． 20. 如图是某矩形停车场的平面示意图，从“入口”至“出口”均是车道，停车场的长为米，宽为米，停车场内的车道宽度都相等，若停车位的占地总面积为平方米，求车道的宽度． 【答案】车道的宽度为6米 【解析】 【分析】设车道宽度为x米，根据图片可列出一元二次方程，求出x的值，并判断是否符合题意即可． 【详解】解：设车道宽度为x米， 由图可得， 解得（舍去）， 答：车道宽度为6米． 21. 数学活动课上，同学们对三角形点阵中前行的点数计算进行探究活动：如图1是一个三角形点阵，从上到下有无数行，其中第一行有1个点，第2行有2个点……第行有个点……． 【发现问题】在探究的过程中，容易发现10是三角形点阵前4行的点数和，但遇到较大的点数，逐个数行数很繁琐． 【提出问题】前多少行的点数和是120？ 【分析问题】数形结合是解决数学问题的重要思想．下表分别从数和形两个角度探究前行的点数和． 从数的角度看 从形的角度看 通过具体的数字，想到了一种计算方法——倒序相加法．例如：求前10行的点数和， ①， 由①式倒序：②． ①+②，得： 所以，即前10行的点数和为55个． 利用图形的特征进行计算．如图2，将一个正立的三角点阵倒立，再与正立的原图形的三角点阵拼成一个平行四边形点阵，三角形点阵点数和为平行四边形点阵数量的一半． 【解决问题】 （1）请根据材料，类比“从数的角度看”的计算方法，求出前行的点数和． （2）前 行的点数和是120． 【拓展应用】 （3）如果把图1中的三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，，，，你能探究出前行的点数之和的规律吗？请说明理由． 【答案】（1）前行的点数和为； （2）15； （3）前行的点数之和的规律为，理由： 根据题意，前面的解答，得， 故 . 前行的点数之和的规律为． 【解析】 【分析】（1）根据阅读材料提供的解题方法，解答即可． （2）根据题意，构造一元二次方程解答即可． （3）根据结论，提取公因式后解答即可． 本题考查了有理数的加法，解方程，提取公因式，数形结合思想，熟练掌握解方程，数形结合思想是解题的关键． 【详解】（1）解：设①， 由①式倒序：②. ①+②，得： . ， 前行的点数和为． （2）解：根据题意，得， 整理，得， 解得（舍去） 故答案为：15． （3）略 五、解答题（每题12分，共24分） 22. 如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点． （1）点的坐标为_____________，反比例函数的表达式为__________； （2）如图2，将正方形绕B点顺时针旋转得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，点P为x轴上一动点，点Q在直线上，使以点O、、P，Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标以及菱形的最大面积，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）点的坐标为； （3）存在，点Q的坐标为或或，菱形的最大面积为． 【解析】 【分析】（1）作轴于，，求得，再利用待定系数法求解即可； （2）画出图形，得到点与点重合，即，同理求得，再根据点与点关于点对称，即可求解； （3）分两种情况讨论，利用菱形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：作轴于， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，， ， ∵反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点． ， ； 【小问2详解】 解：∵将正方形绕B点顺时针旋转得到正方形， ∴点与点重合， 即， 作轴于， 同理， ，， ， 由题意得点与点关于点对称， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：∵，点Q在直线上， ∴，轴，设，， ①以、为一组对边， 由题意得， ∴， ∴， 菱形的面积， ∴点Q的坐标为或； ②以、为对角线，设直线交轴于点， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得， 解得， ∴点Q的坐标为， 菱形的面积， ∵， 综上，点Q的坐标为或或，菱形的最大面积为． 23. 点是等边内一点，点是边的中点，，连接、、． （1）如图1，若将绕点逆时针得（与对应），连接， ①直接写出______°； ②证明：； （2）如图2，若，直接写出的最小值______． 【答案】（1）①60； ②证明：如图1， 延长至，使，连接， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， 由（1）知：， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）①可得出，进而得出结果； ②延长至，使，连接，可得出四边形是平行四边形，从而，进而得出，从而得出； （2）取的中点的中点，连接，将旋转至，连接，作于，连接，从而，从而，从而得出，解三角形求出即可得出结果． 【小问1详解】 解：①如图，∵绕点逆时针得， ， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为： 60 ； ②略 【小问2详解】 解：如图2， 取的中点的中点，连接，将旋转至，连接，作于，连接， ∴， ∵分别是中点， ， ∵是等边三角形， ∴， 由（1）①得， ∴， ∵， ∴， ， ∵是等边三角形，是中点， ， ∴， ， ， ∴， ， ， 的最小值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，平行四边形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期期中考试 九年级数学 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程化为一般形式后，则二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 7，3 B. 7， C. ，3 D. ， 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 若反比例函数的图象在第一、第三象限内，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 任意实数 5. 将抛物线y=x2向左平移两个单位，再向上平移一个单位，可得到抛物线（　　） A. B. C. D. 6. 已知点，那么点关于原点的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 函数解析式为 B. 蓄电池的电压是18V C. 当时， D. 当时， 8. 如图，将绕点A顺时针旋转一定的角度得到，此时点恰在边上，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 有一个人患了感冒，经过两轮传染后总共传染了64人，按照这样的传染速度，经过三轮后患了感冒人数为（ ） A. 596 B. 428 C. 512 D. 604 10. 如图1，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，动点P从点A出发沿着AB运动至点B，再沿BC运动至点C，设点P的运动路程为x，，y关于x的函数图象，如图2，其中点M为图象的最低点，点N为两段曲线的公共点，则点N的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 5 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知是一元二次方程的两个根，则___________． 12. 已知A(-4，y1)，B(-1，y2)，C(2，y3)三点都在二次函数y=a(x+2)2+c（a>0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为__________． 13. 如图，将绕点O逆时针旋转后得到，若，则的度数是______． 14. 用公式法解一元二次方程，得：，则该一元二次方程是_______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，，四边形是平行四边形，过点A作反比例函数，图象交于点D，连结，则的面积是 ____________________ ． 三、解答题（每题8分，共24分） 16. 解方程： 17. 如图，在中，，．将绕点B按逆时针方向旋转得，使点C落在边上，点A的对应点为点D，连接，求的度数． 18. 如图，已知的三个顶点的坐标分别为． （1）画出关于原点O对称的； （2）若四边形是平行四边形，直接写出点D的坐标 ． 四、解答题（每题9分，共27分） 19. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k为何值，方程总有两个实数根； （2）若等腰三角形的一边长为2，另两边长为这个方程的两个根，求k的值． 20. 如图是某矩形停车场的平面示意图，从“入口”至“出口”均是车道，停车场的长为米，宽为米，停车场内的车道宽度都相等，若停车位的占地总面积为平方米，求车道的宽度． 21. 数学活动课上，同学们对三角形点阵中前行的点数计算进行探究活动：如图1是一个三角形点阵，从上到下有无数行，其中第一行有1个点，第2行有2个点……第行有个点……． 【发现问题】在探究的过程中，容易发现10是三角形点阵前4行的点数和，但遇到较大的点数，逐个数行数很繁琐． 【提出问题】前多少行的点数和是120？ 【分析问题】数形结合是解决数学问题的重要思想．下表分别从数和形两个角度探究前行的点数和． 从数的角度看 从形的角度看 通过具体的数字，想到了一种计算方法——倒序相加法．例如：求前10行的点数和， ①， 由①式倒序：②． ①+②，得： 所以，即前10行的点数和为55个． 利用图形的特征进行计算．如图2，将一个正立的三角点阵倒立，再与正立的原图形的三角点阵拼成一个平行四边形点阵，三角形点阵点数和为平行四边形点阵数量的一半． 【解决问题】 （1）请根据材料，类比“从数的角度看”的计算方法，求出前行的点数和． （2）前 行的点数和是120． 【拓展应用】 （3）如果把图1中的三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，，，，你能探究出前行的点数之和的规律吗？请说明理由． 五、解答题（每题12分，共24分） 22. 如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点． （1）点的坐标为_____________，反比例函数的表达式为__________； （2）如图2，将正方形绕B点顺时针旋转得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，点P为x轴上一动点，点Q在直线上，使以点O、、P，Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标以及菱形的最大面积，若不存在，请说明理由． 23. 点是等边内一点，点是边的中点，，连接、、． （1）如图1，若将绕点逆时针得（与对应），连接， ①直接写出______°； ②证明：； （2）如图2，若，直接写出的最小值______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $