精品解析：江门市新会东方红中学2026-2027学年九年级上学期期中数学试题

东方红中学2027届初三第二次能力提升训练数学科试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图案中既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，配方后的方程是（　　） A. B. C. D. 3. 将抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位，则平移后的抛物线为（　　） A. B. C. D. 4. 若点，，在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 设，其中a为实数，则M与N的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 6. 如图，将Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，连接AD，若∠B＝55°，则∠ADE等于(　　) A. 5° B. 10° C. 15° D. 20° 7. 已知反比例函数 ，下列结论中不正确的是（　　） A. 图象必经过点 B. 图象位于第二、四象限 C. 图象关于原点对称 D. 在每一个象限内，y随x的增大而减小 8. 新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，设每轮传染中平均每个人传染了人，则根据题意可列出方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形的顶点A、B分别在x轴、y轴上，，，将矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2028次旋转结束时，点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知是方程的两个实数根，则的值为___________ 12. 如图，将绕点逆时针旋转一定的角度得到，当点在边上且，时，的长为_____． 13. 二次函数的顶点坐标为______． 14. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 15. 如图，矩形的边分别落在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，若反比例函数（）的图象经过的中点D且与边交于点E，连接，若的面积为3，则k的值为__________． 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 解方程： （1） （2） 17. 反比例函数的图象经过点． （1）求的值和反比例函数的解析式． （2）判断点是否在此函数的图象上？ 18. 正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点O（0，0），A（4，1），B（4，4）均在格点上． （1）画出绕原点O顺时针旋转90°后得到的OA1B1，并写出点A1的坐标． （2）求点A到点A1经过的路径长． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值． 20. 4月23日，腾冲市第三届全民阅读大会暨2024年“共建书香社会·共享现代文明”全民阅读系列活动启动仪式在腾冲市新时代文明实践中心举行，活动旨在全社会大力营造爱读书、读好书、善读书的良好氛围．为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2022年图书借阅总量是6500本，2024年图书借阅总量是9360本． （1）求该社区的图书借阅总量从2022年至2024年的年平均增长率； （2）如果每年的增长率相同，预计2025年图书借阅总量是多少本？ 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求反比例函数与一次函数的函数表达式； （2）连接，求的面积； （3）请结合图象直接写出不等式的解集． 五、解答题（22小题13分，23小题14分，共27分） 22. 如图，点是正方形中边上的任意一点，以点为中心，把旋转，得到．已知． （1）求的度数． （2）求证：． （3）连接，线段交于点，交于点．试探索，，之间的数量关系并加以说明． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴于两点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的解析式． （2）当动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点坐标和的最大面积． （3）如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使为直角三角形？若存在，请求出所有Q点的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东方红中学2027届初三第二次能力提升训练数学科试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图案中既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题关键．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 用配方法解方程，配方后的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 根据配方法解一元二次方程求解作答即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 3. 将抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位，则平移后的抛物线为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式． 【详解】解：∵将抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位后的抛物线的解析式为：． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握平移规律是解题关键． 4. 若点，，在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：将点代入反比例函数得：， 同理可得：，， ∵， ∴． 5. 设，其中a为实数，则M与N的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】作差后配方，利用平方的非负性判断差的符号，比较M与N的大小． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴． 6. 如图，将Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，连接AD，若∠B＝55°，则∠ADE等于(　　) A. 5° B. 10° C. 15° D. 20° 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得AC=CD，∠CED=∠B，再判断出△ACD是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出∠CAD=45°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】解：∵Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC， ∴AC=CD，∠CED=∠B=55°， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∴∠CAD=45°， 由三角形的外角性质得，∠ADE=∠CED-∠CAD=55°-45°=10°． 故选：B． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，解题关键是熟记各性质并准确识图． 7. 已知反比例函数 ，下列结论中不正确的是（　　） A. 图象必经过点 B. 图象位于第二、四象限 C. 图象关于原点对称 D. 在每一个象限内，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象和性质逐项判断即可得出答案． 【详解】解：对于反比例函数 ， 当时，，因此图象必经过点，故A选项结论正确，不合题意； ，因此图象位于第二、四象限，故B选项结论正确，不合题意； 反比例函数的图象关于原点对称，故C选项结论正确，不合题意； 在每一个象限内，y随x的增大而增大，故D选项结论不正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、所在象限、对称性、增减性等，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象和性质． 8. 新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，设每轮传染中平均每个人传染了人，则根据题意可列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设每轮传染中平均每个人传染了人，则第一轮传染了人，第二轮后则传染了人，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：每轮传染中平均每个人传染了人，根据题意可列出方程，， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 9. 如图，矩形的顶点A、B分别在x轴、y轴上，，，将矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2028次旋转结束时，点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意过点C作轴于点E，连接，根据已知条件求出点C的坐标，再根据旋转的性质求出前4次旋转后点C的坐标，发现规律，进而求出第2028次旋转结束时，点C的坐标． 【详解】解：如图，过点C作轴于点E，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转， 则第1次旋转结束时，点C的坐标为； 则第2次旋转结束时，点C的坐标为； 则第3次旋转结束时，点C的坐标为； 则第4次旋转结束时，点C的坐标为； … 发现规律：旋转4次一个循环， ， 则第2028次旋转结束时，点C的坐标为． 10. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据二次函数及一次函数的图象及性质可得， 当a＜0时， 二次函数图象开口向上，顶点在y轴负半轴， 一次函数经过一、二、四象限； 当a＞0时， 二次函数图象开口向上，顶点在y轴正半轴， 一次函数经过一、二、三象限． 符合条件的只有选项C， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知是方程的两个实数根，则的值为___________ 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握如果一元二次方程的两根为，，则是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和． 【详解】解：， 故答案为：2． 12. 如图，将绕点逆时针旋转一定的角度得到，当点在边上且，时，的长为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，即可求解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转一定的角度得到， ，， ． 13. 二次函数的顶点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．先化为顶点式，根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标变换规律，即如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数． 根据原点对称的点的坐标变换规律，得到点关于原点对称的点的坐标为． 【详解】解：点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为，故坐标为， 故答案为：． 15. 如图，矩形的边分别落在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，若反比例函数（）的图象经过的中点D且与边交于点E，连接，若的面积为3，则k的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为，结合三角形的面积列出方程进行求解即可. 【详解】解：设，则， ∵反比例函数（）的图象经过的中点D且与边交于点E，四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵的面积为3， ∴的面积为6， ∴， ∴， 由图象可知，， ∴. 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程； （2）利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 解： ， ∴； 【小问2详解】 解： 或 ∴，． 17. 反比例函数的图象经过点． （1）求的值和反比例函数的解析式． （2）判断点是否在此函数的图象上？ 【答案】（1） ，反比例函数的解析式为 （2） 点不在此函数的图象上 【解析】 【小问1详解】 解：代入到，得， 解得， 则， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴点不在此函数的图象上． 18. 正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点O（0，0），A（4，1），B（4，4）均在格点上． （1）画出绕原点O顺时针旋转90°后得到的OA1B1，并写出点A1的坐标． （2）求点A到点A1经过的路径长． 【答案】 （1）如图所示，即为所求． 其中点的坐标为； （2） 【解析】 【分析】（1）将点、分别绕原点顺时针旋转后得到其对应点，再与点首尾顺次连接即可； （2）先求出线段的长，再根据扇形的弧长公式结合求解即可． 【详解】解：（1）略 （2），， 点A到点A1经过的路径长为． 【点睛】本题主要考查作图—旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质及扇形弧长公式． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）一元二次方程有实数根，则，由此即可求解； （2）根据（1）中的取值范围求出的值，由此可求出方程的解，把的值代入一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 解得， ∴的取值范围． 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴的最大整数是， ∴方程可化为， 解得， ∵一元二次方程与方程有一个相同的根， ∴当时，，解得； 当时，，解得， 又， ∴． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的知识，掌握一元一次方程的定义，有实根的计算方法，解一元二次方程的方法的知识是解题的关键． 20. 4月23日，腾冲市第三届全民阅读大会暨2024年“共建书香社会·共享现代文明”全民阅读系列活动启动仪式在腾冲市新时代文明实践中心举行，活动旨在全社会大力营造爱读书、读好书、善读书的良好氛围．为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2022年图书借阅总量是6500本，2024年图书借阅总量是9360本． （1）求该社区的图书借阅总量从2022年至2024年的年平均增长率； （2）如果每年的增长率相同，预计2025年图书借阅总量是多少本？ 【答案】（1） （2）11232本 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用； （1）设该社区的图书借阅总量从2022年至2024年的年平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程并求解即可； （2）2024年图书借阅总量该社区的图书借阅总量从2022年至2024年的年平均增长率即可求出． 【小问1详解】 解：设该社区的图书借阅总量从2022年至2024年的年平均增长率为， 根据题意得： 解得：（舍去） 答：该社区的图书借阅总量从2022年至2024年的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：（本）． 答：预计2025年图书借阅总量是11232本 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求反比例函数与一次函数的函数表达式； （2）连接，求的面积； （3）请结合图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1），y＝x＋1 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查用待定系数法求一次函数的解析式和反比例函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征． （1）根据反比例函数的图象经过，利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；进而求得A的坐标，根据A、B点坐标，进而利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）求出点C的坐标，根据三角形面积公式求解即可； （3）根据A、B的坐标，结合图象即可求得． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过， ∴， ∴反比例函数的表达式为， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∵点，在一次函数的图象上， ∴，解得：， ∴一次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：如图， 对于，当时，；当时，； ∴， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：由图象可知：不等式的解集为：或． 五、解答题（22小题13分，23小题14分，共27分） 22. 如图，点是正方形中边上的任意一点，以点为中心，把旋转，得到．已知． （1）求的度数． （2）求证：． （3）连接，线段交于点，交于点．试探索，，之间的数量关系并加以说明． 【答案】（1） （2） 由旋转可知：，， 由（1）得， ， 在和中， ， ， ， ． （3） 理由如下： 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接． 四边形是正方形， ，， 由旋转可知：， ， ， 在中，． 由（1），且由旋转可知，， ， 在和中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）由旋转可得，再利用正方形的性质即可求解； （2）证明得，利用线段的和差即可求解； （3）根据旋转和正方形的性质可得，通过勾股定理得，证明得，利用线段转换和和差即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ，， ， ， 由旋转可知：， ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，线段之间的关系等，根据题意添加适合的辅助线是解题关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴于两点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的解析式． （2）当动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点坐标和的最大面积． （3）如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使为直角三角形？若存在，请求出所有Q点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）的最大面积为，此时点； （3）点的坐标为：或或或 【解析】 【分析】本题为二次函数的综合应用，面积问题，特殊三角形问题； （1）由待定系数法即可求解； （2）由的面积，即可求解； （3）当，，为斜边时，勾股定理建立方程解方程即可求解． 【小问1详解】 解：设抛物线的表达式为：， 则，则， 则抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：由抛物线的表达式，当时，，则， 过点作轴交于点， 设直线的解析式为， ∵，， ∴，解得：， ∴直线的表达式为：， 设点，则点， 则的面积， 即的最大面积为，此时点； 【小问3详解】 解：存在，理由： 由抛物线的表达式知，其对称轴为，故设点， 由点、、的坐标得，，，， 当为斜边时，则， 解得：； ∴点； 当为斜边时，则， 解得：， 即点； 当为斜边时，则， 解得：， 即点， 综上，点的坐标为：或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $