精品解析：四川省成都市第七中学初中学校2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026—2027学年度上期期中质量检测 九年级数学 （满分150分，120分钟完成） A卷（满分100分） 一．选择题（每小题4分，共32分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，是中心对称图形，故符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意． 2. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程求解即可． 【详解】解：A．不是整式方程，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程； B．符合一元二次方程定义，是一元二次方程； C．中未知数x的最高次数是3，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程； D．中含有两个未知数，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程； 故选：B． 3. 已知，则下列式子正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例是性质，根据内项之积等于外项之积，对各个选项进行整理化简，即可求解；掌握性质“若，则．”是解题的关键． 【详解】解：A.整理得，结论错误，故不符合题意； B.整理得，结论错误，故不符合题意； C.整理得，结论正确，故符合题意； D.整理得，结论错误，故不符合题意； 故选：C． 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 平行四边形是轴对称图形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D. 对角线相等的矩形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质、矩形的判定定理、菱形的判定定理、正方形的判定定理逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，原说法错误； B、对角线相等的平行四边形是矩形，仅对角线相等的四边形不一定是矩形，原说法错误； C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原说法正确； D、矩形的对角线本身相等，对角线互相垂直的矩形是正方形，原说法错误． 5. 如图，在中，点，分别在边，上，再添加一个条件，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：已知， A．添加后，有两组角对应相等，能判定与相似，不合题意； B．添加后，可得，有两组角对应相等，能判定与相似，不合题意； C．添加后，满足两组对应边的比相等且夹角对应相等，能判定与相似，不合题意； D．添加后，有两组对应边的比相等，但不能确定夹角相等，不能判定与相似，符合题意． 6. 如图，若， ，的面积为，的面积为，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，根据题意可知，，据此即可求得答案． 【详解】∵， ∴，． ，的值无法确定． 故选：C 7. 《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走步，乙每单位时间走步．乙一直向东走，甲先向南走步，后又斜向北偏东方向走了一段与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据行走路线构造直角三角形，用含的式子表示三边长度，利用勾股定理列方程． 【详解】解：乙向东走的路程为步． 甲走的总路程为步，斜向北偏东走的路程为步． 乙向东走的路程、甲向南走的10步为直角三角形的两条直角边，甲斜走的路程为斜边． 由勾股定理得． 8. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为54，则的长为（ ） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形的性质可得，由菱形的面积可得，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答． 【详解】解：在菱形中， ∴,,, ∵, ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴． 二．填空题（每小题4分，共20分） 9. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数根结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得到的取值范围. 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 整理得， 解得：， 故答案为：. 10. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】将原方程通过移项、配方化为的形式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解： ， 移项得， 在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比，可得，， 因此． 11. 如图，已知，它们依次交直线，于点、、和点、、．如果，，，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由可得，先根据和求出的长，再代入比例式计算即可求解． 【详解】解：∵，  ∴  ∵  ∴  ∵  ∴  ∴ 12. 如图，乐器上的一根弦，两个端点，固定在乐器面板上，支撑点，分别是靠近点，的黄金分割点，则端点与支撑点之间的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】先由黄金分割点的定义求出，再由计算即可得出结果． 【详解】解：∵支撑点是靠近点的黄金分割点， ∴， ∴． 13. 如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以点，为圆心，相同长（大于）为半径作弧，两弧交于点，作射线，与相交于点，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】令与的交点为，由矩形与等腰三角形的性质，得到，由作法可知，垂直平分，再结合三角形内角和定理求解． 【详解】解：如图，令与的交点为， 矩形， ， ， 由作法可知，垂直平分， ， ， ． 三．解答题（共48分） 14. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 15. 如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为，如果要围成面积为的花圃，的长是多少米？ 【答案】的长是． 【解析】 【分析】设的长为，则的长为，根据花圃的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合的长不超过，即可确定结论． 【详解】解：设的长为，则的长为， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：的长是． 16. 如图是燃烧的蜡烛经凸透镜在屏幕上成像的光路示意图，．点、、在同一直线上，点、、在同一直线上，且、、都与垂直，交于点．若，，． （1）求的值； （2）求成像的长． 【答案】（1）； （2）成像的长为． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的判定与性质得到，证明，，得出，设，则，得到，求解即可得出答案； （2）由，得到，即可得出答案． 【小问1详解】 解：， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）得， ， ， ， ． 17. 如图，在矩形中，对角线与相交于点О，点E为中点，点F，点G在射线上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴点O为的中点， ∵点E为中点， ∴为的中位线， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理可得，即可求证； （2）设，根据三角形中位线定理可得，计算得到，再结合平行四边形和矩形的性质可得，根据直角三角形的性质可得，据此列式计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ∵为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即， ∴四边形的面积． 18. 如果一个三角形的一边是另一边的倍，那么称这个三角形为“和谐三角形”． （1）初步探索：如图，和谐三角形中，，是的角平分线，是的中线．求证：垂直平分； （2）尝试应用：在（1）的条件下，，，求的长度； （3）拓展延伸：如图，和谐三角形中，，点在上，且，的平分线与的平分线交于点．若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵是的中点，， ∴． ∴是等腰三角形． ∵平分，而在上， ∴平分． ∴，且平分． ∴是的垂直平分线． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由与是的中点得，把结论转化为等腰三角形顶角平分线的性质，用三线合一证垂直平分； （2）由三线合一得是的中点，用勾股定理求出与的面积，再由角平分线的性质按把的面积分成两份，求出的面积后，再求； （3）先证在的平分线上，从而是的中点并把求出，再用勾股定理与面积法求出到的距离、与，最后求． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：∵，是的中点， ∴，． ∵在中，平分， ∴，且平分，即是的中点． ∵， ∴． ∴在中，， ∴， ． ∴的面积． ∵是的中点， ∴的面积． ∵在的平分线上， ∴点到、的距离相等． ∴． ∵， ∴． ∵，在上， ∴． ∴，即． 【小问3详解】 解：∵，，是的中点， ∴，． ∵的平分线垂直平分，而在的平分线上， ∴． 取的中点，连接． ∵、分别是、的中点， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∵、分别是、的中点， ∴是的中位线． ∴． ∵是的中点，是的中点， ∴，． ∴． 设到的距离为，到的距离为， ∴． ∵， ∴． ∴点到两边的距离相等． ∴平分． ∵也在的平分线上， ∴、、三点共线． ∴是的中点，，． ∵的平分线垂直于， ∴． ∴在中，， ∴，． 过作于（如图）． ∵， ∴的面积， ∴，即． ∴在中，． ∴． ∴． ∴在中，， ∴， ∴． 【点睛】考查等腰三角形的三线合一、角平分线的性质与判定、三角形中位线定理与勾股定理；关键是把的平分线看成等腰三角形的顶角平分线，第（3）问先证平分得到是的中点，把不可用的条件换成了可算的长度． B卷（共50分） 一．填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 古希腊在研究黄金分割时得到方程，已知，是方程的两个根，则代数式________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用方程根的定义对所求代数式降次，再结合根与系数的关系计算结果． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∵，是方程的两个根， ∴根据根与系数的关系可得， 将代入代数式，得： ， ∵， ∴原式． 20. 若，则k＝_____． 【答案】或﹣1． 【解析】 【分析】根据a+b+c的值是否为0分类讨论：a+b+c＝0时，根据等式的基本性质可得a＝﹣（b+c）,代入即可求出k；当a+b+c≠0时，根据等比性质即可求出k． 【详解】解：当a+b+c＝0时，a＝﹣（b+c），则k＝＝＝﹣1； 当a+b+c≠0时，根据等比性质可以得到：k＝＝＝． 则k＝或﹣1． 【点睛】此题考查的是比例的基本性质，掌握等比性质和分类讨论的数学思想是解决此题的关键. 21. 在中，点在的延长线上，且，点在上，且，连接并延长与交于点，，那么________． 【答案】18 【解析】 【分析】过点作交于点，可得，可得，可得，再可得，可得，可得，则，可得，可得，即可得． 【详解】解：如图，过点作交于点， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ． 22. 如图，在中，，，，是直线上的一动点，连接和，点在直线上，连接，若，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件得，利用相似比可得，当最小时，最小，在的延长线上取点，构造，对于点，当时，最小，最大，最小，利用相似比列一元二次方程求从而求出，进而确定最小值． 【详解】解：， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 设， 在的延长线上取点，连接，使， ， ， ， ， 过点作于点， 在中，，， ， ， ， 对于点，当时，最小，最大，最小， 当时，最小， 设，则， 解得，（舍去）， ， ， 的最小值为， ， 的最小值为． 23. 如图，在中，，点在边上且，点在边上，，连接、，，则为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，过点作于点，过点作于点，设，则，证明，可得，可得，，再可得，，在中，由，可得，再证明，可得，可得，，，可得，，再证明，可得，可得，可得，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 二．解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 近年来，户外露营行业快速发展，露营装备销量逐年增长．为进一步拓展市场，某露营装备店在“露营季”期间对一款帐篷进行降价促销，这款帐篷原来的价格是每套元，经两次降价后变为每套元． （1）若该店铺两次降价的百分率相同，求该款帐篷价格每次下降的百分率？ （2）活动结束后，经市场调研发现，当这款帐篷每套盈利元时，月销售量为套．如果调整销售单价，每涨价元，则月销售量就减少套．要使月销售利润达到元，且让利于消费者，那么该款帐篷每套涨价多少元？ 【答案】（1）该款帐篷价格每次下降的百分率为 （2）该款帐篷每套应涨价元 【解析】 【分析】（1）该款帐篷价格每次下降的百分率为，根据题意列方程解答； （2）该款帐篷每套应涨价元，根据题意列方程解答． 【小问1详解】 解：该款帐篷价格每次下降的百分率为， 则 解得，（舍去） ， 答：该款帐篷价格每次下降的百分率为； 【小问2详解】 解：该款帐篷每套应涨价元， 根据题意得 解得，， 要让利于消费者，涨价少， 答：该款帐篷每套应涨价元． 25. 如图，平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，点是直线上一点． （1）求直线的解析式及点的坐标； （2）已知点是轴上一动点，连接，若以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标； （3）将线段沿着轴方向平移，得到线段，平面内是否存在一点，使得，，，构成的四边形为菱形，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1）直线的解析式为，点的坐标为； （2）点的坐标为或； （3）点的坐标为或或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分两种情况讨论，利用相似三角形的性质列式即可求解； （3）根据题意得到，，，设点的坐标为，分三种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线经过点，点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：对于， ∵，，， ∴，，， 对于，设，，，，，是公共角， 若， ∴，即， 解得， ∴， ∴点的坐标为； 若， ∴，即， 解得， ∴， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：∵将线段沿着轴方向平移，得到线段，设沿着轴方向平移个单位，，， ∴，，，设点的坐标为， 当是对角线时， ，， 解得，， ∵， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 当是对角线时， ，， 解得，， ∵， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 当是对角线时， ，， 解得，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 26. 将正方形的边绕点逆时针旋转得到，连接交边于点，平分交于点，连接、． （1）如图，求证：是等腰直角三角形； （2）如图，连接交于点，求证：； （3）如图，当时，连接，为中点，为中点，连接，求的最小值． 【答案】（1）证明：∵平分， ∴， ∵正方形的边绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）证明：由（1）证得，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴①， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即②， 由①②两式得，； （3）的最小值为． 【解析】 【分析】（1）先利用正方形的性质证明可得，，再证明，即可证明结论； （2）由（1）证得，，证明可得①；证明可得，即②，最后结合①②即可证明结论； （3）连接，证明，求得，连接，，再证明，推出，，再证明，推出是等腰直角三角形，得到，连接，得到，取的中点，连接，推出，当在同一直线上时，有最小值，即有最小值，最小值为，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接， ∵正方形， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴，且， ∴， ∴，， ∵为中点，为中点， ∴， 连接，， ∵，， ∴， ∴，，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 连接， ∵，为中点， ∴，即， 取的中点，连接， ∴， ∵， ∴当在同一直线上时，有最小值，即有最小值， 最小值为， 在中，由勾股定理得，， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度上期期中质量检测 九年级数学 （满分150分，120分钟完成） A卷（满分100分） 一．选择题（每小题4分，共32分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则下列式子正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 平行四边形是轴对称图形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D. 对角线相等的矩形是正方形 5. 如图，在中，点，分别在边，上，再添加一个条件，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，若， ，的面积为，的面积为，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走步，乙每单位时间走步．乙一直向东走，甲先向南走步，后又斜向北偏东方向走了一段与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 8. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为54，则的长为（ ） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 二．填空题（每小题4分，共20分） 9. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 10. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则___________． 11. 如图，已知，它们依次交直线，于点、、和点、、．如果，，，那么________． 12. 如图，乐器上的一根弦，两个端点，固定在乐器面板上，支撑点，分别是靠近点，的黄金分割点，则端点与支撑点之间的距离为________． 13. 如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以点，为圆心，相同长（大于）为半径作弧，两弧交于点，作射线，与相交于点，若，则_________． 三．解答题（共48分） 14. 解下列方程： （1）； （2）． 15. 如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为，如果要围成面积为的花圃，的长是多少米？ 16. 如图是燃烧的蜡烛经凸透镜在屏幕上成像的光路示意图，．点、、在同一直线上，点、、在同一直线上，且、、都与垂直，交于点．若，，． （1）求的值； （2）求成像的长． 17. 如图，在矩形中，对角线与相交于点О，点E为中点，点F，点G在射线上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求四边形的面积． 18. 如果一个三角形的一边是另一边的倍，那么称这个三角形为“和谐三角形”． （1）初步探索：如图，和谐三角形中，，是的角平分线，是的中线．求证：垂直平分； （2）尝试应用：在（1）的条件下，，，求的长度； （3）拓展延伸：如图，和谐三角形中，，点在上，且，的平分线与的平分线交于点．若，，求的长． B卷（共50分） 一．填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 古希腊在研究黄金分割时得到方程，已知，是方程的两个根，则代数式________． 20. 若，则k＝_____． 21. 在中，点在的延长线上，且，点在上，且，连接并延长与交于点，，那么________． 22. 如图，在中，，，，是直线上的一动点，连接和，点在直线上，连接，若，则的最小值是________． 23. 如图，在中，，点在边上且，点在边上，，连接、，，则为________． 二．解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 近年来，户外露营行业快速发展，露营装备销量逐年增长．为进一步拓展市场，某露营装备店在“露营季”期间对一款帐篷进行降价促销，这款帐篷原来的价格是每套元，经两次降价后变为每套元． （1）若该店铺两次降价的百分率相同，求该款帐篷价格每次下降的百分率？ （2）活动结束后，经市场调研发现，当这款帐篷每套盈利元时，月销售量为套．如果调整销售单价，每涨价元，则月销售量就减少套．要使月销售利润达到元，且让利于消费者，那么该款帐篷每套涨价多少元？ 25. 如图，平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，点是直线上一点． （1）求直线的解析式及点的坐标； （2）已知点是轴上一动点，连接，若以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标； （3）将线段沿着轴方向平移，得到线段，平面内是否存在一点，使得，，，构成的四边形为菱形，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由． 26. 将正方形的边绕点逆时针旋转得到，连接交边于点，平分交于点，连接、． （1）如图，求证：是等腰直角三角形； （2）如图，连接交于点，求证：； （3）如图，当时，连接，为中点，为中点，连接，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $