5.2.1 二次函数的图像和性质（一）讲义 -2026-2027学年北师大版九年级数学上册

5.2.1 二次函数的图像和性质（一）（知识解读） 【新教材北师大版】 题型归纳 【题型1 二次函数的图象】 3 【题型2 二次函数的性质】 3 【题型3 二次函数的图象】 4 【题型4 二次函数的性质】 5 【题型5 二次函数的图象】 5 【题型6 二次函数的性质】 6 【题型7 二次函数的图象】 7 【题型8 二次函数的性质】 8 【随堂检测】 9 知识点1 二次函数几种特殊形式的图象和性质 1. 二次函数的图象和性质 函数形式 顶点坐标 对称轴 最值 开口、单调性 （，） y轴 ，时，； ，时， 时，抛物线开口向上； 在对称轴右侧时,y随x的增大而增大； 在对称轴左侧时，y随x的增大而减小； 时，抛物线开口向下； 在对称轴左侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴侧右时，y随x的增大而减小 （，） 轴 ，时，； ，时， （，） ，时，； ，时， （，） ，时，； ，时， 2. 二次函数 的图象的画法 （1）列表：以为中心，对称选取x值，求出对应的函数值． （2）描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． （3）连线：用平滑的曲线顺次连接各点． （4）在画二次函数的图象时，取的点越密集，画出的图象就越精确，但取点越多计算量就越大，故一般在顶点的两侧各取2~4个点即可．在连线时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线将各个点连接起来，两端无限延伸．画抛物线的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法画出二次函数图象的一侧，再利用对称性画另一侧． 3. 几种二次函数图象间的平移规律 例如：的图象是由的图象先向上平移3个单位长度得到的图象，再向右平移5个单位长度得到的．反之，由的图象先向下平移3个单位长度得到的图象，再向左平移5个单位长度得到的图象． 【题型1 二次函数的图象】 【典例1】二次函数的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】二次函数的图象经过的象限是（     ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【变式1-2】二次函数的图象经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】在同一平面直角坐标系中表示 和 的图象，以下四个选项中可能正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型2 二次函数的性质】 【狄娜力2】抛物线不具有的性质是（     ） A．开口向下 B．对称轴是轴 C．顶点坐标为 D．函数有最小值 【变式2-1】下列抛物线中，抛物线的开口最小的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知二次函数的图象开口向上，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知二次函数的图象上有两点，，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【题型3 二次函数的图象】 【典例3】关于的二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】在同一平面直角坐标系中，函数与（为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】一次函数（a、b为常数，且）的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【题型4 二次函数的性质】 【典例4】对于二次函数，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．开口向下 C．对称轴为轴 D．顶点在轴上 【变式4-1】抛物线 的开口方向和顶点坐标分别是（     ） A．向上， B．向下， C．向上， D．向下， 【变式4-2】已知函数图象经过点，，，则有（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知抛物线经过两个不同的点和，那么m的值是（     ） A．2 B． C．8 D． 【题型5 二次函数的图象】 【典例5】在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】下列图像是二次函数的图像的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】在一次函数中，y随x的增大而减小，则二次函数的图像大致是（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】已知二次函数的图象如图所示，则可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【题型6 二次函数的性质】 【典例6】对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．点在此函数图象上 【变式6-1】二次函数图象的对称轴是（） A．直线 B．直线 C．y轴 D．x轴 【变式6-2】对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．图象开口向下 B．图象经过原点 C．顶点坐标为 D．对称轴为直线 【变式6-3】已知抛物线，若点，，都在该抛物线上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【题型7 二次函数的图象】 【典例7】二次函数的图象大致为（） A．B． C． D． 【变式7-1】二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【变式7-2】二次函数的图像大致是（   ） A．  B．  C．   D．   【变式7-3】二次函数的大致图象是下面选项中的（     ） A．B． C． D． 【题型8 二次函数的性质】 【典例8】已知二次函数，下列说法正确的是（     ）． A．图象的开口向上 B．对称轴为直线 C．当时，随的增大而增大 D．函数的最小值为5 【变式8-1】二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知二次函数，下列说法正确的是(     ) A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．抛物线的对称轴是 D．二次函数的最小值为6 【变式8-3】抛物线过，，三点，则，，的大小关系是(     ) A． B． C． D． 随堂检测c 【随堂检测】 1．抛物线经过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 3．对于二次函数，下列说法不正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1 C．图象的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大 4．若，，均在抛物线上，则正确的是（     ） A． B． C． D． 5．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（     ） A．顶点坐标为 B．对称轴是直线 C．开口向下 D．当时，y随x的增大而减小 6．抛物线的顶点的坐标是__________． 7．二次函数的对称轴是___________． 8．已知二次函数，则当时，的最大值是______________． 9．已知三个二次函数的图象如图所示，那么、、的大小关系是___________． 10．已知抛物线的顶点坐标为，且与抛物线的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的表达式为________________． 11．已知抛物线经过点和，那么__________． 12．在函数中，当时，随的增大而增大，则的取值范围是________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2.1 二次函数的图像和性质（一）（知识解读） 【新教材北师大版】 题型归纳 【题型1 二次函数的图象】....................................................................................................................3 【题型2 二次函数的性质】 4 【题型3 二次函数的图象】 5 【题型4 二次函数的性质】 8 【题型5 二次函数的图象】 9 【题型6 二次函数的性质】 12 【题型7 二次函数的图象】 13 【题型8 二次函数的性质】 15 【随堂检测】 16 知识点1 二次函数几种特殊形式的图象和性质 1. 二次函数的图象和性质 函数形式 顶点坐标 对称轴 最值 开口、单调性 （，） y轴 ，时，； ，时， 时，抛物线开口向上； 在对称轴右侧时,y随x的增大而增大； 在对称轴左侧时，y随x的增大而减小； 时，抛物线开口向下； 在对称轴左侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴侧右时，y随x的增大而减小 （，） 轴 ，时，； ，时， （，） ，时，； ，时， （，） ，时，； ，时， 2. 二次函数 的图象的画法 （1）列表：以为中心，对称选取x值，求出对应的函数值． （2）描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． （3）连线：用平滑的曲线顺次连接各点． （4）在画二次函数的图象时，取的点越密集，画出的图象就越精确，但取点越多计算量就越大，故一般在顶点的两侧各取2~4个点即可．在连线时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线将各个点连接起来，两端无限延伸．画抛物线的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法画出二次函数图象的一侧，再利用对称性画另一侧． 3. 几种二次函数图象间的平移规律 例如：的图象是由的图象先向上平移3个单位长度得到的图象，再向右平移5个单位长度得到的．反之，由的图象先向下平移3个单位长度得到的图象，再向左平移5个单位长度得到的图象． 【题型1 二次函数的图象】 【典例1】二次函数的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二次函数解析式得出抛物线开口向下，对称轴为直线，结合图象判断即可得解． 【详解】解：对于二次函数， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， 故D符合题意． 【变式1-1】二次函数的图象经过的象限是（     ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】D 【分析】根据二次项系数的符号判断抛物线开口方向，结合顶点位置确定图象经过的象限． 【详解】解：二次函数的一般形式为（），二次项系数a的符号决定开口方向：当时，抛物线开口向下．本题中函数为，其中，因此抛物线开口向下． 对于形式的二次函数，对称轴为直线（即y轴），顶点坐标为，即原点． 抛物线开口向下，顶点在原点，因此当时，函数值： 当时，对应点横坐标为正、纵坐标为负，位于第四象限； 当时，对应点横坐标为负、纵坐标为负，位于第三象限． 因此该二次函数图象经过第三、四象限． 【变式1-2】二次函数的图象经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 将点代入二次函数解析式求解的值即可． 【详解】∵函数经过点， 当时，， 代入得：, 解得： 故选：A． 【变式1-3】在同一平面直角坐标系中表示 和 的图象，以下四个选项中可能正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象，判断选项中两个函数图象各自待定系数的符号，看是否出现矛盾，出现矛盾的选项就是错误的，排除即可． 【详解】解：选项A：抛物线中，直线中，，，出现矛盾，不符合题意； 选项B：抛物线中，直线中，，，不符合，不符合题意； 选项C：抛物线中，直线中，，，没有矛盾，符合题意； 选项D：抛物线中，直线中，，，出现矛盾，不符合题意． 【题型2 二次函数的性质】 【狄娜力2】抛物线不具有的性质是（     ） A．开口向下 B．对称轴是轴 C．顶点坐标为 D．函数有最小值 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为，属于型，且， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，无最小值，对称轴是轴，顶点坐标为， 故D符合题意． 【变式2-1】下列抛物线中，抛物线的开口最小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抛物线开口大小由二次项系数的绝对值决定，绝对值越大，开口越小． 【详解】解：各选项二次项系数的绝对值分别为，，，， ∵ ， ∴ 抛物线的开口最小． 【变式2-2】已知二次函数的图象开口向上，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∴． 【变式2-3】已知二次函数的图象上有两点，，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：把代入，得， 把代入，得， ∵， ∴． 【题型3 二次函数的图象】 【典例3】关于的二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分两种情况：当时，抛物线的开口向上，顶点在轴上方，没有符合题意的选项当时，抛物线的开口向下，顶点在轴下方，对照各选项，选B． 【详解】解：A选项：抛物线开口向上，，抛物线的顶点应在轴上方，故A选项不符合题意； B选项：抛物线开口向下，，抛物线的顶点应在轴下方，故B选项符合题意； C选项：抛物线开口向上，，抛物线的顶点应在轴上方，故C选项不符合题意； D选项：抛物线开口向下，，抛物线的顶点应在轴下方，故D选项不符合题意． 【变式3-1】在同一平面直角坐标系中，函数与（为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数顶点坐标排除部分选项，再利用的符号一致性判断一次函数图象位置，即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴顶点坐标为，在轴的正半轴，故A、B选项不符合题意， ∵C、D选项的抛物线开口向下， ∴， ∴函数的图象经过一、二、四象限， ∴D选项不符合题意，C选项符合题意． 【变式3-2】在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数与二次函数的图象结合选项的图象依次判断即可． 【详解】解：A、由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，由直线可知，错误； B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，而抛物线开口向下，与二次函数矛盾，错误； C、由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，由直线可知，正确； D、由图可知直线与y轴交于负半轴，这与一次函数矛盾，错误． 【变式3-3】一次函数（a、b为常数，且）的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数图象确定 的符号． 【详解】解：由一次函数 的图象可知，, ． 对于二次函数 ， ∵ ， ∴ 抛物线开口向下． ∵ ， ∴ 抛物线顶点在 轴正半轴． 故选C． 【题型4 二次函数的性质】 【典例4】对于二次函数，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．开口向下 C．对称轴为轴 D．顶点在轴上 【答案】A 【分析】由二次项系数判断开口方向，结合解析式确定对称轴与顶点，判断各选项正误． 【详解】解：二次函数解析式为， ∵二次项系数， ∴抛物线开口向上，A正确，B错误； ∵函数为的形式， ∴对称轴为直线（即轴），顶点坐标为，在轴上，C错误，D错误． 【变式4-1】抛物线 的开口方向和顶点坐标分别是（     ） A．向上， B．向下， C．向上， D．向下， 【答案】B 【分析】抛物线解析式为的形式，可直接结合二次项系数符号和代入计算判断开口方向与顶点坐标． 【详解】解：抛物线解析式为， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，， ∴顶点坐标为． 【变式4-2】已知函数图象经过点，，，则有（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定二次函数的对称轴，结合开口方向，通过比较点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线，开口向上， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵ 开口向上时，点到对称轴的距离越大，函数值越大， ∴ . 【变式4-3】已知抛物线经过两个不同的点和，那么m的值是（     ） A．2 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】由两点纵坐标相同可知两点关于抛物线对称轴对称，结合抛物线对称轴求解的值． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为轴，点和的纵坐标均为， ∴点与点关于轴对称， ∵、是不同的点， ∴． 【题型5 二次函数的图象】 【典例5】在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的解析式，判断图象即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； ∴符合条件的只有选项D； 故选D． 【变式5-1】下列图像是二次函数的图像的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图像和性质，理解二次函数的性质是解题的关键．依据二次函数顶点式的性质，从开口方向和顶点坐标两个角度分析逐项判断即可 ． 【详解】解：函数， ， 抛物线开口向下， 选项A、B不符合题意， 抛物线的顶点坐标为（即顶点在x轴上，且横坐标为），选项C、D的抛物线开口向下，而选项C的抛物线顶点在x的负半轴上；选项D的抛物线顶点在x轴正半轴， 符合条件的是选项C， 故答案为：C． 【变式5-2】在一次函数中，y随x的增大而减小，则二次函数的图像大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，二次函数图象的性质， 先根据一次函数图象的性质可知，可知抛物线的开口向下，再根据二次函数图象的性质可知其对称轴是，可得答案 【详解】解：∵一次函数中，y随着x的增大而减小， ∴， ∴抛物线的开口向下. ∵二次函数的对称轴是， ∴B符合题意. 故选：B 【变式5-3】已知二次函数的图象如图所示，则可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质“对于二次函数，开口向上，开口向下”，据此求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象如图所示， ∴， ∴， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 【题型6 二次函数的性质】 【典例6】对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．点在此函数图象上 【答案】B 【分析】根据二次函数解析式可直接得出该二次函数图象开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，从而可判断A，B；再由该二次函数图象开口向下，对称轴是直线，得出当时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而增大减小，可判断C，将代入解析式，即可判断D选项． 【详解】解：∵， ∴该二次函数图象开口向下，故A错误，不符合题意； 由二次函数解析式可直接得出其对称轴是直线，故B正确，符合题意； ∵该二次函数图象开口向下，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而增大减小，故C错误，不符合题意； 当时，点不在函数图象上，故D不正确，符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质．掌握二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为，当时，图象开口向上，当时，图象开口向下是解题关键． 【变式6-1】二次函数图象的对称轴是（） A．直线 B．直线 C．y轴 D．x轴 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵当时，， ∴二次函数图象的对称轴是直线． 【变式6-2】对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．图象开口向下 B．图象经过原点 C．顶点坐标为 D．对称轴为直线 【答案】D 【详解】解：∵中，， ∴图象开口向上，A错误； ∵当时，， ∴图象不经过原点，B错误； ∵该抛物线顶点坐标为， ∴C错误； ∵该抛物线对称轴为直线， ∴D正确 【变式6-3】已知抛物线，若点，，都在该抛物线上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， ∵ ， ∴ ． 【题型7 二次函数的图象】 【典例7】二次函数的图象大致为（） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的顶点式确定开口方向和顶点坐标，结合图象进行判断． 【详解】解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向下，排除选项， ∵函数解析式为顶点式，顶点坐标为， ∴顶点在第二象限，横坐标为，纵坐标为，观察图象，选项符合题意． 【变式7-1】二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【详解】解：∵中 ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 ∴C选项符合题意． 【变式7-2】二次函数的图像大致是（   ） A．  B．  C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像，掌握二次函数图像的特征是解题的关键．根据二次函数的顶点式即可判断大致图像． 【详解】解：二次函数的顶点式为， ，顶点坐标为， 二次函数图像是开口向上，以顶点坐标为的抛物线， 故选：D． 【变式7-3】二次函数的大致图象是下面选项中的（     ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数解析式写出顶点坐标和对称轴，即可判断． 【详解】解：∵二次函数， 则可得二次函数的顶点是：，对称轴是 ， 又∵， ∴图象开口向下， 所以选项A图象符合． 【题型8 二次函数的性质】 【典例8】已知二次函数，下列说法正确的是（     ）． A．图象的开口向上 B．对称轴为直线 C．当时，随的增大而增大 D．函数的最小值为5 【答案】C 【分析】该函数为二次函数顶点式，可直接确定开口方向、对称轴与顶点坐标，据此判断各选项． 【详解】解：由二次函数得，，对称轴为直线，顶点坐标为， ∵， ∴图象开口向下，函数有最大值，A、D错误；对称轴为直线，B错误， ∵开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，C正确． 【变式8-1】二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二次函数表达式为顶点式，可直接确定顶点坐标． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为． 【变式8-2】已知二次函数，下列说法正确的是(     ) A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．抛物线的对称轴是 D．二次函数的最小值为6 【答案】C 【详解】解：二次函数中，， ∴抛物线开口向上，最小值为，A、D错误． 抛物线对称轴为，C正确． ∵抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而增大． ∵， ∴当时，并非随的增大而一直增大，B错误． 故选：C． 【变式8-3】抛物线过，，三点，则，，的大小关系是(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】无需计算参数，利用二次函数性质，通过比较三点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，开口向上． ，，， ∵， ∴． 随堂检测c 【随堂检测】 1．抛物线经过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：把点代入，得． 2．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可直接对照抛物线顶点式（）的顶点坐标为的规则，找出给定解析式中对应的、值，即可确定顶点坐标选出正确选项． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为． 故选：． 3．对于二次函数，下列说法不正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1 C．图象的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】根据二次函数 的图象与性质，逐项分析判断即可． 【详解】解：二次函数中，，顶点坐标为， ∴图象开口向上，A选项说法正确，不符合题意； ∵开口向上，顶点纵坐标为1， ∴函数的最小值为1，B选项说法正确，不符合题意； ∵对称轴为直线，不是， ∴C选项说法错误，符合题意； ∵开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，D选项说法正确，不符合题意． 4．若，，均在抛物线上，则正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 5．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（     ） A．顶点坐标为 B．对称轴是直线 C．开口向下 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：A．二次函数的顶点坐标为， 故该说法正确，不符合题意； B．二次函数的对称轴是直线， 故该说法正确，不符合题意； C．二次函数中，，开口向上， 故该说法不正确，符合题意； D．抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 故该说法正确，不符合题意． 6．抛物线的顶点的坐标是__________． 【答案】 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴其顶点坐标为． 7．二次函数的对称轴是___________． 【答案】直线 【详解】解：该二次函数的对称轴为直线． 8．已知二次函数，则当时，的最大值是______________． 【答案】 【分析】已知二次函数解析式和自变量取值范围，根据二次函数的增减性求最大值． 【详解】解：，二次项系数， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， 在范围内，时取得最大值， 代入得． 9．已知三个二次函数的图象如图所示，那么、、的大小关系是___________． 【答案】 【分析】根据二次函数的图象性质，由开口方向确定a的正负，由开口大小确定的大小，进而比较即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上 ∴ ∵二次函数和的图象开口向下 ∴， ∵二次函数的图象的开口大于的图象的开口 ∴ ∴ ∴． 10．已知抛物线的顶点坐标为，且与抛物线的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的表达式为________________． 【答案】 【分析】抛物线的开口方向和形状大小由二次项系数决定，由此可得的二次项系数，结合已知顶点坐标即可求出表达式． 【详解】解：∵抛物线与的开口方向、形状大小完全相同， ∴的二次项系数为， ∵的顶点坐标为， ∴将，顶点坐标代入抛物线顶点式（其中为顶点坐标，为二次项系数），得 的表达式为． 11．已知抛物线经过点和，那么__________． 【答案】 【分析】抛物线上纵坐标相同的两点关于对称轴对称，结合该抛物线的对称轴位置，可直接建立两点横坐标的关系求解． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵点和点的纵坐标相等， ∴两点关于抛物线的对称轴对称， ∴两点横坐标的中点在对称轴上，即． 解得． 12．在函数中，当时，随的增大而增大，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】该二次函数开口向上，对称轴为直线，根据给定的时的递增要求，确定对称轴与直线的位置关系，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $