专题11 二次函数的应用 复习讲义 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题11二次函数的应用复习讲义 1.能够读懂实际问题情境，建立二次函数模型，确定自变量的实际取值范围，清楚自变量要符合现实意义。 2.掌握利用二次函数求最值的方法，区分顶点在取值范围内、顶点不在取值范围内两种情况，会求最大利润、最大面积等常见最值问题。 3.会利用二次函数模型解决拱桥、抛球等实物轨迹问题，能建立平面直角坐标系，求出函数解析式并利用解析式求值。 4.能结合图象分析实际问题，根据函数值反求自变量，会处理已知高度求水平距离这类问题。 5.能识别二次函数应用里的分段函数题型，理清不同区间对应的函数关系式。 6.规范解题步骤，会检验结果是否符合题意，区分 “顶点是最值点” 和 “区间端点取最值”，避免忽略自变量取值范围导致出错。 7.可以结合方程、不等式，解决二次函数应用综合问题。 题型 考察方向 难度 题型一 图形问题 ★★ 题型二 图形运动问题 ★★★ 题型三 拱桥问题 ★★ 题型四 销售问题 ★★★ 题型五 投球问题 ★★ 题型六 喷水问题 ★★ 题型七 增长率问题 ★★ 题型八 线段周长问题 ★★★ 题型九 面积问题 ★★★ 题型十 角度问题 ★★★★ 题型十一 特殊三角形问题 ★★★★ 题型十二 特殊四边形 ★★★★ 题型十三 相似三角形问题 ★★★★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：核心通用解题步骤（所有应用题通用模板，答题必写） 1.设变量：根据题意设合适自变量x，明确x代表的实际意义； 2.找等量关系：根据面积、利润、高度、几何相似等关系列出y与x的关系式； 3.整理成二次函数标准形式：y=ax2+bx+c(a≠0)； 4.确定自变量取值范围：结合长度、数量、价格等实际意义，x>0、整数、不超过上限等限制； 5.求顶点横坐标：对称轴x=- 6.判断最值 a>0，开口向上，顶点处为最小值； a<0，开口向下，顶点处为最大值； 7.范围校验：若对称轴x在取值范围内，顶点为实际最值；若不在区间，最值出现在区间端点； 8.作答：结合题意写出完整答案。 知识点02：模型一：几何图形面积最值问题（高频基础题型） 1. 常见图形分类与公式表格 几何模型 题干条件 面积函数推导思路 a符号（最值类型） 靠墙矩形 一边靠墙，篱笆总长固定，垂直墙边长为x 平行墙边长=总长-2x，S=x(总长-2x) a=-2<0，求最大面积 内部隔栏矩形 篱笆中间有平行隔断（多段竖边） 隔断数量决定总边长系数，S=x(总长-nx) a<0，最大值 直角三角形 两直角边和固定，一条直角边为x 另一直角边 = 定值-x，S=(定值-x) a=-<0，最大值 内接矩形（直角三角形内） 矩形一边在直角边上，相似三角形求边长 用相似表示矩形长、宽，乘积得二次函数 a<0，最大值 2. 关键易错点 （1）自变量必须大于 0，边长不能为负数； （2）靠墙题型容易算错平行墙边长（隔断数量决定系数，隔 1 道墙减2x，隔 2 道减3x）； （3）求完顶点后必须校验：对称轴数值不能超过篱笆总长度限制。 3. 典型模板例题 用 40m 篱笆围矩形花圃，一边靠墙，垂直墙边长为x，求最大面积。 解：平行墙边长=40-2x，S=x(40-2x)=-2x2+40x a=-2<0，对称轴x=10，在0<x<20范围内 Smax=200m2 知识点03：模型二：销售利润最值应用题（中考必考核心大题） 1. 基础利润公式（必须背诵） 单件利润 = 实际售价 − 单件进价 总利润W = 单件利润 × 销售数量 2. 两类价格调整题型对比表 题型分类 题干特征 数量变化规律 函数形式特征 降价促销 单价每降m元，销量增加n件 销量 = 原销量+n（x降价金额） a<0，求最大利润 涨价提价 单价每涨m元，销量减少n件 销量 = 原销量-n （x涨价金额） a<0，求最大利润 3. 附加限制条件（高频坑点） 售价不能低于进价； 商品库存有限，销量不能超过库存上限； 价格只能为整数，求出顶点小数时取临近整数对比利润。 4. 标准解题流程示例 西瓜进价 2 元 / 千克，售价 3 元，日销 200kg；每降价 0.1 元，多卖 40kg，求最大利润定价。 设降价0.1x元，单件利润=1-0.1x，销量=200+40x W=(1-0.1x)(200+40x)=-4x2+20x+200 a=-4<0，对称轴x=2.5，对应定价3-0.25=2.75元时利润最大。 知识点04：模型三：抛物线型实际建模（拱桥、隧道、喷泉、建筑） 1. 坐标系建立两种常用方法 方法 1：顶点在原点（最简推荐） 抛物线顶点(0,0)，开口向下，解析式y=ax2 (a<0)，代入地面端点坐标求a。 方法 2：顶点在(h,k) 顶点式y=a(x-h)2+k，适合对称轴不在 y 轴的场景。 2. 三类典型实景考点表格 实景类型 已知条件 常考问题 拱桥 / 隧道 水面宽、拱顶高度、车道高度限制 ①求抛物线解析式；②判断货车能否通行；③求水面上涨后宽度 喷泉 / 抛射小球 抛出高度、落地水平距离 ①最大喷射高度；②水平射程；③特定高度对应的水平距离 建筑轮廓（东方之门） 底部宽度、最高点高度 给定高度求水平跨度 3. 通用解题步骤 （1）建平面直角坐标系（优先顶点放原点简化计算）； （2）标出图像已知点坐标； （3）代入顶点式 / 一般式求a； （4）将高度 / 距离代入解析式，解方程求对应横坐标； （5）结合左右对称计算宽度。 4. 易错提醒 （1）开口向下a一定为负数，容易符号写错； （2）求宽度要取左右两个x值做差，不可只算单侧； （3）货车通行问题：先算车辆对应宽度处拱高，对比车高判断能否通过。 知识点05：模型四：动态几何中的二次函数（压轴难点） 1. 常见载体：直角三角形、矩形、菱形动点 动点沿边匀速运动，设运动时间 / 路程为x，用相似、勾股表示线段长，推导出面积 / 线段长二次函数。 2. 两类函数图像特征 单段动点：完整抛物线（开口向上 / 向下）； 分段动点：分两段，前一段开口向上，后一段开口向下，图像为两段抛物线拼接。 3. 核心考点 求面积S关于路程x的函数； 求面积最大值； 给定面积反求动点位置。 知识点06：最值两大求解方法（答题二选一） 方法 1：配方法（推荐书写步骤） 方法 2：顶点公式法（计算更快） 对称轴x=-，将x代入原式计算最值。 知识点07：自变量取值范围核心判定规则（必考扣分点） 1.长度、价格、销量：x>0； 2.几何动点：运动路程不超过图形边长，0<x<L； 3.销售涨价：售价≥进价，销量≥0； 4.实际物品数量：x为正整数； 5.若对称轴不在取值区间： a<0：区间左端点为最大值； a>0：区间右端点为最小值。 知识点08全节高频易错汇总 1.利润计算混淆涨价 / 降价后销量增减，符号写反； 2.靠墙矩形隔断数量搞错，平行边长列式出错； 3.抛物线建模a正负混淆，开口向下写成正数； 4.求水平宽度只算单侧横坐标，忘记左右相减； 5.忽略自变量取值范围，直接用顶点当实际最值； 6.配方法提取二次项系数后，常数项漏乘系数； 7.面积公式漏乘（三角形题型）； 8.题目要求整数价格 / 长度时，直接使用小数顶点值作答。 题型一、图形问题 1．实际应用：如图，某农场拟建造由甲乙两个矩形组成的羊羔饲养室，饲养室的一面靠9米长的墙AB，其余的部分用栅栏围成甲乙两部分，已知提前准备的建筑材料可以建造24米长的栅栏，则该羊羔饲养室最大面积为多少？ 2．如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料），设． (1)由题意可知，则_______________（用含的代数式表示）； (2)设矩形羊圈的面积为，请写出与的关系式，并写出的取值范围； 3．【数学活动】某中学某节社团课上，老师给每个学生发了一张腰长为的等腰直角三角形硬卡片（如图1，图2中，，），要求学生们利用它裁出一块长方形卡片制作明信片，要求裁出的长方形卡片的四个顶点都在三角形硬卡片的边上，并且裁出的长方形卡片的面积为． (1)小松同学很快完成了自己的设计（如图1），并完成计算，请你求出他裁出的长方形卡片的长和宽． (2)看了小松同学的设计，你能想出不同的设计方案吗？请利用图2大致画出草图，并求出你裁出的长方形卡片的长和宽． (3)如图1的方案中，当x取多长时，裁出的长方形卡片的面积最大？最大值是多少？ 题型二、图形运动问题 4．如图，矩形中，，，点M以的速度从点B向点C运动，点N以的速度从点C向点D运动．两点同时出发，设运动开始第t秒钟时，五边形的面积为． (1)写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围； (2)当运动多少秒时五边形的面积最小?并求出最小面积． 5．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边向C以的速度移动（不与点C重合），如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动的时间为，四边形的面积为． (1)求y与x之间的函数关系式；写出自变量x的取值范围； (2)当四边形的面积等于时，求x的值． 6．在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点在轴的负半轴上，点在第二象限，矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．将沿轴向右平移，得到，点，，的对应点分别为． (1)如图①，当经过点时，求直线的函数表达式； (2)设，与矩形重叠部分的面积为； ①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，，用含有的式子表示；并写出的取值范围； ②请直接写出满足时，取值范围是________． 题型三、拱桥问题 7．如图是一座廊桥正中间最高的桥拱的示意图，其形状可近似看作抛物线型．工作人员利用无人机经过多次测量，测得桥拱的最高点A到水面的距离为，距离左、右侧桥墩的水平距离均为，已知桥墩露出水面的高度，以所在直线为x轴，垂直于且过最高点A的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)为让游客能有更好的体验，工作人员计划在桥拱上悬挂灯带（灯带利用卡扣固定），使得灯带与水面平行，，且均与水面垂直，为保证安全，要求灯带底部D，G距水面的距离为，当灯带总长度最大时，求的长． 8．九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践到应用的过程． (1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得一隧道的路面宽为．隧道顶部最高处P距地面，并画出了隧道截面图．建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式； (2)应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．为了确保安全，问该隧道能否让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？并说明理由． 9．综合与实践 问题背景：二连跨拱形仓库采用抛物线形拱顶设计，为双跨一体式结构，内部无立柱，空间开阔．采光通风良好，坚固耐用，可适配各类仓储场景．其纵切面如图1所示． 建立模型：如图2，表示水平直线（地面），，表示立柱，且，均垂直于，过点A的竖直直线与交于点O，此时构成拱顶的两段抛物线和、立柱和均关于直线对称．以O为原点，水平直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）． 测量数据：，跨度，拱顶最高点距离地面的高度为． (1)求抛物线的函数表达式，并直接写出抛物线的函数表达式． 问题解决：储物箱纵切面为矩形，长为，高为．以为对称轴向两侧摆放一排储物箱，为保障存放安全，相邻两列储物箱之间的距离均为． (2)若每列放置两个储物箱，请计算最右侧储物箱的右上顶点M与抛物线在竖直方向上的距离． (3)根据安全要求，储物箱上表面任意一点到拱顶的竖直距离不得小于，请问：在保证安全的前提下，这一排最多可以放置多少个这样的储物箱？请直接写出结果． 题型四、销售问题 10．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于．经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，它的图像如图所示． (1)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)记商场销售该服装获得的利润为元，试写出利润与销售单价之间的函数关系式； (3)销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润？ 11．某公司生产一种产品，成本为每件30元．当售价为50元/件时，每天可售出200件.经调查发现：售价每降低1元，每天可多售出20件．设每件售价降低x元（），每天的销售量为y件，每天的利润为元． (1)直接写出与的函数关系式； (2)求与的函数关系式，并求当为何值时最大，最大利润是多少； (3)若该公司要求每天至少售出300件，此时售价应定为多少元可使利润最大？最大利润是多少？ 12．今年以来，我省接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数2月份为4万人，4月份为万人． (1)若设月平均增长率相同，则该景区游客人数平均每月增长百分之几？ (2)若该景区仅有两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示： 购票方式 甲 乙 丙 可游玩景点 A B A和B 门票价格 100元/人 80元/人 160元/人 据预测，5月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有3万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票． ①若丙种门票价格下降10元，求景区5月份的门票总收入； ②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区5月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？ 题型五、投球问题 13．2025年世界人形机器人运动会在北京举行，其中“篮球投篮人机挑战赛”成为热门项目．篮球飞行的轨迹可近似看作抛物线．如图，机器人站立点为，篮球抛出点为，当篮球运行的水平距离为时，达到最大高度．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若篮球与轴水平距离处的竖直高度满足，视为有效投篮，请你通过计算说明机器人此次投篮是否有效？ 14．一小球从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达最高点的坐标为． (1)求抛物线的函数解析式（不写自变量x的取值范围）； (2)求小球在斜坡上的落点A的坐标； 15．投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分．如图，某人掷铅球时，铅球距地面的高度与距投掷点的水平距离之间的函数表达式为． (1)当投掷的距离为时，求的值； (2)当时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为，求的值． 题型六、喷水问题 16．2023年5月8日，国产大飞机C919商业首航完成。12时31分在北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”）．如图1，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图2，当两辆消防车喷水口A，B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面20米，喷水口A，B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米（两条水柱的形状及喷水口，到地面的距离均保持不变，按照图中所示建立平面直角坐标系），此时两条水柱相遇点距地面多少米？ 17．第33届奥运会上我国网球选手郑钦文荣获女子单打冠军，创造了历史，各地迅速掀起网球训练热潮．某网球训练营教练自制一种网球发球器（图①），已知该发球器的网球出口C离地竖直高度米．如图②，网球在最大力量和最小力量发射出去的路线可以抽象为两条抛物线的一部分，最小力量发球得到的抛物线可以看作由最大力量发球得到的抛物线向左平移得到，最大力量发球得到的抛物线最高点D离出球口的水平距离为2米，高出出球口0.5米． (1)求最大力量时，网球射出去得到的抛物线的函数解析式，并求出网球射出的最大射程； (2)求最小力量时，网球射出的最大射程． 18．某地消防中队在一座废弃高楼上开展消防技能比赛，在距离地面的点处和其正下方的点处各设置了一个火源，消防员站在水平地面上的点处拿着水枪向处喷水（水流出口与地面的距离忽略不计），水流路径为抛物线的一部分．据录像资料显示，水流路径的最高点到高楼的水平距离为，到水平地面的距离为．待处火熄灭后，消防员前进至点处，调整水枪，使水流刚好落在点处．已知点到高楼的距离为，且两次灭火时水流路径的最高点到高楼的水平距离相等，建立如图所示的平面直角坐标系，其中水流的高度为，水流到高楼的水平距离为． (1)求消防员灭处的火源时，水流路径所在抛物线的解析式； (2)若消防员灭、两处的火源时，水流路径所在抛物线的形状相同，求、两点之间的距离． 题型七、增长率问题 19．某市为打造“绿色城市”，积极投入资金实施园林绿化工程．已知去年投入资金1500万元，计划从今年起，连续三年每年投入资金比上一年增加相同的百分率x．写出明年将投入的资金量y（单位：万元）关于每年增加的百分率x的函数解析式． 20．“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的万人增加到2023年的50万人．设该市参加健身运动人数的年平均增长率为x． (1)用含x的代数式表示2023年参加健身运动的人数y（单位：万人），并化为二次函数的一般形式； (2)根据题意，求该市参加健身运动人数的年平均增长率． 21．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应涨价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 题型八、线段周长问题 22．如图，已知抛物线与一直线相交于两点，与y轴交于点N．其顶点为D．    (1)求抛物线及直线的函数表达式； (2)设点，求使的值最小时m的值； (3)若点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点P作轴交于点Q，求的最大值． 23．如图，二次函数的图象与轴交于A、B两点，其中A点坐标为，与轴相交于点，另外抛物线经过点，M为它的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点N是抛物线对称轴上的一个动点，当 最小时，求N点的坐标； 24．二次函数的图象与直线相交于、两点（如图），点在y轴上，过点作轴，垂足为． (1)点是二次函数图象上一点（点在上方），过作轴，垂足为点，交于点，求的最大值； (2)在（1）的条件下，点在何位置时，与相互垂直平分？并求出所有满足条件的点的坐标． 题型九、面积问题 25．已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式及点坐标； (2)是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值及此时点的坐标； 26．如图，点P是抛物线在第四象限内的一点，点A的坐标是，设点P的坐标是． (1)求的面积S关于变量x的关系式； (2)当时，求的面积； (3)当的面积为2时，求点P的坐标． 27．如图，已知二次函数的图象对称轴是直线，与轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C，且． (1)求二次函数的表达式； (2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段交轴于点D，的面积是的面积的2倍，求点P的坐标． 题型十、角度问题 28．已知：如图，抛物线内的的三个顶点都在抛物线上：其中点为抛物线的顶点，点的坐标为，点的坐标为． (1)_______． (2)在轴上有一点，求点的坐标． 29．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)是抛物线上一动点（不与点，，重合），作轴，垂足为，连接． ①若点在第三象限，且，求点的坐标； ②当点在轴左侧抛物线上时，直线交直线于点，若，直接写出点的坐标． 30．抛物线与直线交于点和点H，，直线交直线于点A，交抛物线于点B． (1)求c和k的值（用含m的代数式表示）； (2)过点A作x轴的平行线交抛物线于M，N两点（M在N的左侧），交y轴于点C．求的取值范围； (3)在（2）的条件下，过点B作x轴的平行线，与抛物线另一个交点为D，若点E是线段的中点，探究与的数量关系，并说明理由． 题型十一、特殊三角形问题 31．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，顶点为点． (1)求点和点的坐标（用含的式子表示）． (2)①因为时，，所以，取任意实数，抛物线恒过定点．受此启发，请你求出该抛物线恒过的另外一个定点（记为点）的坐标． ②若是直角三角形，求的值． (3)若抛物线与轴交于，两点，且，求的取值范围． 32．如图，抛物线与轴相交于点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在抛物线上，求的面积． (3)在抛物线上有一点，过点作轴的垂线交轴于点，若是等腰直角三角形，求点的坐标． 33．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是该抛物线上位于第一象限内的一动点，连接．当的面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值； (3)若点M是对称轴上一点，是否存在点M，使得是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十二、特殊四边形 34．如图，四边形是平行四边形，过点、、作抛物线，与轴的另一交点为，点、、的坐标分别为、、．求此抛物线的函数关系式． 35．如图，二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)当时，函数的最小值为1，则a的值为______； (2)在平面直角坐标系内是否存在一点P，使以P、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 36．如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点P仅在线段上运动，如图，求四边形面积的最大值； (3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十三、相似三角形问题 37．如图，以为顶点的抛物线交x轴于，两点，交轴于点，直线的解析式为． (1)抛物线的解析式为______； (2)在轴上是否存在一点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 38．如图，抛物线经过点，与轴交于点，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点为第三象限内的抛物线上的一个动点，连接相交于点，求的最大值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求的取值范围． 39．已知在直角坐标平面中，抛物线经过点，，三点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是点关于抛物线对称轴对称的点，连接、，将抛物线向下平移个单位后，点落在点处，过、两点的直线与线段交于点． ①如果，求的值； ②如果与相似，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11二次函数的应用复习讲义 1.能够读懂实际问题情境，建立二次函数模型，确定自变量的实际取值范围，清楚自变量要符合现实意义。 2.掌握利用二次函数求最值的方法，区分顶点在取值范围内、顶点不在取值范围内两种情况，会求最大利润、最大面积等常见最值问题。 3.会利用二次函数模型解决拱桥、抛球等实物轨迹问题，能建立平面直角坐标系，求出函数解析式并利用解析式求值。 4.能结合图象分析实际问题，根据函数值反求自变量，会处理已知高度求水平距离这类问题。 5.能识别二次函数应用里的分段函数题型，理清不同区间对应的函数关系式。 6.规范解题步骤，会检验结果是否符合题意，区分 “顶点是最值点” 和 “区间端点取最值”，避免忽略自变量取值范围导致出错。 7.可以结合方程、不等式，解决二次函数应用综合问题。 题型 考察方向 难度 题型一 图形问题 ★★ 题型二 图形运动问题 ★★★ 题型三 拱桥问题 ★★ 题型四 销售问题 ★★★ 题型五 投球问题 ★★ 题型六 喷水问题 ★★ 题型七 增长率问题 ★★ 题型八 线段周长问题 ★★★ 题型九 面积问题 ★★★ 题型十 角度问题 ★★★★ 题型十一 特殊三角形问题 ★★★★ 题型十二 特殊四边形 ★★★★ 题型十三 相似三角形问题 ★★★★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：核心通用解题步骤（所有应用题通用模板，答题必写） 1.设变量：根据题意设合适自变量x，明确x代表的实际意义； 2.找等量关系：根据面积、利润、高度、几何相似等关系列出y与x的关系式； 3.整理成二次函数标准形式：y=ax2+bx+c(a≠0)； 4.确定自变量取值范围：结合长度、数量、价格等实际意义，x>0、整数、不超过上限等限制； 5.求顶点横坐标：对称轴x=- 6.判断最值 a>0，开口向上，顶点处为最小值； a<0，开口向下，顶点处为最大值； 7.范围校验：若对称轴x在取值范围内，顶点为实际最值；若不在区间，最值出现在区间端点； 8.作答：结合题意写出完整答案。 知识点02：模型一：几何图形面积最值问题（高频基础题型） 1. 常见图形分类与公式表格 几何模型 题干条件 面积函数推导思路 a符号（最值类型） 靠墙矩形 一边靠墙，篱笆总长固定，垂直墙边长为x 平行墙边长=总长-2x，S=x(总长-2x) a=-2<0，求最大面积 内部隔栏矩形 篱笆中间有平行隔断（多段竖边） 隔断数量决定总边长系数，S=x(总长-nx) a<0，最大值 直角三角形 两直角边和固定，一条直角边为x 另一直角边 = 定值-x，S=(定值-x) a=-<0，最大值 内接矩形（直角三角形内） 矩形一边在直角边上，相似三角形求边长 用相似表示矩形长、宽，乘积得二次函数 a<0，最大值 2. 关键易错点 （1）自变量必须大于 0，边长不能为负数； （2）靠墙题型容易算错平行墙边长（隔断数量决定系数，隔 1 道墙减2x，隔 2 道减3x）； （3）求完顶点后必须校验：对称轴数值不能超过篱笆总长度限制。 3. 典型模板例题 用 40m 篱笆围矩形花圃，一边靠墙，垂直墙边长为x，求最大面积。 解：平行墙边长=40-2x，S=x(40-2x)=-2x2+40x a=-2<0，对称轴x=10，在0<x<20范围内 Smax=200m2 知识点03：模型二：销售利润最值应用题（中考必考核心大题） 1. 基础利润公式（必须背诵） 单件利润 = 实际售价 − 单件进价 总利润W = 单件利润 × 销售数量 2. 两类价格调整题型对比表 题型分类 题干特征 数量变化规律 函数形式特征 降价促销 单价每降m元，销量增加n件 销量 = 原销量+n（x降价金额） a<0，求最大利润 涨价提价 单价每涨m元，销量减少n件 销量 = 原销量-n （x涨价金额） a<0，求最大利润 3. 附加限制条件（高频坑点） 售价不能低于进价； 商品库存有限，销量不能超过库存上限； 价格只能为整数，求出顶点小数时取临近整数对比利润。 4. 标准解题流程示例 西瓜进价 2 元 / 千克，售价 3 元，日销 200kg；每降价 0.1 元，多卖 40kg，求最大利润定价。 设降价0.1x元，单件利润=1-0.1x，销量=200+40x W=(1-0.1x)(200+40x)=-4x2+20x+200 a=-4<0，对称轴x=2.5，对应定价3-0.25=2.75元时利润最大。 知识点04：模型三：抛物线型实际建模（拱桥、隧道、喷泉、建筑） 1. 坐标系建立两种常用方法 方法 1：顶点在原点（最简推荐） 抛物线顶点(0,0)，开口向下，解析式y=ax2 (a<0)，代入地面端点坐标求a。 方法 2：顶点在(h,k) 顶点式y=a(x-h)2+k，适合对称轴不在 y 轴的场景。 2. 三类典型实景考点表格 实景类型 已知条件 常考问题 拱桥 / 隧道 水面宽、拱顶高度、车道高度限制 ①求抛物线解析式；②判断货车能否通行；③求水面上涨后宽度 喷泉 / 抛射小球 抛出高度、落地水平距离 ①最大喷射高度；②水平射程；③特定高度对应的水平距离 建筑轮廓（东方之门） 底部宽度、最高点高度 给定高度求水平跨度 3. 通用解题步骤 （1）建平面直角坐标系（优先顶点放原点简化计算）； （2）标出图像已知点坐标； （3）代入顶点式 / 一般式求a； （4）将高度 / 距离代入解析式，解方程求对应横坐标； （5）结合左右对称计算宽度。 4. 易错提醒 （1）开口向下a一定为负数，容易符号写错； （2）求宽度要取左右两个x值做差，不可只算单侧； （3）货车通行问题：先算车辆对应宽度处拱高，对比车高判断能否通过。 知识点05：模型四：动态几何中的二次函数（压轴难点） 1. 常见载体：直角三角形、矩形、菱形动点 动点沿边匀速运动，设运动时间 / 路程为x，用相似、勾股表示线段长，推导出面积 / 线段长二次函数。 2. 两类函数图像特征 单段动点：完整抛物线（开口向上 / 向下）； 分段动点：分两段，前一段开口向上，后一段开口向下，图像为两段抛物线拼接。 3. 核心考点 求面积S关于路程x的函数； 求面积最大值； 给定面积反求动点位置。 知识点06：最值两大求解方法（答题二选一） 方法 1：配方法（推荐书写步骤） 方法 2：顶点公式法（计算更快） 对称轴x=-，将x代入原式计算最值。 知识点07：自变量取值范围核心判定规则（必考扣分点） 1.长度、价格、销量：x>0； 2.几何动点：运动路程不超过图形边长，0<x<L； 3.销售涨价：售价≥进价，销量≥0； 4.实际物品数量：x为正整数； 5.若对称轴不在取值区间： a<0：区间左端点为最大值； a>0：区间右端点为最小值。 知识点08全节高频易错汇总 1.利润计算混淆涨价 / 降价后销量增减，符号写反； 2.靠墙矩形隔断数量搞错，平行边长列式出错； 3.抛物线建模a正负混淆，开口向下写成正数； 4.求水平宽度只算单侧横坐标，忘记左右相减； 5.忽略自变量取值范围，直接用顶点当实际最值； 6.配方法提取二次项系数后，常数项漏乘系数； 7.面积公式漏乘（三角形题型）； 8.题目要求整数价格 / 长度时，直接使用小数顶点值作答。 题型一、图形问题 1．实际应用：如图，某农场拟建造由甲乙两个矩形组成的羊羔饲养室，饲养室的一面靠9米长的墙AB，其余的部分用栅栏围成甲乙两部分，已知提前准备的建筑材料可以建造24米长的栅栏，则该羊羔饲养室最大面积为多少？ 【答案】羊羔饲养室面积最大为45平方米 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． 设垂直于墙的一边长为米，则平行墙的一边为米，先求出x的取值范围，再根据面积公式建立函数关系式，即可求解最值． 【详解】解：设垂直于墙的一边长为米，则平行墙的一边为米， 根据题意，得：， 解得：． 由题意得， ， 当时，随着的增大而减小， 当时，， 该羊羔饲养室面积最大为45平方米． 2．如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料），设． (1)由题意可知，则_______________（用含的代数式表示）； (2)设矩形羊圈的面积为，请写出与的关系式，并写出的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据栅栏总长列式得出表达式即可； （2）根据矩形面积公式求出与的关系式，根据，及外墙长列不等式组解决即可． 【详解】（1）解：； （2）解：由题意得：， 外墙长且， ， 解得：， 与的关系式为． 3．【数学活动】某中学某节社团课上，老师给每个学生发了一张腰长为的等腰直角三角形硬卡片（如图1，图2中，，），要求学生们利用它裁出一块长方形卡片制作明信片，要求裁出的长方形卡片的四个顶点都在三角形硬卡片的边上，并且裁出的长方形卡片的面积为． (1)小松同学很快完成了自己的设计（如图1），并完成计算，请你求出他裁出的长方形卡片的长和宽． (2)看了小松同学的设计，你能想出不同的设计方案吗？请利用图2大致画出草图，并求出你裁出的长方形卡片的长和宽． (3)如图1的方案中，当x取多长时，裁出的长方形卡片的面积最大？最大值是多少？ 【答案】(1)长方形卡片的长和宽分别为和或和 (2)根据题意画图如下： 长方形卡片的长和宽分别为和． (3)当 cm 时，面积最大，最大值为 ． 【分析】（1）先利用勾股定理和等边对等角得到，，再由矩形的性质得到，则可证明和是等腰直角三角形，得到，设长为，则长为，再根据矩形面积公式列出方程求解即可； （2）先根据题意作图，设长方形的长为，则宽为，再根据矩形面积公式列出方程求解即可； （3）根据，利用二次函数的最值求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵如图，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴和是等腰直角三角形， ∴， 设长为，则长为， 由题意，得， 整理，得， 解得，， ∴，， ∴长方形卡片的长和宽分别为和或和； （2）解：根据题意画图如下： 设长方形的长为，则宽为， 由题意，得， 整理得， 解得，． 经检验，，都符合题意． 当时，， 当时，， ∴长方形卡片的长和宽分别为和． （3）解：设长方形面积为 S， 则，是二次函数且开口向下， 对称轴为 将 代入得 答：当 cm 时，面积最大，最大值为 ． 题型二、图形运动问题 4．如图，矩形中，，，点M以的速度从点B向点C运动，点N以的速度从点C向点D运动．两点同时出发，设运动开始第t秒钟时，五边形的面积为． (1)写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围； (2)当运动多少秒时五边形的面积最小?并求出最小面积． 【答案】(1)； (2)当秒时，S有最小值． 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）先表示出第t秒钟时的长，根据三角形的面积公式即可得到的面积的函数关系式，再用矩形的面积减去的面积即可得到结果； （2）先把配方为顶点式，再根据二次函数的性质即可求得结果． 【详解】（1）解：第t秒钟时，，故，， 故． ∵． ∴； （2）解：， ∵， ∴当秒时，S有最小值． 5．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边向C以的速度移动（不与点C重合），如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动的时间为，四边形的面积为． (1)求y与x之间的函数关系式；写出自变量x的取值范围； (2)当四边形的面积等于时，求x的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先根据，的长度以及点P和点Q的速度求出x的取值范围，再根据代入计算即可得出y与x之间的函数关系式； （2）根据题意得，因式分解法解方程即可求出答案． 【详解】（1）解：，，故， 设运动的时间为，则，， ∴， ∴ ， 即． （2）解：根据题意：， 整理得：， 解得：，， 即当四边形的面积等于时， x的值为或． 6．在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点在轴的负半轴上，点在第二象限，矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．将沿轴向右平移，得到，点，，的对应点分别为． (1)如图①，当经过点时，求直线的函数表达式； (2)设，与矩形重叠部分的面积为； ①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，，用含有的式子表示；并写出的取值范围； ②请直接写出满足时，取值范围是________． 【答案】(1) (2)①，的取值范围；②满足的取值范围是或 【分析】（1）先根据平移和等腰直角三角形得到，则，再利用待定系数法求直线的解析式； （1）①先根据等腰直角三角形得到，，再根据计算面积，最后根据在线段上且在点右边时重叠部分为五边形求取值范围； ②根据运动情况分情况讨论，分别画出图形，根据等腰直角三角形和矩形结合图形求面积，代入解不等式组即可． 【详解】（1）解：∵矩形的顶点， ∴，，，，， ∵，，将沿轴向右平移，得到， ∴，，， 当经过点时，， ∴， ∴， 设直线的解析式为，将，分别代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：由平移得，，，， ①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时，，，，四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴与矩形重叠部分的面积 ， ∵只有当在线段上且在点右边时重叠部分为五边形， ∴， 解得， ∴； ②当时，与矩形重叠部分为三角形，如图③， 此时， ∴， 重叠部分的面积为：， ∵， ∴，整理得， 解得或， 此时结合得； 当时，与矩形重叠部分为三角形，如图④， 此时，， 重叠部分的面积为：， ∵， ∴， 解得， 此时结合得； 当时，与矩形重叠部分为三角形，如图， 此时，， 重叠部分的面积为：，不满足； 当时，与矩形重叠部分为五边形，如图②， 由①可得， ∵， ∴， 解得或 此时结合得； 当时，与矩形重叠部分为矩形，如图， 此时，， 重叠部分的面积为：， ∵， ∴， 解得， 此时结合得； 综上所述，满足的取值范围是或． 题型三、拱桥问题 7．如图是一座廊桥正中间最高的桥拱的示意图，其形状可近似看作抛物线型．工作人员利用无人机经过多次测量，测得桥拱的最高点A到水面的距离为，距离左、右侧桥墩的水平距离均为，已知桥墩露出水面的高度，以所在直线为x轴，垂直于且过最高点A的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)为让游客能有更好的体验，工作人员计划在桥拱上悬挂灯带（灯带利用卡扣固定），使得灯带与水面平行，，且均与水面垂直，为保证安全，要求灯带底部D，G距水面的距离为，当灯带总长度最大时，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，设该抛物线的函数表达式为，再把把代入，进行计算，即可作答． （2）先设，再分别表示，则灯带总长度，再结合二次函数的性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 故设该抛物线的函数表达式为， ∵距离左、右侧桥墩的水平距离均为，已知桥墩露出水面的高度， 即， 把代入，得， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：∵该抛物线的函数表达式为， ∴设， 则， ∵灯带与水面平行，，且均与水面垂直，为保证安全，要求灯带底部D，G距水面的距离为， ∴， ∴灯带总长度， ∵， ∴当时，灯带总长度有最大值， 即， 故的长为． 8．九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践到应用的过程． (1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得一隧道的路面宽为．隧道顶部最高处P距地面，并画出了隧道截面图．建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式； (2)应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．为了确保安全，问该隧道能否让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？并说明理由． 【答案】(1) (2)隧道能让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶．理由如下： 当最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶时， ∴，， ∴将代入解析式得：； ∴， ∴隧道能让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶． 【分析】（1）利用顶点式求出二次函数解析式即可； （2）根据已知条件可知当时，正好是汽车宽度，求出此时抛物线的纵坐标，然后判断是否满足题意即可解答． 【详解】（1）解：根据坐标系可知此函数顶点坐标为，且图象过点， 设抛物线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴． （2）略 9．综合与实践 问题背景：二连跨拱形仓库采用抛物线形拱顶设计，为双跨一体式结构，内部无立柱，空间开阔．采光通风良好，坚固耐用，可适配各类仓储场景．其纵切面如图1所示． 建立模型：如图2，表示水平直线（地面），，表示立柱，且，均垂直于，过点A的竖直直线与交于点O，此时构成拱顶的两段抛物线和、立柱和均关于直线对称．以O为原点，水平直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）． 测量数据：，跨度，拱顶最高点距离地面的高度为． (1)求抛物线的函数表达式，并直接写出抛物线的函数表达式． 问题解决：储物箱纵切面为矩形，长为，高为．以为对称轴向两侧摆放一排储物箱，为保障存放安全，相邻两列储物箱之间的距离均为． (2)若每列放置两个储物箱，请计算最右侧储物箱的右上顶点M与抛物线在竖直方向上的距离． (3)根据安全要求，储物箱上表面任意一点到拱顶的竖直距离不得小于，请问：在保证安全的前提下，这一排最多可以放置多少个这样的储物箱？请直接写出结果． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为；抛物线的函数表达式为 (2) (3)28个 【分析】（1）运用待定系数法可求出抛物线的函数表达式为，根据对称性可得出抛物线的函数表达式为； （2）设y轴右侧可以摆放m列储物箱，根据题意列不等式求解即可； （3）由（2）知，右边仓库可放4列储物箱，求出每列数量分别为3，4，4，3，共14个，同理可求左边仓库也可放14个，共计可放28个． 【详解】（1）解：由题意，得抛物线的对称轴为直线，拱顶最高点距离地面的高度为， ∴抛物线的顶点坐标为； 设抛物线的函数表达式为， 由题意得，点A的坐标为，且点A在抛物线上， ∴， 解得 ∴抛物线的函数表达式为， 由对称得抛物线的函数表达式为； （2）解：设y轴右侧可以摆放m列储物箱，由题意,得， 解得， ∵m为正整数，且取最大值， ∴， 此时点M的横坐标为， 将代入， 得， ∴点M与抛物线在竖直方向上的距离为； （3）解：由（2）知，右边仓库可放4列储物箱， 由题意得，第一列储物箱离的距离为， 当时，， （个）余1.08米， 同理可求第二列4个， 根据对称性，第三列4，第四列3个， 所以，这个仓库可摆放（个）， 同样左边的仓库也可摆放14个储物箱， 共计可摆放（个）储物箱． 题型四、销售问题 10．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于．经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，它的图像如图所示． (1)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)记商场销售该服装获得的利润为元，试写出利润与销售单价之间的函数关系式； (3)销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润？ 【答案】(1)， (2) (3)销售单价定为90元时，商场可获得最大利润 【分析】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）设与的函数关系式为，然后由图像可把点代入进行求解即可； （2）根据（2）及利润=单个利润×总的销售量即可求解； （3）由（2）结合二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为，由题意， 得，解得， 与的函数关系式为， 成本为60元，获利不超， ； （2）解：由题意，得： ； （3）解：由（2），得， ， 二次函数图像开口向下，对称轴为直线， 当时，有最大值900， 答：销售单价定为90元时，商场可获得最大利润． 11．某公司生产一种产品，成本为每件30元．当售价为50元/件时，每天可售出200件.经调查发现：售价每降低1元，每天可多售出20件．设每件售价降低x元（），每天的销售量为y件，每天的利润为元． (1)直接写出与的函数关系式； (2)求与的函数关系式，并求当为何值时最大，最大利润是多少； (3)若该公司要求每天至少售出300件，此时售价应定为多少元可使利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（） (2)（）；当时最大，最大利润为元 (3)售价定为元时利润最大，最大利润为元 【分析】（1）根据销量随降价的变化规律列函数关系式即可； （2）利用总利润、单件利润、销售量的关系构建二次函数，再结合二次函数性质求最大值即可； （3）先由销量限制确定x的取值范围，再根据二次函数的增减性求最大利润即可． 【详解】（1）解：∵ 原销量为200件，售价每降低1元多售出20件，降价x元， ∴每天的销售量为y 与的函数关系式，即（）． （2）解：∵ 单件利润为元，销量为件， ∴ （）， ∵， ∴ 抛物线开口向下，函数有最大值． 对称轴为， ∵ ， ∴ 当时，W取得最大值． 最大值为（元）． （3）解：由题意得，即，解得， 又∵ ， ∴ ， ∵开口向下，对称轴为， ∴在范围内，W随x的增大而减小． ∴当时，W取得最大值，最大值为4500元． 此时售价为（元）． 答：售价应定为45元时利润最大，最大利润为4500元． 12．今年以来，我省接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数2月份为4万人，4月份为万人． (1)若设月平均增长率相同，则该景区游客人数平均每月增长百分之几？ (2)若该景区仅有两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示： 购票方式 甲 乙 丙 可游玩景点 A B A和B 门票价格 100元/人 80元/人 160元/人 据预测，5月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有3万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票． ①若丙种门票价格下降10元，求景区5月份的门票总收入； ②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区5月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？ 【答案】(1) (2)①898万元；②当丙种门票价格降低24元时，景区5月份的门票总收入有最大值，为917.6万元 【分析】（1）设该景区游客人数的月平均增长率为，则三月份的游客为万人，四月份的游客为万 人，再列方程，解方程可得答案； （2）①分别计算购买甲，乙，丙三种门票的人数，再计算门票收入即可得到答案； ②设丙种门票价格降低元，景区5月份的门票总收入为万元，再列出与的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解最大利润即可得到答案． 【详解】（1）解：设该景区游客人数的月平均增长率为， 由题意，得， 解这个方程，得（舍去） 答：该景区游客人数平均每月增长率为． （2）解：①由题意，得： （万元）， 答：景区5月份的门票总收入为898万元． ②设丙种门票价格降低元，景区5月份的门票总收入为万元， 由题意，得： ， ， 当时，取最大值，为元，即万元． 答：当丙种门票价格降低24元时，景区5月份的门票总收入有最大值，为万元． 题型五、投球问题 13．2025年世界人形机器人运动会在北京举行，其中“篮球投篮人机挑战赛”成为热门项目．篮球飞行的轨迹可近似看作抛物线．如图，机器人站立点为，篮球抛出点为，当篮球运行的水平距离为时，达到最大高度．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若篮球与轴水平距离处的竖直高度满足，视为有效投篮，请你通过计算说明机器人此次投篮是否有效？ 【答案】(1) (2)机器人此次投篮有效 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、求二次函数解析式、二次函数的应用等知识点，求得函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）求出的函数值，若在范围内，则投篮有效；否则无效． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ∴机器人此次投篮有效． 14．一小球从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达最高点的坐标为． (1)求抛物线的函数解析式（不写自变量x的取值范围）； (2)求小球在斜坡上的落点A的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由最高点坐标知抛物线顶点为且经过原点，用顶点式设解析式、代入原点求待定系数； （2）落点既在抛物线上又在斜坡所在直线上，把两式联立求解（舍去表示抛出点的解）即可． 【详解】（1）解：由题意，抛物线经过原点，且最高点（顶点）坐标为， 设抛物线的解析式为． 抛物线经过点， ，即，解得． 抛物线的解析式为，化为一般式得． （2）解：设落点的坐标为，点既在抛物线上，也在斜坡所在直线上，联立得 ， 移项整理得，即． 解得（舍去），． 当时，． 小球在斜坡上的落点的坐标为． 15．投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分．如图，某人掷铅球时，铅球距地面的高度与距投掷点的水平距离之间的函数表达式为． (1)当投掷的距离为时，求的值； (2)当时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据可知当投掷的距离为时，铅球落地，即时，，然后将点代入二次函数解析式即可求出的值． （2）根据函数图象，分三种情况求解，即对称轴在4的右侧；对称轴在2的左侧；对称轴在2和4之间，然后结合二次函数的图象和性质分别求出最大值和最小值，结合已知条件列出方程求解并进行取舍即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可知，当投掷的距离为时，铅球落地，即时，， 将点代入，得：， 解得． （2）解：， ∴抛物线的对称轴直线为， 分三种情况：①当对称轴时，即， 当时，y随着x的增大而增大， 即当时，， 当时，， 根据题意可知：， 解得， ②当对称轴时，即，在时，y随着x的增大而减小， 此时即当时，， 当时，， 根据题意可知：， 解得，（舍去） ③当时，即， 当时离对称轴直线较时离对称轴直线远时， 则当时，， 即当时，， 根据题意可知：， 解得(舍去)或． 当时离对称轴直线较时离对称轴直线近时， 则当时， 当时，， 根据题意可知：， 解得（舍）或（舍）． 当与离对称轴直线一样近时， 则， 解得， ∴当时， 当或时， 此时，故舍去； 综上：或． 题型六、喷水问题 16．2023年5月8日，国产大飞机C919商业首航完成。12时31分在北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”）．如图1，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图2，当两辆消防车喷水口A，B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面20米，喷水口A，B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米（两条水柱的形状及喷水口，到地面的距离均保持不变，按照图中所示建立平面直角坐标系），此时两条水柱相遇点距地面多少米？ 【答案】消防车后退10米后两条水柱相遇点距地面19米 【分析】本题考查二次函数与实际问题，根据题干的平面直角坐标系，给出点、的坐标，设设经过点A，B，H的抛物线的解析式为，将点、的坐标代入解析式求出解析式，再利用平移的规律给出经过点，的抛物线解析式，得出的纵坐标即可解题． 【详解】解：设经过点A，B，H的抛物线的解析式为， 根据题意得，，将其代入得： 解得，， ， 经过点，的抛物线是由抛物线向右平移得到的， 经过点，的抛物线的顶点为， 经过点，的抛物线的解析式为， 将代入得，， 消防车后退10米后两条水柱相遇点距地面19米． 17．第33届奥运会上我国网球选手郑钦文荣获女子单打冠军，创造了历史，各地迅速掀起网球训练热潮．某网球训练营教练自制一种网球发球器（图①），已知该发球器的网球出口C离地竖直高度米．如图②，网球在最大力量和最小力量发射出去的路线可以抽象为两条抛物线的一部分，最小力量发球得到的抛物线可以看作由最大力量发球得到的抛物线向左平移得到，最大力量发球得到的抛物线最高点D离出球口的水平距离为2米，高出出球口0.5米． (1)求最大力量时，网球射出去得到的抛物线的函数解析式，并求出网球射出的最大射程； (2)求最小力量时，网球射出的最大射程． 【答案】(1)，网球射出的最大射程为6米 (2)最小力量时网球射出的最大射程为2米 【分析】（1）根据题意可得点的坐标，把对应的函数解析式设为顶点式，利用待定系数法求出对应的函数解析式，再求出时的值即可得到答案； （2）根据对称性得到点的对称点为，那么最小力量发射出网球得到的抛物线是由最大力量发射出网球得到的抛物线向左平移4米得到的，据此可得答案． 【详解】（1）解：由题意，得是最大力量时网球发射出去得到的抛物线的顶点，则设其函数解析式为． ∵抛物线经过点， ， ， ∴最大力量时网球发射出去得到的抛物线的函数解析式为． 当时，， 解得，（舍去）， ∴网球射出的最大射程为6米． （2）解：∵最大力量时网球发射出的抛物线的函数解析式为， ∴对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴最小力量发射出网球得到的抛物线是由最大力量发射出网球得到的抛物线向左平移4米得到的， ∴将点A向左平移4米得到点B的坐标为，即最小力量时网球射出的最大射程为2米． 18．某地消防中队在一座废弃高楼上开展消防技能比赛，在距离地面的点处和其正下方的点处各设置了一个火源，消防员站在水平地面上的点处拿着水枪向处喷水（水流出口与地面的距离忽略不计），水流路径为抛物线的一部分．据录像资料显示，水流路径的最高点到高楼的水平距离为，到水平地面的距离为．待处火熄灭后，消防员前进至点处，调整水枪，使水流刚好落在点处．已知点到高楼的距离为，且两次灭火时水流路径的最高点到高楼的水平距离相等，建立如图所示的平面直角坐标系，其中水流的高度为，水流到高楼的水平距离为． (1)求消防员灭处的火源时，水流路径所在抛物线的解析式； (2)若消防员灭、两处的火源时，水流路径所在抛物线的形状相同，求、两点之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，设顶点式，利用待定系数法将代入即可得到答案； （2）根据题意，设第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为，把代入求出解析式，再求出点的坐标，即可求解； 【详解】（1）解：由题意可知消防员灭处的火源时水流路径所在抛物线的最高点的坐标为，， 则设消防员灭处的火源时水流路径所在抛物线的表达式为， 将代入得， 解得， 故消防员灭处的火源时水流路径所在抛物线的表达式为； （2）消防员灭、两处的火源时水流路径所在抛物线的形状相同，且两次灭火时水流路径的最高点到高楼的水平距离相等， 可设灭处的火源时，水流路径所在抛物线的表达式为， 抛物线过点， ， 解得， 故灭处火源时，水流路径所在抛物线的表达式为， 令，则， ， ． 题型七、增长率问题 19．某市为打造“绿色城市”，积极投入资金实施园林绿化工程．已知去年投入资金1500万元，计划从今年起，连续三年每年投入资金比上一年增加相同的百分率x．写出明年将投入的资金量y（单位：万元）关于每年增加的百分率x的函数解析式． 【答案】 【详解】解：∵去年一年投入资金1500万元，连续三年每年投入资金比上一年增加相同的百分率x， ∴明年将投入的资金量． 20．“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的万人增加到2023年的50万人．设该市参加健身运动人数的年平均增长率为x． (1)用含x的代数式表示2023年参加健身运动的人数y（单位：万人），并化为二次函数的一般形式； (2)根据题意，求该市参加健身运动人数的年平均增长率． 【答案】(1)含的代数式为，二次函数一般形式为 (2)该市参加健身运动人数的年平均增长率为 【分析】（1）初始量为，平均增长率为，经过次增长后的量为，则满足等量关系，再化为一般式即可； （2）令，则，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年平均增长率为x， 由题意得：2023年参加健身运动的人数， ∴二次函数一般形式为 （2）解：由题意得：，则， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴该市参加健身运动人数的年平均增长率为． 21．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应涨价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【答案】(1) (2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元 【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可； ②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可． 【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 题型八、线段周长问题 22．如图，已知抛物线与一直线相交于两点，与y轴交于点N．其顶点为D．    (1)求抛物线及直线的函数表达式； (2)设点，求使的值最小时m的值； (3)若点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点P作轴交于点Q，求的最大值． 【答案】(1)抛物线为，直线AC为 (2) (3)的最大值为． 【分析】（1）根据待定系数法即可求得结果； （2）作直线，作点D关于直线的对称点，得坐标为，连结交直线于点M，此时三点共线时，最小，即最小，利用待定系数法求出直线的函数关系式，进而求出求出m的值； （3）设，则，表示出，根据二次函数的性质即可求得的最大值． 【详解】（1）解：由抛物线过点得 ， 解得， ∴抛物线为； 设直线为过点，得 ， 解得， ∴直线为； （2）解：∵， ∴， 令，则， 解得或，即抛物线与x轴的另一个交点为， 作直线，作点D关于直线的对称点， 得坐标为，如图，    连接交直线于点M， 此时三点共线时，最小，即最小， 设直线的关系式为：， 把点和代入得， 得，， ∴直线NM的函数关系式为：， 当时，， ∴； （3）解：如图，    ∵轴交于点Q， ∴设，则， ∴ ， ∵， ∴有最大值，最大值为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数待定系数法，利用函数关系式求最值，利用对称知识求最值，正确地作出辅助线是解题的关键． 23．如图，二次函数的图象与轴交于A、B两点，其中A点坐标为，与轴相交于点，另外抛物线经过点，M为它的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点N是抛物线对称轴上的一个动点，当 最小时，求N点的坐标； 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线对称轴为直线，当点N、B、C三点共线时，值最小，求出直线表达式为，进而求出结论； 【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点，，， 则， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴此抛物线对称轴为直线，顶点， ∵二次函数的图象与轴交于A、B两点，， ∴由对称性得：， ∵点N是抛物线对称轴上的一个动点， ∴， ∴当点N、B、C三点共线时，值最小， 如下图： 设直线表达式为，由题意得： ， 解得：， ∴直线表达式为， ∴当时，， ∴． 24．二次函数的图象与直线相交于、两点（如图），点在y轴上，过点作轴，垂足为． (1)点是二次函数图象上一点（点在上方），过作轴，垂足为点，交于点，求的最大值； (2)在（1）的条件下，点在何位置时，与相互垂直平分？并求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设M，N横坐标为，利用纵坐标之差表示铅垂线段，构造二次函数，配方法求最值；注意自变量范围，对称轴在区间内． （2）由，且、互相平分，可证四边形为平行四边形；由平行四边形对边相等列方程求出候选横坐标，再结合条件，利用勾股定理验证邻边是否相等，筛选出符合菱形要求的解． 【详解】（1）解：把代入直线得， 即； 已知，轴， 将代入直线解析式，得 ，即， ． 设点M、N的横坐标为， ，． 在上方， ， ∴抛物线开口向下，自变量取值范围为，对称轴在此区间内， 当时，取得最大值． （2）连接，， 轴，轴， ． 又与互相平分， 四边形是平行四边形． 由平行四边形对边相等，得： 整理得， ， 解得． ①当时， ，，， ，， 由勾股定理，， ，平行四边形邻边相等，是菱形，满足，符合题意． ②当时， ，，， ，， ，邻边不相等，对角线不垂直，舍去． 综上，满足条件的点坐标为． 题型九、面积问题 25．已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式及点坐标； (2)是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值及此时点的坐标； 【答案】(1)，； (2)面积的最大值为，． 【分析】（）直接由待定系数法求出二次函数的解析式，再令，解方程求解即可； （）过点作轴的垂线交于点，连接、，先求出直线解析式，则，当取最大值时，的面积最大，设，则，故有，利用二次函数的性质求最值即可解答； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数与几何图形的综合等，熟练掌握知识点并能够综合运用知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：把，代入得：， 解得， ∴二次函数的表达式为， 当时， ， 解得，， ∴； （2）解：过点作轴的垂线交于点，连接、， 设直线的表达式为， 把、代入得：， 解得， ∴直线的表达式为， 则， ∴当取最大值时，的面积最大， 设，则， ∵点位于第三象限， ∴， ， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时，点的坐标为． 26．如图，点P是抛物线在第四象限内的一点，点A的坐标是，设点P的坐标是． (1)求的面积S关于变量x的关系式； (2)当时，求的面积； (3)当的面积为2时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】（1）首先用x表示出点P的纵坐标，然后利用三角形的面积计算方法确定的面积S与x的关系式即可； （2）根据得P点横坐标x，代入（1）中函数关系式计算可得； （3）将代入计算即可得到x，进而即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：， ， 在第四象限且在抛物线上， ∴点P为， 到x轴距离为， ∴； （2）解：当时，此时点P在垂直平分线上， ∴中点横坐标为1， ∴当时，， ∴面积为1； （3）解：∵， ∴， ， ∴， ∴， ． 27．如图，已知二次函数的图象对称轴是直线，与轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C，且． (1)求二次函数的表达式； (2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段交轴于点D，的面积是的面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数图象的对称轴是直线求出，再求出且，得到，则，代入函数解析式求出，即可得到函数解析式； （2）设点P的坐标为．根据题意得到，由的面积是的面积的2倍，得到，则，进一步求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象对称轴是直线， ∴ 解得， 当时，， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于负半轴， ∴， ∴． ∵点在轴的负半轴， ∴， 把代入得，， 即， ∴， ∵， ∴ 解得 ∴ （2）解：设点P的坐标为． ∵点P在第二象限， ∴ 由（1）得到， ∵，线段交轴于点D，的面积是的面积的2倍， ∴， 当时， 即， 解得 ∵ ∴， ∴点P的坐标为． 题型十、角度问题 28．已知：如图，抛物线内的的三个顶点都在抛物线上：其中点为抛物线的顶点，点的坐标为，点的坐标为． (1)_______． (2)在轴上有一点，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】（1）根据待定系数法得到抛物线的解析式，进而得到点的坐标，过点作于点，过点作于点，于点，通过证明四边形为矩形，进而根据勾股定理证明，证明； （2）根据当点在的上方时和当点在的下方时，分情况讨论，通过证明边的关系得到点的坐标． 【详解】（1）解：点，点都在抛物线上， ， ， 抛物线的解析式为， 令，则， 解得：，， ， ， ， ， 如图1，过点作于点，过点作于点，于点，则， ． ， 四边形为矩形， ， ， 在中，， 在中， 在中， ， ， 为直角三角形， ； （2）解：如图2，①当点在的上方时，设与交于点， 由（1）知， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 设直线的解析式为，代入，，得：， ， 直线的解析式为， 令，则， ； ②如图3，当点在的下方时， ， ， 设直线的解析式为， 代入，得：， ， 直线的解析式为， 设直线的解析式为，代入，得：， ， 直线的解析式为， 令，则， ， 综上，当时，点的坐标为或． 29．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)是抛物线上一动点（不与点，，重合），作轴，垂足为，连接． ①若点在第三象限，且，求点的坐标； ②当点在轴左侧抛物线上时，直线交直线于点，若，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②点的坐标为或 【分析】（1）将，两点坐标代入抛物线的解析式，进而求得结果； （2）①过点作于点，可得为等腰直角三角形，设，根据等腰直角三角形的性质列方程即可解答；②分点在点的左边或右边，根据面积公式列方程即可解答． 【详解】（1）解：把，代入得： ，解得， ； （2）解：①如图，过点作于点， ， 为等腰直角三角形， ， 设，则， 点的纵坐标为， 可得， 解得，（舍去）， ； ②令， 解得，， ， ， 设直线的解析式为， 把代入可得，，解得， 直线的解析式为， 当点在轴左侧且在点右侧时，如图， 设，则，， ， 整理得， 解得，（舍去）， ； 当点在轴左侧且在点左侧时，如图， 设，则，， ， 整理得， 解得，（舍去）； ， 综上，点的坐标为或． 30．抛物线与直线交于点和点H，，直线交直线于点A，交抛物线于点B． (1)求c和k的值（用含m的代数式表示）； (2)过点A作x轴的平行线交抛物线于M，N两点（M在N的左侧），交y轴于点C．求的取值范围； (3)在（2）的条件下，过点B作x轴的平行线，与抛物线另一个交点为D，若点E是线段的中点，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，理由如下： 连接， 由（2）得，，，． 抛物线的对称轴为直线． 轴， ∴点B，D关于直线对称． 为中点， ． 设抛物线的对称轴与交于点Q，则． ． ． 又∵M，N关于直线对称， ． ． ，， ，． ． ． ． 【分析】（1）把分别代入和，即可求得答案； （2）由题意可得，，，，求得，再根据不等式的性质即可求得的取值范围； （3）连接，设抛物线的对称轴与交于点Q，则，根据中点得到，则，，即可证明，得到，则． 【详解】（1）解：把分别代入和， 得，， ，； （2）解：由（1）得，直线解析式为，抛物线解析式为． 当时，． ． 当时，． ． ， ∴点B在点A的上方． ． 当时，． 解得，． ，点M在点N的左侧， ，． ． ． ， ， ， ． （3）略 题型十一、特殊三角形问题 31．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，顶点为点． (1)求点和点的坐标（用含的式子表示）． (2)①因为时，，所以，取任意实数，抛物线恒过定点．受此启发，请你求出该抛物线恒过的另外一个定点（记为点）的坐标． ②若是直角三角形，求的值． (3)若抛物线与轴交于，两点，且，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)①；②或 (3)或 【分析】（1）根据二次函数的性质求解即可； （2）①当时，，由此可求； ②求出，，，再分三种情况讨论：当为斜边时，；当为斜边时，此时不存在；当为斜边时，； （3）抛物线与轴的左交点（不妨设为点）在点的右侧，抛物线与轴的石交点（不妨设为点）在点的左侧，再进行分类讨论即或 结合二次函数的图象性质，进行分析作答即可． 【详解】（1）解：当时，， ， ， ， （2）解：①当时，， ； ②，，， ，，， 当为斜边时，，解得； 当为斜边时，，此时不存在； 当为斜边时，，解得； 综上所述：的值为或； （3）解：，对称轴为， 抛物线与轴的左交点（不妨设为点）在点的右侧，抛物线与轴的石交点（不妨设为点）在点的左侧， 当时，顶点在轴下方 即 解得 当时，顶点在轴上方 即， 解得， 综上所述，或 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，解不等式组，勾股定理，综合性较强，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 32．如图，抛物线与轴相交于点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在抛物线上，求的面积． (3)在抛物线上有一点，过点作轴的垂线交轴于点，若是等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）先求出点的坐标，再由求解即可； （3）由题意设，由题意得，轴，则，，据此可得方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点和点， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图， ∵点在抛物线上 ∴把点代入，可得 ∴ ∵，， ∴ ∴ （3）解：由题意设， 由题意得，轴， 则， ∴ ∴，解得或（与点横坐标相同，舍去） ∴； 或，解得或（与点横坐标相同，舍去） ∴ 综上：点的坐标为或． 33．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是该抛物线上位于第一象限内的一动点，连接．当的面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值； (3)若点M是对称轴上一点，是否存在点M，使得是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)P点坐标为，最大值为； (3)存在，满足条件的M点坐标为，，，． 【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）过点P作轴于点F，交于点E，根据题意得出，利用待定系数法确定直线解析式为，设，，确定，结合图象利用，列出函数关系式，利用二次函数的性质即可求解； （3）根据题意得出对称轴为，，再由等腰三角形分三种情况分析：①当时，②当时，③当时，结合图象利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点， ， 解得： ∴抛物线解析式为； （2）过点P作轴于点F，交于点E， ∵， ∴当时，， ∴， 设直线解析式为， ∵， ， 解得， ∴ 根据题意设，， ∴， 由图象得：， ∴， 整理得：， ， ∴当时，S有最大值，最大值为，此时P点坐标为； （3）存在， 由（1）得， ∴对称轴为， ∵， ∴， ∵是等腰三角形， ∴分三种情况分析： ①当时，如图，设对称轴l与交于点E， ∴， ， ， 解得：， ∴M点的坐标为或， ②当时，则为的垂直平分线， ∴M与E重合， ∴M点的坐标为； ③当时，如图，设M点的坐标为， 则， ， 解得：， ∴M点的坐标为， 综上可知，满足条件的M点共四个，其坐标为，，，． 题型十二、特殊四边形 34．如图，四边形是平行四边形，过点、、作抛物线，与轴的另一交点为，点、、的坐标分别为、、．求此抛物线的函数关系式． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质得出点的坐标，进而待定系数即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，点、、的坐标分别为、、． ∴， ∴， 将代入， 即， 解得：， ∴抛物线的解析式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的性质，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 35．如图，二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)当时，函数的最小值为1，则a的值为______； (2)在平面直角坐标系内是否存在一点P，使以P、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或； (2)存在，或或 【分析】（1）先求出时x的值，再结合二次函数的性质作答即可； （2）根据平行四边形对角线互相平分，分三种情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：当时， 解得：， ∵， ∴对称轴为直线，y最小值为0， 要使函数的最小值为1，则或， 即或； （2）解：令，则， 令，则， ∴， ∵以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形， 设， 当为对角线时， ， 解得：， ， 当为对角线时，则 ， 解得：， ， 当为对角线时，则 ， 解得：， ， 综上所述，P点坐标为或或． 36．如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点P仅在线段上运动，如图，求四边形面积的最大值； (3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为 (3)点Q的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，分别用含的代数式表示出、的坐标，进而可得，再根据，构建二次函数，然后利用二次函数的性质求最大值； （3）分四种情形：当点M在线段上，，四边形是菱形时；当是菱形的对角线时，四边形是正方形；当点M在延长线上时，，四边形是菱形时；当点M在延长线上时，，四边形是菱形．分别求解即可． 【详解】（1）解：把，代入中，得， 解得，， ∴这个二次函数的表达式为y； （2）解：对于二次函数的表达式，令，则， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入，得 ，解得， ∴直线的表达式为， 设， ∵轴． ，， ∴ ∴ ， ∴当时，有最大值； （3）解：∵，，，， ∴，，，， 分以下三种情况： ①如图中，当点M在线段上，，四边形是菱形时． ，， ， 解得或（舍去） ． ， ， ． ②如图，当是菱形的对角线时， 根据菱形的性质可得， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ， 解得或0（舍去）， ∴． ③如图，当点M在延长线上时，，四边形是菱形时， 则有， 解得或0（舍去）， ， ， ． ④如图，当点M在延长线上时，，四边形是菱形，此时，，， 则有， 解得或， 都不满足， 综上所述，满足条件的点Q的坐标为或或． 题型十三、相似三角形问题 37．如图，以为顶点的抛物线交x轴于，两点，交轴于点，直线的解析式为． (1)抛物线的解析式为______； (2)在轴上是否存在一点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】（1）求出点坐标为，点坐标为利用待定系数法求抛物线解析式即可． （2）分类讨论点的坐标，根据三角形相似对应边成比例计算边长，即可求出点坐标． 【详解】（1）解：∵直线的解析式为， ∴当时，，当时，， ∴点坐标为，点坐标为， ∵抛物线经过点和点， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为． （2）解：存在点使得以，，为顶点的三角形与相似， 由（1）可知， ∴， ∴点的坐标为， ∵点坐标为，点坐标为， ∴，，， ，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， 如解图，连接， 把代入， 解得或， ∴点的坐标为， ∴， ∵点坐标为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当点和点重合时， ∴点的坐标为． 过点作，交轴于点，如图， 则为直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ，，， ∴， 解得， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为． 综上所述，当点的坐标为或时，以，，为顶点的三角形与相似． 38．如图，抛物线经过点，与轴交于点，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点为第三象限内的抛物线上的一个动点，连接相交于点，求的最大值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设，求出直线得表达式，过点作轴交于，进而得到，再证，得到，再利用配方法求最值即可； （3）当时，记函数的函数值为，由题意可得抛物线开口向上，且对称轴，再分三种情况，分别利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：把代入表达式，得， 解得， 函数的表达式为：； （2）解：二次函数的表达式为，令，则， ∴， 设，直线的表达式为， 把代入，得， 解得， 直线的表达式为， 如图，过点作轴，交于，则， 点， ， ， ， ， ， 当时，的最大值为； （3）解：当时，记函数的函数值为， ，抛物线开口向上，且对称轴，顶点， ①当时，，， ，即，解得， ； ②当时，，， ，符合题意； ③当时，，， ， 解得，，（舍）； 综上所述，n的取值范围为． 39．已知在直角坐标平面中，抛物线经过点，，三点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是点关于抛物线对称轴对称的点，连接、，将抛物线向下平移个单位后，点落在点处，过、两点的直线与线段交于点． ①如果，求的值； ②如果与相似，求的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）已知抛物线与轴两个交点，设交点式，代入点坐标求出参数，得到抛物线表达式． （2）①先求出抛物线对称轴与点坐标，根据平移得到点坐标，求出直线与直线解析式，联立求交点，再利用距离公式或者坐标线段比求出．②先判断的角度特征，结合公共角，分两种相似情况讨论，利用相似三角形对应边成比例建立方程，求解的值． 【详解】（1）解：抛物线过，， 设． 抛物线过， ， ， ． ． （2）解：①， 对称轴为直线． ，是关于的对称点， ． 向下平移个单位， ． ， ． 设直线解析式：，代入，． ， ，． ∴直线解析式：． 设直线解析式：，代入，． ， ，． ∴直线解析式：． 联立， ， ， ，． ． ． ． ． ②，，， ，，． ， ∴与相似分两种情况． 情况一：，如图， ， ， ， ． 设直线为， ∵直线：过，， ∴， 解得，， ∴直线：， 联立， ∴， ， 当时，． ∴， ∴． ，且在线段上，， ． ， ， ， 解得． 情况二：如图，当时， ， ． ∴点与点重合，此时与轴重合， ∵， ∴, , 综上，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数解析式求解、抛物线的对称性、一次函数解析式、坐标求线段长度、相似三角形的判定与性质，熟练掌握函数图像上点坐标特征、分类讨论相似三角形对应顶点，联立一次函数求交点是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $