专题一·期中综合复习·基础巩固讲义（第一～四章）（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题一·期中综合复习·基础巩固讲义 （第一~四章）（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握一元二次方程的概念与四种解法，会选用合适方法求解 · 会用根的判别式判断根的情况，会用根与系数关系求值 · 掌握矩形、菱形、正方形的性质与判定方法 · 理解成比例线段，掌握相似三角形的判定与性质 · 认识位似图形，掌握平行投影、中心投影与三视图 📚 知识梳理 ☆ 1.一元二次方程 定义：只含一个未知数，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0的整式方程 解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 根的判别式：Delta=b2-4ac，Delta>0两个不等实根，Delta=0两个相等实根，Delta<0无实根 根与系数关系：x1+x2=-，x1x2= 概念辨析例题：判断方程 x2-3x+2=0 根的情况，并求两根之和与两根之积 答案：Delta=(-3)2-4×1×2=1>0，有两个不相等的实数根；x1+x2=3，x1x2=2 解析：先用判别式判断根的情况，再由根与系数的关系直接求两根之和与两根之积。 ☆ 2.特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形） 矩形：四个角都是直角，对角线相等，是轴对称图形也是中心对称图形 菱形：四条边相等，对角线互相垂直平分且平分每组对角 正方形：四边相等、四角为直角，对角线相等且互相垂直平分 中点四边形：连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形 概念辨析例题：菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，求菱形ABCD的边长 答案：边长为5 解析：菱形对角线互相垂直平分，则半对角线分别为3和4，由勾股定理得边长==5。 ☆ 3.图形的相似 成比例线段：四条线段a、b、c、d满足a:b=c:d时称成比例线段 相似三角形判定：两角对应相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例 相似三角形性质：对应角相等、对应边成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 位似图形：对应点连线都经过同一点（位似中心）的两个相似图形 概念辨析例题：若△ABC∽△DEF，相似比为2:3，△ABC的周长为8，求△DEF的周长 答案：△DEF的周长为12 解析：相似三角形周长比等于相似比，设△DEF周长为x，则8:x=2:3，解得x=12。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0） 二次项系数不能为0 根的判别式 Delta=b2-4ac Delta>0两不等根，=0两等根，<0无实根 矩形 四角为直角，对角线相等 判定：平行四边形加一个直角 菱形 四边相等，对角线垂直平分 对角线互相垂直是判定关键 正方形 四边相等、四角为直角 兼具矩形与菱形的全部性质 相似三角形 对应边成比例、对应角相等 面积比等于相似比的平方 位似图形 对应点连线交于位似中心 位似比即相似比 ⚠️ 核心考点 【考点1】一元二次方程的概念与解法（第1-15题） · 先化为一般式再选择解法，直接开平方→配方法→公式法→因式分解 · 因式分解法优先：观察能否提公因式或套用乘法公式 · 求根前先用判别式判断根的情况 1．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如表是小钰同学求代数式（，为常数）的值的情况．根据表中的数据可知，关于的一元二次方程的实数根是（   ） … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了判断是否是一元二次方程的解．通过观察表格数据，找到使代数式的值为2的值，这些值即为方程 的实数根，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，方程可化为， 由表格可知，当 或 时，， ∴方程的实数根为，， 故选：B 2．（25-26八年级下·安徽六安·期中）一元二次方程的解是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】使用因式分解法解题，先移项变形，提取公因式分解后，即可求出方程的解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）用配方法解方程，将方程变为的形式，则，的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】按照配方法的步骤将方程整理为的形式，对比即可得到，的值． 【详解】解：∵ ， 移项得 ， 配方，两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得 ， 对比，可得，， 故选：D． 4．（24-25九年级上·河北张家口·期末）用公式法解方程时，求根公式中的a，b，c的值分别是（    ） A．1，2，3 B．1，，3 C．1，2， D．0，， 【答案】C 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法，方程整理为一般形式，找出a，b，c的值即可． 【详解】解：将方程整理得：， 这里， 故选：C． 5．（25-26八年级下·陕西西安·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】根据一元二次方程的定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得答案． 【详解】解：A. 方程的未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意； B. 方程只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程，符合题意； C. 方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D. 方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意． 6．（25-26八年级下·山东淄博·期末）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】一元二次方程有实数根需满足两个条件：一元二次方程二次项系数不为0，方程有实数根时根的判别式大于或等于0，求解两个条件后取交集即可得到结果． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数不为0，即， 解得； ∵原方程有实数根 ∴， 展开化简得， 解得， 综上，的取值范围是且． 7．（22-23八年级下·浙江丽水·阶段检测）已知m是的一个解，则__________． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】利用一元二次方程解的定义，得到的值，再整体代入所求代数式计算即可得到结果． 【详解】解 ：是的一个解 ， 将代入方程得 ， ∴， ∴原式． 8．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）将一元二次方程化为一般形式后，若常数项为，则一次项的系数为_____． 【答案】 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键；因此此题可根据“一元二次方程的一般形式为，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项”进行求解即可． 【详解】解：将一元二次方程化为一般形式为， 所以一次项系数为． 故答案为． 9．（23-24八年级上·上海·单元测试）若二次三项式是一个完全平方式，则_____． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、求完全平方式中的字母系数 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，完全平方式，根据完全平方式的结构可知，当二次项系数为1时，常数项等于一次项系数一半的平方，据此可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵二次三项式是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（2026·山东滨州·二模）已知是关于的一元二次方程的解，则________． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】将方程的解代入原一元二次方程，求出的值，再对所求代数式变形计算即可． 【详解】解：把代入方程得， 整理得， ． 11．（23-24九年级上·福建泉州·阶段检测）若关于x的一元二次方程的其中一根为，则关于x的方程必有一根为_______． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，结合已知条件得到，求得x即可． 【详解】解：整理得， ∵关于x的一元二次方程的其中一根为， ∴关于x的方程中，， 解得：． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·陕西·期末）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为_______． 【答案】14 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先利用配方法将一元二次方程化为，从而得到的值即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 13．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元二次方程——配方法、公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了直接开方法解一元二次方程，公式法解一元二次方程， （1）根据直接开方法求出解即可； （2）先求出，再根据求出解即可． 【详解】（1）解：整理，得， 开方，得， ∴或， 则； （2）解：， 由， 可知， ∴， ∴． 14．（24-25九年级上·河南许昌·阶段检测）已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c满足，求满足条件的一元二次方程． 【答案】满足条件的一元二次方程为或 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、一元二次方程的定义、绝对值非负性 【分析】本题考查了一次二次方程的定义和非负数的性质，几个非负数的和为0时，那么这几个非负数分别等于0．根据非负数的性质列式求出a，b，c的值，然后代入方程即可． 【详解】解：由题意得：，，， 解得，，， ∴满足条件的一元二次方程为或． 15．（24-25八年级上·上海宝山·期中）解方程：． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．首先将原方程配方成，然后直接开方求解即可． 【详解】解： ． 【考点2】一元二次方程的根与系数、判别式及应用（第16-24题） · 根与系数关系前提：方程是一元二次方程且Delta≥0 · 增长率、传播、图形面积问题：设未知数列方程并检验是否符合实际 · 判别式与根与系数常结合出题 16．（25-26九年级上·天津·阶段检测）一元二次方程两根的和为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，一元二次方程两根的和为， 故选：B． 17．（24-25九年级下·重庆江津·期中）在研究物体的放射性衰变时，我们常常关注放射性物质质量随时间的变化．假设在年初，有一块质量为克的某种放射性同位素．由于放射性衰变，其质量会逐年减少．到年初，经过精确测量，该放射性同位素的质量降至克．设这种放射性同位素质量的年平均减少率为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，熟练掌握利用增长率和减少率列一元二次方程是解题的关键．设这种放射性同位素质量的年平均减少率为，则年初为，年初为，即可解答． 【详解】解：设这种放射性同位素质量的年平均减少率为， 根据题意，得；， 故选：B． 18．（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式为零，据此即可解答． 【详解】解：关于的方程有两个相等的实数根， ， 解得， 故答案为：． 19．（2026·四川巴中·中考真题）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一次函数增减性求参数、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】先根据一元二次方程根的判别式确定参数的取值范围，再利用根与系数的关系将变形为关于的一次式，结合一次函数的增减性求出最小值． 【详解】解： ，是关于的一元二次方程的两个实数根， ， 解得， 由根与系数的关系得：，， ， ， 随的增大而减小， 当取最大值时，取得最小值， 代入得，最小值为． 20．（25-26九年级上·江西赣州·期末）有一块矩形红色研学场地，如图，该场地长，宽，工作人员要在场内修筑同样宽的参观通道（图中阴影部分），余下部分作为研学体验区，且使体验区的面积为，若设通道的宽为，那么可列方程为______． 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键是利用平移求面积．通过平移可得体验区为矩形，长为，宽为，再根据面积的等量关系列出方程，最后化为一般形式即可． 【详解】解：由题意得，， 整理得，． 故答案为：． 21．（2024·四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为______． 【答案】/0.5 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程的两根分别为，，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 先根据根与系数的关系得到，，然后把化简为然后整体代入即可． 【详解】解：方程的两根分别为，， ，， ． 故答案为：． 22．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，则m的值为________． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】先由方程有两个不相等实数根得判别式大于0，确定的取值范围，再利用根与系数的关系将转化为关于的方程，求解后根据的范围检验得到最终结果． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴判别式，化简得， 解得， 根据根与系数的关系，得，， ∵， ∴，代入得， 整理为， 解得或， ∵， ∴舍去，得． 23．（25-26九年级上·云南楚雄·期末）冬季期间，甲型流感在某班悄然传播，某班最初有2人患上甲流，经过2轮传染后，有32人已确诊甲流，求每轮传染中平均每人传染的人数． 【答案】3人 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染人．依题意，得 ， 解得（舍去）． 答：每轮传染中平均每人传染3人． 24．（23-24九年级上·陕西延安·期中）已知关于的一元二次方程．若，为该方程的两个实数根，且满足，求的值． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】先利用韦达定理表示出两根和与积，再将已知等式展开变形，代入两根和与积的表达式，解方程求的值． 【详解】解：根据根与系数的关系得，， ， ， ，即． ， 解得， 检验：当时，方程的判别式，符合题意； 故． 【考点3】特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）（第25-33题） · 判定顺序：先证平行四边形，再特殊化（一个直角→矩形，一组邻边相等→菱形） · 对角线是常用辅助线：矩形对角线相等，菱形对角线垂直平分 · 求边长与角度优先用勾股定理与等边对等角 25．（25-26九年级上·福建三明·阶段检测）如图：正方形的对角线与相交于点O，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据正方形的性质证明 【分析】本题主要考查了正方形的性质，正方形的对角线互相垂直平分且相等，正方形的一条对角线平分正方形的一组对角，据此可得答案． 【详解】解：∵正方形的对角线与相交于点O， ∴，，， ∴， ∴说法不正确的只有D选项， 故选：D． 26．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，是三艘军舰，舰在舰正东方向海里处，舰在舰北偏西方向 海里处．某日，三艘军舰同时收到渔船发出的同一求救信号，信号的传播速度相同，则舰与渔船相距（    ）    A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】C 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)、用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明 【分析】本题考查了方位角解直角三角形，矩形的性质，勾股定理的运用，掌握方位角解直角三角形的计算，图形结合分析思想是解题的关键．根据题意，可确定点在线段垂直平分线的交点处，如图所示，可得，作，与交于点，可得四边形是矩形，根据，运用特殊角的三角函数可得的值，在直角中根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意，点到三艘军舰的距离相等，即点在线段垂直平分线的交点处，作图如下，    ∴，，垂足分别为点，作，过点作于点，与交于点，连接， 由题意得海里，海里，四边形是矩形， ∴海里，海里，海里， ∵，， ∴， ∴海里，且， ∴在中，， ∴海里， ∴海里， 在中，海里， 故选：C ． 27．（24-25九年级上·内蒙古通辽·阶段检测）如图，E是正方形中边上的点，以点A为中心，把顺时针旋转，得到，其中．那么旋转角的度数是________ 【答案】/90度 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、根据正方形的性质求角度 【分析】本题主要考查了正方形的性质，找旋转角等知识点，牢记旋转角的定义是解题的关键：旋转角是指对应线段的夹角． 根据正方形的性质可得，由旋转角的定义即可解答． 【详解】解：四边形是正方形， ， 以点为中心把顺时针旋转得到，而旋转角是指对应线段的夹角， 就是旋转角， 旋转角的度数是， 故答案为：． 28．（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）如图1，小明将一个直角尺紧靠平行四边形活动架的一边，调整活动架如图2，调整后的活动架的形状是矩形，判断的依据是_______． 【答案】有一个角是直角的平行四边形是矩形 【知识点】矩形的判定定理理解 【分析】根据矩形的判定方法，进行求解即可． 【详解】解：小明将一个直角尺紧靠平行四边形活动架的一边，调整活动架如图2，调整后的活动架的形状是矩形，判断的依据是有一个角是直角的平行四边形是矩形． 29．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，、是矩形的两条对角线，E是的延长线上一点，连接，若，，则的度数是__________°． 【答案】/度 【知识点】等边对等角、利用矩形的性质证明 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的顶角和底角的关系是解题的关键． 根据矩形的性质得，，由平行线性质得出，再结合已知条件得，进而得出，由此即可解题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 30．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，方格纸中有一个四边形（、、、均为格点），若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则四边形是____________形． 【答案】菱 【知识点】证明四边形是菱形、勾股定理与网格问题 【分析】利用勾股定理求出，再根据菱形的判定定理进行解答即可． 【详解】解：由于每个小正方形的边长均为1， 则， 因此，四边形是菱形． 31．（23-24八年级下·山东聊城·阶段检测）以长为8，宽为6的矩形各边中点为顶点的四边形的周长为______． 【答案】20 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、中点四边形 【分析】本题主要考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质和三角形中位线定理进行求解即可； 【详解】解：长为8，宽为6的矩形的对角线长为， 以长为8，宽为6的矩形各边中点为顶点的四边形各边的长分别为对角线的一半， 故四边形的周长为， 故答案为：． 32．（24-25九年级上·福建漳州·阶段检测）如图，在中，，的平分线交于点，，．求证：四边形为正方形． 【答案】 证明：∵，． ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴四边形为矩形． ∴， ∵平分， ∴， ∴四边形为正方形． 【知识点】角平分线的性质定理、证明四边形是正方形 【分析】本题考查了正方形的证明，根据，可得四边形为平行四边形；结合可得四边形为矩形，进而得，再由平分得，即可求证； 【详解】略 33．（26-27八年级下·全国·课后作业）如图，四边形是矩形，，，E为的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接，求的长． 【答案】5 【知识点】根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】根据矩形性质得，，根据中点性质得，进而可证明，根据三角形全等性质，结合已知得，再根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为5． 【考点4】成比例线段与相似三角形的判定和性质（第34-50题） · 判定相似先找已知角相等，再找对应边成比例 · 平行线截线段成比例：利用平行构造相似三角形 · 周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 34．（24-25九年级上·湖南娄底·期中）如图，在中，D，E，F分别是边，，上的点，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，由，可得，，由，可得，，再进一步分析判断即可． 【详解】∵， ∴，，故A不符合题意； ∵， ∴，， ∴，故B不符合题意；C符合题意； ∵，， ∴，故D不符合题意； 故选：C． 35．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）在下列四组线段中，成比例线段的是（   ） A．2，3，4，5 B．1.5，2.5，3，5 C．1.1，2.2，3.3，4.4 D．1，2，3，4 【答案】B 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了比例线段，解决本题的关键是理解成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的与最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一． 对于四条线段，如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案即可． 【详解】解：A、，故四条线段不能成比例线段，此选项不符合题意； B、，故四条线段能成比例线段，此选项符合题意； C、，故四条线段不能成比例线段，此选项不符合题意； D、，故四条线段不能成比例线段，此选项不符合题意， 故选：B． 36．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图，三边上点，满足，那么下列等式中，成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．由题意可证四边形是平行四边形，可得，，由相似三角形的性质和平行线分线段成比例依次判断可求解． 【详解】解：∵， ，， ， ，故A错误；， ∵， 四边形是平行四边形， ，， ，故B正确； ，故C错误； ，故D错误， 故选：B． 37．（23-24九年级上·广东佛山·期中）如图，五线谱是由等距离的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上．若线段，则线段的长是______． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】此题考查了平行线分线段成比例，根据题意得出是解题的关键． 【详解】解：∵各条平行线间距离相等， ∴， ∵，则， ∴， 故答案为：． 38．（26-27九年级上·全国·课后作业）若两个相似三角形的相似比为，则这两个相似三角形周长的比为____________，面积的比为____________． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】利用相似三角形的性质：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，结合已知相似比计算即可． 【详解】解：相似三角形的周长比等于相似比，两个相似三角形的相似比为， 这两个相似三角形周长的比为； 相似三角形的面积比等于相似比的平方， 面积比为． 39．（24-25九年级下·安徽合肥·阶段检测）安徽建省于清朝康熙六年（公元1667年），省名取当时安庆、徽州两府首字合成．如图，这是“安”字在正方形米字格中的书写形态，已知正方形的边长为，笔画横钩“”与正方形对角线交于点，点为线段的黄金分割点，，则的长为___________．（结果保留根号） 【答案】/ 【知识点】黄金分割、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题主要考查黄金分割点的定义，勾股定理，正方形的性质；根据勾股定理和正方形的性质求出，在根据黄金分割点的定义即可求出结果． 【详解】解：， ∵点为线段的黄金分割点， 故答案为：． 40．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，则__________． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 41．（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，点是边上的动点（点不与点重合），当______度时，． 【答案】70 【知识点】等边对等角、相似三角形的判定综合 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定，得出是解题关键．根据题意得出，进而由，，得出答案． 【详解】解：，， ， 时， ，， ． 故答案为：70． 42．（25-26九年级上·河北·课后作业）如图，线段相交于点，连接，请添加一个条件，使与相似，且点的对应点为点，这个条件可以是________．（写出一个条件即可） 【答案】（或或） 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定方法，根据图形结合相似三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：∵，且点的对应点为点， ∴根据三角形相似的判定方法，可以有两组角对应相等或一组角相等，且这组角的两边对应成比例都可以证明两三角形相似， ∴可以添加或或， 故答案为：（或或）． 43．（2026·宁夏银川·二模）已知，那么_________． 【答案】 【知识点】比例的性质 【详解】解： 将代入得：． 44．（2025·青海西宁·二模）如图，在中，，是边的垂直平分线，垂足为，交于点，若，则的长为______． 【答案】5 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，平行线分线段成比例，先证明，，，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵是边的垂直平分线，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 45．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）已知：，且． (1)求a、b、c的值； (2)添上一个数___________，使得a、b、c、d四个数能构成比例式． 【答案】(1) (2)2或8或18 【知识点】比例的性质、成比例线段 【分析】本题主要考查比例的性质及比例线段，熟练掌握比例的性质及比例线段是解题的关键； （1）由可设，然后代入进行求解即可； （2）由（1）及成比例线段的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由可设，代入得： ，解得：， ∴； （2）解：由（1）可知：， 由a、b、c、d四个数能构成比例式，可分： 当时，则有，即， ∴； 当时，则有，即， ∴； 当时，则有，即， ∴； 综上所述：当或8或18时，使得a、b、c、d四个数能构成比例式； 故答案为2或8或18． 46．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，在四边形中，，连接，且恰好平分，点E在边上，与交于点O． (1)求证：； (2)若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：在四边形中，， ， 恰好平分， ， ， ， ； (2) 解：，理由如下： ，， ， ， ． 【知识点】等边对等角、相似三角形的判定综合、证明三角形的对应线段成比例 【分析】本题考查了相似三角形判定与性质，判定两三角形相似是解题关键， （1）证出，结合对顶角相等即可证明结论； （2）根据相似三角形性质证出即可证出结论． 【详解】（1）略 （2）略 47．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）已知与相似且对应中线的比为，的周长为12，求的周长． 【答案】的周长为9 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质（对应中线的比等于相似比、周长比等于相似比），熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 利用相似三角形的性质（对应中线的比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比），通过已知的中线比和的周长，计算的周长． 【详解】∵与相似且对应中线的比为， ∴的周长的周长， ∵的周长为12， ∴的周长， ∴的周长. 48．（23-24九年级上·湖南永州·期末）如图，相交于点O，． (1)求证：； (2)已知，的面积为6，求的面积． 【答案】(1) 证明：∵，又， ∴； (2) 【知识点】利用相似三角形的性质求解、相似三角形的判定综合 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质． （1）对顶角相等，结合，即可得出； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求解即可． 掌握两组对应角相等的两个三角形相似，是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， ∴， 解得． 所以的面积为． 49．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）如图，是的边上一点，连接，已知，求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴． 【知识点】利用两角对应相等判定相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 先根据以及得到，继而可用两角相等证明相似． 【详解】略 50．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，四边形四边形．若，求的度数和线段的长． 【答案】； 【知识点】多边形内角和问题、相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似多边形的性质．根据四边形内角和得出，根据对应边成比例得出的长． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴，，． ∴， ∵， ∴， ∴． 【考点5】位似图形（第51-53题） · 位似中心是各对应点连线的交点 · 位似比等于相似比，面积比等于位似比的平方 · 坐标系中位似：对应点坐标按位似比缩放 51．（23-24九年级上·河南周口·期中）如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，相似比为，点的对应点分别为点．若，则的长为（    ） A．9 B．10 C．12 D．15 【答案】C 【知识点】位似图形相关概念辨析 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据相似比为，即可解答，掌握该图形的两个图形是相似图形是解题的关键． 【详解】解：图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，相似比为， ， ， ， 故选：C． 52．（2024·陕西渭南·二模）如图，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A、的坐标分别为、，的面积是6，则的面积为（    ）    A．18 B．12 C．24 D．9 【答案】C 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】本题考查了位似变换的性质，坐标与图形的性质，由题意可知，与是位似比为的位似图形，则根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：∵与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A、的坐标分别为、， ∴ 且相似比为， ∴的面积的面积， ∵的面积是6，， ∴的面积为24， 故选：C 53．（25-26九年级上·全国·单元复习）画出图（）、（）中的位似中心． 【答案】 如图所示，点即为所求． 【知识点】判断位似中心 【分析】本题考查了作位似中心，连接两个位似图形两对对应点，对应点连线的交点就是位似中心，据此作图即可，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】略 【考点6】投影与视图（第54-60题） · 平行投影与中心投影：光源位置决定投影形状与大小 · 三视图规律：长对正、高平齐、宽相等 · 由三视图还原几何体时注意小立方块的堆叠数量 54．（2025·四川广元·二模）如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，则该几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知一种或两种视图，判断其他视图 【分析】本题考查几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知左视图的列数与俯视数的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该行小正方形数字中的最大数字．据此得到左视图有2列，且从左往右2列正方形的个数依次为2、1，即可得解． 【详解】解：由俯视图可知，左视图有2列，且从左往右2列正方形的个数依次为2、1， 即该几何体的左视图是， 故选：C． 55．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）如图，笔直的水平公路上有一盏10米高的路灯．晚上欢欢站在位置的影子和站在位置的影子相比（　　） A．在位置的影子长些 B．在位置的影子长些 C．在位置和的影子一样长 D．在位置和的影子谁长无法确定 【答案】B 【知识点】中心投影 【分析】本题主要考查了中心投影，同一物体，离光源越远，影子越长，据此求解即可． 【详解】解：由图可知，点A距离路灯的距离小于点B距离路灯的距离， ∴在位置的影子长些， 故选；B． 56．（2025·河南洛阳·一模）如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长米，在同一时刻旗杆的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为米，留在墙上的影长米，则旗杆的高度（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【知识点】平行投影 【分析】本题考查了平行投影，作于点，如图，则四边形为矩形，，，利用“在同一时刻物高与影长的比相等得到” ，求出从而可得到的长． 【详解】作于点，如图， 则四边形为矩形，，， 根据题意得， 即， 解得， 所以． 故选：． 57．（26-27九年级上·全国·课后作业）画出如图所示的几何体的主视图、左视图、俯视图． 【答案】 如图所示，即为所求， 【知识点】画简单组合体的三视图 【分析】根据三视图的定义作图即可． 【详解】略 58．（23-24九年级上·广东茂名·阶段检测）如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．    (1)请你在图中画出此时在阳光下的投影． (2)根据题中信息，求出立柱的长． 【答案】(1) 如图，即为在阳光下的投影：    (2) 【知识点】平行投影、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了投影作图与相似三角形的判定与性质，熟记相关几何结论是解题关键． （1）连接，过D作即可完成作图； （2）证，根据对应线段成比例即可求解． 【详解】（1）解：连接，过D作交延长线于F； （2）解：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得：， 59．（23-24九年级上·甘肃酒泉·期末）某公司的外墙壁贴的是反光玻璃，晚上两根木棒的影子如图（短木棒的影子是玻璃反光形成的），请确定图中路灯灯泡所在的位置． 【答案】 解：如图，点O就是灯泡所在的位置． 【知识点】中心投影 【分析】本题主要考查了中心投影，利用中心投影的性质连接对应点得出灯泡的位置即可． 【详解】略 60．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图是小红同学用8个相同的小正方体搭成的几何体，请你在下面相应的位置画出该几何体的三视图． 【答案】 解：如图， 【知识点】画小立方块堆砌图形的三视图 【分析】本题考查实物体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．本题画几何体的三视图时应注意小正方形的数目及位置．读图可得，从正面看有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1；从左面看有3列，每列小正方形数目分别为3，1，1；从上面看有3列，每列小正方形数目分别为3，1，1，依此画出图形即可． 【详解】略 💯 课后巩固 复习建议 · 一元二次方程先化为一般式再求解，注意二次项系数不为0 · 根与系数关系与判别式结合使用，勿忘Delta≥0前提 · 特殊平行四边形判定从平行四边形出发逐层特殊化 · 相似三角形解题先找角相等再找边成比例 · 位似与视图结合图形直观理解，必要时画图辅助 【作业1】．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，用的铁丝网围成一个面积为的矩形菜地，菜地的一边靠墙（不使用铁丝），若设平行于围墙的一边长为，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用． 设平行于围墙的一边长为，则垂直于围墙的一边长为，根据矩形的面积即可列出方程． 【详解】设平行于围墙的一边长为，则垂直于围墙的一边长为．根据题意，得 ， 即． 故选：B 【作业2】．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）小智根据四边形的不稳定性制作了一个探究特殊四边形的学具，他用四根长度相同的木条在两端用螺栓两两连接，构成一个可以活动的四边形．他先将学具成为图1所示的四边形，并测得，对角线，再将学具成为图2所示四边形，并测得，则图2中对角线的长为（    ） A．20cm B．40cm C． D． 【答案】C 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长、根据菱形的性质与判定求角度 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握特殊四边形的性质是关键．连接、，由题意可知，图1中四边形是菱形，图2中四边形是正方形，进而证明是等边三角形，得出，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接、， 由题意可知，图1中四边形是菱形，图2中四边形是正方形， ， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， 故选：C． 【作业3】．（2026·甘肃武威·模拟预测）如图，在中 ， 是边 上的高，若，则的长为（     ） A．1.5 B．1.6 C．1.8 D．2.0 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据题意证明，利用相似三角形对应边成比例得出，代入已知数据计算即可得出结果． 【详解】解：，， ， 又， ， ， ，， ， ． 【作业4】．（24-25九年级下·河北秦皇岛·阶段检测）如图，与是位似图形，则位似中心可以是（   ） A．点M B．点N C．点Q D．点P 【答案】D 【知识点】判断位似中心 【分析】本题主要考查了三角形的位似，掌握位似中心是位似点连线的交点是解题的关键． 根据位似中心是位似点连线的交点判断即可． 【详解】解：如图，根据位似中心是位似点连线的交点，可知点P为位似中心． 故选：D． 【作业5】．（2025·河北邯郸·三模）如图1，某小区内有一条笔直的小路，路的旁边有一盏路灯，图象（图2）表示小红晚上在灯光照射下的影长l与行走的路程s之间的关系，则小红的行走过程是（　　） A．由A走向D，再走回A B．由B走向C C．由A走向C，再走回A D．由C走向B，再走回A 【答案】C 【知识点】中心投影、从函数的图象获取信息 【分析】此题主要考查了函数图象以及中心投影的性质，得出l随s的变化规律是解决问题的关键． 根据中心投影的性质得出小红在灯下走的过程中影长随路程之间的关系，进而得出符合要求的选项． 【详解】路的旁边有一盏路灯，当小红走到灯下以前：l随s的增大而减小；当小红走到灯下以后再往前走时：l随s的增大而增大， 小红的行走过程是由A走向C，再走回A， 故选：C． 【作业6】．（2026·江苏扬州·一模）若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】根据一元二次方程解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，将代入原方程，即可求解得到的值． 【详解】∵是一元二次方程的一个解， ∴， 整理得， 解得． 【作业7】．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，根据下表可知一元二次方程的两根之和为______． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 【答案】1 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的解，通过观察表格数据，当取特定值时，表达式 的值等于6，这些x值即为方程 的根，再计算两根之和，即可作答． 【详解】解：由表格可知，当时，； 当时，， ∵， ∴ 故一元二次方程的两根为， 则， 故答案为：1 【作业8】．（2026·山东聊城·模拟预测）一元二次方程的两根为，，则 _______________， _______________． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】先确定方程的二次项系数、一次项系数和常数项，再根据根与系数的关系计算即可得到结果． 【详解】解： ，可得 ，，， 因此 ，． 【作业9】．（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，四边形为平行四边形，且平分，作，垂足为．若， ，则______． 【答案】/ 【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求线段长、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质，勾股定理，等角对等边等等，先证明四边形是菱形，得出，根据， ，得出，根据勾股定理得出，根据，求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【作业10】．（24-25九年级上·全国·课后作业）若以点为顶点的三角形与相似，且，则___________． 【答案】2或 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，分两种情况进行讨论：当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：当时，如图所示： ∴； 当时，如图所示： ； 综上分析可知：的值为2或． 故答案为：2或． 【作业11】．（24-25九年级上·江西九江·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，以点为位似中心，在第一象限内作的位似图形，相似比为，则点的对应点的坐标为______． 【答案】 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据位似图形的性质解答即可求解，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，点为位似中心，相似比为，点在第一象限， ∴点的对应点的坐标为，即， 故答案为：． 【作业12】．（23-24九年级下·湖南娄底·期中）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆长米，它的影长是3米，同一时测得是274米，则金字塔的高度是________米． 【答案】 【知识点】平行投影、相似三角形实际应用 【分析】本题考查平行投影，根据同一时刻，物高与影长对应成比例，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 即：， ∴； 故答案为：137． 【作业13】．（2026·西藏山南·二模）如图，已知，，点B，C，D在同一条直线上，若，，，则的长为________． 【答案】6 【知识点】两直线平行内错角相等、相似三角形的判定与性质综合 【分析】证明，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴． 【作业14】．（2025·河南·一模）如图，在正方形中，点为边上一点，将沿折叠得，若点恰好在对角线上，连接，则________． 【答案】112.5 【知识点】等边对等角、正方形折叠问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了正方形、折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的运用，掌握折叠的性质，等腰三角形的判定和性质是关键． 根据正方形、折叠的性质得到，，则，由此得到，再根据即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 【作业15】．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段检测）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解： 无论取何实数，都有， ，即的最小值为2． 试利用配方法解决下列问题： (1)直接写出的最小值 ； (2)比较代数式与的大小，并说明理由； (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】配方法的应用 【分析】本题考查了配方法的应用，利用配方法把二次式变形为一个完全平方式和常数的和是解题的关键． （1）原式配方后得到，然后利用完全平方式的非负性即可得出答案； （2）将两式相减后利用配方法即可判断； （3）利用，由可得，代入后配方得，于是得解． 【详解】（1）解：， 无论取何实数，都有， ，即的最小值为， 故答案为：； （2）解：， ； （3）解：四边形的面积为： ， 四边形面积的最大值为． 【作业16】．（22-23九年级上·吉林长春·期末）在一块长、宽的长方形荒地上，要建造一个花园并使所占面积为荒地面积的一半，小明的设计方案如图所示，其中花园四周小路的宽度都相等，请帮小明计算一下小路的宽是多少米？ 【答案】小路的宽是 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，准确找出等量关系是解题的关键．根据“花园面积大长方形面积的一半”列方程即可得解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：，， 不合题意，舍去， ． 答：小路的宽是． 【作业17】．（25-26九年级上·广东河源·阶段检测）在菱形中，E，F是对角线所在直线上的两点，且，连接 (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：连接，交于点O， ∵四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， 即 ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； (2) 【知识点】利用菱形的性质证明、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定证明 【分析】本题主要考查了菱形的性质，正方形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）先根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”得四边形是菱形，再根据“有一个角是直角的菱形是正方形”得出答案； （2）先根据菱形的性质求出，进而求出，再根据正方形的性质可得，然后根据勾股定理求出，则此题可解． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 在中，， ∴． 【作业18】．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，在中，于点D． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：在中，， ． ， ∴， ， ． 又， ． (2)． 【知识点】利用相似三角形的性质求解、利用两角对应相等判定相似 【分析】（1）根据同角的余角相等，得到，结合，即可得证； （2）根据相似三角形的性质，求出的长，勾股定理求出的长即可. 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ，即 ， ∴在中，由勾股定理，得. 【作业19】．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，在中，D为上一点，E为上一点，且，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1) 证明：， ， ，， ， ， ； (2) 【知识点】等边对等角、相似三角形的判定与性质综合 【分析】对于本题重点，掌握相似三角形的判定定理1，以及相似三角形的对应边成比例的性质． （1）根据两角对应相等，两三角形相似证明即可； （2）根据得到，然后求出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：在（1）中已证明， ， ，，， ， ． 【作业20】．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，点、、在一条直线上，与相交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴； (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的边长比等于相似比． （1）先证，进而可证； （2）由（2）得，再证，根据相似三角形的边长比等于相似比即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题一·期中综合复习·基础巩固讲义 （第一~四章）（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握一元二次方程的概念与四种解法，会选用合适方法求解 · 会用根的判别式判断根的情况，会用根与系数关系求值 · 掌握矩形、菱形、正方形的性质与判定方法 · 理解成比例线段，掌握相似三角形的判定与性质 · 认识位似图形，掌握平行投影、中心投影与三视图 📚 知识梳理 ☆ 1.一元二次方程 定义：只含一个未知数，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0的整式方程 解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 根的判别式：Delta=b2-4ac，Delta>0两个不等实根，Delta=0两个相等实根，Delta<0无实根 根与系数关系：x1+x2=-，x1x2= 概念辨析例题：判断方程 x2-3x+2=0 根的情况，并求两根之和与两根之积 答案：Delta=(-3)2-4×1×2=1>0，有两个不相等的实数根；x1+x2=3，x1x2=2 解析：先用判别式判断根的情况，再由根与系数的关系直接求两根之和与两根之积。 ☆ 2.特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形） 矩形：四个角都是直角，对角线相等，是轴对称图形也是中心对称图形 菱形：四条边相等，对角线互相垂直平分且平分每组对角 正方形：四边相等、四角为直角，对角线相等且互相垂直平分 中点四边形：连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形 概念辨析例题：菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，求菱形ABCD的边长 答案：边长为5 解析：菱形对角线互相垂直平分，则半对角线分别为3和4，由勾股定理得边长==5。 ☆ 3.图形的相似 成比例线段：四条线段a、b、c、d满足a:b=c:d时称成比例线段 相似三角形判定：两角对应相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例 相似三角形性质：对应角相等、对应边成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 位似图形：对应点连线都经过同一点（位似中心）的两个相似图形 概念辨析例题：若△ABC∽△DEF，相似比为2:3，△ABC的周长为8，求△DEF的周长 答案：△DEF的周长为12 解析：相似三角形周长比等于相似比，设△DEF周长为x，则8:x=2:3，解得x=12。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0） 二次项系数不能为0 根的判别式 Delta=b2-4ac Delta>0两不等根，=0两等根，<0无实根 矩形 四角为直角，对角线相等 判定：平行四边形加一个直角 菱形 四边相等，对角线垂直平分 对角线互相垂直是判定关键 正方形 四边相等、四角为直角 兼具矩形与菱形的全部性质 相似三角形 对应边成比例、对应角相等 面积比等于相似比的平方 位似图形 对应点连线交于位似中心 位似比即相似比 ⚠️ 核心考点 【考点1】一元二次方程的概念与解法（第1-15题） · 先化为一般式再选择解法，直接开平方→配方法→公式法→因式分解 · 因式分解法优先：观察能否提公因式或套用乘法公式 · 求根前先用判别式判断根的情况 1．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如表是小钰同学求代数式（，为常数）的值的情况．根据表中的数据可知，关于的一元二次方程的实数根是（   ） … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 2．（25-26八年级下·安徽六安·期中）一元二次方程的解是（    ） A． B．， C．， D．， 3．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）用配方法解方程，将方程变为的形式，则，的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 4．（24-25九年级上·河北张家口·期末）用公式法解方程时，求根公式中的a，b，c的值分别是（    ） A．1，2，3 B．1，，3 C．1，2， D．0，， 5．（25-26八年级下·陕西西安·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·山东淄博·期末）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B． C． D． 7．（22-23八年级下·浙江丽水·阶段检测）已知m是的一个解，则__________． 8．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）将一元二次方程化为一般形式后，若常数项为，则一次项的系数为_____． 9．（23-24八年级上·上海·单元测试）若二次三项式是一个完全平方式，则_____． 10．（2026·山东滨州·二模）已知是关于的一元二次方程的解，则________． 11．（23-24九年级上·福建泉州·阶段检测）若关于x的一元二次方程的其中一根为，则关于x的方程必有一根为_______． 12．（25-26九年级上·陕西·期末）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为_______． 13．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 14．（24-25九年级上·河南许昌·阶段检测）已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c满足，求满足条件的一元二次方程． 15．（24-25八年级上·上海宝山·期中）解方程：． 【考点2】一元二次方程的根与系数、判别式及应用（第16-24题） · 根与系数关系前提：方程是一元二次方程且Delta≥0 · 增长率、传播、图形面积问题：设未知数列方程并检验是否符合实际 · 判别式与根与系数常结合出题 16．（25-26九年级上·天津·阶段检测）一元二次方程两根的和为（   ） A． B． C． D．2 17．（24-25九年级下·重庆江津·期中）在研究物体的放射性衰变时，我们常常关注放射性物质质量随时间的变化．假设在年初，有一块质量为克的某种放射性同位素．由于放射性衰变，其质量会逐年减少．到年初，经过精确测量，该放射性同位素的质量降至克．设这种放射性同位素质量的年平均减少率为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 18．（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______． 19．（2026·四川巴中·中考真题）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 20．（25-26九年级上·江西赣州·期末）有一块矩形红色研学场地，如图，该场地长，宽，工作人员要在场内修筑同样宽的参观通道（图中阴影部分），余下部分作为研学体验区，且使体验区的面积为，若设通道的宽为，那么可列方程为______． 21．（2024·四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为______． 22．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，则m的值为________． 23．（25-26九年级上·云南楚雄·期末）冬季期间，甲型流感在某班悄然传播，某班最初有2人患上甲流，经过2轮传染后，有32人已确诊甲流，求每轮传染中平均每人传染的人数． 24．（23-24九年级上·陕西延安·期中）已知关于的一元二次方程．若，为该方程的两个实数根，且满足，求的值． 【考点3】特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）（第25-33题） · 判定顺序：先证平行四边形，再特殊化（一个直角→矩形，一组邻边相等→菱形） · 对角线是常用辅助线：矩形对角线相等，菱形对角线垂直平分 · 求边长与角度优先用勾股定理与等边对等角 25．（25-26九年级上·福建三明·阶段检测）如图：正方形的对角线与相交于点O，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 26．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，是三艘军舰，舰在舰正东方向海里处，舰在舰北偏西方向 海里处．某日，三艘军舰同时收到渔船发出的同一求救信号，信号的传播速度相同，则舰与渔船相距（    ）    A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 27．（24-25九年级上·内蒙古通辽·阶段检测）如图，E是正方形中边上的点，以点A为中心，把顺时针旋转，得到，其中．那么旋转角的度数是________ 28．（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）如图1，小明将一个直角尺紧靠平行四边形活动架的一边，调整活动架如图2，调整后的活动架的形状是矩形，判断的依据是_______． 29．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，、是矩形的两条对角线，E是的延长线上一点，连接，若，，则的度数是__________°． 30．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，方格纸中有一个四边形（、、、均为格点），若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则四边形是____________形． 31．（23-24八年级下·山东聊城·阶段检测）以长为8，宽为6的矩形各边中点为顶点的四边形的周长为______． 32．（24-25九年级上·福建漳州·阶段检测）如图，在中，，的平分线交于点，，．求证：四边形为正方形． 33．（26-27八年级下·全国·课后作业）如图，四边形是矩形，，，E为的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接，求的长． 【考点4】成比例线段与相似三角形的判定和性质（第34-50题） · 判定相似先找已知角相等，再找对应边成比例 · 平行线截线段成比例：利用平行构造相似三角形 · 周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 34．（24-25九年级上·湖南娄底·期中）如图，在中，D，E，F分别是边，，上的点，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 35．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）在下列四组线段中，成比例线段的是（   ） A．2，3，4，5 B．1.5，2.5，3，5 C．1.1，2.2，3.3，4.4 D．1，2，3，4 36．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图，三边上点，满足，那么下列等式中，成立的是（    ） A． B． C． D． 37．（23-24九年级上·广东佛山·期中）如图，五线谱是由等距离的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上．若线段，则线段的长是______． 38．（26-27九年级上·全国·课后作业）若两个相似三角形的相似比为，则这两个相似三角形周长的比为____________，面积的比为____________． 39．（24-25九年级下·安徽合肥·阶段检测）安徽建省于清朝康熙六年（公元1667年），省名取当时安庆、徽州两府首字合成．如图，这是“安”字在正方形米字格中的书写形态，已知正方形的边长为，笔画横钩“”与正方形对角线交于点，点为线段的黄金分割点，，则的长为___________．（结果保留根号） 40．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，则__________． 41．（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，点是边上的动点（点不与点重合），当______度时，． 42．（25-26九年级上·河北·课后作业）如图，线段相交于点，连接，请添加一个条件，使与相似，且点的对应点为点，这个条件可以是________．（写出一个条件即可） 43．（2026·宁夏银川·二模）已知，那么_________． 44．（2025·青海西宁·二模）如图，在中，，是边的垂直平分线，垂足为，交于点，若，则的长为______． 45．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）已知：，且． (1)求a、b、c的值； (2)添上一个数___________，使得a、b、c、d四个数能构成比例式． 46．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，在四边形中，，连接，且恰好平分，点E在边上，与交于点O． (1)求证：； (2)若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 47．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）已知与相似且对应中线的比为，的周长为12，求的周长． 48．（23-24九年级上·湖南永州·期末）如图，相交于点O，． (1)求证：； (2)已知，的面积为6，求的面积． 49．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）如图，是的边上一点，连接，已知，求证：． 50．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，四边形四边形．若，求的度数和线段的长． 【考点5】位似图形（第51-53题） · 位似中心是各对应点连线的交点 · 位似比等于相似比，面积比等于位似比的平方 · 坐标系中位似：对应点坐标按位似比缩放 51．（23-24九年级上·河南周口·期中）如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，相似比为，点的对应点分别为点．若，则的长为（    ） A．9 B．10 C．12 D．15 52．（2024·陕西渭南·二模）如图，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A、的坐标分别为、，的面积是6，则的面积为（    ）    A．18 B．12 C．24 D．9 53．（25-26九年级上·全国·单元复习）画出图（）、（）中的位似中心． 【考点6】投影与视图（第54-60题） · 平行投影与中心投影：光源位置决定投影形状与大小 · 三视图规律：长对正、高平齐、宽相等 · 由三视图还原几何体时注意小立方块的堆叠数量 54．（2025·四川广元·二模）如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，则该几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 55．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）如图，笔直的水平公路上有一盏10米高的路灯．晚上欢欢站在位置的影子和站在位置的影子相比（　　） A．在位置的影子长些 B．在位置的影子长些 C．在位置和的影子一样长 D．在位置和的影子谁长无法确定 56．（2025·河南洛阳·一模）如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长米，在同一时刻旗杆的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为米，留在墙上的影长米，则旗杆的高度（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 57．（26-27九年级上·全国·课后作业）画出如图所示的几何体的主视图、左视图、俯视图． 58．（23-24九年级上·广东茂名·阶段检测）如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．    (1)请你在图中画出此时在阳光下的投影． (2)根据题中信息，求出立柱的长． 59．（23-24九年级上·甘肃酒泉·期末）某公司的外墙壁贴的是反光玻璃，晚上两根木棒的影子如图（短木棒的影子是玻璃反光形成的），请确定图中路灯灯泡所在的位置． 60．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图是小红同学用8个相同的小正方体搭成的几何体，请你在下面相应的位置画出该几何体的三视图． 💯 课后巩固 复习建议 · 一元二次方程先化为一般式再求解，注意二次项系数不为0 · 根与系数关系与判别式结合使用，勿忘Delta≥0前提 · 特殊平行四边形判定从平行四边形出发逐层特殊化 · 相似三角形解题先找角相等再找边成比例 · 位似与视图结合图形直观理解，必要时画图辅助 【作业1】．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，用的铁丝网围成一个面积为的矩形菜地，菜地的一边靠墙（不使用铁丝），若设平行于围墙的一边长为，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【作业2】．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）小智根据四边形的不稳定性制作了一个探究特殊四边形的学具，他用四根长度相同的木条在两端用螺栓两两连接，构成一个可以活动的四边形．他先将学具成为图1所示的四边形，并测得，对角线，再将学具成为图2所示四边形，并测得，则图2中对角线的长为（    ） A．20cm B．40cm C． D． 【作业3】．（2026·甘肃武威·模拟预测）如图，在中 ， 是边 上的高，若，则的长为（     ） A．1.5 B．1.6 C．1.8 D．2.0 【作业4】．（24-25九年级下·河北秦皇岛·阶段检测）如图，与是位似图形，则位似中心可以是（   ） A．点M B．点N C．点Q D．点P 【作业5】．（2025·河北邯郸·三模）如图1，某小区内有一条笔直的小路，路的旁边有一盏路灯，图象（图2）表示小红晚上在灯光照射下的影长l与行走的路程s之间的关系，则小红的行走过程是（　　） A．由A走向D，再走回A B．由B走向C C．由A走向C，再走回A D．由C走向B，再走回A 【作业6】．（2026·江苏扬州·一模）若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（） A．3 B．2 C．1 D．0 【作业7】．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，根据下表可知一元二次方程的两根之和为______． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 【作业8】．（2026·山东聊城·模拟预测）一元二次方程的两根为，，则 _______________， _______________． 【作业9】．（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，四边形为平行四边形，且平分，作，垂足为．若， ，则______． 【作业10】．（24-25九年级上·全国·课后作业）若以点为顶点的三角形与相似，且，则___________． 【作业11】．（24-25九年级上·江西九江·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，以点为位似中心，在第一象限内作的位似图形，相似比为，则点的对应点的坐标为______． 【作业12】．（23-24九年级下·湖南娄底·期中）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆长米，它的影长是3米，同一时测得是274米，则金字塔的高度是________米． 【作业13】．（2026·西藏山南·二模）如图，已知，，点B，C，D在同一条直线上，若，，，则的长为________． 【作业14】．（2025·河南·一模）如图，在正方形中，点为边上一点，将沿折叠得，若点恰好在对角线上，连接，则________． 【作业15】．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段检测）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解： 无论取何实数，都有， ，即的最小值为2． 试利用配方法解决下列问题： (1)直接写出的最小值 ； (2)比较代数式与的大小，并说明理由； (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值． 【作业16】．（22-23九年级上·吉林长春·期末）在一块长、宽的长方形荒地上，要建造一个花园并使所占面积为荒地面积的一半，小明的设计方案如图所示，其中花园四周小路的宽度都相等，请帮小明计算一下小路的宽是多少米？ 【作业17】．（25-26九年级上·广东河源·阶段检测）在菱形中，E，F是对角线所在直线上的两点，且，连接 (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 【作业18】．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，在中，于点D． (1)求证：； (2)若，求的长． 【作业19】．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，在中，D为上一点，E为上一点，且，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【作业20】．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，点、、在一条直线上，与相交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $