32.2.2 应用举例（讲义）数学新教材人教版九年级下册

第三十二章 锐角三角函数 32.2 应用举例 知识点一 仰角、俯角 视角：视线与水平线的夹角叫做视角． 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 【注意】仰角和俯角是相对于水平线而言的，在不同的位置观测，仰角和俯角是不同的. 即学即练 1．（26-27九年级上·广西贵港·期中）如图是某商场自动扶梯的示意图．自动扶梯与地面的坡角为，在自动扶梯下方地面处测得扶梯顶端的仰角为，、之间的距离为，则自动扶梯的垂直高度（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到，再根据三角函数定义即可求解． 【详解】解：， 又， ， ， 在中， ． 故选C． 2．（26-27九年级下·全国·阶段检测）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），图2为其示意图，摄像头的仰角、俯角均为，高度为．某人笔直站在离摄像头水平距离的点处，他的身高为，头部高度为，若此人要能被摄像头识别，则的取值范围为（参考数据：，，）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于，延长交于点，则四边形为矩形，从而可得，，再解直角三角形即可得解． 【详解】解：如图，过点作于，延长交于点， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，，， ∴， ∴，即他的身高不能超过， ∵头部高度为， ∴他的身高不能低于， ∴h的取值范围为． 3．（26-27九年级上·北京·课堂例题）陈垣是中国杰出的历史学家、教育家，陈垣故居位于广东省江门市，故居的前面矗立着陈垣先生的半身塑像，如图，从塑像正前方距离底座点米的点处测量，塑像底部点的仰角为，顶部点的仰角为，点在同一条直线上，则塑像的高度为（   ）． A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】在中，，在中，，即可求出答案． 【详解】解：由题意得，在中， ， 在中，， ∴米． 知识点二 坡度、坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即，坡度一般写为1：m的形式（比的前项为1，后项可以是小数）. 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α， 【注意】坡度与坡角是两个不同的概念，坡角是两个面的夹角，坡度(用字母i表示)是比；两者之压间的关系是，坡角越大，坡度越大. 即学即练 1．（26-27九年级上·湖南湘潭·期中）如图是拦水坝的横断面，斜坡的水平宽度为12米，斜面坡度，则水坝高度的长（     ） A．2米 B．6米 C．米 D．24米 【答案】B 【分析】坡面的铅垂高度（）和水平长度（）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作，即． 【详解】解：由题意可知，米， 斜面坡度， ， （米）． 2．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，大坝的横截面是梯形，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为（     ） A．8米 B． C． D． 【答案】D 【分析】分别过B、C作于点E，于点F，证明四边形为矩形，则，设，则，在中，根据勾股定理求得，再利用坡比概念求得，进而利用正弦定义求解即可． 【详解】解：分别过B、C作于点E，于点F， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ． ∴四边形为矩形，则， ∵斜坡的坡比， ∴设，则， 在中，根据勾股定理，得， ，解得或（不合题意，舍去）， 则， 又∵背水坡的坡比， ， ，则． 3．（26-27九年级下·全国·单元复习）电力公司在改造电网时把某一输电线铁塔建在了一个坡度为的山坡的平台上（如图），测得，米，米，米，则铁塔的高度约为（     ）（参考数据：，，） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】如图：延长交于G，过C作于F，得到，设，，再解直角三角形即可解答． 【详解】解：如图：延长交于G，过C作于F， ∴（米）， ∵山坡的坡度为， ∴， 设，， ∴由勾股定理得：（米），即（米）， ∴米，米， ∴米， ∵， ∴米， ∴米． 知识点三 方位角、方向角 方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45° 即学即练 1．（26-27九年级上·山东淄博·期中）一段东西方向的海岸线上，小明从点A测得灯塔C位于北偏西方向，向东走300米到达点B处，测得灯塔C位于北偏西方向，点A到灯塔C的距离AC为（     ） A．米 B．米 C．米 D．200米 【答案】C 【分析】过点A作于D，根据题意可求出，，解求出的长，再解求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于D， 由题意得，，，米， ∴， 在中，（米）， 在中，（米）． 2．（2026九年级上·全国·专题练习）如图所示，在距离铁轨的处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这列动车的平均车速是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，利用垂直的定义可证得，利用已知条件可知，，可得到，的长，然后根据，代入计算求出的长，即可求出这列动车的平均车速． 【详解】解：过点作于点， ∴， 当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上， ，， ，， ， 这列动车的平均车速为． 3．（2026·江苏南通·二模）如图，在某次表演中，机器人需要从处移动到北偏东的处，机器人先向正东方向移动到达处，再向北偏东方向移动到处，则处到的距离长为（     ） A． B．60 C． D． 【答案】D 【分析】设米，分别求出米，，根据列方程求解即可． 【详解】解：设米， 在中，， ∴， ∴米， 在中，， ∵，即， ∴， ∵米， ∴， 解得：， 所以，处到的距离长为米． 知识点四 解直角三角形实际应用的一般步骤 ①弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； ②将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形. ③选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； ④得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． 【常见类型】航海、建桥修路、测量楼高、塔高等. 题型01 仰角俯角问题 典｜例｜精｜析 例1（26-27九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，小明在楼顶点A处测得对面大楼楼顶点C处的仰角为，楼底点D处的俯角为．若两座楼与相距60米，则大楼的高度为_________米（结果保留根号）． 【答案】 【分析】先在中，解直角三角形可得的长，再在中，解直角三角形即可得的长． 【详解】解：由题意得：，，，，，米， ∴，，， ∴， 在中，（米）， 在中，（米）． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为和，如果这时气球的高度为100米，且点A、D、B在同一直线上，则建筑物A、B之间的距离为______米（结果保留根号）． 【答案】 【分析】解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，米，， 在中，米， 在中，米， ∴米， ∴建筑物A、B之间的距离为米． 2．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，两棵垂直于地面的松树之间的水平距离为，小明站在两棵松树正中间，小明眼睛所在位置为D处，小明看向松树顶端E处的仰角为，看向松树顶端A处的仰角为，则两树的高度差约为______．（精确到，参考数据：） 【答案】/米 【分析】过点作分别交、于点、，先证明四边形为矩形，进而可得，根据图象可得两树高度之差为，进而即可求解． 【详解】解：如图，过点作分别交、于点、， 根据题意得，，，，，， ∴四边形为矩形， ∵，且C为中点， ，，， ，， 两树之间的高度差为 （米）． 3．（2026·四川眉山·模拟预测）眉山东坡泡菜文化广场上坐落着“天下第一菹坛”，它是中国泡菜城标志性雕塑．如图，某校学生测量其高度（含底座），先在点C处用测角仪测得其坛顶端A的仰角为，再由点C走8米到点E处，测得其坛顶端A的仰角为．已知B、E、C三点在一条直线上，测角仪的高度米．则天下第一菹坛的高为_______________．（参考数据：，结果保留整数） 【答案】米/ 【分析】过点作于点，证明四边形，四边形和四边形是矩形，则求出米，米，即可求出答案． 【详解】解：过点作于点， 由题意可知，， ∵， ∴四边形，四边形和四边形是矩形， ∴米，米， ∴ ∴三点共线， 在中， ， ∴ 在中，∵，， ∴, 即，解得（米） ∵米 ∴（米） 即天下第一菹坛的高为米． 题型02 方向角问题 典｜例｜精｜析 例2（26-27九年级上·北京·课后作业）如图，某海警船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业的渔船D在南偏西方向，海警船航行到B处时望见渔船D在南偏东方向，又航行了一小时到达C处，望见渔船D在南偏东方向，若海警船的速度为25海里/时，则A，B之间的距离为________海里．（，结果精确到0.1海里） 【答案】68.3 【分析】过点D作垂直于H，因为D处在A处南偏西、在B处南偏东，所以和都是等腰直角三角形，得，因为海警船速度为25海里/时，航行1小时从B到C，所以海里，那么．因为D处在C处南偏东，所以，在中，结合正切函数的定义，建立与的关系式，求解， 由即可得解． 【详解】过点D作于H，则， 由题意可知A、B、C三点在同一条东西向直线上． 在A处望见D在南偏西， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 在B处望见D在南偏东， 同理，也是等腰直角三角形，． ∴， ∴． 已知海警船速度为25海里/时，从B航行1小时到C， ∴海里． ∵在C处望见D在南偏东， ∴， 在中，， 即． 又∵， ∴ ， 整理得， 解得． ， 代入， 得（海里）． 变｜式｜巩｜固 1．（2022·湖北·模拟预测）如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西方向匀速航行，2小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西方向上，则灯塔C与码头B的距离是____海里．（结果保留根号） 【答案】 【分析】过点B作于点F，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长即可． 【详解】解：如图， 由题意可得，，，（海里）， ， ． 过点B作于点F，如图： 在中，， （海里）， 在中，， （海里）． 即灯塔C与码头B的距离是海里． 2．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）如图，某景区内两条互相垂直的道路，交于点，景点，在道路上，景点在道路上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路上又开发了风景优美的景点．经测得景点位于景点的北偏西方向上，位于景点的北偏西方向上，景点位于景点的南偏东方向上．已知．则景点与景点之间的距离为__________． 【答案】 【分析】根据题意易得到，进而得到，在中，，，利用求解即可． 【详解】解：景点位于景点的北偏西方向上， ， 景点位于景点的北偏西方向上， 、， ， ， ， 在中，， ， ，景点位于景点的南偏东方向上， ， ， ． 3．（23-24九年级下·福建厦门·自主招生）如图，轮船在处观测灯塔位于北偏西方向上，轮船从处以每小时25海里的速度沿南偏西方向匀速航行，2小时后到达码头处，此时，观测灯塔位于北偏西方向上，则灯塔与码头的距离是______海里．（结果保留根号） 【答案】 【分析】过作于点，根据锐角三角函数定义求出的长，再由锐角三角函数求出的长即可． 【详解】解：如图，过作于点， ， 由题可知（海里）， ， ， ， ， （海里）， ， （海里）， ∴灯塔与码头的距离是海里． 题型03 坡度坡角问题 典｜例｜精｜析 例3（26-27九年级下·全国·单元测试）一个水坝的横断面如图（），背水坡的坡比，坡面长米，迎水坡的坡角，则迎水坡坡面CD是________米． 【答案】 【分析】过梯形两个上顶点向下底作高，构造两个直角三角形与中间矩形，利用坡比结合勾股定理求出坝高，矩形对边相等得到，由得到是等腰直角三角形，从而，再由勾股定理即可求出坡面长度． 【详解】解：如图，过点作，过点作， 背水坡的坡比， ， 在中，米，设,则， ， ， ， ， ， ， 米， ， ， 四边形是矩形， 米， ， ， 米， 在中，米． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级下·山东淄博·期中）某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动．如图，桥墩刚好在坡度为的斜坡边上，斜坡长为48米，在点处测得桥墩最高点的仰角为，平行于水平线，长为米，则桥墩的高度为_____米． 【答案】64 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用（坡度、仰角问题），解题的关键是利用坡度求出斜坡的水平与垂直高度，再结合仰角构造直角三角形求解． 先由坡度求出斜坡与水平面的夹角，再根据斜坡长度求出点相对于的垂直高度和水平距离；结合的长度求出点相对于点的总水平距离；最后利用仰角的正切值建立方程求解桥墩的高度． 【详解】解：过点作于点，延长交于点． 斜坡的坡度， ， ， ∴. 米， (米)，(米)． (米)． 在中，，， (米)． ， 米． 故答案为：． 2．（2020·广东揭阳·二模）如图，张明家附近有一斜坡米，其坡度，斜坡上有一古树，点F为的中点，，张明在山底A处看古树树顶E的仰角为，则古树的高为______米． 【答案】20 【分析】根据坡度求出坡角的度数，结合仰角求出的度数，利用三角形外角的性质求出的度数，从而判定为等腰三角形，利用中点性质求出的长即可得出的长． 【详解】解：斜坡的坡度， ， ， 在处看古树树顶的仰角为， ， ， 是的外角，且， ， ， ， 点为的中点， ， ， ∴古树的高为20米． 3．（2026·四川德阳·模拟预测）数学兴趣小组的同学，利用所学的“视角与坡度”的知识，设计了求斜坡上树AB高度的方案，用测量工具得到了相关数据：斜坡的坡度，坡长，在C处测得树顶端A的仰角为，D处测得树顶端A的仰角为，则树的高度是________． 【答案】 【分析】作于点，于点，求得，得到，，设，解直角三角形求得，由，得到，据此列式计算即可求解． 【详解】解：作于点，于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵斜坡的坡度， ∴， ∴， ∴，， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，则， 解得， ∴树的高度是． 题型04 实物建模问题 “实物抽象找直角，已知元素标三角；勾股定理求边长，三角函数边角找；单位统一别忘掉，结果验证要周到。”通过以上方法，可将复杂的实物问题转化为 “直角三角形的边角计算”，核心是抓住 “垂直关系” 和 “已知量的对应”，用直角三角形的基本性质（勾股定理、三角函数）实现从 “实物” 到 “数学模型” 再到 “结果” 的转化。 典｜例｜精｜析 例4．（26-27九年级上·北京西城·期中）智能四足机器狗在多场景开展示范应用，机器狗水平行走时侧面如图1所示，四边形，四边形都是平行四边形，，，当机器狗前腿直立时，侧面如图2所示，此时，，三点刚好共线，，，则机器狗的身长_____．（结果精确到）参考数据：，，． 【答案】 【分析】由平行四边形对边相等得，；过点C作、，构造矩形与双直角三角形．先在中由求得，再计算得；最后在中由列方程，解得． 【详解】解：∵四边形、四边形都是平行四边形， ∴，， 过点C作于点G，于点H，如图： 由题意得，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ 解得， 验证：当时，， ∴是原分式方程的解． 变｜式｜巩｜固 1．（2022·山东济宁·模拟预测）2017年，温州市积极推进共享单车服务（如图①），努力构建绿色环保出行城市，图②是某品牌26寸单车的车架示意图（车轮半径约为），其中直线l，，，则单车车座E到地面的高度为______．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】70 【分析】过点E作于点F，解直角三角形求出，进而求解即可． 【详解】解：如图，过点E作于点F， ∵，， ∴， ∴， ∵直线l，车轮半径约为， ∴， ∴单车车座E到地面的高度为． 2．（2022·浙江温州·二模）如图1是一台刷脸支付仪，由底柱、水平托板、支撑板和电子器材构成，图2是其上半部分的侧面示意图．电子器材长，支撑板长，水平托板离地面的高度为，，，已知摄像头在点A处，支撑点B是的中点，如图2，则摄像头（点A）离地面的高度h是______（精确到，参考数据：，） 【答案】 【分析】过点A、B分别作的垂线，垂足分别为F、G，过点B作于点H，则可求得的长，再证明四边形是矩形，得，，则可求得及，根据即可求解． 【详解】解：如图，过点A、B分别作的垂线，垂足分别为F、G，过点B作于点H， 在中，， 则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，点B是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 即摄像头（点A）离地面的高度h是． 3．（2022·浙江温州·三模）某吹风机外观如图1，主机和手柄均为圆柱形状（尺寸见标注），主机前端是出风口，小明为吹风机制作收纳架如图2，该架子的置物平面α、衔接平面β、支撑曲面γ是固定结构，底座θ与曲面γ的连接处有转轴，放置吹风机时，出风口卡在平面α的圆孔，手柄紧靠在曲面上（与相切）．其主视图中（如图3），曲面γ呈半圆形状，为直径，直线恰好经过圆心O，且．当吹风机卡在第一个圆孔时，主机顶点A与置物面顶点P重合，D落在中点处，，，若，则吹风机最高点B到底座的距离为________．为解决壁柜内部高度不足的问题，将吹风机移至第二个圆孔，手柄仍然紧靠曲面，此时点D与Q重合（如图4），再把收纳架绕N点逆时针旋转一定角度，使得顶点F恰好落在直线上．移动后，点B到底座的距离为________． 【答案】 29.4 / 【分析】①连接，过点B作于点K，延长交于点O，过点O作，过点A作，过点O作，构造直角三角形，解直角三角形求出吹风机最高点B到底座的距离； ②过点A作交延长线于点W，过点B作交延长线于点R，延长交于点L，经过圆心O，过点F作交延长线于点S，构造直角三角形，利用解直角三角形，矩形的性质，相似三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质求出吹风机最高点B到底座的距离． 【详解】①解：如下图所示，连接，过点B作于点K，延长交于点O，过点O作，过点A作，过点O作， 则四边形是矩形， ， 由题意可知，，，， ， ， ， ， 点D是的中点， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 过点M作， 则， 设，则， ， ， 解得：（负值舍去）， ， ， ， ， ， 解得：（负值舍去）， ， ∴吹风机最高点B到底座的距离为； ②解：如图，过点A作交延长线于点W，过点B作交延长线于点R，延长交于点L，经过圆心O，过点F作交延长线于点S， ∴四边形是矩形， ∴，，， 过点M作交于点X，过点N作交于点Y， ∵，， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 解得：， ∴，， ∴是等腰直角三角形，即， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴吹风机最高点B到底座的距离为． 题型05 物理实验问题 解直角三角形在物理中的应用，本质是 “用几何工具解决矢量问题”—— 先通过分解将复杂矢量转化为直角三角形的边，再用物理规律列方程，最后用几何性质求结果，核心是 “物理场景→矢量分解→规律应用→几何求解” 的闭环。 典｜例｜精｜析 例5 （2024·福建泉州·模拟预测）我们在物理学科中学过：光线从空气射入并水中会发生折射现象（如图1）．为了观察光线的折射现象，设计了如图2所示的实验，利用激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在处，加水至处，光斑左移至处．图3是实验的示意图，四边形为矩形，测得入射角，折射角，，则光斑移动的距离的长为________．（用含，，的代数式表示） 【答案】 【分析】延长交于，利用三角函数解答即可．本题考查了列代数式的知识，掌握三角函数的性质是解题关键． 【详解】解：延长交于． ， ， ， ， ． 故答案为： 变｜式｜巩｜固 1．（2026九年级下·黑龙江大庆·专题练习）如图，物理实验室的水平支架上有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从处测得，两点的俯角、分别为和，若该摆绳的长度为，过点作于点，此时点相对于点升高了多少？ 【答案】点相对于点升高了． 【分析】过点作，由题意得，，利用三角函数得出、，利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：过点作， 由题意得，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 此时点相对于点升高了． 2．（2024·甘肃·模拟预测）某学习小组在物理实验结束后，利用实验装置探究几何测量问题． 课题 探究物理实验装置中的几何测量问题 成员 组长：xxx  组员：xxx，xxx，xxx 实验工具 测角仪，皮尺，摄像机等 方案设计 方案一 方案二 测量方案 示意图 （已知） （已知） 说明 点P为摄像机的位置，小车从同一斜面上相同高度处由静止开始沿斜面下滑，点A为小车从斜面到达水平面的位置，点C为木块的位置． 测量数据 米，， ． 米，， ． 请选择其中一种方案计算出摄像机机位P到小车行驶轴线的竖直距离.（结果精确到0.1米，参考数据） 【答案】摄像机机位P到小车行驶轴线的竖直距离米 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意，把实际问题抽象为数学问题是关键； 选择方案一：在中，有；在中，有，由此建立方程，求得，即可求得的长； 选择方案二：在中，有；在中，有，由此建立方程，求得，即可求得的长； 【详解】解：选择方案一：在中，有； 在中，有， 即：， ， （米）； 选择方案二：在中，有； 在中，有， 即， ， （米）； 答：摄像机机位P到小车行驶轴线的竖直距离为米． 3．（2025·安徽合肥·二模）测角仪的工作原理主要基于光学原理和电子测量技术，某兴趣小组为了探究测角仪器的工作原理，在物理老师的指导下制作了简易的测角仪器并且用于实践活动中，他们要用测角仪测量安徽境内一座大桥的高度（如图1），并设计了方案：如图2，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角为，测得桥塔底部的俯角为米，在点处测得桥塔顶部的仰角为．求桥塔的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：．） 【答案】桥塔的高度约为 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合是解题的关键．设，解，得到．解，求出，再求出求出，根据即可得到答案． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， ， ，， ， 解得：． ，， ． ． 答：桥塔的高度约为． 题型06 方案设计问题 典｜例｜精｜析 例6（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）老师带领数学小组仅用测角仪和皮尺测量某桥外侧拱顶离水面的高度．如图，拱顶离水面的高度为，点A、B是水平地面上两点，且与点E、F均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为2米，测角仪支架高度为1.5米，要达成目的，还需测量其他数据，下列方案可行的是______（填序号）．    ①的长，的度数； ②的长，的度数； ③的长，的度数； ④的长，，的度数． 【答案】④ 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据题意构造出直角三角形是解答此题的关键．设，．，．，．则．，若已知的长，设，则，代入可解得，进而求得，最终得到． 【详解】解：由题意可得，测角仪水平视线到水面的高度为米，即3.5米， 因此，要求只需先求． 设，． 在中，， 则． 在中，， 则． 所以． 又因为是地面上两点的距离，且与测角仪测量点在同一水平线上，测角仪支架高度相同， 所以， 若已知的长，设，则，代入可解得， 进而求得，最终得到． 综上，需要测量、，这样就能通过解方程组求出，从而得到． ①中的长和的度数，无法直接求，也无法建立两个方程求解： ②中缺少，无法联立方程组： ③实际测量中无法直接得到； ④中的长、的度数，符合上述分析，通过两个仰角和两点距离可求解，进而得到． 故答案为：④． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27九年级上·重庆九龙坡·阶段检测）综合与实践． 如图，综合与实践小组的同学发现，某小区单元门口设有台阶，且没有无障碍通道，对日常依靠轮椅和拐杖出门的老人存在安全隐患．综合与实践小组查阅资料，整理该小区无障碍通道设计方案如下． 【信息采集】 国家《无障碍设计规范》强制要求（保障老人通行安全）：轮椅坡道起点、终点、中间休息平台的水平长度不应小于（满足轮椅转身、停留需求）；无障碍出入口的轮椅坡道净宽度不应小于． 某单元门口数据采集： 入户台阶总高度为；入户门单侧可做延伸通道，最大可用长度为． 计划修建的轮椅通行坡道的坡度为． 【方案设计】 方案一：单段直坡道 如图，入户台阶高度，坡道起点和终点休息平台的水平长度为，为单段直坡道． 方案二：两段式折返坡道 如图，入户台阶高度，坡道起点和中间休息平台的水平长度（终点为单元门前人行道，无需另外设计平台），和为两段式折返坡道． 【问题解决】 (1)结合国家《无障碍设计规范》强制要求，计算方案一中的长度，并判断方案一是否可行； (2)结合题意判断方案二是否可行，并说明理由． 【答案】(1)方案一中的长度为，方案一不可行； (2)方案二可行，理由如下： 如图，过点作的垂线，交的延长线于点，记的延长线交于点， ∴四边形和是矩形， ∴，，，， 设，则， ∵坡道的坡度为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴，， ∴， ∵， ∴方案二可行． 【分析】过作于点，可得四边形是矩形，则，，由题意可知，坡道的坡度为，所以，解得，然后通过，然后与比较即可； 过点作的垂线，交的延长线于点，记的延长线交于点，则有四边形和是矩形，所以，，，，设，则，根据题意得，然后证明，根据，即，解得，所以，，则，然后与比较即可． 【详解】（1）解：如图，过作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由题意可知，坡道的坡度为， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵入户门单侧可做延伸通道，最大可用长度为，且， ∴方案一不可行， 答：方案一中的长度为，方案一不可行； （2）略． 2．（25-26八年级下·山东济南·期末）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内． (1)求的长； (2)求楼与之间的距离的长．（结果精确到米）（参考数据：，，，） 【答案】(1)长为 (2)约为米 【分析】（1）延长交的延长线于点，设米，可得，，由可得关于的方程，解方程求出的值根据即可求出结果； （2）过点作，交于点，根据求出的长度，根据求出的长度，再根据求出结果． 【详解】（1）解：如下图所示，延长交的延长线于点，设米， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 答：的长为； （2）解：过点作，交于点， ，， ， 点到楼的水平距离为，即， 在中，，， ， ， 答：楼与之间的距离的长约为米． 3．（2026·河南周口·三模）某综合实践活动小组，尝试利用无人机（无人机限高米）测算某广播电视发射塔的高度，设计了如下两种方案： 【方案一】如图，无人机位于离地面高度为米的处，测得与塔顶处的仰角为，与塔底处的俯角为．（参考数据：，，，，） 【方案二】如图，当无人机位于离地为米的处时，测得与塔顶处的仰角为；当无人机垂直上升到离地面高度为米的处时，测得与塔顶处的仰角为．（参考数据：，，） (1)请你选择其中一种可行的测算方案：________；（填“方案一”或“方案二”） (2)根据（1）中选择的方案，求该发射塔的高度．（结果保留整数） 【答案】(1)方案二 (2)发射塔的高度为160米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）根据题意分析方案可行性即可求解； （2）先分别过点作于点，过点作于点，过点作于点，由题意得四边形和四边形都是矩形，则，，，利用即可求解出的长度，最后再求出即可． 【详解】（1）解：方案一：无人机位于高度为米的处，由于无法计算无人机到的水平距离等关键信息，无法准确计算发射塔的高度，存在缺陷； 方案二：无人机在（高度为米）和（高度为米） 处，可通过构建直角三角形，利用仰角和已知海拔高度，建立方程求解塔顶相对高度，进而求出发射塔的高度，方案可行，所以选择方案二； 故答案为：方案二． （2）如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点 由题意得四边形和四边形都是矩形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴该发射塔的高度为米． 题型07 临界值问题 典｜例｜精｜析 例7（23-24九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，海上观察哨所位于观察哨所正北方向，距离为海里．在某时刻，哨所与哨所同时发现一走私船，其位置位于哨所北偏东的方向上，位于哨所南偏东的方向上．若观察哨所发现走私船从处以海里／小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东的方向前去拦截，则缉私艇的速度为______海里／小时时，恰好在处成功拦截．（结果保留根号）（参考数据：，，，） 【答案】 【分析】过点作于点，根据题意可得、、三点共线，由三角形的内角和定理可得，再根据三角函数求出，进而利用三角函数求出、，再求出，根据勾股定理求出，利用线段和差求出，然后求出走私船从到所用时间，最后根据速度路程时间，即可求解． 【详解】解：过点作于点， 由题意得，，，海里，方向为正东，方向为正北， ，， 、、三点共线， 海里， 海里，海里， 海里， 海里，海里， 走私船从到所用时间为小时，缉私艇的速度为海里／小时． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·重庆·期末）随着智能物流系统的普及，许多仓储中心开始使用机器人协同作业．某分拣中心为优化路径，设置了四个智能站点A，B，C，D（位于同一平面）．如图，A在B的南偏西方向72米处，C在A的东北方向，且在B的正北方向，D在A的北偏东方向，且在C的正西方向．（参考数据：） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)两个物流机器人同时从不同站点出发执行运输任务，机器人甲从C出发沿着前往D处取货，机器人乙从D出发沿着前往A装货，乙的速度是甲的2倍．机器人之间通过车间通信系统保持实时数据同步，有效通信距离为33米．请通过计算说明，当甲距离C多少米时，两个机器人之间的直线距离开始超出通信范围？（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1) (2)当甲距离C大于米时，两个机器人之间的直线距离开始超出通信范围 【分析】本题考查解直角三角形，特殊角的三角函数，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）过点B作于点E，过点A作，交的延长线于点F，推导出，，，求出，，得到米，进而求出米，则，计算求解即可． （2）设当甲距离C的距离为x米时，两个机器人之间的直线距离为33米，此时甲所在位置为M，乙所在位置为N，过点N作，交的延长线于点P，推导出米，，米，继而求出，再根据勾股定理，得到，求出或（不符合题意，舍去），即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点B作于点E，过点A作，交的延长线于点F， ∴， 由题意及图，得 米， ∴， ∴， ∴， 米， ∴， ， ∴米， ∴米， ∴米； （2）解：设当甲距离C的距离为x米时，两个机器人之间的直线距离为33米，此时甲所在位置为M，乙所在位置为N，如图，过点N作，交的延长线于点P， ∴， ∴， ∵，，米， ∴米， ∴米米， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）． ∴当甲距离C大于米时，两个机器人之间的直线距离开始超出通信范围． 2．（24-25九年级上·福建·期中）如图，为一栋高楼，楼的底部不能到达．某广告公司计划在楼的顶部安装一块广告宣传画，但不能超出楼顶A也不能遮住这栋楼的窗户．小明先在这栋楼周围的空地上选一个点D，并在D处安装了测角仪，测得楼的顶部A的仰角（视线与水平线所成的锐角）为，窗户顶部M的仰角为，再在的延长线上确定一点G，使米，并在地面G处，水平放置一面镜子，小明沿方向移动，当小明到F处时，恰好在镜子中看到楼的顶部A，此时测得米，小明眼睛与地面的距离米，测角仪的高度米，已知点F，G，D，B在同一条水平线上，均垂直于地面．问：计划安装的广告宣传画的高度不能超过多少米？（参考数据：，） 【答案】计划安装的广告宣传画的高度不能超过米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用和相似三角形的实际应用，正确理解题意，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，解中，设，则，解中，则，可证明，则，求出，再由求解即可． 【详解】解：过点作于点， 由题意得：， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， 在中，，设 ∴， ∵在中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴ ∴计划安装的广告宣传画的高度不能超过米． 3．（2026·江苏徐州·一模）如图，一艘渔船自东向西以每小时12海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息：码头A在灯塔B北偏西方向．15点时渔船航行至灯塔B北偏东方向的C处．时，渔船航行至灯塔B东北方向的灯塔处，受冷空气影响，今天18点到夜间码头A附近海域将出现浓雾．若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头．（参考数据：） 【答案】渔船能在浓雾到来前到达码头 【分析】过点作于点，设，根据题意得出，解，由建立方程，即可求解；求得的距离，计算的距离，根据路程除以速度得到航行时间，结合题意，即可求解． 【详解】解：如图，过作于点． 15点时渔船航行至灯塔B北偏东方向的C处．时渔船航行至灯塔B东北方向的灯塔处， （海里）， 设．由题意可知，，，， ，， ． 在中，， 解得， 在中，，， ， ， （小时）（分钟）， 从，经过133分钟是，在之前能到达， ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十二章 锐角三角函数 32.2 应用举例 知识点一 仰角、俯角 视角：视线与水平线的夹角叫做视角． 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 【注意】仰角和俯角是相对于水平线而言的，在不同的位置观测，仰角和俯角是不同的. 即学即练 1．（26-27九年级上·广西贵港·期中）如图是某商场自动扶梯的示意图．自动扶梯与地面的坡角为，在自动扶梯下方地面处测得扶梯顶端的仰角为，、之间的距离为，则自动扶梯的垂直高度（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级下·全国·阶段检测）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），图2为其示意图，摄像头的仰角、俯角均为，高度为．某人笔直站在离摄像头水平距离的点处，他的身高为，头部高度为，若此人要能被摄像头识别，则的取值范围为（参考数据：，，）（    ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·北京·课堂例题）陈垣是中国杰出的历史学家、教育家，陈垣故居位于广东省江门市，故居的前面矗立着陈垣先生的半身塑像，如图，从塑像正前方距离底座点米的点处测量，塑像底部点的仰角为，顶部点的仰角为，点在同一条直线上，则塑像的高度为（   ）． A．米 B．米 C．米 D．米 知识点二 坡度、坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即，坡度一般写为1：m的形式（比的前项为1，后项可以是小数）. 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α， 【注意】坡度与坡角是两个不同的概念，坡角是两个面的夹角，坡度(用字母i表示)是比；两者之压间的关系是，坡角越大，坡度越大. 即学即练 1．（26-27九年级上·湖南湘潭·期中）如图是拦水坝的横断面，斜坡的水平宽度为12米，斜面坡度，则水坝高度的长（     ） A．2米 B．6米 C．米 D．24米 2．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，大坝的横截面是梯形，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为（     ） A．8米 B． C． D． 3．（26-27九年级下·全国·单元复习）电力公司在改造电网时把某一输电线铁塔建在了一个坡度为的山坡的平台上（如图），测得，米，米，米，则铁塔的高度约为（     ）（参考数据：，，） A．米 B．米 C．米 D．米 知识点三 方位角、方向角 方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45° 即学即练 1．（26-27九年级上·山东淄博·期中）一段东西方向的海岸线上，小明从点A测得灯塔C位于北偏西方向，向东走300米到达点B处，测得灯塔C位于北偏西方向，点A到灯塔C的距离AC为（     ） A．米 B．米 C．米 D．200米 2．（2026九年级上·全国·专题练习）如图所示，在距离铁轨的处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这列动车的平均车速是（   ）． A． B． C． D． 3．（2026·江苏南通·二模）如图，在某次表演中，机器人需要从处移动到北偏东的处，机器人先向正东方向移动到达处，再向北偏东方向移动到处，则处到的距离长为（     ） A． B．60 C． D． 知识点四 解直角三角形实际应用的一般步骤 ①弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； ②将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形. ③选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； ④得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． 【常见类型】航海、建桥修路、测量楼高、塔高等. 题型01 仰角俯角问题 典｜例｜精｜析 例1（26-27九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，小明在楼顶点A处测得对面大楼楼顶点C处的仰角为，楼底点D处的俯角为．若两座楼与相距60米，则大楼的高度为_________米（结果保留根号）． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为和，如果这时气球的高度为100米，且点A、D、B在同一直线上，则建筑物A、B之间的距离为______米（结果保留根号）． 2．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，两棵垂直于地面的松树之间的水平距离为，小明站在两棵松树正中间，小明眼睛所在位置为D处，小明看向松树顶端E处的仰角为，看向松树顶端A处的仰角为，则两树的高度差约为______．（精确到，参考数据：） 3．（2026·四川眉山·模拟预测）眉山东坡泡菜文化广场上坐落着“天下第一菹坛”，它是中国泡菜城标志性雕塑．如图，某校学生测量其高度（含底座），先在点C处用测角仪测得其坛顶端A的仰角为，再由点C走8米到点E处，测得其坛顶端A的仰角为．已知B、E、C三点在一条直线上，测角仪的高度米．则天下第一菹坛的高为_______________．（参考数据：，结果保留整数） 题型02 方向角问题 典｜例｜精｜析 例2（26-27九年级上·北京·课后作业）如图，某海警船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业的渔船D在南偏西方向，海警船航行到B处时望见渔船D在南偏东方向，又航行了一小时到达C处，望见渔船D在南偏东方向，若海警船的速度为25海里/时，则A，B之间的距离为________海里．（，结果精确到0.1海里） 变｜式｜巩｜固 1．（2022·湖北·模拟预测）如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西方向匀速航行，2小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西方向上，则灯塔C与码头B的距离是____海里．（结果保留根号） 2．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）如图，某景区内两条互相垂直的道路，交于点，景点，在道路上，景点在道路上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路上又开发了风景优美的景点．经测得景点位于景点的北偏西方向上，位于景点的北偏西方向上，景点位于景点的南偏东方向上．已知．则景点与景点之间的距离为__________． 3．（23-24九年级下·福建厦门·自主招生）如图，轮船在处观测灯塔位于北偏西方向上，轮船从处以每小时25海里的速度沿南偏西方向匀速航行，2小时后到达码头处，此时，观测灯塔位于北偏西方向上，则灯塔与码头的距离是______海里．（结果保留根号） 题型03 坡度坡角问题 典｜例｜精｜析 例3（26-27九年级下·全国·单元测试）一个水坝的横断面如图（），背水坡的坡比，坡面长米，迎水坡的坡角，则迎水坡坡面CD是________米． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级下·山东淄博·期中）某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动．如图，桥墩刚好在坡度为的斜坡边上，斜坡长为48米，在点处测得桥墩最高点的仰角为，平行于水平线，长为米，则桥墩的高度为_____米． 2．（2020·广东揭阳·二模）如图，张明家附近有一斜坡米，其坡度，斜坡上有一古树，点F为的中点，，张明在山底A处看古树树顶E的仰角为，则古树的高为______米． 3．（2026·四川德阳·模拟预测）数学兴趣小组的同学，利用所学的“视角与坡度”的知识，设计了求斜坡上树AB高度的方案，用测量工具得到了相关数据：斜坡的坡度，坡长，在C处测得树顶端A的仰角为，D处测得树顶端A的仰角为，则树的高度是________． 题型04 实物建模问题 “实物抽象找直角，已知元素标三角；勾股定理求边长，三角函数边角找；单位统一别忘掉，结果验证要周到。”通过以上方法，可将复杂的实物问题转化为 “直角三角形的边角计算”，核心是抓住 “垂直关系” 和 “已知量的对应”，用直角三角形的基本性质（勾股定理、三角函数）实现从 “实物” 到 “数学模型” 再到 “结果” 的转化。 典｜例｜精｜析 例4．（26-27九年级上·北京西城·期中）智能四足机器狗在多场景开展示范应用，机器狗水平行走时侧面如图1所示，四边形，四边形都是平行四边形，，，当机器狗前腿直立时，侧面如图2所示，此时，，三点刚好共线，，，则机器狗的身长_____．（结果精确到）参考数据：，，． 变｜式｜巩｜固 1．（2022·山东济宁·模拟预测）2017年，温州市积极推进共享单车服务（如图①），努力构建绿色环保出行城市，图②是某品牌26寸单车的车架示意图（车轮半径约为），其中直线l，，，则单车车座E到地面的高度为______．（结果精确到，参考数据：，，） 2．（2022·浙江温州·二模）如图1是一台刷脸支付仪，由底柱、水平托板、支撑板和电子器材构成，图2是其上半部分的侧面示意图．电子器材长，支撑板长，水平托板离地面的高度为，，，已知摄像头在点A处，支撑点B是的中点，如图2，则摄像头（点A）离地面的高度h是______（精确到，参考数据：，） 3．（2022·浙江温州·三模）某吹风机外观如图1，主机和手柄均为圆柱形状（尺寸见标注），主机前端是出风口，小明为吹风机制作收纳架如图2，该架子的置物平面α、衔接平面β、支撑曲面γ是固定结构，底座θ与曲面γ的连接处有转轴，放置吹风机时，出风口卡在平面α的圆孔，手柄紧靠在曲面上（与相切）．其主视图中（如图3），曲面γ呈半圆形状，为直径，直线恰好经过圆心O，且．当吹风机卡在第一个圆孔时，主机顶点A与置物面顶点P重合，D落在中点处，，，若，则吹风机最高点B到底座的距离为________．为解决壁柜内部高度不足的问题，将吹风机移至第二个圆孔，手柄仍然紧靠曲面，此时点D与Q重合（如图4），再把收纳架绕N点逆时针旋转一定角度，使得顶点F恰好落在直线上．移动后，点B到底座的距离为________． 题型05 物理实验问题 解直角三角形在物理中的应用，本质是 “用几何工具解决矢量问题”—— 先通过分解将复杂矢量转化为直角三角形的边，再用物理规律列方程，最后用几何性质求结果，核心是 “物理场景→矢量分解→规律应用→几何求解” 的闭环。 典｜例｜精｜析 例5 （2024·福建泉州·模拟预测）我们在物理学科中学过：光线从空气射入并水中会发生折射现象（如图1）．为了观察光线的折射现象，设计了如图2所示的实验，利用激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在处，加水至处，光斑左移至处．图3是实验的示意图，四边形为矩形，测得入射角，折射角，，则光斑移动的距离的长为________．（用含，，的代数式表示） 变｜式｜巩｜固 1．（2026九年级下·黑龙江大庆·专题练习）如图，物理实验室的水平支架上有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从处测得，两点的俯角、分别为和，若该摆绳的长度为，过点作于点，此时点相对于点升高了多少？ 2．（2024·甘肃·模拟预测）某学习小组在物理实验结束后，利用实验装置探究几何测量问题． 课题 探究物理实验装置中的几何测量问题 成员 组长：xxx  组员：xxx，xxx，xxx 实验工具 测角仪，皮尺，摄像机等 方案设计 方案一 方案二 测量方案 示意图 （已知） （已知） 说明 点P为摄像机的位置，小车从同一斜面上相同高度处由静止开始沿斜面下滑，点A为小车从斜面到达水平面的位置，点C为木块的位置． 测量数据 米，， ． 米，， ． 请选择其中一种方案计算出摄像机机位P到小车行驶轴线的竖直距离.（结果精确到0.1米，参考数据） 3．（2025·安徽合肥·二模）测角仪的工作原理主要基于光学原理和电子测量技术，某兴趣小组为了探究测角仪器的工作原理，在物理老师的指导下制作了简易的测角仪器并且用于实践活动中，他们要用测角仪测量安徽境内一座大桥的高度（如图1），并设计了方案：如图2，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角为，测得桥塔底部的俯角为米，在点处测得桥塔顶部的仰角为．求桥塔的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：．） 题型06 方案设计问题 典｜例｜精｜析 例6（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）老师带领数学小组仅用测角仪和皮尺测量某桥外侧拱顶离水面的高度．如图，拱顶离水面的高度为，点A、B是水平地面上两点，且与点E、F均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为2米，测角仪支架高度为1.5米，要达成目的，还需测量其他数据，下列方案可行的是______（填序号）．    ①的长，的度数； ②的长，的度数； ③的长，的度数； ④的长，，的度数． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27九年级上·重庆九龙坡·阶段检测）综合与实践． 如图，综合与实践小组的同学发现，某小区单元门口设有台阶，且没有无障碍通道，对日常依靠轮椅和拐杖出门的老人存在安全隐患．综合与实践小组查阅资料，整理该小区无障碍通道设计方案如下． 【信息采集】 国家《无障碍设计规范》强制要求（保障老人通行安全）：轮椅坡道起点、终点、中间休息平台的水平长度不应小于（满足轮椅转身、停留需求）；无障碍出入口的轮椅坡道净宽度不应小于． 某单元门口数据采集： 入户台阶总高度为；入户门单侧可做延伸通道，最大可用长度为． 计划修建的轮椅通行坡道的坡度为． 【方案设计】 方案一：单段直坡道 如图，入户台阶高度，坡道起点和终点休息平台的水平长度为，为单段直坡道． 方案二：两段式折返坡道 如图，入户台阶高度，坡道起点和中间休息平台的水平长度（终点为单元门前人行道，无需另外设计平台），和为两段式折返坡道． 【问题解决】 (1)结合国家《无障碍设计规范》强制要求，计算方案一中的长度，并判断方案一是否可行； (2)结合题意判断方案二是否可行，并说明理由． 2．（25-26八年级下·山东济南·期末）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内． (1)求的长； (2)求楼与之间的距离的长．（结果精确到米）（参考数据：，，，） 3．（2026·河南周口·三模）某综合实践活动小组，尝试利用无人机（无人机限高米）测算某广播电视发射塔的高度，设计了如下两种方案： 【方案一】如图，无人机位于离地面高度为米的处，测得与塔顶处的仰角为，与塔底处的俯角为．（参考数据：，，，，） 【方案二】如图，当无人机位于离地为米的处时，测得与塔顶处的仰角为；当无人机垂直上升到离地面高度为米的处时，测得与塔顶处的仰角为．（参考数据：，，） (1)请你选择其中一种可行的测算方案：________；（填“方案一”或“方案二”） (2)根据（1）中选择的方案，求该发射塔的高度．（结果保留整数） 题型07 临界值问题 典｜例｜精｜析 例7（23-24九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，海上观察哨所位于观察哨所正北方向，距离为海里．在某时刻，哨所与哨所同时发现一走私船，其位置位于哨所北偏东的方向上，位于哨所南偏东的方向上．若观察哨所发现走私船从处以海里／小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东的方向前去拦截，则缉私艇的速度为______海里／小时时，恰好在处成功拦截．（结果保留根号）（参考数据：，，，） 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·重庆·期末）随着智能物流系统的普及，许多仓储中心开始使用机器人协同作业．某分拣中心为优化路径，设置了四个智能站点A，B，C，D（位于同一平面）．如图，A在B的南偏西方向72米处，C在A的东北方向，且在B的正北方向，D在A的北偏东方向，且在C的正西方向．（参考数据：） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)两个物流机器人同时从不同站点出发执行运输任务，机器人甲从C出发沿着前往D处取货，机器人乙从D出发沿着前往A装货，乙的速度是甲的2倍．机器人之间通过车间通信系统保持实时数据同步，有效通信距离为33米．请通过计算说明，当甲距离C多少米时，两个机器人之间的直线距离开始超出通信范围？（结果保留小数点后一位）． 2．（24-25九年级上·福建·期中）如图，为一栋高楼，楼的底部不能到达．某广告公司计划在楼的顶部安装一块广告宣传画，但不能超出楼顶A也不能遮住这栋楼的窗户．小明先在这栋楼周围的空地上选一个点D，并在D处安装了测角仪，测得楼的顶部A的仰角（视线与水平线所成的锐角）为，窗户顶部M的仰角为，再在的延长线上确定一点G，使米，并在地面G处，水平放置一面镜子，小明沿方向移动，当小明到F处时，恰好在镜子中看到楼的顶部A，此时测得米，小明眼睛与地面的距离米，测角仪的高度米，已知点F，G，D，B在同一条水平线上，均垂直于地面．问：计划安装的广告宣传画的高度不能超过多少米？（参考数据：，） 3．（2026·江苏徐州·一模）如图，一艘渔船自东向西以每小时12海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息：码头A在灯塔B北偏西方向．15点时渔船航行至灯塔B北偏东方向的C处．时，渔船航行至灯塔B东北方向的灯塔处，受冷空气影响，今天18点到夜间码头A附近海域将出现浓雾．若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头．（参考数据：） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $