专题33.2 三视图（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年人教版九年级数学下册

简一数理 初中专题讲义 专题33.2 三视图 知识点一.几何体的三视图 2 知识点二.几何体三视图的画法 3 知识点三.利用三视图计算几何体面积的方法 3 【题型 1 判断简单几何体的三视图】 3 【题型 2 判断简单组合体的三视图】 5 【题型 3 判断非实心几何体的三视图】 7 【题型 4 已知一种或两种视图，判断其他视图】 9 【题型 5 画简单几何体的三视图】 11 【题型 6 画简单组合体的三视图】 14 【题型 7 画小立方块堆砌图形的三视图】 17 【题型 8 由三视图还原几何图】 19 【题型9 已知三视图求边长】 21 【题型10 已知三视图求表面积或侧面积】 24 【题型11 求小立方块堆砌图形的表面积】 26 【题型12 已知三视图求体积】 28 【题型13 求几何体视图的面积】 30 【题型14 由三视图，判断小立方体的个数】 33 【题型15 已知三视图，求最多或最少小立方体的个数】 35 【探究式学习】 37 【课后检测】 40 【复盘笔记】 50 知识点一.几何体的三视图 视图：当我们从某一方向观察一个物体时，所看到的图形叫做物体的一个视图. 三视图：一个物体在三个投影面内同时进行正投影， ①在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图； ②在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图； ③在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图. 主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图. 三视图之间的关系： 1）位置关系：三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边， 2）大小关系：三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则. 　　　　　　　　　　　　　 知识点二.几何体三视图的画法 画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体 1）确定主视图的位置，画出主视图； 2）在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”； 3）在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”. 【注意】几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线，看得见的部分的轮廓线应画成实线. 知识点三.利用三视图计算几何体面积的方法 利用三视图想象出实物形状，再进一步画出展开图，然后计算面积. 【题型 1 判断简单几何体的三视图】 【例 1】国际足联规定：足球场的边线及底线的外侧垂直向上的空间属于球场范围．当足球从地面及空中完全脱离该空间时，视为出界．这里的“完全”指的是：一定要是球的全部，一丝在界内都不算出界．一定可以用来判断足球是否出界的是（     ） A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．以上均不能 【答案】C 【详解】解：∵足球场的边线及底线的外侧垂直向上的空间属于球场范围．当足球从地面及空中完全脱离该空间时，视为出界． ∴在主视图、左视图和俯视图中，一定可以用来判断足球是否出界的是俯视图. 【变式 1‑1】图1是纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式现场，东风液体洲际战略核导弹首次亮相，其打击范围可覆盖全球．图2是东风导弹的部分示意图，关于其三视图，下列说法正确的是（     ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同 【答案】B 【分析】根据简单组合体三视图的画法画出它的三视图即可判断． 【详解】解：东风洲际导弹的三视图为： 所以主视图与俯视图相同，左视图与俯视图和主视图不相同． 【变式 1‑2】模型设计与制作是现代青少年非常喜欢的一种活动，如图是一个车模中的零件示意图及其主视图，该零件的俯视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据俯视图：从上面看到的物体的形状图，根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可． 【详解】解：从上面看，俯视图如图所示： 【变式 1‑3】如图，沿正方体的一条棱截去其上方的一个三棱柱，则剩余几何体的左视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据立体图形判断几何体的切割方式，确定该几何体是正方体沿前后方向截去左上方的一个三棱柱，然后根据左视图的定义（从左向右看）分析即可求解． 【详解】∵ 观察立体图可知，该几何体是由正方体沿平行于前后棱的方向，截去左上方的一个三棱柱得到的 ∴ 该几何体的前表面和后表面均为直角梯形（左低右高），左侧面和右侧面均为矩形（左侧面较矮，右侧面较高） ∵ 左视图是从左向右观察几何体得到的投影 ∴ 视线首先接触到较矮的左侧面，其投影为下方的矩形 ∵ 右侧面比左侧面高，且切面为斜面 ∴ 在左视图中，右侧面高出的部分以及切面的投影会显示在左侧面投影的上方，形成一个上方的矩形区域 ∴ 整体左视图为一个大矩形，中间有一条横向实线 ∴ 选项A符合题意． 【题型 2 判断简单组合体的三视图】 【例 2】如图所示的几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵该几何体从上方看是一个被竖线分割的矩形； ∴分割的竖线是可见的棱，需画成实线； 结合选项特征，匹配的正确答案为选项C． 【变式 2‑1】某几何体如图所示，它的俯视图是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：从上面看，是两个圆形，大圆内部有个小圆． 故选：D． 【变式 2‑2】如图由一个球体和一个圆柱体（圆柱体底面与球体相切）组成的几何体，其主视图不可能是（     ） A．圆形（圆柱体轴线与视线方向一致） B．左边圆形、右边矩形（圆柱体轴线垂直于视线方向） C．带一条竖线的圆形（圆柱体轴线垂直于视线方向，且圆心与球心对齐） D．椭圆形 【答案】D 【分析】明确主视图是正投影下的视图，先分别分析球体和圆柱在不同观测方向下的正投影形状：因为球体无论从哪个方向做正投影，投影都是圆形，所以先确定球体投影的固定形状，再分析对应方向下圆柱的投影即可． 【详解】选项A：当圆柱体轴线与视线方向一致时，圆柱体的正投影就是圆形，且原图中圆柱底面直径大于球体直径，整体轮廓为圆形，因此A是可能的； 选项B：圆柱体轴线垂直于视线方向时，圆柱投影为矩形，若球体放在圆柱顶面偏一侧，投影就是左侧圆形（球的投影）、右侧露出矩形（圆柱的投影），因此B是可能的； 选项C：圆柱体轴线垂直视线方向，且球心与圆柱轴线对齐，若球体直径大于圆柱直径，整体外轮廓是球投影的圆形，圆柱的侧边会在圆形内部投影出竖线，因此C是可能的； 选项D：球体的正投影无论从任何方向看都是正圆形，不可能得到椭圆形的轮廓，因此主视图不可能是椭圆形． 【变式 2‑3】如图所示的几何体由5个完全相同的小正方体组合而成，挪动其中一个，放在其他位置后，使之主视图既是轴对称图形又是中心对称图形，下列做法正确的有（     ） A．①④ B．③④ C．① D．②③ 【答案】A 【分析】根据主视图的定义，画出四个图形的主视图，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项分析判断，即可求解． 【详解】 解：①几何体的主视图为：，既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； ②几何体的主视图为：，是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； ③几何体的主视图为：，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； ④几何体的主视图为：，既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意． 即主视图既是轴对称图形又是中心对称图形的是①④． 【题型 3 判断非实心几何体的三视图】 【例 3】若一种机器零部件如图所示，则该零部件的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：从正面观察，外部正方体轮廓可见为实线，内部圆柱通孔看不到为虚线，所以D答案正确． 【变式 3‑1】如图，这是一个几何体的主视图，则该几何体可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据主视图的概念求解即可． 【详解】A.主视图中应该有正方形，选项不符合题意； B.主视图中间竖直方向没有实线和虚线，选项不符合题意； A.主视图中间竖直方向有虚线，选项符合题意； A.主视图中间竖直方向没有实线和虚线，选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状． 【变式 3‑2】如图是一个带矩形通孔的圆柱体工程零部件示意图，圆柱体的高度为，底面圆的直径为，通孔的底面是边长为的正方形，则该零部件的左视图及其尺寸标注正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线，确定通孔位置的左视图为虚线；再求解通孔的底面正方形的对角线长即可确定． 【详解】解：通孔底面正方形的对角线长为， 该零部件的左视图及其尺寸标注如B选项所示． 【变式 3‑3】一个机器零件，上面的孔洞前后贯通．如图是它的示意图及主视图，其左视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据左视图定义解答即可． 【详解】解：从左面观察几何体，看不见的孔洞轮廓要用虚线表示，零件左侧整体为矩形，前后贯通的圆孔在左视图中呈现两条水平虚线，下方还有底座矩形，对应选项A． 【题型 4 已知一种或两种视图，判断其他视图】 【例 4】某个几何体的主视图和俯视图如图所示，那么它的左视图可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由主视图可得该几何体有两层，第二层的小正方形在左边；由俯视图可得该几何体有两列、两排，由此逐项分析即可得出结果． 【详解】解：由主视图可得：该几何体有两层，第二层的小正方形在左边， 由俯视图可得：该几何体有两列、两排， 故它的左视图可能是． 【变式 4‑1】如图是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图，其中正方形中的数字表示在该位置上小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】左视图是从物体的左面看得到的视图，其列数对应俯视图的行数，每列小正方形的个数对应俯视图中该行数字的最大值 【详解】解：由俯视图可知，该几何体在前后方向上共有3行，因此左视图应有3． 从左面看，左视图的每一列对应俯视图的每一行（从上到下）：第一列对应俯视图的第一行，该行只有数字3，故左视图第一列高度为3； 第二列对应俯视图的第二行，该行数字为2和3，最大值为3，故左视图第二列高度为3； 第三列对应俯视图的第三行，该行只有数字1，故左视图第三列高度为1 综上所述，左视图从左到右小正方形的个数依次为3，3，1． 观察选项，只有C选项符合． 【变式 4‑2】一个几何体的主视图和左视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为已知几何体的主视图和左视图，所以解题突破口是根据主视图和左视图的形状特征，分析每个选项作为俯视图时，能否组合出符合已知主、左视图的几何体；如果某一选项作为俯视图，结合主、左视图无法构造出合理的几何体，那么该选项就是不可能的俯视图；需利用三视图的投影规律，即主俯长对正、主左高平齐、俯左宽相等，来逐一验证每个选项的合理性． 【详解】该几何体是两个柱体上下叠放，俯视图的外框是下柱体的底面，内部图形是上柱体的底面： 根据三视图的规则： 主视图中，上层矩形的水平宽度上柱体底面的 左右方向长度 左视图中，上层矩形的水平宽度上柱体底面的 前后方向长度 题目给出的主视图和左视图中，上层矩形的宽度相等，说明 上柱体底面的左右长度前后长度： 选项A、同心圆，内圆直径在左右、前后方向相等，符合要求，可能； 选项B、大正方形内横放小长方形，小长方形的左右长度前后长度，因此主视图上层宽度会大于左视图上层宽度，与题目给出的主视图左视图矛盾，不可能； 选项C、大圆内正方形，正方形边长在左右、前后方向相等，符合要求，可能； 选项D、正方形内等腰直角三角形，三角形的左右最大长度前后最大长度（等于直角边长），符合要求，可能． 【变式 4‑3】如图，是由若干个（大于8个）大小相同的正方体组成的一个几何体的主视图和俯视图，则这个几何体的左视图不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据几何体的主视图和俯视图，再结合选项中左视图判断正方体的个数，即可得出结论． 【详解】解：∵俯视图中有5个正方形， ∴最底层有5个正方体， A、由主视图和左视图可得，第2层最多有4个正方体，第3层有2个正方体，故可能共有（个）正方体，故此选项可能是几何体的左视图，不符合题意； B、由主视图和左视图可得，第2层有2个正方体，第3层有1个正方体，故共有（个）正方体，故此选项不可能是几何体的左视图，符合题意； C、由主视图和左视图可得，第2层最多有4个正方体，第3层有1个正方体，故可能共有（个）正方体，故此选项可能是几何体的左视图，不符合题意； D、由主视图和左视图可得，第2层最多有4个正方体，第3层有1个正方体，故可能共有（个）正方体，故此选项可能是几何体的左视图，不符合题意； 故选：B． 【题型 5 画简单几何体的三视图】 【例 5】下列四个几何体中，左视图形状与其它三个不同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先画出每项的左视图，再选出不同的项即可 ． 【详解】解：由题意可知，A、C、D三项的左视图都是矩形（正方形也是矩形 ），而B项的左视图是三角形，所以左视图形状与其它三个不同的是B， 故选B． 【点睛】本题考查几何体三视图的应用，熟练掌握几何体的左视图是解题关键． 【变式 5‑1】已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据左视图的定义，规范画出即可 【详解】 ∵， ∴左视图为， 故选A 【点睛】本题考查了几何体的三视图的画法，熟练掌握左视图的定义，特别注意看不到的要化成虚线，这一点很重要． 【变式 5‑2】如图所示为一个工件的示意图，该工件的左视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三视图，掌握三视图中看不见的线条用虚线表示成为解题的关键． 根据左视图就是从几何体左侧看到的图形是解题的关键． 【详解】解：该工件的左视图为： 故选C． 【变式 5‑3】如图，将一个球放在空心的透明圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高，底面直径，球的最高点到地面的距离为，则球的半径为_____．（玻璃瓶厚度忽略不计） 【答案】 【分析】本题考查了主视图、垂径定理和勾股定理的运用，如详解中图所示，将题中主视图做出来，用垂径定理、勾股定理计算即可，准确做出立体图形的主视图和掌握垂径定理及勾股定理得应用是解题的关键． 【详解】.如下图所示， 设球的半径为，则， ∵过圆心，且垂直于， ∴为的中点， ∴， 在中，由勾股定理可得，即， 解得，则球的半径为， 故答案为：． 【题型 6 画简单组合体的三视图】 【例 6】如图所示的几何体，其左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，掌握主视图、左视图、俯视图分别是从物体的正面、左面、上面看得到的图形成为解题的关键． 根据左视图即从左边观察得到的图形即可解答． 【详解】解：从左边看，可得如图所示几何体的左视图是： ． 故选：D． 【变式 6‑1】如图所示几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据视图的意义，结合能看得见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示，画出从左面看所得到的图形即可． 【详解】从左面看，是一个矩形，矩形的中间有一条横线，再下面矩形中间有看不见的部分用虚线，如图所示： 故选：D． 【点睛】考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键． 【变式 6‑2】如图，是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（    ） A．三个视图都是 B．主视图 C．左视图 D．俯视图 【答案】D 【分析】先根据图形画出三视图，然后再根据中心对称图形的性质进行判断即可； 【详解】解：根据原图画出三视图如图所示：    ∵ 中心对称图形是旋转180°之后能与自身完全重合的图形， ∴ 俯视图为中心对称图形， 故选：D． 【点睛】本题考查了三视图以及中心对称图形的辨别，正确掌握知识点是解题的关键． 【变式 6‑3】如图，是由几个相同的小正方体组成立体图形的俯视图，数字表示其位置上的小正方体的个数，则该立方体的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据主视图的定义，小正方体的个数确定主视图． 【详解】∵ ∴几何体的主视图为： 故寻B． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握主视图的定义，清楚主视图与小正方体的个数的关系是画图的关键． 【题型 7 画小立方块堆砌图形的三视图】 【例 7】如图，是由若干个大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，则该几何体的主视图为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据俯视图中每列正方形的个数，再判断从正面看得到的图形即可． 【详解】解：∵共3列，从左到右各列最高为2，3，1， ∴主视图为B． 【变式 7‑1】如图的几何体由六个相同的小正方体搭成，去掉其中一个小正方体，俯视图不发生改变的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】画出原来几何体的三视图，再分别画出去掉①，②，③，④后的俯视图即可得到答案． 【详解】解：由题意得，原几何体的俯视图为 ， 去掉①后的俯视图为 ； 去掉②后的俯视图为 ； 去掉③后的俯视图为 ； 去掉④后的俯视图为 ， ∴只有去掉①后，俯视图不发生改变． 【变式 7‑2】如图是由完全相同的小立方块搭成的几何体，将小立方块①从该几何体中移走后，所得几何体与原几何体相比（   ） A．俯视图改变，左视图改变 B．俯视图不变，左视图改变 C．主视图改变，左视图不变 D．主视图不变，左视图不变 【答案】C 【分析】此题主要考查了组合体的三视图，关键是注意所有的看到的棱都应表现在三视图中． 根据三视图的定义判断即可． 【详解】解：将小立方块①从该几何体中移走后， 原主视图：，现主视图：，发生变化； 原左视图：，现左视图：，没有变化； 原俯视图：，现俯视图：，发生变化； 故三视图发生变化的是主视图和俯视图，只有左视图不变， 故选：C． 【变式 7‑3】如图是一个由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了立体图形的三视图，掌握三视图的定义和画法是解题的关键． 根据俯视图的定义即可解答． 【详解】解：俯视图是从上面看，平面图形三列两行，中间列为两个小正方形，每行分别为两个小正方形，B图形符合． 故选B． 【题型 8 由三视图还原几何图】 【例 8】由一些大小相同的小正方体搭成的几何体三视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据三视图的意义，列式计算即可． 【详解】解：根据题意，得，几何体数目如下 则搭成这个几何体的小正方体的个数是（个）． 【变式 8‑1】如图，是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图（从正面看到的平面图形）和俯视图（从上面看到的平面图形），则这个几何体的搭法有（     ）． A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】C 【详解】解：由主视图和俯视图，可知第一列的一个小正方体位置固定在第一排，第二列有两排小正方体，其中至少有一排的小正方体的高度为3个小正方体， 故可能的情况如下：（俯视图中，小正方体上的数字表示这个位置上有几个小正方体．） 【变式 8‑2】如图所示的是一个几何体的三种视图，俯视图是菱形，根据图中数据（单位：），可得它的体积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该几何体的主视图以及左视图都是矩形，俯视图也为一个菱形，可确定这个几何体是一个四棱柱． 【详解】解：依题意可求出该几何体的体积为． 【变式 8‑3】图中的三种视图所对应的几何体是（     ） A．四棱锥 B．四棱柱 C．三棱锥 D．三棱柱 【答案】D 【分析】由三视图判断几何体．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，结合常见几何体的三视图可得到结论． 【详解】解：由于主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，由俯视图为三角形，可得为棱柱体．所以这个几何体是三棱柱 ． 【题型9 已知三视图求边长】 【例9】一个透明的敞口正方体容器装有一些液体，棱始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为（，如图①所示），此时液面刚好过棱，并与棱交于点，此时液体的形状为直三棱柱，三视图及尺寸如图②所示．当将该正方体平放（正方形在桌面上）时，液体的深度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理、三棱柱的三视图及体积公式，熟练掌握勾股定理和三棱柱的体积公式是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，再利用三棱柱的体积公式求出液体的体积，从而求出液体的深度． 【详解】解：、 ， 液体的体积为： 当将该正方体平放时，液体的深度为， 故选：C． 【变式9-1】如图是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中a的值为（　　）    A． B．4 C．2 D． 【答案】D 【分析】由主视图和左视图可得：，，，连接，则有，可求，即可求解． 【详解】解：如图，    由主视图和左视图可得： ，，， ，， ，， 连接，则有， 为等边三角形， ， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，正六边形的性质，特殊角的三角函数值，掌握三视图长宽高与原几何体之间的关系及正六边形的性质是解题的关键． 【变式9-2】如图，上下底面为全等的正六边形礼盒，其主视图与左视图均由矩形构成，主视图中大矩形边长如图所示，左视图中包含两全等的矩形，如果用彩色胶带如图包扎礼盒，所需胶带长度至少为（    ）    A．320cm B．395.2cm C．297.8cm D．480cm 【答案】C 【分析】由主视图知道，高是，两顶点之间的最大距离为，再利用正六边形的性质求得底面对边之间的距离，然后所有棱长相加即可解答． 【详解】解：根据题意，如图：作出实际图形的上底，连接, 由主视图可知：, ∵正六边形 ∴, ∴四边形是菱形 ∴ ∴ ∴，则， ∴胶带的长至少．      故选C． 【点睛】本题考查立体图形的三视图和学生的空间想象能力，知道正六边形两个顶点间的最大距离求对边之间的距离需构造直角三角形是解答本题的关键． 【变式9-3】如图，是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中x的值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】先画出俯视图，利用主视图与左视图，求出边长AB，构造三角形ABC与三角形ABE，利用三角函数解直角三角形即可 【详解】由正六棱柱的主视图和左视图，得俯视图如图，标注字母如图， 由主视图可得到正六棱柱的最长的对角线长BD是6，BF==3，则边长AB为3， 连AC交BD于E，则AC⊥BD， 由左视图得AE=CE=x， 在△ABC中，AB=BC=3，∠ABC=120°， ∴在Rt△ABE中，∠BAE=30°，AB=3， ∴BE=，AE=AB•cos30°=， 即x=． 故选择：D. 【点睛】本题考查了正六棱柱的三视图，掌握三视图中俯视图的画法，利用主视图与左视图画出准确的俯视图，注意题目中的隐含条件及左视图的特点，可将其转化到直角三角形中解答．培养了学生的空间想象能力． 【题型10 已知三视图求表面积或侧面积】 【例10】如图是一个几何体的三视图，根据图中提供的数据，可知这个几何体的侧面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三视图判断几何体是截去圆柱的柱体，算出剩余曲面侧面积，再加上两个切面长方形的面积，合并得到该几何体侧面积． 【详解】由题图中的三视图知， 该几何体是底面半径为4、高为6的圆柱被沿高的方向切掉一个圆柱的柱体， 所以其侧面积为． 【变式10-1】如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用表面积等于侧面积加底面积即可得到答案. 【详解】解：根据三视图可得：这个几何体为圆锥， ∵直径为，圆锥母线长为， ∴圆锥的表面积. 【变式10-2】如图是一个几何体的三视图，若这个几何体的表面积是72，则它的体积是（     ） A．28 B．36 C．44 D．48 【答案】B 【分析】先由三视图得该几何体为长方体，再利用表面积求得长方体的高，然后根据长方体的体积公式求解即可． 【详解】解：由三视图可得该几何体为长方体，它的长是6，宽是2，设高为h， ∵这个几何体的表面积是72， ∴，解得， ∴它的体积是． 【变式10-3】如图是一个几何体的三视图，则可求得该几何体的侧面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三视图判断该几何体为圆锥，由主视图和俯视图得出圆锥的高和底面直径，利用勾股定理求出母线长，最后根据圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：根据三视图可知，该几何体为圆锥． 由图可知，圆锥的高，底面直径． ∴底面半径 ． ∴圆锥的母线长 ． ∴该几何体的侧面积． 【题型11 求小立方块堆砌图形的表面积】 【例11】如图所示，是由8个完全相同的小正方体搭成的几何体．若小正方体的棱长为1，则该几何体的表面积是（     ） A．16 B．30 C．32 D．34 【答案】D 【详解】解：． 【变式11-1】如图形是由棱长为1厘米的小正方体摆成的．在①号图形中加入一个小正方体，变成图②，图②与图①比较，下面说法中正确的是（     ） A．体积增加了1立方厘米，表面积没变 B．体积增加了1立方厘米，表面积减少了2平方厘米 C．体积增加了1立方厘米，表面积增加了2平方厘米 D．体积增加了1立方厘米，表面积增加了4平方厘米 【答案】C 【分析】棱长1厘米小正方体体积是立方厘米，增加1个小正方体，体积增加立方厘米；增加小正方体时，新正方体有2个面和原图形贴合，新增个外露面，减去被盖住的个面，表面积净增平方厘米． 【详解】解：小正方体棱长为，单个小正方体体积立方厘米， 加入1个小正方体，体积增加1立方厘米； 放置新正方体时，新正方体一共6个面，有2个面与原有几何体贴合，遮住原有2个面，外露个面，表面积增加2平方厘米．C选项符合题意． 【变式11-2】如图，图1是一个涌泉蜜桔包装箱，现将8个这样的包装箱按图2的四种方式分别叠放成一个大长方体．在仅知道一个包装箱表面积的情况下，就能推算出其中一个大长方体的表面积，这个大长方体的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查了求小立方块堆砌图形的表面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意以及图形特征得1个前面个后面个左面个右面个上面个下面的面积是定值，再分别研究每种方式的特征，运用整体思想进行作答即可． 【详解】解：设这个涌泉蜜桔包装箱的6个面分别记作，前、后、上、下、左、右， 则1个前面个后面个左面个右面个上面个下面的面积是定值， 而图2中①表面积为4个前，4个后，4个左面，4个右面，4个上面，4个下面的和； ②表面积为4个前，4个后，8个左面，8个右面，4个上面，4个下面的和； ③表面积为4个前，4个后，4个左面，4个右面，2个上面，2个下面的和； ④表面积为2个前，2个后，8个左面，8个右面，4个上面，4个下面的和； ∴在仅知道一个包装箱表面积的情况下，就能推算出其中一个大长方体的表面积，这个大长方体的序号是①， ∴第①叠放方式符合题意， 故选：A． 【变式11-3】小鑫正对相同的长方体快递盒进行包装，如图1单个盒子的表面积为，如图2三个盒子叠一起的表面积为，则如图3四个盒子叠一起的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何体的表面积，能用a，b，c表示出三个图中几何体的表面积及巧用整体思想是解题的关键．根据图1和图2的表面积，可得出关于a，b，c的两个等式，再用a，b，c表示出图3的表面积，利用整体思想即可解决问题． 【详解】解：由题知，设图1中，相邻三个面面积分别为a，b，c， 因为图1的表面积为， 所以， 则①． 因为图2的表面积为， 所以， 则②． 由①②得， ． 又因为图3的表面积可表示为， 则． 故选：C． 【题型12 已知三视图求体积】 【例12】如图所示的是某几何体的三视图，根据图中的数据求得该几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析该几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，得到圆柱底面直径和高，长方体的长宽高，即可求得体积． 【详解】解：由三视图可知，该几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的． 圆柱的底面直径为，高为； 长方体的长为，宽为，高为． 故该几何体的体积为． 故选：D ． 【点睛】本题考查了对三视图的理解． 【变式12-1】如图是一个正三棱柱，作出它的三视图，则这个正三棱柱的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据三视图求几何体的体积，勾股定理，等边三角形的性质，由三视图得到正三棱柱的底面为等边三角形，等边三角形的高为，正三棱柱的高为，根据正三棱柱的体积为底面积乘以高，进行计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，由题意可得，正三棱柱的底面为等边三角形，过作于点， ∴， ∴， ∴，即等边三角形的高为， ∴这个正三棱柱的体积是， 故选：． 【变式12-2】小明在参观某工厂时发现了一个工件，并画出如图所示的三视图，则该工件体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由三视图判断几何体和圆柱的计算，解题的关键是正确地得到几何体的形状，这样才可以求体积．根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起，体积是两个圆柱体的体积的和． 【详解】解：根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起， 底面直径分别是和， 高分别是和， 体积为：． 该工件的体积是． 故选：A 【变式12-3】二中食堂厨房的桌子上整齐地摆放着若干相同规格的碟子，碟子的个数与碟子的高度的关系如表： 碟子的个数 碟子的高度（单位：cm） 1 2 2 3 4 现在分别从三个方向看这些碟子，看到的图形如图所示，厨房师傅想把它们整齐地叠成一摞，则叠成一摞后的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形的变化规律、由三视图判断几何体等知识点，找出碟子个数与碟子高度的之间的关系式以及由三视图判断几何体是解题的关键． 由表中给出的碟子个数与碟子高度的规律，可以看出碟子数为x时，碟子的高度为，再根据三视图得出碟子的总数，然后代入计算即可． 【详解】解：可以看出碟子数为x时，碟子的高度为； 由三视图可知；碟子共有3摞，分别是4、5、6个，即共有15个碟子． ∴叠成一摞的高度． 故选：D． 【题型13 求几何体视图的面积】 【例13】如图是由5个完全相同的小立方块搭成的几何体，若小立方块的棱长为1，则该几何体的主视图与俯视图的面积之比为(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到主视图和俯视图，求出面积，即可解答． 【详解】解：该几何体的主视图和俯视图分别为： ∵小立方体的棱长为1， ∴主视图的面积为，俯视图的面积为， ∴该几何体的主视图与俯视图的面积之比为． 【变式13-1】如图，5个完全相同的立方体摆在桌子上，若主视图面积为a，则俯视图的面积为（    ） A． B． C．a D． 【答案】B 【详解】解：∵主视图看到3个正方形，面积为a， ∴俯视图看到的4个正方形，其面积为. 【变式13-2】图①中的几何体从三个方向观察的图形如图②所示．若用S表示面积，，，则等于（　　） A．20x B．20 C．9x D．9 【答案】B 【分析】三视图的概念：从正面、左面、上面三个不同方向观察几何体所得到的平面图形，分别称为主视图(正视图)、左视图、俯视图；俯视图的长与主视图的长相等，俯视图的宽与左视图的宽相等，主视图的高与左视图的高相等；利用三视图的面积公式(长方形面积长宽)，结合已知视图面积求解未知视图面积． 【详解】解：已知，从正面看到的形状图的宽为， ∴根据长方形面积公式，正面看到的形状图的长为：， 已知，从左面看到的形状图的宽为， ∴同样根据长方形面积公式，从左面看到的形状图的长为：， 即得几何体的长为，宽为，高为， 所以． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的知识点是几何体的三视图及其面积关系，关键通过分析三视图的尺寸对应关系，将视图面积与几何体的长、宽、高建立联系，进而计算出目标视图的面积． 【变式13-3】若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1，如果塔形露在外面的面积（不包括与桌面接触的面）超过8，则正方体的个数至少是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查三视图与表面积，画出俯视图，可得相邻两个正方体中，上边一个正方体的一个面的面积为下边一个正方体的一个面的面积的一半，据此求解即可． 【详解】解：塔形的俯视图如下： ∴不管多少个正方体，俯视图的面积都不变都是， ∵上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点， ∴连接俯视图对角线后，所有最小的三角形都是全等的等腰直角三角形， ∴相邻两个正方体中，上边一个正方体的一个面的面积为下边一个正方体的一个面的面积的一半， ∴只有一个正方体时面积为； 两个正方体时塔形露在外面的面积为； 三个正方体时塔形露在外面的面积为； ∴如果塔形露在外面的面积（不包括与桌面接触的面）超过8，则正方体的个数至少是四个， 故选：C． 【题型14 由三视图，判断小立方体的个数】 【例14】一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，下图是从三个不同方向看到的三视图，则搭成这个几何体所用的小正方体的个数是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】解：组合体的俯视图正方形个数分布情况如下：     则正方体的个数为               【变式14-1】一个仓库里堆积着若干正方体货箱，仓库管理员要落实一下箱子的数量，可是要搬运这些箱子很困难，于是他想出一个办法：将这堆货物的三种视图画了出来，如图所示，现要取走一些货箱，但要求剩余货箱的主视图不变，最多可以取走货箱的个数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三视图可确定出货箱的个数，再根据要求主视图不变即可确定最多可取走的货箱数量． 【详解】解：依题意得：俯视图每个正方形位置上的正方体个数如图所示： 由俯视图知，货物底部有6个货箱，上面一层从左往右数第二列前后各有一个，货物总共有8个货箱； 要保持主视图不变，则货物最右边那列最多可以搬走其中的两个货箱，中间一列最多可以搬走两个货箱，故最多可以取走4箱货物 ． 【变式14-2】一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的视图，若该几何体所用小立方块的个数为n，则n的最小值为（     ） A．7 B．9 C．8 D．10 【答案】B 【详解】解：根据主视图、俯视图，可以得出最少时，在俯视图的相应位置上所摆放的个数，其中的一种情况如下： 最少时需要9个， 因此n的最小值为9． 【变式14-3】一个由若干个小正方体组成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则需要构成这样的几何体，最多能有小正方体的个数为（   ） A．4 B．7 C．10 D．13 【答案】C 【分析】易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层小正方体的个数，由主视图可得第二层和第三层小正方体的可能的最多个数，相加即可． 【详解】解：由俯视图易得最底层有4个小正方体，由主视图可得第二层最多有4个小正方体，由主视图可得第三层最多有2个小正方体， 故需要构成这样的几何体最多能有10个小正方体． 【题型15 已知三视图，求最多或最少小立方体的个数】 【例15】由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体最少有（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】A 【分析】先根据俯视图确定底层小正方体的数量，因为俯视图的每个方格对应底层一个小正方体的位置，所以底层小正方体个数等于俯视图中方格的总数．再根据主视图确定第二层小正方体的最少数量，主视图中显示有两层，且每列都有两层，所以如果要让总个数最少，那么每一列只需在底层对应的位置中选一个位置放置第二层的小正方体即可．最后将底层小正方体数量和第二层最少的小正方体数量相加，得到总的最少小正方体个数． 【详解】解：俯视图有3个正方形，说明这个几何体的底层一定有3个小正方体，这是由从上方观察到的底面布局决定的． 主视图显示几何体的左右两列都有2层高，说明俯视图的左列位置、右列位置，都至少要有1个小正方体叠在底层的上方，来满足“两层高”的要求． 计算最少总数：底层3个 + 上层至少2个位置各叠1个的最小情况（右列底层2个位置至少1个叠第二层，左列底层1个位置必须叠第二层），总和为． ∴组成几何体的小正方体最少有5个． 【变式15-1】将几个完全相同的正方体，堆放在桌面上，从上面看到的图形是图1，从正面和侧面看到的图形都是图2，这些正方体至少有（     ）个． A．6 B．8 C．9 D．7 【答案】D 【详解】解：根据题意，标注正方体最少的情况如下： ∴这些正方体至少有个 【变式15-2】如图所示的几何体由8个相同的小正方体组成，若拿走一些小正方体后，几何体的主视图和左视图都没有发生变化，则最多可拿走的小正方体的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：该几何体是2行（前后）×2列（左右）×2层（上下）的2×2×2结构，共8个相同小正方体，原几何体的主视图、左视图均为2×2的正方形（共4个小正方形）； 主视图不变：对任意(左右位置, 上下层数)，至少要保留1个小正方体（前后任意位置），才能保证主视图对应位置仍有正方形，共需要4个位置都存在方块； 左视图不变：对任意(前后位置, 上下层数)，至少要保留1个小正方体（左右任意位置），才能保证左视图对应位置仍有正方形，同样共需要4个位置都存在方块， 计算最多拿走数量： 我们最少只需要保留4个小正方体即可同时满足两个视图的要求（例如保留：前排左上、前排右下、后排左下、后排右上，对角分布，刚好满足所有位置要求）； 因此最多可拿走：个． 【变式15-3】如图是由大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和左视图，那么组成这个几何体的小正方体的个数最多为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】易得这个几何体共有2层，由主视图和左视图可得第一层正方体的个数最多为6个，第二层只有1个，相加即可． 【详解】解：组成这个几何体的小正方体的个数最多为（个）． 【探究式学习】 1．【问题情境】嘉琪和同学们准备了若干由大小一样的小正方形组成的纸板，计划将这些纸板折叠成正方体纸盒作为学具． 折叠前，嘉琪将大家准备的纸板进行了整理，发现有一个同学准备的纸板如下（如图1所示）； 【操作探究】 (1)请直接写出将其折叠成正方体后，与点O重合的是点________； (2)嘉琪和同学们将折叠的纸盒搭成了一个几何体，并画出了从上面看到的该几何体的形状图（如图2所示），其中小正方形中的数字表示在该位置的纸盒的个数． ①请在方框中分别画出从正面、从左面看到的该几何体的形状图； ②如果在该几何体上添加若干个同样大小的正方体纸盒得到一个新几何体，且新几何体与原几何体从上面、正面、左面看到的形状图分别相同，那么最多可以再添加________个正方体纸盒． 【答案】(1)M (2) ①如图所示， ②2 【分析】本题主要考查了正方体的展开与折叠，从三个方向看几何体， 对于（1），将展开图折叠成正方体可得答案； 对于（2），根据从上面看到的图形画出从左面和正面看得到的图形即可；再从上面看的图形上增加小正方体的个数可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，与点O重合的点是点M． 故答案为：M； （2）解：①略 ②如图所示，添加2个正方体纸盒后从三个方向看正方体的形状图与原来的形状图一样． 故答案为：2． 2．【问题情境】小圣所在的综合实践小组准备制作一些无盖纸盒收纳班级讲台上的粉笔 ． 【操作探究】 (1)图中的图形________经过折叠能围成无盖正方体纸盒（填序号）． (2)将图小正方体移走后，得到一个新的几何体，与原几何体相比，从三个方向看到的形状图没有发生变化的是__________． ．从正面和上面看到的形状图．从左面和上面看到的形状图 ．从正面和左面看到的形状图．从正面、左面、上面看到的形状图 (3)如果图在原几何体上再添加一些小正方体，并保持从正面和左面看到的形状图不变，那么最多可以再添加_______个小正方体． (4)若图小正方体的棱长为，求该几何体的表面积． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】根据正方体表面展开图的特征逐项进行判断即可； 分别画出图小正方体移走前、后从不同方向看到的形状图，然后比较即可； 根据从正面和左面看到的形状图不变，可在左侧和上面分别添加一个小正方体，从而求解； 通过从不同方向看到的形状图的面积和乘以，再加上个小正方形面积即可． 【详解】（1）解：无盖正方体形纸盒应该由个面组成，但图经折叠后有两个面重复， 因此图中的图形折叠不能围成无盖正方体形纸盒，图均可以经过折叠能围成无盖正方体形纸盒， 故答案为：； （2）解：图小正方体从不同方向看到的形状图， 图小正方体移走后从不同方向看到的形状图， ∴从三个方向看到的形状图没有发生变化的是从正面和左面看到的形状图， 故选：； （3）解：保持从正面和左面看到的形状图不变，可在左侧和上面分别添加一个小正方体， 所以最多可以再添加个小正方体， 故答案为：； （4）解：∵图小正方体的棱长为， ∴小正方形面积为， ∴该几何体的表面积为． 【课后检测】 1．如图所示的几何体的主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据主视图的定义，从正面观察几何体，确定看到的平面图形形状及可见轮廓线． 【详解】解：从正面观察该几何体，下层是长方体，主视图为长方形，上层左侧竖直，右侧为斜面，主视图上部轮廓为直角梯形；上下层交界处有一条可见的水平线段； 综合可得，主视图由下方的长方形和上方的直角梯形组成，且中间有横线分隔，对比各选项，B选项符合题意． 2．如图所示的几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：从上俯视该几何体，会看到底座的正六边形和上底面的圆． 3．如图所示的几何体，它的左视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：该几何体的左视图为一个长方形，长方形的中间有2条横向的虚线． 4．如图所示的几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：从上面看，是一个矩形． 5．如图所示几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据几何体三视图的判断方法，需注意看得见的存在的线画实线，看不见的存在的线画虚线，确定出俯视图即可． 【详解】 解：俯视图为： 6．一个几何体的三种视图如图所示，则这个几何体是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，结合各选项中的几何体可得答案． 【详解】解：由三视图可判断，这个几何体是 ． 故选项C符合题意 ． 7．如图是理化实验仪器：试管夹、U形磁铁、透镜、锥形瓶．小颖要从这四个理化实验仪器（假设均放在完全相同的密闭盒子里）中随机选取其中两个，则恰好选中的实验仪器一个主视图和左视图不同，另一个主视图和左视图相同的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记试管夹、U形磁铁、透镜、锥形瓶为A、B、C、D．再根据题意画树状图可知，共有12种等可能的结果，符合要求的结果有6种，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：试管夹、U形磁铁、透镜的左视图和主视图不同，锥形瓶的左视图和主视图相同， 记试管夹、U形磁铁、透镜、锥形瓶为A、B、C、D．画树状图如图如下： 从树状图看出共有12种等可能的结果，选取的两个实验仪器中一个主视图和左视图不同（A、B、C），另一个主视图和左视图相同（D）的结果有6种， ∴恰好选中的实验仪器中一个主视图和左视图不同，另一个主视图和左视图相同的概率是． 8．用若干个大小相同的正方体搭成几何体，其俯视图、左视图如图所示，则该几何体可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由俯视图可知，选项B，C，D符合题意，由左视图可知，选项B符合题意． 9．下列几何体中，其主视图是中心对称图形的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分析每个选项的主视图，再进行判断是否是中心对称图形即可． 【详解】选项A，圆锥的主视图为等腰三角形，不是中心对称图形，故不符合题意； 选项B，四棱台的主视图为等腰梯形，不是中心对称图形，故不符合题意； 选项C，圆柱的主视图为矩形，是中心对称图形，故符合题意； 选项D，三棱锥的主视图为三角形，不是中心对称图形，故不符合题意． 10．如图是某几何体的三视图，已知主视图是边长为4的正方形，左视图是宽为2的矩形，俯视图是直径为4的半圆，这个几何体的表面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：观察该几何体的三视图发现其为半个圆柱，半圆柱的直径为4，高为4， 故其表面积为 11．一个立体图形由若干大小相同的小立方块搭成，图中所示的分别是从它的左面、上面看到的形状图，则这个立体图形至少是用______个小立方块搭成的． 【答案】 6 【分析】由从上面看到的形状图可知底层小立方块的分布及数量；由从左面看到的形状图可知立体图形的层数及前后排的最高层数；综合两层信息计算最少数量． 【详解】解：由从上面看到的形状图可知，该立体图形底层共有5个小立方块，分为前后两排，其中后排3个，前排2个． 由从左面看到的形状图可知，该立体图形共有两层，且前后两排中，有一排最高为1层，另一排最高为2层 要使小立方块数量最少，则最高为1层的那排所有位置均为1层，最高为2层的那排中仅有1个位置为2层，其余为1层． 最少数量为 （个） 故填：6． 12．一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，它从正面看（主视图）和从上面看（俯视图）如图所示，若搭成这个几何体的小立方块最多为m个，最少为n个，则______． 【答案】 【分析】由俯视图确定底层小立方块的分布与数量，结合主视图确定几何体的层数及每列的最高层数，进而分析出最多和最少的小立方块数量． 【详解】解：由俯视图可知，该几何体底层有个小立方块，分为左、右两列，左列有个位置，右列有个位置， 由主视图可知，该几何体共有层，且左列、右列的最高层数均为层， 当上层每个位置都放置小立方块时，总数最多，此时上层有个， ； 当上层只需满足主视图的“两层结构”，即左列、右列各至少放个时，总数最少，此时上层最少有个， ； ． 13．如图，等腰梯形是某直四棱柱的俯视图，且，，垂足为点，，，且四棱柱的高为，则此四棱柱的表面积为________． 【答案】/ 【分析】过点作于点，则四边形是矩形，再证明，进而利用勾股定理求出，即可求出四棱柱的表面积． 【详解】解：如图，过点作于点， 等腰梯形， ，，， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 在和中，，， ， ， 在中，， 四棱柱的高为， 此四棱柱的表面积为 14．某工厂加工一批茶叶罐．设计者给出了茶叶罐的三视图如图所示（单位cm）．则制作一个茶叶罐所需铁皮的面积是___________（结果保留π）． 【答案】 【分析】主视图以及左视图都是一个矩形，俯视图为一个圆形，则可得出该几何体是一个圆柱，再计算出面积即可． 【详解】解：由三视图可知茶叶罐的形状为圆柱体，并且茶叶罐的底面直径为，高h为， 则底面半径， ∵每个茶叶罐所需铁皮的面积即为该圆柱体的表面积， ∴ ， 故制作每个茶叶罐所需铁皮的面积为． 15．一个“粮仓”的三视图如图所示（单位：） (1)它可以近似看成由常见几何体________和_______组成的． (2)求它的体积（，，结果保留）． 【答案】(1)圆柱；圆锥 (2) 【分析】（1）根据三视图判断几何体的组成； （2）根据圆柱和圆锥的体积公式分别计算出圆柱、圆锥的体积，再将两者相加得到“粮仓”的体积． 【详解】（1）解：根据所给三视图，可以判断“粮仓”近似由一个圆柱和一个圆锥组成，圆柱在下，圆锥在上． （2）解：由题意可知，圆柱的底面直径为，高为，圆锥的底面直径为，高为（）， （）， （）， （）． 答：它的体积为． 16．如图，在平整的地面上，9个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体． (1)在网格中画出从正面看、从左面看和从上面看的形状图； (2)如果在这个几何体的表面（不含底面）喷上油漆，求这个几何体喷漆的面积． (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从正面看、从上面看到的形状图不变，最多可以再添加____________个相同的小立方块． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】（1）先确定观察方向，因为从正面看的形状图反映几何体的列数和每列最高层数，所以先数出几何体的列数，再确定每列小正方形的层数，同理确定从左面看、从上面看的形状图的行列分布与层数，对应在网格中绘制． （2）因为喷漆不含底面，所以分别统计前、后、左、右、上五个方向的正方形面的数量加上已经暴露出被遮挡的正方形的数量，每个面面积为，用面数乘单个面面积得到总面积；也可利用三视图的面积关系计算，前后面面积相等、左右面面积相等． （3）因为要保持从上面看的形状图不变，所以底层小正方体的位置不能改变，又因为要保持从正面看的形状图不变，所以每一列的最大层数不能超过原几何体该列的最大层数，逐个位置判断可添加的小正方体数量，求和得到最多添加量． 【详解】（1）解：从正面看：共3列，从左到右每列的正方形数量依次为3、1、2； 从左面看：共3列，从左到右每列的正方形数量依次为3、1、1； 从上面看：共3列，从左到右每列的正方形数量依次为3、2、1． 按照上述数量在对应网格中填充正方形即可得到符合要求的形状图． （2）解：小正方体每个面的面积为 ，我们分别统计几何体不含底面的外表面的正方形面数： 前面、后面各能看到6个正方形面，共 个； 左面、右面各能看到5个正方形面，共 个； 顶面（不含底面）能看到6个正方形面． 左面、右面都不能看到暴露出的2个正方形面． 总面数为 ， ∴喷漆总面积为 ； （3）保持从正面看、从上面看到的形状图不变，需保证从正面向后看三列的最大高度仍分别为3、1、2： 从正面看第一列的层数最多3层； 从上面看左面一列的中间行的位置最多可加2个小立方块（该列最大高度要求为3，可补2层）， 下面行的位置最多可加2个小立方块（该列最大高度要求为3，可补2层）． 因此最多可以再添加 4个小立方块． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 49 页 第 1 页 共 49 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题33.2 三视图 知识点一.几何体的三视图 2 知识点二.几何体三视图的画法 3 知识点三.利用三视图计算几何体面积的方法 3 【题型 1 判断简单几何体的三视图】 3 【题型 2 判断简单组合体的三视图】 4 【题型 3 判断非实心几何体的三视图】 5 【题型 4 已知一种或两种视图，判断其他视图】 6 【题型 5 画简单几何体的三视图】 7 【题型 6 画简单组合体的三视图】 8 【题型 7 画小立方块堆砌图形的三视图】 9 【题型 8 由三视图还原几何图】 10 【题型9 已知三视图求边长】 11 【题型10 已知三视图求表面积或侧面积】 12 【题型11 求小立方块堆砌图形的表面积】 13 【题型12 已知三视图求体积】 14 【题型13 求几何体视图的面积】 15 【题型14 由三视图，判断小立方体的个数】 16 【题型15 已知三视图，求最多或最少小立方体的个数】 17 【探究式学习】 18 【课后检测】 20 【复盘笔记】 25 知识点一.几何体的三视图 视图：当我们从某一方向观察一个物体时，所看到的图形叫做物体的一个视图. 三视图：一个物体在三个投影面内同时进行正投影， ①在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图； ②在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图； ③在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图. 主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图. 三视图之间的关系： 1）位置关系：三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边， 2）大小关系：三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则. 　　　　　　　　　　　　　 知识点二.几何体三视图的画法 画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体 1）确定主视图的位置，画出主视图； 2）在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”； 3）在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”. 【注意】几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线，看得见的部分的轮廓线应画成实线. 知识点三.利用三视图计算几何体面积的方法 利用三视图想象出实物形状，再进一步画出展开图，然后计算面积. 【题型 1 判断简单几何体的三视图】 【例 1】国际足联规定：足球场的边线及底线的外侧垂直向上的空间属于球场范围．当足球从地面及空中完全脱离该空间时，视为出界．这里的“完全”指的是：一定要是球的全部，一丝在界内都不算出界．一定可以用来判断足球是否出界的是（     ） A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．以上均不能 【变式 1‑1】图1是纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式现场，东风液体洲际战略核导弹首次亮相，其打击范围可覆盖全球．图2是东风导弹的部分示意图，关于其三视图，下列说法正确的是（     ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同 【变式 1‑2】模型设计与制作是现代青少年非常喜欢的一种活动，如图是一个车模中的零件示意图及其主视图，该零件的俯视图为（     ） A． B． C． D． 【变式 1‑3】如图，沿正方体的一条棱截去其上方的一个三棱柱，则剩余几何体的左视图为（     ） A． B． C． D． 【题型 2 判断简单组合体的三视图】 【例 2】如图所示的几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【变式 2‑1】某几何体如图所示，它的俯视图是（ ） A． B． C． D． 【变式 2‑2】如图由一个球体和一个圆柱体（圆柱体底面与球体相切）组成的几何体，其主视图不可能是（     ） A．圆形（圆柱体轴线与视线方向一致） B．左边圆形、右边矩形（圆柱体轴线垂直于视线方向） C．带一条竖线的圆形（圆柱体轴线垂直于视线方向，且圆心与球心对齐） D．椭圆形 【变式 2‑3】如图所示的几何体由5个完全相同的小正方体组合而成，挪动其中一个，放在其他位置后，使之主视图既是轴对称图形又是中心对称图形，下列做法正确的有（     ） A．①④ B．③④ C．① D．②③ 【题型 3 判断非实心几何体的三视图】 【例 3】若一种机器零部件如图所示，则该零部件的主视图是（    ） A． B． C． D． 【变式 3‑1】如图，这是一个几何体的主视图，则该几何体可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【变式 3‑2】如图是一个带矩形通孔的圆柱体工程零部件示意图，圆柱体的高度为，底面圆的直径为，通孔的底面是边长为的正方形，则该零部件的左视图及其尺寸标注正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式 3‑3】一个机器零件，上面的孔洞前后贯通．如图是它的示意图及主视图，其左视图为（     ） A． B． C． D． 【题型 4 已知一种或两种视图，判断其他视图】 【例 4】某个几何体的主视图和俯视图如图所示，那么它的左视图可能是（   ） A． B． C． D． 【变式 4‑1】如图是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图，其中正方形中的数字表示在该位置上小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（） A． B． C． D． 【变式 4‑2】一个几何体的主视图和左视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式 4‑3】如图，是由若干个（大于8个）大小相同的正方体组成的一个几何体的主视图和俯视图，则这个几何体的左视图不可能是（    ） A． B． C． D． 【题型 5 画简单几何体的三视图】 【例 5】下列四个几何体中，左视图形状与其它三个不同的是（    ） A． B． C． D． 【变式 5‑1】已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 【变式 5‑2】如图所示为一个工件的示意图，该工件的左视图为（   ） A． B． C． D． 【变式 5‑3】如图，将一个球放在空心的透明圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高，底面直径，球的最高点到地面的距离为，则球的半径为_____．（玻璃瓶厚度忽略不计） 【题型 6 画简单组合体的三视图】 【例 6】如图所示的几何体，其左视图是（    ） A． B． C． D． 【变式 6‑1】如图所示几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 【变式 6‑2】如图，是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（    ） A．三个视图都是 B．主视图 C．左视图 D．俯视图 【变式 6‑3】如图，是由几个相同的小正方体组成立体图形的俯视图，数字表示其位置上的小正方体的个数，则该立方体的主视图是（    ） A． B． C． D． 【题型 7 画小立方块堆砌图形的三视图】 【例 7】如图，是由若干个大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，则该几何体的主视图为（    ） A． B． C． D． 【变式 7‑1】如图的几何体由六个相同的小正方体搭成，去掉其中一个小正方体，俯视图不发生改变的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式 7‑2】如图是由完全相同的小立方块搭成的几何体，将小立方块①从该几何体中移走后，所得几何体与原几何体相比（   ） A．俯视图改变，左视图改变 B．俯视图不变，左视图改变 C．主视图改变，左视图不变 D．主视图不变，左视图不变 【变式 7‑3】如图是一个由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【题型 8 由三视图还原几何图】 【例 8】由一些大小相同的小正方体搭成的几何体三视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式 8‑1】如图，是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图（从正面看到的平面图形）和俯视图（从上面看到的平面图形），则这个几何体的搭法有（     ）． A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【变式 8‑2】如图所示的是一个几何体的三种视图，俯视图是菱形，根据图中数据（单位：），可得它的体积是（     ） A． B． C． D． 【变式 8‑3】图中的三种视图所对应的几何体是（     ） A．四棱锥 B．四棱柱 C．三棱锥 D．三棱柱 【题型9 已知三视图求边长】 【例9】一个透明的敞口正方体容器装有一些液体，棱始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为（，如图①所示），此时液面刚好过棱，并与棱交于点，此时液体的形状为直三棱柱，三视图及尺寸如图②所示．当将该正方体平放（正方形在桌面上）时，液体的深度是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】如图是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中a的值为（　　）    A． B．4 C．2 D． 【变式9-2】如图，上下底面为全等的正六边形礼盒，其主视图与左视图均由矩形构成，主视图中大矩形边长如图所示，左视图中包含两全等的矩形，如果用彩色胶带如图包扎礼盒，所需胶带长度至少为（    ）    A．320cm B．395.2cm C．297.8cm D．480cm 【变式9-3】如图，是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中x的值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【题型10 已知三视图求表面积或侧面积】 【例10】如图是一个几何体的三视图，根据图中提供的数据，可知这个几何体的侧面积是（     ） A． B． C． D． 【变式10-1】如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（     ） A． B． C． D． 【变式10-2】如图是一个几何体的三视图，若这个几何体的表面积是72，则它的体积是（     ） A．28 B．36 C．44 D．48 【变式10-3】如图是一个几何体的三视图，则可求得该几何体的侧面积是（     ） A． B． C． D． 【题型11 求小立方块堆砌图形的表面积】 【例11】如图所示，是由8个完全相同的小正方体搭成的几何体．若小正方体的棱长为1，则该几何体的表面积是（     ） A．16 B．30 C．32 D．34 【变式11-1】如图形是由棱长为1厘米的小正方体摆成的．在①号图形中加入一个小正方体，变成图②，图②与图①比较，下面说法中正确的是（     ） A．体积增加了1立方厘米，表面积没变 B．体积增加了1立方厘米，表面积减少了2平方厘米 C．体积增加了1立方厘米，表面积增加了2平方厘米 D．体积增加了1立方厘米，表面积增加了4平方厘米 【变式11-2】如图，图1是一个涌泉蜜桔包装箱，现将8个这样的包装箱按图2的四种方式分别叠放成一个大长方体．在仅知道一个包装箱表面积的情况下，就能推算出其中一个大长方体的表面积，这个大长方体的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式11-3】小鑫正对相同的长方体快递盒进行包装，如图1单个盒子的表面积为，如图2三个盒子叠一起的表面积为，则如图3四个盒子叠一起的表面积是（    ） A． B． C． D． 【题型12 已知三视图求体积】 【例12】如图所示的是某几何体的三视图，根据图中的数据求得该几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】如图是一个正三棱柱，作出它的三视图，则这个正三棱柱的体积是（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】小明在参观某工厂时发现了一个工件，并画出如图所示的三视图，则该工件体积为（    ） A． B． C． D． 【变式12-3】二中食堂厨房的桌子上整齐地摆放着若干相同规格的碟子，碟子的个数与碟子的高度的关系如表： 碟子的个数 碟子的高度（单位：cm） 1 2 2 3 4 现在分别从三个方向看这些碟子，看到的图形如图所示，厨房师傅想把它们整齐地叠成一摞，则叠成一摞后的高度为（   ） A． B． C． D． 【题型13 求几何体视图的面积】 【例13】如图是由5个完全相同的小立方块搭成的几何体，若小立方块的棱长为1，则该几何体的主视图与俯视图的面积之比为(     ) A． B． C． D． 【变式13-1】如图，5个完全相同的立方体摆在桌子上，若主视图面积为a，则俯视图的面积为（    ） A． B． C．a D． 【变式13-2】图①中的几何体从三个方向观察的图形如图②所示．若用S表示面积，，，则等于（　　） A．20x B．20 C．9x D．9 【变式13-3】若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1，如果塔形露在外面的面积（不包括与桌面接触的面）超过8，则正方体的个数至少是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型14 由三视图，判断小立方体的个数】 【例14】一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，下图是从三个不同方向看到的三视图，则搭成这个几何体所用的小正方体的个数是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7  【变式14-1】一个仓库里堆积着若干正方体货箱，仓库管理员要落实一下箱子的数量，可是要搬运这些箱子很困难，于是他想出一个办法：将这堆货物的三种视图画了出来，如图所示，现要取走一些货箱，但要求剩余货箱的主视图不变，最多可以取走货箱的个数为（     ）． A． B． C． D． 【变式14-2】一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的视图，若该几何体所用小立方块的个数为n，则n的最小值为（     ） A．7 B．9 C．8 D．10 【变式14-3】一个由若干个小正方体组成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则需要构成这样的几何体，最多能有小正方体的个数为（   ） A．4 B．7 C．10 D．13 【题型15 已知三视图，求最多或最少小立方体的个数】 【例15】由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体最少有（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【变式15-1】将几个完全相同的正方体，堆放在桌面上，从上面看到的图形是图1，从正面和侧面看到的图形都是图2，这些正方体至少有（     ）个． A．6 B．8 C．9 D．7 【变式15-2】如图所示的几何体由8个相同的小正方体组成，若拿走一些小正方体后，几何体的主视图和左视图都没有发生变化，则最多可拿走的小正方体的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式15-3】如图是由大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和左视图，那么组成这个几何体的小正方体的个数最多为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【探究式学习】 1．【问题情境】嘉琪和同学们准备了若干由大小一样的小正方形组成的纸板，计划将这些纸板折叠成正方体纸盒作为学具． 折叠前，嘉琪将大家准备的纸板进行了整理，发现有一个同学准备的纸板如下（如图1所示）； 【操作探究】 (1)请直接写出将其折叠成正方体后，与点O重合的是点________； (2)嘉琪和同学们将折叠的纸盒搭成了一个几何体，并画出了从上面看到的该几何体的形状图（如图2所示），其中小正方形中的数字表示在该位置的纸盒的个数． ①请在方框中分别画出从正面、从左面看到的该几何体的形状图； ②如果在该几何体上添加若干个同样大小的正方体纸盒得到一个新几何体，且新几何体与原几何体从上面、正面、左面看到的形状图分别相同，那么最多可以再添加________个正方体纸盒． 2．【问题情境】小圣所在的综合实践小组准备制作一些无盖纸盒收纳班级讲台上的粉笔 ． 【操作探究】 (1)图中的图形________经过折叠能围成无盖正方体纸盒（填序号）． (2)将图小正方体移走后，得到一个新的几何体，与原几何体相比，从三个方向看到的形状图没有发生变化的是__________． ．从正面和上面看到的形状图．从左面和上面看到的形状图 ．从正面和左面看到的形状图．从正面、左面、上面看到的形状图 (3)如果图在原几何体上再添加一些小正方体，并保持从正面和左面看到的形状图不变，那么最多可以再添加_______个小正方体． (4)若图小正方体的棱长为，求该几何体的表面积． 【课后检测】 1．如图所示的几何体的主视图是（     ） A． B． C． D． 2．如图所示的几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 3．如图所示的几何体，它的左视图是（     ） A． B． C． D． 4．如图所示的几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 5．如图所示几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 6．一个几何体的三种视图如图所示，则这个几何体是（     ） A． B． C． D． 7．如图是理化实验仪器：试管夹、U形磁铁、透镜、锥形瓶．小颖要从这四个理化实验仪器（假设均放在完全相同的密闭盒子里）中随机选取其中两个，则恰好选中的实验仪器一个主视图和左视图不同，另一个主视图和左视图相同的概率是（     ） A． B． C． D． 8．用若干个大小相同的正方体搭成几何体，其俯视图、左视图如图所示，则该几何体可能是（     ） A． B． C． D． 9．下列几何体中，其主视图是中心对称图形的是（     ）． A． B． C． D． 10．如图是某几何体的三视图，已知主视图是边长为4的正方形，左视图是宽为2的矩形，俯视图是直径为4的半圆，这个几何体的表面积是（     ） A． B． C． D． 11．一个立体图形由若干大小相同的小立方块搭成，图中所示的分别是从它的左面、上面看到的形状图，则这个立体图形至少是用______个小立方块搭成的． 12．一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，它从正面看（主视图）和从上面看（俯视图）如图所示，若搭成这个几何体的小立方块最多为m个，最少为n个，则______． 13．如图，等腰梯形是某直四棱柱的俯视图，且，，垂足为点，，，且四棱柱的高为，则此四棱柱的表面积为________． 14．某工厂加工一批茶叶罐．设计者给出了茶叶罐的三视图如图所示（单位cm）．则制作一个茶叶罐所需铁皮的面积是___________（结果保留π）． 15．一个“粮仓”的三视图如图所示（单位：） (1)它可以近似看成由常见几何体________和_______组成的． (2)求它的体积（，，结果保留）． 16．如图，在平整的地面上，9个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体． (1)在网格中画出从正面看、从左面看和从上面看的形状图； (2)如果在这个几何体的表面（不含底面）喷上油漆，求这个几何体喷漆的面积． (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从正面看、从上面看到的形状图不变，最多可以再添加____________个相同的小立方块． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 49 页 第 1 页 共 49 页 学科网（北京）股份有限公司 $