32.2.2应用举例（第1课时）（分层作业练题型）数学新教材人教版九年级下册

**基本信息** 以三级梯度分层设计，通过“单一应用—综合问题—跨学科探究”路径巩固解直角三角形应用，培养数学眼光与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|三角函数直接应用|选填题（如电线杆拉线、楼梯高度），聚焦定义理解| |综合|多步骤实际问题|解答题（如测量楼高、道闸通行），强化建模能力| |拓展|跨学科项目探究|项目式学习（如日晷圭表、帆船动力），发展创新思维|

分层作业 32.2.2应用举例（第1课时） 目 录 1 利用解直角三角形解决实际问题 1 4 6 7 利用解直角三角形解决实际问题题型 1．如图，是电线杆的一根拉线，米，，则的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 第1题图 第2题图 第3题图 2．如图楼梯示意图，，，米．则楼梯高度的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．如图是一款折叠椅打开时侧面示意图，椅面平行地面，椅脚，，，则到地面的距离为（     ） A． B． C． D． 4．如图，将一个形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为，若楔子沿水平方向前进（如箭头所示），则木桩上升了（     ） A． B． C． D． 第4题图 第5题图 5．（2025-2026·八年级下·山东济南·期末）某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，撑开的遮阳面和的长均为1.8米，的度数为，则此时“天幕”的宽度是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．（2025·辽宁·中考）如图，为了测量树的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树的高约为___________（结果精确到．参考数据：，）． 第6题图 第7题图 第8题图 7．（2026·浙江·中考）如图，一辆高为0.54米的智能摇杆车驶入夹角为的裂缝进行采样，则智能车无法采样的距离为___________．（注：，，） 8．（2022-2023·九年级下·江苏苏州·开学考）西周时期，丞相周公旦设计过一种通过测定日影长度来确定节气的仪器，称为圭表．如图所示的是一个根据某地的地理位置设计的圭表，其中，立柱高为8尺．已知，此地冬至时的正午日光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线之间的距离（即的长）约为_____尺．（参考数据：，，，结果精确到0.1尺） 9．如图，为了测量河宽（假设河的两岸平行），测得，，米，则河宽为______米（结果保留根号）． 10．一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知，则房顶离地面的高度为________（结果保留两位小数）．（参考数据，） 第9题图 第10题图 第11题图 11．（2025·湖北·中考）如图，甲、乙两栋楼相距30m，从甲楼处看乙楼顶部的仰角为到地面的距离为18m，求乙楼的高．（参考数据：） 12．小宇同学课间去老师办公室，发现老师的办公桌上放着部分同学的档案盒，其中10个竖直放置，左边一个向右侧倾斜靠着其他10个放置，档案盒与竖直放置的档案盒的夹角，，档案盒长．帮助小宇同学用学过的数学知识计算出档案盒的厚度（参考数据：，，）． 13．某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点与点重合．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点，转动，且边始终与边平行．一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，，） 1．若太阳光线与地面成角，，一棵树的影子长为10米，则树高h的范围是（取）_______． 2．如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点B在尺上的读数为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则尺上沿的交点C在尺上的读数是__________（结果精确到，参考数） 3．无动力帆船是借助风力前行的，帆船借助风力航行的平面示意图如图所示．已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力为．可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力又可以分解为两个力与，与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，若，求推动帆船前行的动力的值．（参考数据：，，．，，．） 4．项目式学习 日晷、圭表是我国古代先民的智慧结晶：日晷利用光影与刻度计量时辰（如图1，圭表凭借正午表杆影长测算节气（如图2）．某中学数学兴趣小组以“东莞地域下的古代计时工具”为主题开展项目式学习，请结合数学与地理知识解决以下问题． 【数据探究】 (1)图3是该小组制作的东莞日晷放置于地面的示意图，晷面与赤道平面平行，晷针与地轴平行．已知东莞位于北纬，则晷面与地平面的夹角为______． (2)图4是该小组制作的圭表的示意图，圭为南北向水平标尺，表为垂直立竿．已知为米，在夏至正午时用该圭表测得表的影长为米，冬至正午时表的影长为米，请结合参考数据，分别估算东莞夏至、冬至正午太阳光线与地平面的夹角．（测量误差忽略不计） 【解决问题】 (3) 该小组观察发现：如图5，冬至正午时，阳光从一栋南北朝向的教学楼顶射入，恰好射到大楼北侧一棵木棉树的顶部；春分正午时，阳光从该楼顶射入，恰好照射到树的根部．已知春分日光线与该小组制作的晷面平行，若大楼与树干距离为米，请结合上述数据探究的内容，求出此树的高度．（假设树的高度变化忽略不计，参考数据：，，，，） 5．如图1是一个装有橙汁的杯子放置在水平桌面上，一根吸管斜插在杯子中，如图2四边形是其杯子的轴截面，折线为吸管．其中，，mm，，，．如图3，将水平放置杯子沿着点倾斜，使与水平线平行．由图2到图3的变化过程中，点的位置是升高了还是下降了？变化了多少毫米？（结果精确到1mm．参考数据：，，，） 1．图①是一种手机平板支架、由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图②是其侧面结构示意图、托板长，支撑板长，托板固定在支撑板顶点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动，．（参考数据：，，，，，，） (1)若时，求点A到直线的距离（计算结果精确到个位）； (2)为了观看舒适，把（1）中调整为，再将绕点D逆时针旋转，使点B落在直线上即可、求旋转的角度． 2．影子在我们生活中是常见的，那么利用影子能解决什么问题呢？某校以《影子的故事》展开项目式学习： (1)地球有多大？2000多年前，古希腊数学家埃拉托斯特尼利用太阳光线测量出了地球子午线的周长． 如图1，太阳光线，是竖直插在球面上的木杆．的延长线都经过圆心O，已知B、E间的劣弧长约为800千米，子午线周长约为40000千米，则的度数为______． (2)中国古代也有类似的记载，陈子测日法是由我国古代杰出的数学家陈子提出，用来测量太阳高度的．陈子测量太阳高度的方法可叙述为：当夏至太阳直射北回归线时，在北方立一八尺高的标杆，观其影长为六尺．然后测量者向南移动标杆，每移动一千里，标杆的影长就减少一寸，查阅资料后，进行如下项目式研究： 如图2，某日正午，小红和小明在同一子午线的B地、C地测得太阳光与木棍的夹角分别为 ， ，则______，若测得之间弧长为l，则地球子午线周长为______．（用含 ， ，l的代数式表示） (3)如图3，日落时，身高为h的小亮趴在地上平视远方，在太阳完全从地平线上消失的一瞬间，按下秒表开始计时．同时马上站起来，当太阳再次完全消失在地平线的瞬间，停止计时，小亮利用这个时间差和地球自转的速度计算出了，请据此求出地球的半径R．（用含h， 的代数式表示） 1．（2026·湖南·中考）门与两面墙的平面示意图如图所示，墙与 垂直，门可绕旋转，是门与门吸的接触点（门吸指门页打开后吸住定位的装置）， 于点．已知，，，且，则门吸离墙的距离为（     ） A． B． C． D． 第1题图 第2题图 2．（2025·四川眉山·中考）人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若的长都为，当时，人字梯顶端离地面的高度是________m．（结果精确到，参考依据：，，） 3．（2026·吉林·中考）如图，为了测量某条河的宽度，小明站在点，到河岸的距离为，刚好正对河对岸的一棵大树，此时点，，在一条直线上．小明沿着与河岸平行的直路向右走了，到达点，此时测得．求这条河的宽度（结果保留整数）．（参考数据：，，） 4．（2025·贵州·中考）某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知，该地冬至正午太阳高度角为．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务． 任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离的长； 任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？ （参考数据：．结果保留小数点后一位） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 32.2.2应用举例（第1课时） 目 录 1 利用解直角三角形解决实际问题 1 7 10 13 利用解直角三角形解决实际问题题型 1．如图，是电线杆的一根拉线，米，，则的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】解：在中，米，， ， （米）． 故选：B． 2．如图楼梯示意图，，，米．则楼梯高度的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， 在中，，米， ∴米， 故选：A． 3．如图是一款折叠椅打开时侧面示意图，椅面平行地面，椅脚，，，则到地面的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， ． 4．如图，将一个形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为，若楔子沿水平方向前进（如箭头所示），则木桩上升了（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过点P作于点D， 在中，， 根据题意可知，， ． 即木桩上升了． 5．（2025-2026·八年级下·山东济南·期末）某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，撑开的遮阳面和的长均为1.8米，的度数为，则此时“天幕”的宽度是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【详解】解：设交于点， ∵，， ∴，， 在中，， ∵， ∴. 6．（2025·辽宁·中考）如图，为了测量树的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树的高约为___________（结果精确到．参考数据：，）． 【答案】 【详解】解：由题意得， ∴在中，， 故答案为：． 7．（2026·浙江·中考）如图，一辆高为0.54米的智能摇杆车驶入夹角为的裂缝进行采样，则智能车无法采样的距离为___________．（注：，，） 【答案】米 【详解】解：由题意可知，为直角三角形，且，，米， 在中，， （米）， 即智能车无法采样的距离为 2 米． 8．（2022-2023·九年级下·江苏苏州·开学考）西周时期，丞相周公旦设计过一种通过测定日影长度来确定节气的仪器，称为圭表．如图所示的是一个根据某地的地理位置设计的圭表，其中，立柱高为8尺．已知，此地冬至时的正午日光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线之间的距离（即的长）约为_____尺．（参考数据：，，，结果精确到0.1尺） 【答案】15.1 【详解】解：由题意得：， 在中，尺， （尺）， 立柱根部与圭表的冬至线之间的距离（即的长）约为15.1尺． 9．如图，为了测量河宽（假设河的两岸平行），测得，，米，则河宽为______米（结果保留根号）． 【答案】 【详解】解：，， ， 米， 在中， (米)． 故答案是：． 10．一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知，则房顶离地面的高度为________（结果保留两位小数）．（参考数据，） 【答案】 【详解】解：过点作于点，如图： ∵它是一个轴对称图形， ∴， ∵，， ∴， 在中， ∵， ∴． ∴房顶A离地面的高度． 故答案为：． 11．（2025·湖北·中考）如图，甲、乙两栋楼相距30m，从甲楼处看乙楼顶部的仰角为到地面的距离为18m，求乙楼的高．（参考数据：） 【答案】乙楼的高为 【详解】解：如图， 由题意得，四边形为矩形，，， ∴，，， ∵在中，， ∴， ∴， 答：乙楼的高为． 12．小宇同学课间去老师办公室，发现老师的办公桌上放着部分同学的档案盒，其中10个竖直放置，左边一个向右侧倾斜靠着其他10个放置，档案盒与竖直放置的档案盒的夹角，，档案盒长．帮助小宇同学用学过的数学知识计算出档案盒的厚度（参考数据：，，）． 【详解】解：由题意，在中，，，， ， ， ∴档案盒的厚度为． 13．某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点与点重合．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点，转动，且边始终与边平行．一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，，） 【详解】当时，，则， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴轿车能驶入小区． 1．若太阳光线与地面成角，，一棵树的影子长为10米，则树高h的范围是（取）_______． 【答案】 【详解】解：如图， 米． ①当时，米． ②当时，米． ． 故答案为： 2．如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点B在尺上的读数为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则尺上沿的交点C在尺上的读数是__________（结果精确到，参考数） 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，过点B作于D，过点C作于E，根据等腰直角三角形的性质可得，再通过解直角三角形可求得的长，进而可求解． 【详解】解：如图，过点B作于D，过点C作于E， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 即与尺上沿的交点C在尺上的读数是． 故答案为：2.6． 3．无动力帆船是借助风力前行的，帆船借助风力航行的平面示意图如图所示．已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力为．可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力又可以分解为两个力与，与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，若，求推动帆船前行的动力的值．（参考数据：，，．，，．） 【详解】解：由题意可知，，，， ，． ，， ， ． ， ． ，，， 在中，， 在中，， ． 4．项目式学习 日晷、圭表是我国古代先民的智慧结晶：日晷利用光影与刻度计量时辰（如图1，圭表凭借正午表杆影长测算节气（如图2）．某中学数学兴趣小组以“东莞地域下的古代计时工具”为主题开展项目式学习，请结合数学与地理知识解决以下问题． 【数据探究】 (1)图3是该小组制作的东莞日晷放置于地面的示意图，晷面与赤道平面平行，晷针与地轴平行．已知东莞位于北纬，则晷面与地平面的夹角为______． (2)图4是该小组制作的圭表的示意图，圭为南北向水平标尺，表为垂直立竿．已知为米，在夏至正午时用该圭表测得表的影长为米，冬至正午时表的影长为米，请结合参考数据，分别估算东莞夏至、冬至正午太阳光线与地平面的夹角．（测量误差忽略不计） 【解决问题】 (3)该小组观察发现：如图5，冬至正午时，阳光从一栋南北朝向的教学楼顶射入，恰好射到大楼北侧一棵木棉树的顶部；春分正午时，阳光从该楼顶射入，恰好照射到树的根部．已知春分日光线与该小组制作的晷面平行，若大楼与树干距离为米，请结合上述数据探究的内容，求出此树的高度．（假设树的高度变化忽略不计，参考数据：，，，，） 【详解】（1）解：晷面与地平面的夹角为； （2）解：据题意可知：在中，， 故由参考数据估算得，夏至时测量时光线与地平面夹角， 在中，， 故冬至时测量时光线与地平面夹角； （3）解：过作于，如图所示： 由（1）可知春分光线与地平面夹角为， 在中，，且米， ， 故（米） 由（2）可知冬至光线与地平面夹角为， ， 米， 由条件可知，四边形为矩形， ， ∴（米） 故树的高度为14米． 5．如图1是一个装有橙汁的杯子放置在水平桌面上，一根吸管斜插在杯子中，如图2四边形是其杯子的轴截面，折线为吸管．其中，，mm，，，．如图3，将水平放置杯子沿着点倾斜，使与水平线平行．由图2到图3的变化过程中，点的位置是升高了还是下降了？变化了多少毫米？（结果精确到1mm．参考数据：，，，） 【详解】解：如图1，过点作于点． ∵，∴， 在中，∵， ∴； 如图2，过点作于点，作，过点作于点． ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴． ∵， ∴， 在中，． ∴杯子倾斜后点到桌面的距离约为， ∴， 答：点A的位置升高了，升高了约． 1．图①是一种手机平板支架、由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图②是其侧面结构示意图、托板长，支撑板长，托板固定在支撑板顶点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动，．（参考数据：，，，，，，） (1)若时，求点A到直线的距离（计算结果精确到个位）； (2)为了观看舒适，把（1）中调整为，再将绕点D逆时针旋转，使点B落在直线上即可、求旋转的角度． 【详解】（1）解：如图，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，过点C作，垂足为N，则四边形为矩形； 由题意可知， ，，，， 在中，， ， 又∵， ∴ ， ∵，， ∴， ∴ ， ∴ ， 在中，， ∴， ∴点A到直线的距离约为； （2）解：依题意画出图形，如图 在中，，，， ∴， ∴， ∴旋转的角度． 2．影子在我们生活中是常见的，那么利用影子能解决什么问题呢？某校以《影子的故事》展开项目式学习： (1)地球有多大？2000多年前，古希腊数学家埃拉托斯特尼利用太阳光线测量出了地球子午线的周长． 如图1，太阳光线，是竖直插在球面上的木杆．的延长线都经过圆心O，已知B、E间的劣弧长约为800千米，子午线周长约为40000千米，则的度数为______． (2)中国古代也有类似的记载，陈子测日法是由我国古代杰出的数学家陈子提出，用来测量太阳高度的．陈子测量太阳高度的方法可叙述为：当夏至太阳直射北回归线时，在北方立一八尺高的标杆，观其影长为六尺．然后测量者向南移动标杆，每移动一千里，标杆的影长就减少一寸，查阅资料后，进行如下项目式研究： 如图2，某日正午，小红和小明在同一子午线的B地、C地测得太阳光与木棍的夹角分别为 ， ，则______，若测得之间弧长为l，则地球子午线周长为______．（用含 ， ，l的代数式表示） (3)如图3，日落时，身高为h的小亮趴在地上平视远方，在太阳完全从地平线上消失的一瞬间，按下秒表开始计时．同时马上站起来，当太阳再次完全消失在地平线的瞬间，停止计时，小亮利用这个时间差和地球自转的速度计算出了，请据此求出地球的半径R．（用含h， 的代数式表示） 【详解】（1）解：设子午线的半径为r，， ∵子午线周长约为40000千米， ∴， ∴， 由弧长公式得：， 解得， 即， ∵， ∴； （2）解：如图，延长交于点P， ∵太阳光是平行线， ∴， ∴， ∵， ∴， 设子午线的半径为R， 由弧长公式得， ∴， ∴地球子午线的周长为； （3）解：由题意得，当小亮趴在地上平视远方，在太阳完全从地平线上消失的一瞬间，此时小亮视线所在的直线与相切于点H；同理当小亮站起来，太阳再次完全消失在地平线的瞬间，小亮的视线所在的直线也与相切，设这个切点为T，连接， ∴， 由切线的性质得， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴地球的周长为． 1．（2026·湖南·中考）门与两面墙的平面示意图如图所示，墙与 垂直，门可绕旋转，是门与门吸的接触点（门吸指门页打开后吸住定位的装置）， 于点．已知，，，且，则门吸离墙的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过点作于点G， ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ∵， ∴ 在中，， ∴， ∴， ∴． 2．（2025·四川眉山·中考）人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若的长都为，当时，人字梯顶端离地面的高度是________m．（结果精确到，参考依据：，，） 【答案】 【详解】解：过点作，则：， 在中，，， ∴； 故人字梯顶端离地面的高度是； 故答案为：． 3．（2026·吉林·中考）如图，为了测量某条河的宽度，小明站在点，到河岸的距离为，刚好正对河对岸的一棵大树，此时点，，在一条直线上．小明沿着与河岸平行的直路向右走了，到达点，此时测得．求这条河的宽度（结果保留整数）．（参考数据：，，） 【答案】 【详解】解：由题意知，， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 答：这条河的宽度为． 4．（2025·贵州·中考）某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知，该地冬至正午太阳高度角为．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务． 任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离的长； 任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？ （参考数据：．结果保留小数点后一位） 【详解】解：任务一：如图，过作于， 结合题意可得：四边形为矩形，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 任务二：如图，过作的平行线，过作的平行线，两线交于点，交于点，过作于， ∴，四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； ∴该活动中心移动了2米. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $