精品解析：陕西咸阳市秦都区咸阳彩虹学校2026～2027学年度第一学期期中考试九年级数学试题

彩虹初中2026~2027学年度第一学期期中考试 九年级数学试题 （考试时间：120分钟 总分：120分） 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名．班级、考场、座位号、准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 已知方程的一个实数根为，则代数式的值为（ ） A. 2 B. -2 C. 1 D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】所求代数式与方程左边的前两项形式一致，利用方程根的定义代入后移项即可求解． 【详解】解：是方程的实数根， ， ． 2. 某几何体如图所示，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，即可得答案． 【详解】解：从上面看，是两个圆形，大圆内部有个小圆． 故选：D． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是掌握从上面看得到的图形是俯视图． 3. 已知等边的边长为方程的根，则等边的周长为（ ） A. 12 B. 9 C. 15 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先求解一元二次方程，根据边长为正舍去负根，再计算等边三角形的周长． 【详解】解：， 得， 解得，． ∵等边三角形的边长为正数， ∴边长为． ∴周长为． 4. 如图，直线，交于点，，若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平行线等分线段定理得，由已知得，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴． 5. 正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如图，点是线段的黄金分割点（即）．已知，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次根式的混合运算法则以及线段的和差进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 6. 已知、是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 89 B. -73 C. -89 D. 73 【答案】D 【解析】 【分析】将变形为含两根和与两根积的形式，结合根与系数的关系计算． 【详解】解：∵,是方程的两个实数根， ∴，． ． 7. 如图，正方形边长为1，在对角线上取点E，使，过E点作交于点F，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正方形的性质得出边长以及直角三角形，利用勾股定理求出相关线段的长度，判定是等腰直角三角形，再利用勾股定理进行求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得， ∴． 8. 如图，将沿边上的中线平移到的位置（点、、的对应点分别是点、、），、分别交于点、．已知的面积为，的面积为．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平移性质得出平行线，证得三角形相似，利用面积比等于相似比的平方建立方程求解． 【详解】解：沿平移得到， ，， ，， ,, ． ，， ， ． ,, , ． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知线段、、、成比例，，，则线段的长为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】按成比例线段的给定顺序写出对应比例关系，代入已知线段的数值求解d的长度． 【详解】解：∵ 线段a、b、c、d成比例， ∴ ． ∵ ，， ∴ ． 两边同乘以，计算得 ． 10. 如图，四边形四边形，已知，，，则的度数为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似多边形的对应角相等，由得出的度数，由垂直定义得出的度数，最后利用四边形内角和定理求出，进而得到的度数． 【详解】 ∵四边形四边形 ， ∴， ． ∵ ， ∴ ． ∴在四边形中，  ． ∴ ． 11. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是_____________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】将原方程整理为一元二次方程的一般形式，结合方程无实数根的条件推导的取值范围，在范围内选取任意一个符合要求的数即可． 【详解】解：原方程为， 移项整理，得． 该方程没有实数根， ， 解得． 只要的取值大于即可，例如取． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点是一个点光源．木杆两端的坐标分别为，．连接、并延长分别交轴于点、，则木杆在轴上的投影的长为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点、的纵坐标相同得出平行于轴，进而证得与相似，利用相似三角形对应高的比等于相似比列式计算即可． 【详解】∵， ， ∴平行于轴，且．  ∵、在轴上 ， ∴ ． ∴ ． 设点到的距离为，点到的距离为 ， ∵，纵坐标为，在轴上 ， ∴， ． ∴ 即 ． ∴ ． 13. 宣纸是我国国家级非物质文化遗产，是中华传统文化中一张亮眼名片．某商家购进一批宣纸，当其销售价格为每刀（宣纸单位）120元时，每天可以售出20刀．经市场调查发现：每刀宣纸每降价1元，平均每天可多售出4刀．现商家计划降价销售，且要使商家平均每天销售该款宣纸的销售额为6600元，设每刀宣纸降价元，则可列方程为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出每刀降价元后的实际售价与对应日销售量，再依据“销售额=每刀售价×日销售量”的等量关系列方程． 【详解】∵ 原每刀宣纸售价为120元，每刀降价元， ∴ 降价后每刀的实际售价为元． ∵ 原日销售量为20刀，每降价1元平均每天可多售出4刀， ∴ 降价元后，每日多售出的宣纸数量为刀， ∴ 降价后的日总销售量为刀． ∵ 要求平均每天的销售额为6600元，且销售额=每刀售价×日总销售量， ∴ 可列方程为． 14. 如图，在中，对角线、交于点，点在边上，且，连接、分别交、于点、．若的面积为10，则图中阴影部分的面积为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平行四边形性质，得到；由证两组相似三角形，求出线段比例；再用等高三角形面积比等于底之比，算出、、的面积，用面积减去这三块面积得到阴影面积． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ，，，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【详解】解：， ， ， ， 所以，． 16. 如图，在和中，，若，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】由三边对应成比例，判定，得到对应角相等，再利用三角形内角和计算． 【详解】解：∵， ， ， 在中， ． 17. 已知关于的一元二次方程的常数项为0，求的值． 【答案】 的值为或. 【解析】 【分析】由常数项为列方程，结合一元二次方程的定义求解． 【详解】 ∵ 关于的一元二次方程的常数项为， ∴ ，且二次项系数不为．  ∵ 该方程二次项系数为，， ∴  ． ∴或， ∴  或 ． 18. 如图，在中，点在边上，连接，请你用尺规作图法在边上找一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 【解析】 【分析】作，使与的交点为E，此时． 【详解】作，使与的交点为E，此时． 理由：∵，， ∴． 19. 如图，在菱形中，点在边上，延长至点，使得，连接、．求证：． 【答案】证明：∵四边形是菱形， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 【解析】 【分析】因为四边形是菱形，所以可得．可推出与的位置关系，进而得到二者的数量关系．结合已知条件，可确定与满足全等的判定条件．证明两个三角形全等，即可得到待证的． 【详解】略 20. 如图，在中，点在边上，过点作交于点，点在边上，连接交于点，，，求的值以及的长． 【答案】， 【解析】 【分析】由 ，利用平行线分线段成比例，先得到，结合算出比例，再代入 求出，最后求出． 【详解】解：∵， ∴ 设 ，则 ， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）以原点为位似中心，画出的位似图形（点、、的对应点分别是点、、），使得与的相似比为，且点在轴下方，并写出点的坐标； （2）在（1）的条件下，与的面积比为_______________． 【答案】（1）解： 以为位似中心，对应点位于原点两侧，且到原点的距离扩大为原来的2倍，故变为， ， ， ， ， 所求图形如下，点 的坐标为 。 依次连接，即为， ； （2）解：相似比为1：2， 面积比． 【解析】 【分析】（1）根据位似的性质作图即可； （2）相似图形面积比等于相似比的平方． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 为贯彻实施劳动课程，某校计划建造一个矩形种植场地．为充分利用现有资源，该矩形种植场地一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成（靠墙的一面不用栅栏），已知栅栏的总长度为．若矩形种植场地的总面积为，求矩形场地中垂直于墙的一边长为多少米． 【答案】矩形场地中垂直于墙的一边长为6米 【解析】 【分析】根据矩形面积列出关于x的一元二次方程，结合靠墙的长度排除不符合的解即可． 【详解】解：设矩形场地中垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， ∵矩形种植场地的总面积为， ∴，解得，， ∵墙的长度为， 若，则，不符合题意， 则， 答：矩形场地中垂直于墙的一边长为6米． 23. 某数学兴趣小组在阳光明媚的周末开展项目性综合实践活动，形成了如下活动报告： 项目主题 测量某广场上路灯的高度． 活动过程 如图，成员甲竖直站在地面上的点处，路灯顶端、成员甲头顶、地面上的点在一条直线上；在地面上的点处有一个健身器材，某一时刻，太阳光下，路灯在地面上的影子为，该健身器材在地面上的影子为．其中米，米，米，米． 说明 ，，，点在一条直线上，图中所有点均在同一平面内． 请根据上述活动报告，求出路灯的高度． 【答案】 路灯的高度为9米． 【解析】 【分析】本题分两组相似：路灯照射形成，太阳光平行投影得到，分别用相似写出，关于的表达式，再根据列方程求解． 【详解】解：设路灯高度米． ，，三点共线， ，， ， ， 代入 ，即， 同一时刻太阳光互相平行，， 又，， ， ， 代入，， ，即， 由图可知：， ， 解得： 答：路灯的高度为9米． 24. 如图，在中，点在边上，连接，过点作于点，点在上，连接，． （1）求证：四边形是正方形； （2）延长交的延长线于点，若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴平行四边形是菱形． ∵． 在中，， ∴，即． ∴四边形是正方形． （2） 【解析】 【分析】（1）因为已知四边形是平行四边形，所以先结合全等三角形的性质推导角的关系，再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”判定其为矩形，最后结合全等得到的边相等条件，根据“一组邻边相等的矩形是正方形”完成证明． （2）因为已证四边形是正方形，所以先根据和，再利用正方形对边平行的性质得到相似三角形，通过相似三角形的比例关系求出的长度，最后在直角三角形中用勾股定理计算的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，四边形是正方形， ∴，且，． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴由勾股定理． 25. 定义：若关于的一元二次方程（、、为常数，且）的两个实数根分别为、（），分别以、为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． 请根据上述定义，解答下列问题： （1）求方程的衍生点的坐标； （2）若关于的一元二次方程有衍生点，且衍生点的纵坐标和横坐标相差，求的值． 【答案】（1）衍生点的坐标为． （2）的值为． 【解析】 【分析】（1）解一元二次方程，求出两根，，根据衍生点定义得到点P坐标； （2）由一元二次方程根与系数的关系得，，结合，利用完全平方公式建立方程求q． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ∴衍生点的坐标为． 【小问2详解】 解：设方程两根为，，则衍生点为， ，， 衍生点的纵坐标和横坐标相差， ， ， ， ， 解得， 检验：，符合题意． 26. 【问题初探】 （1）如图1，在梯形中，，点在边上，连接交对角线于点，． ①求证：； ②若，，求的长． 【问题解决】 （2）如图2，某地有一块形状为矩形的森林生态公园，其中米，米，并沿其对角线修一条景观步道，点在上，且，在点处修建一座凉亭，现要在矩形内部找一点，连接、、，且，将、分别规划为鹅卵石小路和景观小路，为节约成本，现要使鹅卵石小路的长度最小，当最小时，求景观小路的长．（步道、小路的宽度以及凉亭的大小均忽略不计） 【答案】（1）①证明：∵， ∴ ， 又∵和是两个三角形的公共角，即． ∴． ② （2）米 【解析】 【分析】（1）①：因为已知乘积式，所以将其转化为比例式​，结合两个三角形的公共角，利用两边成比例且夹角相等的相似三角形判定定理完成证明．②因为已证，所以可得对应角相等，结合推出内错角相等，进而得到新的等角关系，证明，利用相似三角形对应边成比例建立等式，结合已知的、长度求解． （2）因为矩形边长已知，所以先计算矩形面积，结合的面积条件，确定点的运动轨迹为平行于的直线；因为要使最小，所以根据点到直线的距离性质，当垂直于该直线时长度最短，此时确定的位置，再结合坐标法或几何关系计算的长度． 【小问1详解】 ① 略； ② ∵，， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴ ． 即， ∴． ∵， 代入，得， 即． 由①的相似结论， ∴ ， 将、代入， 得， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：矩形的面积平方米， ∴ ． 设中边上的高为， 由三角形面积公式， 代入得： ， ，  这说明点到边的距离恒为200米， 即在平行于、与距离为200、在矩形内部的直线上． 根据“点到直线的连线中，垂线段最短”，当时，取得最小值． 以为原点，为轴、为轴建立平面直角坐标系： 坐标为：，，，； 对角线的长度为， 由，得点坐标为； 直线到（）的距离为200， ∴直线的表达式为． 当（是竖直线，垂线为水平线）时， 点坐标为，此时最小． ∵，， ∴由勾股定理： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 彩虹初中2026~2027学年度第一学期期中考试 九年级数学试题 （考试时间：120分钟 总分：120分） 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名．班级、考场、座位号、准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 已知方程的一个实数根为，则代数式的值为（ ） A. 2 B. -2 C. 1 D. -1 2. 某几何体如图所示，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 已知等边的边长为方程的根，则等边的周长为（ ） A. 12 B. 9 C. 15 D. 6 4. 如图，直线，交于点，，若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如图，点是线段的黄金分割点（即）．已知，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知、是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 89 B. -73 C. -89 D. 73 7. 如图，正方形边长为1，在对角线上取点E，使，过E点作交于点F，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将沿边上的中线平移到的位置（点、、的对应点分别是点、、），、分别交于点、．已知的面积为，的面积为．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知线段、、、成比例，，，则线段的长为_____________． 10. 如图，四边形四边形，已知，，，则的度数为_____________． 11. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是_____________．（写出一个符合题意的数即可） 12. 如图，在平面直角坐标系中，点是一个点光源．木杆两端的坐标分别为，．连接、并延长分别交轴于点、，则木杆在轴上的投影的长为_____________． 13. 宣纸是我国国家级非物质文化遗产，是中华传统文化中一张亮眼名片．某商家购进一批宣纸，当其销售价格为每刀（宣纸单位）120元时，每天可以售出20刀．经市场调查发现：每刀宣纸每降价1元，平均每天可多售出4刀．现商家计划降价销售，且要使商家平均每天销售该款宣纸的销售额为6600元，设每刀宣纸降价元，则可列方程为_____________． 14. 如图，在中，对角线、交于点，点在边上，且，连接、分别交、于点、．若的面积为10，则图中阴影部分的面积为_____________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 16. 如图，在和中，，若，，求的度数． 17. 已知关于的一元二次方程的常数项为0，求的值． 18. 如图，在中，点在边上，连接，请你用尺规作图法在边上找一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，在菱形中，点在边上，延长至点，使得，连接、．求证：． 20. 如图，在中，点在边上，过点作交于点，点在边上，连接交于点，，，求的值以及的长． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）以原点为位似中心，画出的位似图形（点、、的对应点分别是点、、），使得与的相似比为，且点在轴下方，并写出点的坐标； （2）在（1）的条件下，与的面积比为_______________． 22. 为贯彻实施劳动课程，某校计划建造一个矩形种植场地．为充分利用现有资源，该矩形种植场地一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成（靠墙的一面不用栅栏），已知栅栏的总长度为．若矩形种植场地的总面积为，求矩形场地中垂直于墙的一边长为多少米． 23. 某数学兴趣小组在阳光明媚的周末开展项目性综合实践活动，形成了如下活动报告： 项目主题 测量某广场上路灯的高度． 活动过程 如图，成员甲竖直站在地面上的点处，路灯顶端、成员甲头顶、地面上的点在一条直线上；在地面上的点处有一个健身器材，某一时刻，太阳光下，路灯在地面上的影子为，该健身器材在地面上的影子为．其中米，米，米，米． 说明 ，，，点在一条直线上，图中所有点均在同一平面内． 请根据上述活动报告，求出路灯的高度． 24. 如图，在中，点在边上，连接，过点作于点，点在上，连接，． （1）求证：四边形是正方形； （2）延长交的延长线于点，若，，求的长． 25. 定义：若关于的一元二次方程（、、为常数，且）的两个实数根分别为、（），分别以、为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． 请根据上述定义，解答下列问题： （1）求方程的衍生点的坐标； （2）若关于的一元二次方程有衍生点，且衍生点的纵坐标和横坐标相差，求的值． 26. 【问题初探】 （1）如图1，在梯形中，，点在边上，连接交对角线于点，． ①求证：； ②若，，求的长． 【问题解决】 （2）如图2，某地有一块形状为矩形的森林生态公园，其中米，米，并沿其对角线修一条景观步道，点在上，且，在点处修建一座凉亭，现要在矩形内部找一点，连接、、，且，将、分别规划为鹅卵石小路和景观小路，为节约成本，现要使鹅卵石小路的长度最小，当最小时，求景观小路的长．（步道、小路的宽度以及凉亭的大小均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $