考点05 相似三角形的应用7题型突破+能力强化（专项训练）数学新教材人教版九年级下册

考点05 相似三角形的应用 考点一：利用相似解决实际问题的一般思路 用相似三角形解决实际问题，通常按四步进行： 第一步，审题画图：根据题意画出示意图，把实物抽象为点、线段，标出已知量与未知量； 第二步，找出或构造相似三角形：优先利用已有的平行线（同一时刻的太阳光线、河岸、矩形对边）和垂直关系（竖直物体与水平地面）得到等角； 第三步，列比例式：按对应顶点顺序写出相似式，再由对应边成比例列方程，注意同一条线段的两个量必须单位统一； 第四步，求解并检验：解方程求出未知量，检验结果是否符合实际意义（如高度为正、数量级合理）。 需要特别注意：实际问题中的“高”往往不是图中某条线段，而要结合眼高、基座高度进行加减；这一步是本节最主要的失分点。 考点二：相似三角形应用的常用模型 模型 图形特征 相似依据 关键关系 适用条件 影长法 两竖直物体与各自影长 太阳光平行，两个直角相等 物高:影长＝杆高:杆影 同一时刻、同一地点、地面水平 标杆法 人眼、标杆顶、物顶共线 公共角＋直角（水平视线） (标杆高－眼高):(物高－眼高)＝人到标杆:人到物 标杆竖直、三点共线、同一水平面 镜面法 镜面在地面，两侧各一直角三角形 入射角＝反射角，两直角相等 眼高:物高＝人到镜:镜到物 镜面水平、人与物同在高水平面 视线遮挡 人眼与两物顶端共线（临界） 平行线得等角 露出高度之比＝水平距离之比 物均竖直、人眼高度已知 A字型测距 对岸一点与近岸两点共线，两垂线平行 QR∥ST 得等角 QR:ST＝PQ:PS，PS＝PQ＋QS PS⊥河岸，QR∥ST X字型测距 两线段相交于 O，对顶角相等 对顶角＋夹角两边成比例 AB:CD＝OA:OC O 在障碍外，延长倍数相同 题型一：影长法测高 抓住“同一时刻太阳光是平行光线”，两个竖直物体与各自影长构成相似直角三角形，故物高与影长成正比。列式时把同一次测量中的两个物体配成一组，单位统一；若题中给出的是“影长的一部分”或“影子落在墙上、台阶上”，要先把总影长还原为水平地面上的影长再代入。 1．（26-27九年级上·山东东营·期中）综合与实践： 课题 测量等高的相邻两盏路灯的高度 示意图 测量过程 步骤：小亮在等高的相邻两盏垂直于地面的路灯之间行走，路灯光源为，，小亮的身高，于点，影子，在线段上． 测量数据 ，，． 请你根据以上实践报告，帮助小亮求出路灯的高度． 2．（26-27九年级上·广东深圳·期中）深圳某校数学实践小组开展社区路灯高度测量活动：小树在路灯照射下形成树影，利用相似三角形测量路灯高度，以下测量数据为教学模拟数据．如图，路灯顶端为O，灯杆底端为P；小树顶端为A，树根为B，树影末端为C，点P、B、C在同一直线上，点O、A、C在同一直线上，⟂，，测得树高，树影长，树与路灯之间的水平距离，请完成下列任务． (1)说明的理由； (2)求路灯的高度； (3)若将小树沿水平地面向路灯方向平移，且树高、路灯高度均不变，求移动后小树的影长． 3．（26-27九年级上·北京·期中）圭表是中国古代根据日影长度变化测定季节、划分四季和推算历法的工具，图1为圭表示意图，某同学受到启发，利用一根标杆和一个卷尺轻松测量出学校旗杆的高度，如图2，旗杆的影长在水平地面上，将标杆（长度米）竖直放置在影长的最远端点处，此时标杆的影长为．经测量，米，米． (1)根据以上信息，求旗杆的高度； (2)若该同学在操作过程中，测量完的长度后，准备测量的长度时，发现卷尺不够长，又去寻找更长一点的卷尺，半小时后回来测量的长度，并用新测量的的长度与原数据进行计算，请问这样可以准确得到旗杆的高度吗？简单说明理由． 题型二：标杆法测高 过人的眼睛作水平视线，构造A字型相似：小三角形的高是“标杆高－眼高”，大三角形的高是“物高－眼高”，两三角形的水平底边分别是“人到标杆”与“人到物”。求出物高后必须加回眼高，这是本题型最常见的失分点。 4．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，和表示两根立于地面的柱子，和表示起固定作用的两根钢筋，与的交点为．已知，，则点离地面的高度_______． 5．（26-27九年级上·陕西咸阳·期中）某数学学习小组为测量校园内一棵大树的高度，设计了如下方案：如图，先在水平地面上的点B处竖立一根标杆，接着沿方向移动2米到达点A处（即米），人伏着地向上看，此时点A、标杆上的点D、大树顶端E恰在同一直线上，再沿方向移动1.6米到达点F处（即米），人伏着地向上看，此时点F、标杆上的点G、大树顶端E也恰在同一直线上，经测量，米，米．已知，，点B、D、G在一条直线上，点C、B、A、F在一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请根据上述信息求出大树的高度． 6．（26-27九年级上·山东青岛·期中）如图，在距离旗杆底点30米远的处竖立一根高2米的标杆，甲同学在处站立，他的眼睛所在位置、标杆的顶端和旗杆顶端三点在一条直线上．已知甲同学的眼睛到地面的距离米，米，，点在同一直线上．请你求出旗杆的高度． 7．（26-27九年级上·广东深圳·期中）如图1，公园广场上有一棵树，底部可到达但顶部不可到达，数学活动小组想利用皮尺、标杆等工具测量树的高度． (1)“龙腾”组选择图2方法进行测量，可测量数据有：，，，，则需测量的数据为 ，根据所选择的数据，求树高（结果用字母表示）； (2)“高远”组选择图3方法进行测量，将长度分别为和的两根标杆分别放在和处，两杆之间的距离，点距离点，点，，三点共线，点距离点，点，，也三点共线，求树高． 8．（26-27九年级上·山东济南·期中）在学习了“相似三角形”之后，学生们积极进行实践活动，小明和小亮所在的数学兴趣小组准备测量旗杆的高度，有以下两种方案： 方案一：如图1，在距离旗杆底端处远的处竖立一根高的标杆，小明在处站立，他的眼睛所在位置、标杆的顶端和旗杆顶端在一条直线上．已知小明的眼睛到地面的距离，，，，，点，，在同一直线上． 方案二：如图2，小亮拿着一根长为的木棒站在离旗杆远的地方（即点到的距离为）．他把手臂向前伸并使木棒，当观察到木棒两端恰好遮住旗杆（即，，在一条直线上，，，在一条直线上）时，点到木棒的距离为． 请你结合上述两个方案，选择其中一个方案求旗杆的高度． 9．（26-27九年级上·河北张家口·期中）在综合实践课上，数学活动小组用所学数学知识来解决实际问题．实践报告如下： 活动主题 测量旗杆的高度 活动工具 标杆、卷尺 测量示图    测量过程 【步骤一】三次测量标杆BE的长度； 【步骤二】三次测量活动小组成员嘉嘉的身高（地面到眼睛的高度)； 【步骤三】将标杆竖立在嘉嘉和旗杆之间，嘉嘉适当调整自己所处的位置，使自己、标杆、旗杆在同一条水平直线上，且旗杆的顶端、标杆的顶端与眼睛在同一条直线上； 【步骤四】小组其他同学三次测出嘉嘉到标杆的距离，旗杆到标杆的距离； 【步骤五】将以上测量数据分别记录（单位：），如下表： 测量数据 第一次 第二次 第三次 嘉嘉身高（地面到眼睛） 标杆高度 嘉嘉到标杆距离 旗杆到标杆距离 解决问题 计算旗杆的高度 结合活动报告，完成下面的问题： (1)根据记录数据，计算旗杆的高度； (2)反思：测量数据时为什么要进行多次操作？（写出一条即可） 题型三：镜面反射法测高 反射角等于入射角给出一对相等角，配合两个直角得到相似。要点是分清三条水平距离：人与镜、镜与物，比例式写“眼高:物高＝人到镜:镜到物”。若所求是镜子的位置，则把该距离设为未知量解方程。 10．（2026·安徽合肥·一模）如图,小刚正在使用手电筒进行物理学实验，手电筒位于点G处，手电筒的光从平面镜上的点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，现测得米，米，米，米，已知图中点A，B，C，D在同一水平面上（物理学中入射角等于反射角），，，，则的长为______米． 11．（26-27九年级上·湖南永州·期中）道县乐福堂镇大莲塘村湘桂古道旁的凉亭因年久失修，村里正按照“修旧如旧”的原则对其进行保护修缮，以留住古道的人文记忆．如图，小明为了测量凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶等高的台阶（，，，三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点处，测得，然后沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端，测得，小明身高，求凉亭的高度． 12．（26-27九年级上·山东济南·期中）为了提高学生应用数学方法解决实际问题的能力，王老师组织学生开展了测量物体高度的实践活动，小刚与小亮所在小组的任务为测量公园古树的高度，由于有围栏保护，他们无法到达底部，如图，栅栏米，小刚和小亮研究需要两次测量，方法如下：小刚在延长线上放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线上的对应位置为点，镜子不动，小刚看着镜面上的标记来回走动，走到点时，看到树顶与镜面上的标记重合，这时测量小刚眼睛与地面高度米，米，米；同时，小亮在延长线上的处安装了测倾器（测倾器高度忽略不计），测得树顶的仰角为，米，请你根据题中提供的相关信息，求出古树的高度（小平面镜的大小忽略不计）． 13．（26-27九年级上·广东深圳·期中）小军与小明两兄弟站在平面镜前方的水平地面上照镜子．如图，小军竖直站立在处，其眼睛所在位置为点，；小明竖直站立在小军身后的处，其眼睛所在位置为点，．此时、、三点恰好共线，且小明与小军的水平距离． (1)求小军到平面镜的距离； (2)根据平面镜成像原理，小明的立足点与眼睛在平面镜中的像分别为点与点．小军若想通过镜子看到点、，则需要注视到平面镜中点、的位置，求的长． 14．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度．如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，；根据光的反射定律，，．求此公益广告牌的高度． 题型四：小孔与透镜成像 15．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）凸透镜成像的原理如图所示，O为凸透镜的中心，， ，若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则该物体缩小为原来的(　　) A． B． C． D． 16．（25-26九年级上·广东深圳·期末）根据凸透镜的成像规律，当物体到凸透镜的距离大于两倍焦距时，会在凸透镜的另一侧形成倒立、缩小的实像．如图所示，物体到凸透镜的距离，凸透镜的焦距，则实像与物体的比值为（   ） A． B． C． D． 17．（26-27九年级上·广东深圳·期中）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为_________． 18．（25-26九年级上·河北衡水·期末）如图所示，在小孔成像实验中，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像，若物体的高为，实像的高度为，则小孔到地面距离为___________________ ． 19．（26-27九年级上·辽宁沈阳·期中）如图是凸透镜成像示意图，蜡烛通过凸透镜所成的像是，点是凸透镜的中心，光线，点是凸透镜的焦点，已知焦距的长为，蜡烛的长为，点、、、在同一条直线上．如图，当蜡烛通过该凸透镜成正立放大的虚像，此时． (1)求的值． (2)求此时虚像的高度． 20．（26-27九年级上·湖南衡阳·期中）如图1是某兴趣小组通过蜡烛成像实验探究凸透镜成像规律的光路图，现将图1的光路图抽象为图2所示的数学几何图形，实物蜡烛发出的光线平行于直线，光线经过凸透镜后，经过焦点与经过凸透镜中心的光线交于点，其中四边形是矩形，，． (1)将长为6厘米的蜡烛进行移动，使物距厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，测得此时的像距厘米，求像的长度． (2)在（1）的条件下，已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过焦点，求凸透镜焦距的长． 题型五：测河宽与不可到达的距离 河宽用A字型：对岸一点与近岸两点共线且垂直河岸，另一条辅助线与它平行，两平行线截出相似三角形；池塘用X字型：在障碍外取一点，两组延长线成相同倍数，靠对顶角与成比例的边证相似。列式前先明确哪条线段是待求目标（河宽是 PQ，不是 PS、PT）。 21．（26-27九年级上·北京延庆·期中）如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点，在近岸取点，，，使得，，点在上，并且点，，在同一条直线上．若测得，，，则河宽的长为__________． 22.横放，使，并使点，，和点，，分别在同一条直线上，量得米，米，米，则河宽________米． 23．（2026·福建莆田·模拟预测）如图所示，在某体育场上，写有专用字体“一”、“起”、“向”、“未”、“来”的五块高度均为2米的标语牌正对看台（B点为看台底部）由近及远沿直线依次竖直摆放，分别记五块标语牌为，，…，，且米．为使距地面6米高的看台第一排A点处恰好能看到后四块标语牌的底部，则_______． 24．（26-27九年级上·陕西西安·期中）如图，某高铁在修建时需将位于山两侧的，两地间打通一条直线隧道，工程人员为了计算，两地之间的直线距离，选择了在测量点，，处进行测量．已知点，分别在，上，测得，，，，，求两地之间的直线距离． 25．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，方方设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在一条直线上，量得． (1)求证：． (2)求河宽的长． 26．（25-26九年级上·广东茂名·阶段检测）【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 题型六：内接矩形与相似综合 内接正方形、内接矩形问题统一设边长为 x，用“大三角形的高减去 x”表示小三角形的高，由“内接图形的边∥底边”得相似，列方程求解。若题目还要求面积或最值，可先写出关于 x 的二次函数再求最值。跨学科情境（小孔成像、杠杆、凸透镜）只需认清相似的两三角形，比例关系与测量题完全相同。 27．（26-27九年级上·北京昌平·期中）有一块直角三角形木板，，，，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图、图所示．则图、图中正方形桌面的边长分别为________、________． 28．（26-27九年级上·山东聊城·阶段检测）2026年高端新材料产业加速国产替代，某精密制造企业利用数控加工技术，将航空航天用高性能碳纤维复合材料的三角形余料进行二次加工，打造适配低空经济装备的精密矩形配件．如图，该三角形余料边，高，现在要把它加工成长与宽的比为的矩形零件，要求一条长边在上，其余两个顶点分别在，上，则矩形的周长为_____． 29．（26-27九年级上·北京延庆·期中）如图，表示一块锐角三角形木板，边，高．现要在其上裁出一块正方形木板，使正方形的边在上，顶点，分别在，上．裁出的正方形木板的边长是多少？ 30．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）某社区两条平行的小道之间有一块三角形空地，如图，这两条小道、之间的距离为米，表示这块空地，米．现要在空地内划出一个矩形区域建造花坛，使它的一边在上，其余两个顶点分别在边、上．如果矩形花坛的边，求出这时矩形花坛的两条邻边的长． 31．（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）综合与实践． 一块材料的形状是锐角三角形，边，高． 【特例初探】 （1）若把它加工成正方形零件如图（a），使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在和上．这个正方形零件的边长是多少？ 【迁移运用】 （2） 若把它加工成矩形零件，如图（b），当宽为多少时，矩形有最大面积，最大面积是多少？ 题型七：视线遮挡与盲区临界 “恰好看到”或“恰好看不到”对应“眼睛与两物顶端共线”。此时作水平视线，把两物各分成“人眼高度以上”与“以下”两部分，只比较露出部分的高度与水平距离，用相似列比例。求出的距离是临界值，最后要回到题目的问法上判断方向。 32．如图，直角坐标平面内，小明站在点A（﹣10，0）处观察y轴，眼睛距地面1.5米，他的前方5米处有一堵墙DC，若墙高DC＝2米，则小明在y轴上的盲区（即OE的长度）为_____米．    33．如图，为一盏路灯的灯杆，已知该路灯的灯泡P位于灯杆上，地面上竖立着一个矩形单杠，已知单杠右侧杆在路灯灯泡P的照射下的影子末端位于点E处，已知O、B、C、E在一条直线上，且，，． (1)请在图中找出路灯灯泡P的位置，并画出单杠左侧杆在灯泡P的照射下的影子； (2)经测量米，米，单杠的高度米，请你计算路灯灯泡距地面的高度． 34．如图，点P的对面是一面东西走向的墙，某人在点P观察一辆自西向东行驶的汽车AB，汽车的长为6米，根据图中标示的数据解决下列问题： (1)画出此人在汽车与墙之间形成的盲区，并求出该盲区的面积； (2)当汽车行驶到CD位置时，盲区的面积是否会发生变化？为什么？ 35.(1)如图所示，如果你的位置在点A，你能看到后面那座高大的建筑物吗？为什么？ (2)如果两楼之间相距MN＝20 m，两楼的高各为10 m和30 m，则当你至少与M楼相距多少米时，才能看到后面的N楼，此时你的视角α是多少度？ 1．（26-27九年级上·广东深圳·期中）中国古代的“矩测”方法，以几何原理为基础，是《周髀算经》中解决实际测量问题的经典智慧．在热播剧《长安的荔枝》中，李善德在荔枝运送过程中曾使用“矩”这一工具，来测量自己所在位置A到大运河对岸驿站P的距离（）．由于无法直接测量，他采用了商高“卧矩以知远”的方法：先将矩（）平放在地面上，沿方向前行至点Q，使驿站P恰好在点Q的垂直方向上．如图，点A、B、P位于同一直线上，和均为直角．测得尺，尺，丈，则点A到点P的距离为（     ） A．15丈 B．16丈 C．20丈 D．25丈 2．（26-27九年级上·北京顺义·期中）物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛的高为，蜡烛与凸透镜的距离为，蜡烛的像与凸透镜的距离为，则像的高为___________． 3．（26-27九年级上·宁夏银川·期中）如图是某路灯的示意图，立柱与水平地面垂直，两盏路灯挂在灯杆的异侧（灯臂，近似看作线段，，，．小丽（身高米）站在点处时，点，，在同一直线上，向后移动米到达点时，点，，，在同一直线上．测得米，则___________米． 4．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）松柏斗寒傲雪、四季常青，黄帝手植柏，又名轩辕柏，位于延安市黄帝陵内，相传为人文初祖轩辕黄帝亲手所植，迄今已有五千余年树龄，享有“世界柏树之父”的美誉，属国家一级保护古树名木．某校九年级“创新实践小组”赴黄帝陵开展研学实践活动，计划运用所学数学知识测量该柏树的高度．由于柏树底部设有古迹保护设施，观测者既无法靠近树根底部，也无法直接测得观测点到树根底部的水平距离，小组经讨论决定采用镜面反射法进行测量，观测数据见“轩辕手植柏高度测量报告”． 轩辕柏高度测量报告 课题 利用镜面反射法测量黄帝陵轩辕手植柏高度 测量小组 创新实践小组 测量原理 光的反射定律（反射角入射角），借助镜面构造相似三角形（借鉴《海岛算经》的重测法思想） 测量记录 1．两次观测时，观测者眼睛到地面的高度均为； 2．第一次观测：观测者站在点处，将镜子放置于点处，当观测者眼睛从镜中恰好看到柏树顶端时，测得； 3．第二次观测：观测者沿大树方向向前走到达点处（即），将镜子放置于点处，当观测者眼睛从镜中恰好看到柏树顶端时，测得； 4．点位说明：点、、、、在同一条水平直线上；（镜子的厚度和大小忽略不计） 测量图示 请根据测量报告中的相关数据，求轩辕手植柏的高度． 5．（25-26九年级上·广东河源·期中）根据背景素材，探究解决问题． 测算旗杆的高度 背景素材：如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角，这就是光的反射定律． 问题解决1：如图2，小雅同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，距离地面的高度，到平面镜的水平距离，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，墙到木板的水平距离为，已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点在同一水平面上． 任务1：求灯光反射到墙面上的高度． 问题解决2：某学校要测量校园中旗杆的高度（旗杆垂直于地面），携带的测量工具有皮尺，标杆（标杆比人高）、平面镜． 任务2：假如你是该校的学生，请你适当选用给出的工具，设计一种测量旗杆的高度的方案（不能攀登旗杆），画出测量示意图（不必写出测量过程），写出测量数据（线段长度用、、…表示，在示意图上标注），并根据你的测量方案，计算出旗杆的高度（结果用含、、…的式子表示）． 6．（26-27九年级上·贵州贵阳·期中）位于清镇市红枫湖下游青龙山街道河堤村的梯青塔，民国年间被列为清镇八景之一．某数学兴趣小组想测量梯青塔的高度，制定了如下测量方案，其测量方案及相关数据如下： 主题 测量梯青塔的高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1 将一根长3米的标杆垂直立于地面上的点处，再后退4米到达点处（即米）．此时，塔顶、标杆顶端与点恰好在同一条直线上． 步骤2 将一根长3米的标杆垂直立于地面上的点处，使其与标杆相距12米（即米），再后退6米到达点处（即米）．此时，塔顶、标杆顶端与点恰好在同一条直线上． 备注 点，，，，在同一直线上． (1)若点到的距离可测，且测得米，请结合步骤1中的测量信息，求梯青塔的高度； (2)若点到的距离不可测，请结合步骤1和步骤2中的测量信息，求梯青塔的高度． 7．（26-27九年级上·山东济南·期中）小欣和小明在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，小欣采用镜面反射法，将镜子放在地面点处，此时小欣恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知小欣眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度； (2)如图②所示，小明利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使直角边与地面保持平行，并使斜边与旗杆顶点在同一直线上．已知，，目测点到地面的距离，到旗杆的水平距离，求旗杆的高度． 8．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）法门寺位于炎帝故里、青铜器之乡——宝鸡市扶风县，始建于东汉末年桓灵年间，距今约有多年历史，法门寺被誉为“关中塔庙始祖”，其中的“真身宝塔”是全国重点保护文物、某数学兴趣小组开展了“测量真身宝塔高度”的实践活动，在点处垂直于地面竖立一根高度为米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点处，这时地面上的点，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上（点，点，点，点与塔底处的点在同一直线上），这时测得米，米． (1)请计算标杆与“真身宝塔”的距离的值？ (2)“真身宝塔”的高度是多少？ 9．（25-26九年级上·江西景德镇·期中）为了测量教学大楼的高度，三个数学小组设计了不同的方案，测量方案与数据如表： 课题 测量教学大楼的高度 测量小组 第一组 第二组 第三组 说明 为大楼的影长，人站在点D上，为人的影长 为标杆，人的眼睛C与标杆顶端E与大楼顶端A在同一条直线上 点E处放一个平面镜，人的眼睛C恰好在平面镜中看到大楼顶端 A 测量数据 ， ， ， ，， ， ， 图中所有点都在同一平面内 (1)老师发现，三组中有一组数据有误，是第________组； (2)请你在正确的方案中选择一种，求出教学大楼的高度． 10.（2026·江苏盐城·模拟预测）为进一步确保汽车安全性能，技术人员对汽车前视野盲区做了研究，研究时简化模型：如图2，线段为驾驶员，与地面垂直，车头近似看成矩形，驾驶员视线被车头遮挡形成视野盲区，发现视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域（梯形）． 测量数据：驾驶员眼睛距地面的高度为，车头的高度为，宽度为，车头到点的水平距离为． 问题解决： (1)根据以上信息，参考立体图形，在图3上用无刻度直尺补全汽车主视图的视野盲区平面图形，并求出盲区长度（视野盲区的前沿到车头的水平距离为盲区长度）； (2)在问题1的基础上，在图4上补全汽车俯视图的视野盲区平面图形，并求出视野盲区的面积； (3)①若调高主驾驶座椅，使得驾驶员眼睛距地面的高度增大，其余条件不变，则前视野盲区的面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”）； ②若设计时增加整车宽度（包括车头），其余条件不变，则视野盲区面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”） 11．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）综合与实践： 如图1，近视的本质是眼球结构改变导致光线无法准确聚焦在视网膜上．若由于用眼过度，眼轴变长或角膜（晶状体）屈光力加强，焦点会落在视网膜前方，导致看远处物体模糊． 小明在学习眼睛的成像原理时，了解到：眼睛的晶状体相当于一个可变焦距的凸透镜，视网膜相当于光屏．正常眼睛的“明视距离”为，即看距眼睛的物体最清晰、不易疲劳．看远处物体时，晶状体焦距变长；看近处物体时，晶状体焦距变短．已知：小明是正常视力，其眼睛的晶状体到视网膜的距离（像距）固定为． 当物体清晰成像在视网膜上时，如图2所示，满足凸透镜成像公式：， (1)当小明全神贯注地阅读一本放在明视距离的书本时，眼睛的焦距______（精确到）． (2)小明由于长期用眼过度，导致眼睛近视，需要佩戴眼镜来矫正视力，如图3所示眼镜镜片是凹透镜，其原理是使平行光线透过凹透镜后进行发散，进而使发散后的光线通过晶状体后，使物体成像在视网膜上．小明的眼轴长度为．已知标准正视眼的眼轴长度，眼睛度数（屈光率）与实际眼轴长度和标准眼轴长度的关系为，近视度数（取正值），则小明眼睛近视度数是______（取整数，注意单位要统一）． (3)关于薄透镜（忽略厚度）成像公式为，符号规则（实正虚负规则）． ①如图4，结合所学的数学知识证明“凹透镜成像”公式：；（提示：此焦点为虚） ②若凸透镜成像时，记，对应的．请证明：当时，有． 12．（25-26九年级上·陕西延安·阶段检测）【问题探究】 （1）如图1，在矩形中，点E为边的中点，连接，过点C作于点F． ①求证：； ②若，求的值． 【问题解决】 （2）如图2，矩形是一个大型植物园，点C为植物园的出口，的中点E为植物园的入口，、、是三条观赏主道，于点F，交于点G，其中区域以常绿针叶树为主，区域以落叶针叶树为主，区域以竹类为主，区域以花卉植物为主，已知，，小丽现在植物园的出口C处，求小丽沿路线到达入口E处所走的路程（即求的长）．（观赏主道的宽度、植物园出入口的大小均忽略不计） 13．（25-26九年级上·山东日照·阶段检测）课本中有一道作业题，有一块三角形余料，它的边，高．要把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，交于点， (1)加工成的正方形零件的边长为多少？ (2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的相邻两边长就不能确定，但这个矩形的面积有最大值，求这个矩形面积的最大值； (3)如图3，小颖想如果这块余料形状改为的斜板，已知，，，要把它加工成一个形状为平行四边形的工件，使在上，、两点分别在上，且，则平行四边形的面积为多少？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点05 相似三角形的应用 考点一：利用相似解决实际问题的一般思路 用相似三角形解决实际问题，通常按四步进行： 第一步，审题画图：根据题意画出示意图，把实物抽象为点、线段，标出已知量与未知量； 第二步，找出或构造相似三角形：优先利用已有的平行线（同一时刻的太阳光线、河岸、矩形对边）和垂直关系（竖直物体与水平地面）得到等角； 第三步，列比例式：按对应顶点顺序写出相似式，再由对应边成比例列方程，注意同一条线段的两个量必须单位统一； 第四步，求解并检验：解方程求出未知量，检验结果是否符合实际意义（如高度为正、数量级合理）。 需要特别注意：实际问题中的“高”往往不是图中某条线段，而要结合眼高、基座高度进行加减；这一步是本节最主要的失分点。 考点二：相似三角形应用的常用模型 模型 图形特征 相似依据 关键关系 适用条件 影长法 两竖直物体与各自影长 太阳光平行，两个直角相等 物高:影长＝杆高:杆影 同一时刻、同一地点、地面水平 标杆法 人眼、标杆顶、物顶共线 公共角＋直角（水平视线） (标杆高－眼高):(物高－眼高)＝人到标杆:人到物 标杆竖直、三点共线、同一水平面 镜面法 镜面在地面，两侧各一直角三角形 入射角＝反射角，两直角相等 眼高:物高＝人到镜:镜到物 镜面水平、人与物同在高水平面 视线遮挡 人眼与两物顶端共线（临界） 平行线得等角 露出高度之比＝水平距离之比 物均竖直、人眼高度已知 A字型测距 对岸一点与近岸两点共线，两垂线平行 QR∥ST 得等角 QR:ST＝PQ:PS，PS＝PQ＋QS PS⊥河岸，QR∥ST X字型测距 两线段相交于 O，对顶角相等 对顶角＋夹角两边成比例 AB:CD＝OA:OC O 在障碍外，延长倍数相同 题型一：影长法测高 抓住“同一时刻太阳光是平行光线”，两个竖直物体与各自影长构成相似直角三角形，故物高与影长成正比。列式时把同一次测量中的两个物体配成一组，单位统一；若题中给出的是“影长的一部分”或“影子落在墙上、台阶上”，要先把总影长还原为水平地面上的影长再代入。 1．（26-27九年级上·山东东营·期中）综合与实践： 课题 测量等高的相邻两盏路灯的高度 示意图 测量过程 步骤：小亮在等高的相邻两盏垂直于地面的路灯之间行走，路灯光源为，，小亮的身高，于点，影子，在线段上． 测量数据 ，，． 请你根据以上实践报告，帮助小亮求出路灯的高度． 【答案】路灯的高度为． 【详解】解：设，则，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 解得， 经检验为方程的解， ∴， 解得， 答：路灯的高度为． 2．（26-27九年级上·广东深圳·期中）深圳某校数学实践小组开展社区路灯高度测量活动：小树在路灯照射下形成树影，利用相似三角形测量路灯高度，以下测量数据为教学模拟数据．如图，路灯顶端为O，灯杆底端为P；小树顶端为A，树根为B，树影末端为C，点P、B、C在同一直线上，点O、A、C在同一直线上，⟂，，测得树高，树影长，树与路灯之间的水平距离，请完成下列任务． (1)说明的理由； (2)求路灯的高度； (3)若将小树沿水平地面向路灯方向平移，且树高、路灯高度均不变，求移动后小树的影长． 【详解】(1)解：∵⟂，， ∴， 又∵， ∴（两角对应相等的两个三角形相似）； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 答：路灯的高度为； （3）解：将小树沿水平地面向路灯方向平移后，， 同（1）可知， ∴， ∴， ∴，即移动后小树的影长为. 3．（26-27九年级上·北京·期中）圭表是中国古代根据日影长度变化测定季节、划分四季和推算历法的工具，图1为圭表示意图，某同学受到启发，利用一根标杆和一个卷尺轻松测量出学校旗杆的高度，如图2，旗杆的影长在水平地面上，将标杆（长度米）竖直放置在影长的最远端点处，此时标杆的影长为．经测量，米，米． (1)根据以上信息，求旗杆的高度； (2)若该同学在操作过程中，测量完的长度后，准备测量的长度时，发现卷尺不够长，又去寻找更长一点的卷尺，半小时后回来测量的长度，并用新测量的的长度与原数据进行计算，请问这样可以准确得到旗杆的高度吗？简单说明理由． 【答案】(1)米 (2)不能准确得到旗杆的高度．理由如下： 间隔半小时后，太阳的位置已经发生了明显的偏移，此时测得的数据已经和同一时刻对应的标杆影长不匹配了，无法得到对应的相似三角形了，因此无法准确得到旗杆的真实高度了． 【详解】（1）解：同一时刻太阳光线平行， 由题意可知： （米） （2）详解见答案． 题型二：标杆法测高 过人的眼睛作水平视线，构造A字型相似：小三角形的高是“标杆高－眼高”，大三角形的高是“物高－眼高”，两三角形的水平底边分别是“人到标杆”与“人到物”。求出物高后必须加回眼高，这是本题型最常见的失分点。 4．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，和表示两根立于地面的柱子，和表示起固定作用的两根钢筋，与的交点为．已知，，则点离地面的高度_______． 【答案】 【详解】解：∵和表示两根立于地面的柱子，点离地面的高度为， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 5．（26-27九年级上·陕西咸阳·期中）某数学学习小组为测量校园内一棵大树的高度，设计了如下方案：如图，先在水平地面上的点B处竖立一根标杆，接着沿方向移动2米到达点A处（即米），人伏着地向上看，此时点A、标杆上的点D、大树顶端E恰在同一直线上，再沿方向移动1.6米到达点F处（即米），人伏着地向上看，此时点F、标杆上的点G、大树顶端E也恰在同一直线上，经测量，米，米．已知，，点B、D、G在一条直线上，点C、B、A、F在一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请根据上述信息求出大树的高度． 【答案】大树的高度为15米 【详解】解：∵，， ∴． ∵，，，, ∴，，， ∴． ∵， ， ∴，即，变形为． ∵，， ， ∴，即，变形为． 联立， 解得． 答：大树的高度为15米． 6．（26-27九年级上·山东青岛·期中）如图，在距离旗杆底点30米远的处竖立一根高2米的标杆，甲同学在处站立，他的眼睛所在位置、标杆的顶端和旗杆顶端三点在一条直线上．已知甲同学的眼睛到地面的距离米，米，，点在同一直线上．请你求出旗杆的高度． 【答案】12米 【详解】解：∵在距离旗杆底点30米远的处竖立一根高2米的标杆， ∴米，米， ∵米， ∴（米）， 过点作交于点，交于点，如图所示： ∵，， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∵米， ∴（米）， ∵米，米， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴（米）． 7．（26-27九年级上·广东深圳·期中）如图1，公园广场上有一棵树，底部可到达但顶部不可到达，数学活动小组想利用皮尺、标杆等工具测量树的高度． (1)“龙腾”组选择图2方法进行测量，可测量数据有：，，，，则需测量的数据为 ，根据所选择的数据，求树高（结果用字母表示）； (2)“高远”组选择图3方法进行测量，将长度分别为和的两根标杆分别放在和处，两杆之间的距离，点距离点，点，，三点共线，点距离点，点，，也三点共线，求树高． 【答案】(1)a、h、c， (2) 【详解】（1）解：根据图形可知，， 即有，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴需要测量的数据为：a、h、c， ∴； （2）∵，，， ∴，， 根据图形可知，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， 解得， 即：树高为． 8．（26-27九年级上·山东济南·期中）在学习了“相似三角形”之后，学生们积极进行实践活动，小明和小亮所在的数学兴趣小组准备测量旗杆的高度，有以下两种方案： 方案一：如图1，在距离旗杆底端处远的处竖立一根高的标杆，小明在处站立，他的眼睛所在位置、标杆的顶端和旗杆顶端在一条直线上．已知小明的眼睛到地面的距离，，，，，点，，在同一直线上． 方案二：如图2，小亮拿着一根长为的木棒站在离旗杆远的地方（即点到的距离为）．他把手臂向前伸并使木棒，当观察到木棒两端恰好遮住旗杆（即，，在一条直线上，，，在一条直线上）时，点到木棒的距离为． 请你结合上述两个方案，选择其中一个方案求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为米 【详解】解：若选择方案一：如图，过点E作，垂足为，交于点， 由题意得：，米，米， （米）， （米），， 又， ， ，即， （米）， （米） 答：旗杆的高度为米； 若选择方案二： 如图，过点作，垂足为，交于点，则 ， ， ， 由题意得米，米，米， ， ， ，即， （米） 答：旗杆的高度为米． 9．（26-27九年级上·河北张家口·期中）在综合实践课上，数学活动小组用所学数学知识来解决实际问题．实践报告如下： 活动主题 测量旗杆的高度 活动工具 标杆、卷尺 测量示图    测量过程 【步骤一】三次测量标杆BE的长度； 【步骤二】三次测量活动小组成员嘉嘉的身高（地面到眼睛的高度)； 【步骤三】将标杆竖立在嘉嘉和旗杆之间，嘉嘉适当调整自己所处的位置，使自己、标杆、旗杆在同一条水平直线上，且旗杆的顶端、标杆的顶端与眼睛在同一条直线上； 【步骤四】小组其他同学三次测出嘉嘉到标杆的距离，旗杆到标杆的距离； 【步骤五】将以上测量数据分别记录（单位：），如下表： 测量数据 第一次 第二次 第三次 嘉嘉身高（地面到眼睛） 标杆高度 嘉嘉到标杆距离 旗杆到标杆距离 解决问题 计算旗杆的高度 结合活动报告，完成下面的问题： (1)根据记录数据，计算旗杆的高度； (2)反思：测量数据时为什么要进行多次操作？（写出一条即可） 【答案】(1) (2)多次测量取平均值，可以减小测量误差，使结果更可靠． 【详解】（1）解：三次测量数据的平均值分别为 ， 同理，，，． 过点 作 ，交 于点 （如图）， ∵ ，，， ∴ 四边形 是矩形， ∴ ，，． ∴ ． ∵ 点 、、 在同一条视线上， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∴ ， ∴ ． ∴ ， ∴ 旗杆的高度为 ． （2）解：测量中身高、标杆长、两段水平距离都可能存在读数与操作误差， 多次测量取平均值，可以减小这些误差对结果的影响，使测得的旗杆高度更可靠． 题型三：镜面反射法测高 反射角等于入射角给出一对相等角，配合两个直角得到相似。要点是分清三条水平距离：人与镜、镜与物，比例式写“眼高:物高＝人到镜:镜到物”。若所求是镜子的位置，则把该距离设为未知量解方程。 10．（2026·安徽合肥·一模）如图,小刚正在使用手电筒进行物理学实验，手电筒位于点G处，手电筒的光从平面镜上的点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，现测得米，米，米，米，已知图中点A，B，C，D在同一水平面上（物理学中入射角等于反射角），，，，则的长为______米． 【答案】5 【详解】解：设，则， ∵，， ∴， ∵在点B处反射后为， ∴， ∴， ∴即， 解得，即，则， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，即， 解得． 11．（26-27九年级上·湖南永州·期中）道县乐福堂镇大莲塘村湘桂古道旁的凉亭因年久失修，村里正按照“修旧如旧”的原则对其进行保护修缮，以留住古道的人文记忆．如图，小明为了测量凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶等高的台阶（，，，三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点处，测得，然后沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端，测得，小明身高，求凉亭的高度． 【答案】 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， 解得：， ， ， 凉亭的高度约为． 12．（26-27九年级上·山东济南·期中）为了提高学生应用数学方法解决实际问题的能力，王老师组织学生开展了测量物体高度的实践活动，小刚与小亮所在小组的任务为测量公园古树的高度，由于有围栏保护，他们无法到达底部，如图，栅栏米，小刚和小亮研究需要两次测量，方法如下：小刚在延长线上放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线上的对应位置为点，镜子不动，小刚看着镜面上的标记来回走动，走到点时，看到树顶与镜面上的标记重合，这时测量小刚眼睛与地面高度米，米，米；同时，小亮在延长线上的处安装了测倾器（测倾器高度忽略不计），测得树顶的仰角为，米，请你根据题中提供的相关信息，求出古树的高度（小平面镜的大小忽略不计）． 【答案】古树的高度为米． 【详解】解：设古树的高度为米， ∵树顶的仰角为，， ∴，是等腰直角三角形， ∴米， ∵米，米，米， ∴米， 由光线的反射原理可知，， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴古树的高度为米． 13．（26-27九年级上·广东深圳·期中）小军与小明两兄弟站在平面镜前方的水平地面上照镜子．如图，小军竖直站立在处，其眼睛所在位置为点，；小明竖直站立在小军身后的处，其眼睛所在位置为点，．此时、、三点恰好共线，且小明与小军的水平距离． (1)求小军到平面镜的距离； (2)根据平面镜成像原理，小明的立足点与眼睛在平面镜中的像分别为点与点．小军若想通过镜子看到点、，则需要注视到平面镜中点、的位置，求的长． 【答案】(1)米； (2)米 【详解】（1）由题意得，， ， ， 即， 米， 小军到平面镜的距离为2米 （2）由平面镜成像原理可知：米，米．由图可把，分别看作是，的高， ， ， ， 即， 米． 14．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度．如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，；根据光的反射定律，，．求此公益广告牌的高度． 【答案】米 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴（米）， 同理可得，， ∴， ∵米， ∴， ∴（米）， ∴（米）． 答：公益广告牌的高度为米． 题型四：小孔与透镜成像 15．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）凸透镜成像的原理如图所示，O为凸透镜的中心，， ，若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则该物体缩小为原来的(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴物体缩小为原来的． 16．（25-26九年级上·广东深圳·期末）根据凸透镜的成像规律，当物体到凸透镜的距离大于两倍焦距时，会在凸透镜的另一侧形成倒立、缩小的实像．如图所示，物体到凸透镜的距离，凸透镜的焦距，则实像与物体的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：依题意，，，， ∴ ∴ ∴， 故选：B． 17．（26-27九年级上·广东深圳·期中）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为_________． 【答案】15 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∴相似比为， 根据相似三角形对应边的高线之比等于相似比可知：小孔O到的距离与小孔O到的距离之比为， ∵小孔O到的距离为， ∴小孔O到的距离为． 18．（25-26九年级上·河北衡水·期末）如图所示，在小孔成像实验中，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像，若物体的高为，实像的高度为，则小孔到地面距离为___________________ ． 【答案】 【详解】解：∵， ，， ∴， ∴， ， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 19．（26-27九年级上·辽宁沈阳·期中）如图是凸透镜成像示意图，蜡烛通过凸透镜所成的像是，点是凸透镜的中心，光线，点是凸透镜的焦点，已知焦距的长为，蜡烛的长为，点、、、在同一条直线上．如图，当蜡烛通过该凸透镜成正立放大的虚像，此时． (1)求的值． (2)求此时虚像的高度． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意可知，，， ， 四边形是矩形， ， ，点、、、在同一条直线上， ， ， ； （2）解：， ， ， 由（1）可知，， ， ， ． 20．（26-27九年级上·湖南衡阳·期中）如图1是某兴趣小组通过蜡烛成像实验探究凸透镜成像规律的光路图，现将图1的光路图抽象为图2所示的数学几何图形，实物蜡烛发出的光线平行于直线，光线经过凸透镜后，经过焦点与经过凸透镜中心的光线交于点，其中四边形是矩形，，． (1)将长为6厘米的蜡烛进行移动，使物距厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，测得此时的像距厘米，求像的长度． (2)在（1）的条件下，已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过焦点，求凸透镜焦距的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意可得：， ∵ ，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． （2）解：∵ ，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，解得：． 题型五：测河宽与不可到达的距离 河宽用A字型：对岸一点与近岸两点共线且垂直河岸，另一条辅助线与它平行，两平行线截出相似三角形；池塘用X字型：在障碍外取一点，两组延长线成相同倍数，靠对顶角与成比例的边证相似。列式前先明确哪条线段是待求目标（河宽是 PQ，不是 PS、PT）。 21．（26-27九年级上·北京延庆·期中）如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点，在近岸取点，，，使得，，点在上，并且点，，在同一条直线上．若测得，，，则河宽的长为__________． 【答案】24 【详解】解： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故河宽的长为． 22.横放，使，并使点，，和点，，分别在同一条直线上，量得米，米，米，则河宽________米． 【答案】 【详解】解：由题意得米， ∵， ∴， ∴米． 23．（2026·福建莆田·模拟预测）如图所示，在某体育场上，写有专用字体“一”、“起”、“向”、“未”、“来”的五块高度均为2米的标语牌正对看台（B点为看台底部）由近及远沿直线依次竖直摆放，分别记五块标语牌为，，…，，且米．为使距地面6米高的看台第一排A点处恰好能看到后四块标语牌的底部，则_______． 【答案】81米 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴，解得：； 同理：， ∴，即， ∴，解得：； 同理：， ∴，即， ∴，解得：； 同理：， ∴，即， ∴，解得：． 24．（26-27九年级上·陕西西安·期中）如图，某高铁在修建时需将位于山两侧的，两地间打通一条直线隧道，工程人员为了计算，两地之间的直线距离，选择了在测量点，，处进行测量．已知点，分别在，上，测得，，，，，求两地之间的直线距离． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴（）， 即两地之间的直线距离为． 25．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，方方设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在一条直线上，量得． (1)求证：． (2)求河宽的长． 【详解】(1)证明： ，， ． （2）解：∵， ， 由题意知，，，， 即， ， 答：河宽为60米． 26．（25-26九年级上·广东茂名·阶段检测）【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 【详解】(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，过点作于，过点作于， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上． 题型六：内接矩形与相似综合 内接正方形、内接矩形问题统一设边长为 x，用“大三角形的高减去 x”表示小三角形的高，由“内接图形的边∥底边”得相似，列方程求解。若题目还要求面积或最值，可先写出关于 x 的二次函数再求最值。跨学科情境（小孔成像、杠杆、凸透镜）只需认清相似的两三角形，比例关系与测量题完全相同。 27．（26-27九年级上·北京昌平·期中）有一块直角三角形木板，，，，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图、图所示．则图、图中正方形桌面的边长分别为________、________． 【答案】 【详解】解：图1：设正方形的边长为， 四边形是正方形， ，， ， ， ，，， ， 解得； 图2：设正方形的边长为， 如图，过点作于点，交于点， 可知四边形是矩形， ∴， 在中，， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 解得； 综上，图1、图2中正方形桌面的边长分别为、． 28．（26-27九年级上·山东聊城·阶段检测）2026年高端新材料产业加速国产替代，某精密制造企业利用数控加工技术，将航空航天用高性能碳纤维复合材料的三角形余料进行二次加工，打造适配低空经济装备的精密矩形配件．如图，该三角形余料边，高，现在要把它加工成长与宽的比为的矩形零件，要求一条长边在上，其余两个顶点分别在，上，则矩形的周长为_____． 【答案】 【详解】解：矩形中，，， ∴， ， ， ∵， ， ， ∵矩形零件的长与宽的比为， ∴设，，则，， ， 解得：， ，， 矩形的周长为：． 29．（26-27九年级上·北京延庆·期中）如图，表示一块锐角三角形木板，边，高．现要在其上裁出一块正方形木板，使正方形的边在上，顶点，分别在，上．裁出的正方形木板的边长是多少？ 【答案】 【详解】解：设与的交点为， 设正方形木板的边长为，则，， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴正方形木板的边长是． 30．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）某社区两条平行的小道之间有一块三角形空地，如图，这两条小道、之间的距离为米，表示这块空地，米．现要在空地内划出一个矩形区域建造花坛，使它的一边在上，其余两个顶点分别在边、上．如果矩形花坛的边，求出这时矩形花坛的两条邻边的长． 【答案】这时矩形花坛的两条邻边的长为米和米 【详解】解：∵， ∴设米，则米， ∵四边形是矩形， ∴，， 过点作于点，交于点，则米， ∴， ∴四边形为矩形， ∴米， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这时矩形花坛的两条邻边的长为米和米． 31．（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）综合与实践． 一块材料的形状是锐角三角形，边，高． 【特例初探】 （1）若把它加工成正方形零件如图（a），使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在和上．这个正方形零件的边长是多少？ 【迁移运用】 （2）若把它加工成矩形零件，如图（b），当宽为多少时，矩形有最大面积，最大面积是多少？ 【答案】（1）；（2）当时，此时矩形面积最大，最大面积是 【分析】本题是相似形的应用，主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． （1）设正方形的边长为，根据正方形的性质和相似三角形的性质进行计算即可解答； （2）设，利用相似三角形的性质求出，根据矩形面积公式得到关于a的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值． 【详解】解：（1）设正方形的边长为， 则， ∵四边形是正方形， ，即， ， ，即， 解得：， 加工成的正方形零件的边长是； （2）设， 四边形是矩形， ，即，， ，， ，即， ， 矩形面积， 当时，此时最大，最大值为2400， ∴当时，此时矩形面积最大，最大面积是． 题型七：视线遮挡与盲区临界 “恰好看到”或“恰好看不到”对应“眼睛与两物顶端共线”。此时作水平视线，把两物各分成“人眼高度以上”与“以下”两部分，只比较露出部分的高度与水平距离，用相似列比例。求出的距离是临界值，最后要回到题目的问法上判断方向。 32．如图，直角坐标平面内，小明站在点A（﹣10，0）处观察y轴，眼睛距地面1.5米，他的前方5米处有一堵墙DC，若墙高DC＝2米，则小明在y轴上的盲区（即OE的长度）为_____米．    【答案】2.5 【详解】首先作出BM⊥EO，得出△BND∽△BME，即可得出，再利用已知得出BN，BM，DN的长，即可求出EM，进而求出EO即可． 解：过点B作BM⊥EO，交CD于点N， ∵CD∥EO， ∴△BND∽△BME， ∴， ∵点A（﹣10，0）， ∴BM=10米， ∵眼睛距地面1.5米， ∴AB=CN=MO=1.5米， ∵DC=2米， ∴DN=2﹣1.5=0.5米， ∵他的前方5米处有一堵墙DC， ∴BN=5米， ∴， ∴EM=1米， ∴EO=1+1.5=2.5米． 故答案为2.5．    33．如图，为一盏路灯的灯杆，已知该路灯的灯泡P位于灯杆上，地面上竖立着一个矩形单杠，已知单杠右侧杆在路灯灯泡P的照射下的影子末端位于点E处，已知O、B、C、E在一条直线上，且，，． (1)请在图中找出路灯灯泡P的位置，并画出单杠左侧杆在灯泡P的照射下的影子； (2)经测量米，米，单杠的高度米，请你计算路灯灯泡距地面的高度． 【详解】(1)解：如图所示，点P和即为所求； （2）解：∵米，米， ∴米， ∵，，即， ∴， ∴，即， ∴米， ∴路灯灯泡距地面的高度为米． 34．如图，点P的对面是一面东西走向的墙，某人在点P观察一辆自西向东行驶的汽车AB，汽车的长为6米，根据图中标示的数据解决下列问题： (1)画出此人在汽车与墙之间形成的盲区，并求出该盲区的面积； (2)当汽车行驶到CD位置时，盲区的面积是否会发生变化？为什么？ 【答案】(1)盲区的面积为75 m2；(2)盲区的面积不变． 【详解】(1)形成的盲区为梯形AEFB， ∵AB∥EF， ∴△PAB∽△PEF， ∴＝， ∴EF＝9， ∴盲区的面积为(6＋9)×10÷2＝75 m2； (2)当汽车行驶到CD位置时，盲区的面积不会发生变化， ∵△PCD与△PMN仍然相似，且它们的高不变，所以相似比不变，汽车长度不变． 所以MN的长不变，所以梯形CMND的面积不变，即盲区的面积不变． 35.(1)如图所示，如果你的位置在点A，你能看到后面那座高大的建筑物吗？为什么？ (2)如果两楼之间相距MN＝20 m，两楼的高各为10 m和30 m，则当你至少与M楼相距多少米时，才能看到后面的N楼，此时你的视角α是多少度？ 【答案】（1）不能；（2）AM至少为10m，此时视角为30°. 【详解】解：(1)不能，连接点A与M楼的顶点，因为建筑物在A点的盲区范围内 　(2)设AM＝x，则，解得x＝10，故至少与M楼相距10 m，tanα=，所以α=30°，此时视角为30°. 1．（26-27九年级上·广东深圳·期中）中国古代的“矩测”方法，以几何原理为基础，是《周髀算经》中解决实际测量问题的经典智慧．在热播剧《长安的荔枝》中，李善德在荔枝运送过程中曾使用“矩”这一工具，来测量自己所在位置A到大运河对岸驿站P的距离（）．由于无法直接测量，他采用了商高“卧矩以知远”的方法：先将矩（）平放在地面上，沿方向前行至点Q，使驿站P恰好在点Q的垂直方向上．如图，点A、B、P位于同一直线上，和均为直角．测得尺，尺，丈，则点A到点P的距离为（     ） A．15丈 B．16丈 C．20丈 D．25丈 【答案】D 【详解】解：， ， ， ， 解得：， 在中，（丈）， 点A到点P的距离为25丈． 2．（26-27九年级上·北京顺义·期中）物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛的高为，蜡烛与凸透镜的距离为，蜡烛的像与凸透镜的距离为，则像的高为___________． 【答案】 【详解】解：由题意可知，， ∴， 又∵， ∴， ∴即， 解得． 3．（26-27九年级上·宁夏银川·期中）如图是某路灯的示意图，立柱与水平地面垂直，两盏路灯挂在灯杆的异侧（灯臂，近似看作线段，，，．小丽（身高米）站在点处时，点，，在同一直线上，向后移动米到达点时，点，，，在同一直线上．测得米，则___________米． 【答案】 【详解】解：如图，作于点，设， 由题意可知，、、在同一高度，即、、共线， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴解得， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 4．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）松柏斗寒傲雪、四季常青，黄帝手植柏，又名轩辕柏，位于延安市黄帝陵内，相传为人文初祖轩辕黄帝亲手所植，迄今已有五千余年树龄，享有“世界柏树之父”的美誉，属国家一级保护古树名木．某校九年级“创新实践小组”赴黄帝陵开展研学实践活动，计划运用所学数学知识测量该柏树的高度．由于柏树底部设有古迹保护设施，观测者既无法靠近树根底部，也无法直接测得观测点到树根底部的水平距离，小组经讨论决定采用镜面反射法进行测量，观测数据见“轩辕手植柏高度测量报告”． 轩辕柏高度测量报告 课题 利用镜面反射法测量黄帝陵轩辕手植柏高度 测量小组 创新实践小组 测量原理 光的反射定律（反射角入射角），借助镜面构造相似三角形（借鉴《海岛算经》的重测法思想） 测量记录 1．两次观测时，观测者眼睛到地面的高度均为； 2．第一次观测：观测者站在点处，将镜子放置于点处，当观测者眼睛从镜中恰好看到柏树顶端时，测得； 3．第二次观测：观测者沿大树方向向前走到达点处（即），将镜子放置于点处，当观测者眼睛从镜中恰好看到柏树顶端时，测得； 4．点位说明：点、、、、在同一条水平直线上；（镜子的厚度和大小忽略不计） 测量图示 请根据测量报告中的相关数据，求轩辕手植柏的高度． 【答案】大树的高度为米 【详解】解：由题意得，，，，则 ． 设米，则米． 由题意，得，， ， ． 同理，， ． ， ，即． 解得， 经检验是原方程的解， 即， ， ． 解得． 经检验是原方程的解． 答：大树的高度为米 5．（25-26九年级上·广东河源·期中）根据背景素材，探究解决问题． 测算旗杆的高度 背景素材：如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角，这就是光的反射定律． 问题解决1：如图2，小雅同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，距离地面的高度，到平面镜的水平距离，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，墙到木板的水平距离为，已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点在同一水平面上． 任务1：求灯光反射到墙面上的高度． 问题解决2：某学校要测量校园中旗杆的高度（旗杆垂直于地面），携带的测量工具有皮尺，标杆（标杆比人高）、平面镜． 任务2：假如你是该校的学生，请你适当选用给出的工具，设计一种测量旗杆的高度的方案（不能攀登旗杆），画出测量示意图（不必写出测量过程），写出测量数据（线段长度用、、…表示，在示意图上标注），并根据你的测量方案，计算出旗杆的高度（结果用含、、…的式子表示）． 【答案】任务1：灯光反射到墙面上的高度为 任务2： 如图， 旗杆的高度 【详解】任务1：∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ， ， ， ， ， 解得， 由题意，得， ，， ， ，即， 解得． 答：灯光反射到墙面上的高度为． 任务2：①将平面镜放在处， ②人走到适当的地方：刚好能从平面镜中看到旗杆的顶部， ③测出人的高度，人到平面镜的距离，平面镜到旗杆底部的距离， ④计算出旗杆的高度： ， ， 所以旗杆的高度． 6．（26-27九年级上·贵州贵阳·期中）位于清镇市红枫湖下游青龙山街道河堤村的梯青塔，民国年间被列为清镇八景之一．某数学兴趣小组想测量梯青塔的高度，制定了如下测量方案，其测量方案及相关数据如下： 主题 测量梯青塔的高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1 将一根长3米的标杆垂直立于地面上的点处，再后退4米到达点处（即米）．此时，塔顶、标杆顶端与点恰好在同一条直线上． 步骤2 将一根长3米的标杆垂直立于地面上的点处，使其与标杆相距12米（即米），再后退6米到达点处（即米）．此时，塔顶、标杆顶端与点恰好在同一条直线上． 备注 点，，，，在同一直线上． (1)若点到的距离可测，且测得米，请结合步骤1中的测量信息，求梯青塔的高度； (2)若点到的距离不可测，请结合步骤1和步骤2中的测量信息，求梯青塔的高度． 【答案】(1)21米 (2)21米 【详解】（1）解：由题意，得，米，米，米， ∴，米， ∴， ∴，即， ∴（米）． 答：梯青塔的高度为21米． （2）设米，由题意，得，米，米，米，米， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴（米）， ∵， ∴，即， 解得， ∴米． 答：梯青塔的高度为21米． 7．（26-27九年级上·山东济南·期中）小欣和小明在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，小欣采用镜面反射法，将镜子放在地面点处，此时小欣恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知小欣眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度； (2)如图②所示，小明利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使直角边与地面保持平行，并使斜边与旗杆顶点在同一直线上．已知，，目测点到地面的距离，到旗杆的水平距离，求旗杆的高度． 【答案】(1)旗杆的高度为 (2)旗杆的高度为10.1米 【详解】（1）解：根据光的反射的性质，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 将，，，代入上式， 得， 解得, 故旗杆的高度为； （2）解：∵， ∴四边形为矩形， ∵目测点到地面的距离，到旗杆的水平距离， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴， 答：旗杆的高度为10.1米． 8．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）法门寺位于炎帝故里、青铜器之乡——宝鸡市扶风县，始建于东汉末年桓灵年间，距今约有多年历史，法门寺被誉为“关中塔庙始祖”，其中的“真身宝塔”是全国重点保护文物、某数学兴趣小组开展了“测量真身宝塔高度”的实践活动，在点处垂直于地面竖立一根高度为米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点处，这时地面上的点，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上（点，点，点，点与塔底处的点在同一直线上），这时测得米，米． (1)请计算标杆与“真身宝塔”的距离的值？ (2)“真身宝塔”的高度是多少？ 【答案】(1)米 (2)米 【详解】（1）解：∵点处垂直于地面竖立一根高度为米的标杆，将标杆向右平移到点处， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴标杆与“真身宝塔”的距离的值为米； （2）解：由（1）知：，， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴“真身宝塔”的高度是米． 9．（25-26九年级上·江西景德镇·期中）为了测量教学大楼的高度，三个数学小组设计了不同的方案，测量方案与数据如表： 课题 测量教学大楼的高度 测量小组 第一组 第二组 第三组 说明 为大楼的影长，人站在点D上，为人的影长 为标杆，人的眼睛C与标杆顶端E与大楼顶端A在同一条直线上 点E处放一个平面镜，人的眼睛C恰好在平面镜中看到大楼顶端 A 测量数据 ， ， ， ，， ， ， 图中所有点都在同一平面内 (1)老师发现，三组中有一组数据有误，是第________组； (2)请你在正确的方案中选择一种，求出教学大楼的高度． 【答案】(1)一 (2)选择第二或三组的方案，教学大楼的高度为 【详解】（1）解：第一组的方案： 由题意可得，， ∴， ∵， ，， ∴， ∴， ∴教学大楼的高度为； 第二组的方案： 延长交的延长线于点G，如图所示： 根据题意得， ∴， ∴， ∵， ，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴教学大楼的高度为； 第三组的方案： 根据题意得，， ∴， ∴， ∵， ，， ∴， 解得：， ∴教学大楼的高度为． ∵第二、三组数据求出的大楼高度一致，与第一组的数据求得的大楼高度不一致， ∴第一组数据错误， （2）解：选择第二组的方案， 延长交的延长线于点G，如图所示： 根据题意得， ∴， ∴， ∵， ，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴教学大楼的高度为； 选择第三组的方案， 根据题意得，，， ∴， ∴， ∵， ，， ∴， 解得：， ∴教学大楼的高度为． 10.（2026·江苏盐城·模拟预测）为进一步确保汽车安全性能，技术人员对汽车前视野盲区做了研究，研究时简化模型：如图2，线段为驾驶员，与地面垂直，车头近似看成矩形，驾驶员视线被车头遮挡形成视野盲区，发现视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域（梯形）． 测量数据：驾驶员眼睛距地面的高度为，车头的高度为，宽度为，车头到点的水平距离为． 问题解决： (1)根据以上信息，参考立体图形，在图3上用无刻度直尺补全汽车主视图的视野盲区平面图形，并求出盲区长度（视野盲区的前沿到车头的水平距离为盲区长度）； (2)在问题1的基础上，在图4上补全汽车俯视图的视野盲区平面图形，并求出视野盲区的面积； (3)①若调高主驾驶座椅，使得驾驶员眼睛距地面的高度增大，其余条件不变，则前视野盲区的面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”）； ②若设计时增加整车宽度（包括车头），其余条件不变，则视野盲区面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”） 【详解】（1）解：如图所示： 盲区长度为； ∵，， ∴， ∴，即，解得， ∴盲区长度为； （2）解：如图所示 作于，交于， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴（平方米）； （3）解：①∵，即， ∴， 当增大时，减小，则前视野盲区的面积会减小； ②∵，增加整车宽度即增大，则也增大，其余条件不变， ∴视野盲区面积会增大． 11．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）综合与实践： 如图1，近视的本质是眼球结构改变导致光线无法准确聚焦在视网膜上．若由于用眼过度，眼轴变长或角膜（晶状体）屈光力加强，焦点会落在视网膜前方，导致看远处物体模糊． 小明在学习眼睛的成像原理时，了解到：眼睛的晶状体相当于一个可变焦距的凸透镜，视网膜相当于光屏．正常眼睛的“明视距离”为，即看距眼睛的物体最清晰、不易疲劳．看远处物体时，晶状体焦距变长；看近处物体时，晶状体焦距变短．已知：小明是正常视力，其眼睛的晶状体到视网膜的距离（像距）固定为． 当物体清晰成像在视网膜上时，如图2所示，满足凸透镜成像公式：， (1)当小明全神贯注地阅读一本放在明视距离的书本时，眼睛的焦距______（精确到）． (2)小明由于长期用眼过度，导致眼睛近视，需要佩戴眼镜来矫正视力，如图3所示眼镜镜片是凹透镜，其原理是使平行光线透过凹透镜后进行发散，进而使发散后的光线通过晶状体后，使物体成像在视网膜上．小明的眼轴长度为．已知标准正视眼的眼轴长度，眼睛度数（屈光率）与实际眼轴长度和标准眼轴长度的关系为，近视度数（取正值），则小明眼睛近视度数是______（取整数，注意单位要统一）． (3)关于薄透镜（忽略厚度）成像公式为，符号规则（实正虚负规则）． ①如图4，结合所学的数学知识证明“凹透镜成像”公式：；（提示：此焦点为虚） ②若凸透镜成像时，记，对应的．请证明：当时，有． 【详解】（1）解：∵，且， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴小明眼睛近视度数是； (3)①证明：如图所示，过点作于P，延长交于Q， 由题意得，，，，，，则， ∴四边形，四边形和四边形都是矩形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即； ②证明：∵，且，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 12．（25-26九年级上·陕西延安·阶段检测）【问题探究】 （1）如图1，在矩形中，点E为边的中点，连接，过点C作于点F． ①求证：； ②若，求的值． 【问题解决】 （2）如图2，矩形是一个大型植物园，点C为植物园的出口，的中点E为植物园的入口，、、是三条观赏主道，于点F，交于点G，其中区域以常绿针叶树为主，区域以落叶针叶树为主，区域以竹类为主，区域以花卉植物为主，已知，，小丽现在植物园的出口C处，求小丽沿路线到达入口E处所走的路程（即求的长）．（观赏主道的宽度、植物园出入口的大小均忽略不计） 【详解】解：①证明：∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ②∵点E为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得（负值已舍去）； （2）延长交于，如图， ∵矩形，， ∴，，，， ∵点E为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴小丽沿路线到达入口E处所走的路程为． 13．（25-26九年级上·山东日照·阶段检测）课本中有一道作业题，有一块三角形余料，它的边，高．要把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，交于点， (1)加工成的正方形零件的边长为多少？ (2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的相邻两边长就不能确定，但这个矩形的面积有最大值，求这个矩形面积的最大值； (3)如图3，小颖想如果这块余料形状改为的斜板，已知，，，要把它加工成一个形状为平行四边形的工件，使在上，、两点分别在上，且，则平行四边形的面积为多少？ 【答案】(1)加工成的正方形零件的边长为 (2)这个矩形面积的最大值是 (3)平行四边形的面积为 【详解】（1）解：当加工零件是正方形时，，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴加工成的正方形零件的边长为； （2）解：根据题意，四边形是矩形，四边形是矩形，，， 设，则， ∴，即， ∴， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴这个矩形面积的最大值是； （3）解：如图所示，过点作于点，交于点， 同理，，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴平行四边形的面积为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $