专题02 三角形相似的判定（题型专练）数学新教材人教版九年级下册

专题02 三角形相似的判定 （题型突破·举一反三） 题型01 利用AA证明相似 题型02 利用SAS证明相似 题型03 利用SSS证明相似 题型04 直角三角形相似的判定 题型05 选择或补充条件证明三角形相似 题型06 网格中的相似 题型07 相似三角形的判定综合 ▌题型01 利用AA证明相似 1．AA判定定理：两角分别相等的两个三角形相似。 几何语言：在与中，，，则。 2．找等角的四条线索：①公共角、公共边所对的角；②对顶角；③直角（或同角等角的余角相等）；④平行线产生的同位角、内错角。 3．母子型：中，，于，则这个图形中“一个三角形里套着两个小三角形”，故称母子型。 【典例1】（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在中，分别是边和上的点，且，则的长为_____． 【变式1-1】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，、分别是的边、上的高，那么图中相似三角形的对数为（     ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 【变式1-2】（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（     ） A．B．C．D． 【变式1-3】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知在中，D是边AC上的一点，的平分线交于点，且．求证：． ▌题型02 利用SAS证明相似 1．SAS判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 几何语言：在与中，，，则。 2．书写顺序 写比例式时把“夹角的两个邻边”配对：的两邻边是，的两邻边是，故写，不能写成。 【典例2】（26-27九年级上·广西桂林·阶段检测）下列与图中的三角形相似的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）如图，点在一条直线上，交于点，，且．求证：． 【变式2-2】（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，四边形中，为边上一点，，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式2-3】（2026·浙江金华·二模）如图，在中，为边上一点，． (1)求证：． (2)若，求的长． ▌题型03 利用SSS证明相似 1．SSS判定定理：三边成比例的两个三角形相似。 几何语言：，则。 2．SSS与SAS的选择：题目给出三条边（或能算出三条边）时用SSS；只给出两条边时，必须再找一个角，用SAS或AA。 3．判断三边是否成比例的三个步骤：①把两个三角形的三边分别按从小到大排序；②最大的比最大、最小的比最小、中间的比中间；③看三个比值是否相等。 【典例3】（25-26九年级上·福建漳州·期中）若和满足下列条件，其中能使的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025九年级·全国·专题练习）如图，在四边形中，．若，则的度数是_________． 【变式3-2】（25-26九年级上·广西桂林·期中）如图，某地四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知，，，，， (1)如图与相似吗？若相似，请写出证明过程． (2)公路与平行吗？说出你的理由． 【变式3-3】（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，点O是的边上一点，连接，点D，E，F分别是，，的中点，连接，．求证： ▌题型04 直角三角形相似的判定 1．一锐角相等：两个直角三角形中，只要有一个锐角相等，就可用AA判定相似（因为另一直角也相等）。 2．斜边、直角边成比例：两个直角三角形中，若斜边之比等于一条直角边之比（即“斜边、直角边成比例”），则两个三角形相似。 3．判定的优先顺序 ①有一锐角相等，找AA；②给出两条边（含斜边），先算第三边，再用SSS或SAS；③只给出一条直角边成比例，不能判定，需再补条件。 4．常见错误：两个直角三角形中，“一条直角边成比例”就下结论相似，是错的，必须再有一条边（或一个锐角）。 【典例4】（24-25九年级上·上海·阶段检测）在和中，，下列各组的条件不能判定这两个三角形相似的是（   ） A．，； B．，，，； C．，，，； D．，，，． 【变式4-1】（26-27九年级上·山东聊城·阶段检测）如图，在中，，点为边的中点，沿着过点的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有______种不同的剪法． 【变式4-2】（2026九年级上·浙江·专题练习）已知：如图，在和中，．求证：． 【变式4-3】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，是斜边上的高． (1)求证：； (2)若，则直接写出的长． ▌题型05 选择或补充条件证明三角形相似 1．根据判定方法，结合已有条件进行补充，注意不要忽视公共角等隐藏信息。 2．两个三角形相似的判定方法：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似；平行于三角形一边的直线截其他两边(或其他两边的延长线)所构成的三角形和原三角形相似；两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似；如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似；直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似 【典例5】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定与相似的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，点D是上一点，添加一个条件使得，可以是___________． 【变式5-2】（2026·河北邯郸·一模）如图，在菱形中，E为边上一点．现要添加一个条件，使． (1)若添加的条件为，求证：； (2)若添加下列条件，也可以使，则这个条件是_______（填序号）； ①；②；③． (3)在（1）的条件下，若，，求菱形的边长． 【变式5-3】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点，分别在边，上，连接DE．有以下四个条件： ；；； (1)请你从中任选一个条件，使得，并说明理由． (2)在（）的前提下，若点为中点，，求线段的长． ▌题型06 网格中的相似 1．网格中求边长 用勾股定理：以格点为端点的线段，先数水平、竖直方向的格数，再算。 2．网格题的两个注意点：①不要把“格点数”当成“长度”；②判断相似后，相似比取“小三角形边∶大三角形对应边”，不要写反。 【典例6】（25-26九年级上·河南濮阳·期末）如图，在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，点均位于正方形网格的格点上．请你连接现有的点，构造出一个与相似的三角形，并说明理由． 【变式6-1】（25-26九年级上·河南开封·阶段检测）如图，在正方形网格中，下列正方形网格中的阴影图形与相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，正方形网格上的三角形①，②，③中，与相似的是_______．（填序号） 【变式6-3】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C三点均在格点上． (1)分别求与的值． (2)在网格中画，使A，B，E三点组成的三角形与相似．（只需画出一个） ▌题型07 相似三角形的判定综合 1．判定思路的选择：①有平行线，优先用平行推相似；②有等角，优先用AA（只需再找一组角）；③只有边的数据，考虑SAS或SSS；④直角三角形，考虑一锐角或斜边、直角边成比例。 【典例7】（25-26九年级上·安徽池州·期中）如图，在Rt中，，，，是边上的动点，过点作，且使得与相交于点是的中点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)求长的最小值． 【变式7-1】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知． (1)写出图中相似的三角形______（用“”连接），并证明你的结论． (2)若点为线段的中点，请再写出一对和（1）问中不一样的相似三角形：______（用“”连接），并证明你的结论． 【变式7-2】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，E为边上一点，请用尺规作图法在边上找一点F，连接，使得与相似． (不写作法，保留作图痕迹) 【变式7-3】（2025·江苏无锡·二模）如图，点E在的对角线上，当平分，且时．求证： (1)四边形是菱形； (2)． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题0 2 三角形相似的判定 (题型突破举一反三) 1题型01利用AA证明相似 三典例精析 【典例1】 2 【答案】5 【详解】解：：∠ADE=∠B,LEAD=∠CAB, .△ADE~△ABC,△ABC DE AD BC AB .DE=4,AD=5,AB=8 45 BC8' .BC= 2 举一反目 【变式1-1】 【答案】C 【详解】解：：AD、CE分别是△ABC的边BC、AB上的高， .∠ADB=∠ADC=∠CEA=∠CEB=90°， .∠OAE=∠BAD,∠AOE=∠COD,∠BCE=∠OCD, .△OAEn△BAD,△DAEAOCD,△OCDABCE, .△BADAOCD,△DAEABCE, ∴△ADB∽△CEB,即图中相似三角形的对数为6对. 【变式1-2】 1116 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】B 【详解】解：A、如图， R 根据题意得，∠BDE=∠A=78°，∠B=∠B ∴.△BDEP△BAC ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意： B、如图， ,不知道AC的长度， ∴无法求出AD的长度， ∴无法得出△ADE和△ABC以∠A为夹角的两边成比例 ∴剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似，符合题意： C、如图， 78° :∠DEC=∠A=78°，∠C=∠C ∴.△CED∽△CAB ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意 2_3_1 D、“462,且∠B=∠B ∴.剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意。 【变式1-3】 【答案】见详解 【详解】证：：BE平分∠CBD .∠CBE=∠DBE AB=AE, 2116 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠ABE=∠AEB 即LABD+∠DBE=∠AEB 又：LAEB=∠ACB+∠CBE, ·.∠ABD=∠ACB 又∠BAD=∠CAB. ∴.△ABDAACB 1题型02 利用SAS证明相似 典例精析 【典例2】 【答案】C 1.5 【详解】解：题干给出的三角形两边比为15 1,夹角为30 弓51，但夹角不是30：放与原三角形不相似。A不符合愿意： 选项A,三角形两边比为21.5 选项B,三角形三边相等，为等边三角形，没有夹角为30°，故与原三角形不相似，B不符合题意： 21.5 选项℃，三角形两边比为215l,夹角为30，符合三角形相似的判定定理，故与原三角形相似，C 符合题意： 21.5 选项D,三角形两边比为21.5 1,但夹角不是30，故与原三角形不相似，D不符合思意。 举一反三 【变式2-1】 【答案】见详解 【详解】证明：∠BAD=∠CAE, .∠BAD+∠DAF=∠CAE+∠DAF,即∠BAC=∠DAE, AB、AC 又·ADAE' .△ABCP△ADE, 【变式2-2】 3116 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)见详解：(2)10 【详解】(1)证明：，∠ECB=∠DCA, :.∠ECB+∠ECA=∠DCA+∠ECA,即∠ACB=∠DCE, DC EC 又 AC BC' ∴.△ABC∽△DEC (2)解：由(1)知△ABC∽aDEC, .∠CDE=∠CAB 又∠DFC=∠AFE, .△DFC∽△AFE. AE216 CD 25 82_16 ·cD=25 CD=10 【变式2-3】 【答案】④见详解，(2MB=3v6 【详解】(1)证明：：BC2=CD,AC=6, BC CD AC-CB' .∠C=∠C, ∴.△CBDP△CAB (2)解：BC2=CD:AC=6,BD=AC=3, .CD=2,BC=6. .△CBDP△CAB, BD CD 2 AB CB6' 3V6 .'AB= 4116 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1题型03利用SSS证明相似 三典例精析 【典例3】 【答案】A AB 3 BC 8 3 AC 9 3 【详解】解：A、:DE2'EF162'DF62, 3 AB BC AC ·DE EF DF,△ABC∽aDEF· 故此选项符合题意： AB 3 BC 8 3 AC 9 B、:EF2DE162DF6, 3 AB BC AC EF DE FD .△ABC∽△FED :△ABC与△DEF对应顶点不匹配，不满足△ABCOADEF,故此选项不符合题意： CW2C-21c59 222'DF48: ABBC AC “DEEF≠DF, 故此选项不符合题意； D、:4-BC-5=1,4C21 ·EF2'DE353'DF63 AB BC AC EF DE DF 故此选项不符合题意.故选：A 三举-反目 【变式3-1】 【答案】55 【详解】解：“AB=6,BC=4,AC=5,CD= 2,AD=25 4 5116 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB 6 4 AC 5 4 BC 4 DC-15-5'DA 1 255’CA5, 2 4 AB AC BC DC DA CA' .∴△ABC∽△DCA, .∠B=LACD ∠B=55, LACD=55°.故答案为：55° 【变式3-2】 【答案】见详解 【详解】(I)△ABD∽△BDC, 证明： AB=14-2 BD213' AD282 BC423' BD212 DC31.53' AB AD BD 2 :BD BC DC 3 .△ABD∽△BDC: (②)解：AB川CD,理由如下： .△ABD∽△BDC, .∠ABD=∠BDC, .ABI CD 【变式3-3】 【答案】见详解 【详解】证明：：点D,E,F分别是OA,OB,OC的中点， .DE-4 EF-8C.DF-4C 6116 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB BC AC 即DEEF =2 DF .△ABC∽△DEF 1题型04直角三角形相似的判定 典例精析 【典例4】 【答案】B 【详解】A.相似：∠A=65° .∠B=90°-65°=25° ∠D=25°， ∴∠B=∠D .∠C=∠F=90°」 :△ABCAEDF,不符合题意； B.有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似，符合题意； C.相似：AC=9,BC=12,DF=12,EF=16, AC BC 3 DF EF 4 又，∠C=∠F=90°， .△ABC△DEF,不符合题意： D.相似：：AB=10,AC=8,DE=35,EF=21,C=∠F=90°， :DF=DE2-EF2=28,BC=AB-AC=6, AC BC2 DF EF 7' :∠C=∠F=90°， .△ABC∽△DEF,不符合题意； 故选：B, 举一反目 【变式4-1】 7116 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】3 【详解】解：要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有以下3种剪法： H E DF∥BC,DEIIAC,HD⊥AB,可得△ADF∽△ABC,△BDE△BAC,△AHDP△ABC 【变式42】 【答案】见详解 AB AC 【详解】证明：令 BAC=k,则B=MB:AC=HC, .∠C=∠C=90°」 :BC=AB2-AC2=(k4'B)-(k4'C)=k(4B)2-(4C)=kB'C', BC B=k, AB AC BC ·ABAC' B'Ci, .Rt△ABC∽Rt△A'B'C' 【变式43】 【答案】(1)见详解：(2)1.6 【详解】(1)证明：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°， ∠B+∠BCD=90°， ∠ACD=∠B, :∠ADC=∠CDB=90°， .△ACD∽△CBD (2)解：由(1)知∠ACD=∠B, ∠ACB=∠CDB=90° AB BC ACBACDB,则BCBD, 8116 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 104 BC=4,AB=10' 即4BD 解得BD=1.6 题型05 选择或补充条件证明三角形相似 三典例精析 【典例5】 【答案】C 【详解】解：，∠BAD=∠CAE, LBAD+∠BAE=∠CAE+∠BAE, .∠DAE=∠BAC 选项A,添加∠B=∠D,结合∠DAE=∠BAC,根据两组对应角相等，可以确定△ADE~△ABC,不 符合题意」 选项B,添加∠C=∠AED,结合∠DAE=∠BAC,根据两组对应角相等，可以确定△ADE~△ABC, 不符合题意 AB DE 选项C,添加4D BC, 对应边成比例，但是∠DAE=∠BAC不是夹角相等，不能确定 △ADE~△ABC,符合题意， AB AC 选项D'添加ADAE,对应边成比例，且∠DAE=∠BAC,两边夹角也相等，确定 △ADE~△ABC,不符合题意. 举一反三 【变式5-1】 【答案】∠CBD=∠A(答案不唯一) 【详解】解：在△CBD和△CAB中， .∠C=∠C, CD CB 当添加条件∠CBD=∠A或者∠CDB=∠CBA或者CBCA时， ..ACBD~ACAB 【变式5-2】 9116 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】()见解析：2)③，(3)3√2 【详解】(I)证明：四边形ABCD是菱形， AD∥BC, ∴.∠AEB=∠DAE, 又：∠B=∠AED, .△ABEP△DEA: (2)解：四边形ABCD是菱形， .AD∥BC, ∴.∠AEB=∠DAE, AE BE :∴可添加DAEA,使△ABEO△DEA (3)解：四边形ABCD是菱形， ∴AB=DA, 又△ABE∽△DEA, AB AE DE=DA,即AB·AD=AB-DE: .AB2=AE.DE, AE=3,DE=6. AB2=18, :AB=V18=3V2,即菱形ABCD的边长为3V2 【变式5-3】 【答案】(1)见详解；(2)AB的长为24 【详解】(1)选：①∠AED=∠B. 理由：∠A=∠A,∠AED=∠B, △ABC∽△AED: 选：②∠BDE+∠C=180°」 理由：∠BDE+∠C=180°，∠BDE+∠ADE=180°， .∠C=∠ADE ∠A=∠A, 10/16 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .△ABC∽△AED: 选③：ADAB=AEAC 理由：ADAB=AEAC, AD AE AC AB' ∠A=∠A, △ABC∽△AED, AD DE 选：④：ACCB' 因为夹角不一定相等，所以△ABC与△AED不一定相似 (2)解：AE=2AD=6, AD=3, :点E为AC中点， .AC=2AE=12. .△ABC∽△AED. AB AC AE AD .AD.AB=AE.AC. .3AB=6×12, AB=24, .线段AB的长为24 题型06 网格中的相似 典例精析 【典例6】 【答案】见详解 【详解】如图所示，△EAB∽△DCF;理由如下： 11/16 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 GD B 在△EAB和△DCF中， AB CF 1 ∠BAE=∠FCD=90°'AECD2' .△EABP△DCF 举一反目 【变式6-1】 【答案】C 【详解】解：△ABC的三条边长度为V2,2,V10,三边的比例为1：√2：V5: 选项A:三角形的三边长为l,V0,V3,三边的比例为1：V0:V3,与△ABC不相似，不符合题意要 求： 选项B:三角形的三边长为l,V5,2V2,三边的比例为1：V5:2W2,与△ABC不相似，不符合题意要求： 选项C:三角形的三边长为l,V2,V5,三边的比例为1：V2:√5，与△ABC相似，符合题意要求： 选项D:三角形的三边长为V2,5,V5,三边的比例为V2:V5:V5,与△ABC不相似，不符合题意要 求；故选C 【变式62】 【答案】①②/②① 【详解】解：设网格小正方形的边长为1， 则在AABC中，AC=VP+22=V5,BC=VP+32=V10,AB=5: 在三角形①中，三边长分别为VP+1P=√2，VP+32=√10,2： 在三角形②中，三边长分别为V22+2=22,√2+6=20,4： 在三角形3中，三边长分别为V2+22=√5，√？+4=√7,6 551055-0 “20=2,2W221041 ∴三角形①和②都与△ABC相似， 12/16 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :三角形③的三边与△ABC的三边不对应成比例， ∴三角形③与△ABC不相似，综上，与△ABC相似的是①②. 【变式6-3】 【答案】(1) AB2 BC 2 AB BC=√2，②)见详解. 【详解】(1)解：：AB=2,BC=V22+22=2√2 AB反.BC=N2 BC2’ AB (2)解：如图 :AB=2,BC=22,AC=V22+42=2W5,BE=VP+1P=V2,AE,=VP+32=V10, AB BC=AC= BE AB AE .△ABCAE BA 当点E在点E2处时，同理可证△ABC∽aE,BA 题型07 相似三角形的判定综合 典例精析 【典例7】 【答案】(1)(2)见详解：(3)BG长的最小值为2 【详解】(I)证明：：CE⊥CD, :∠DCE=90°， 又.∠ACB=90, .∠ACB=∠DCE ,∠CDE+∠BDE=∠CAB+∠ACD,∠BDE=∠ACD 13/16 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠CAB=∠CDE, ∴aABC∽aDEC: (2)证：，△ABC∽△DEC, 、ACBC DC EC' 又：∠ACD=90°-∠DCB=∠BCE, ∴.△ACD∽△BCE, AD AC 2 ·BEBC4 .BE =2AD (3)解：△ACD∽△BCE, .∠CAD=∠CBE, ∴.∠EBD=∠ABC+∠CBE=∠ABC+∠CAD=90°， 又G是DE的中点， :BG=1DE」 n .△ABC∽ADEC, AC CD AB DE DE=AB.CD AC 又∠ACB=90°，AC=2,BC=4, AB=25, 1 ×2×445 当 时， 的长最小，最小值为 2*26 5 CD⊥AB CD 此时 的长最小，DE=4BCD 25x4v5 5=4 DE AC 2 1 :BG长的最小值为：2 DE=5×4=2 2 14/16 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 举一反目 【变式7-1】 【答案】见详解 【详解】(I)解：△ACB∽△EDC, 证明：，∠A=∠BCD=∠E=&, A+ZABC=ZBCE=ZECD+2BCD, .∠ABC=∠ECD ∴.△ACB∽△EDC, (2)△BAC∽△BCD或者△BCD∽△CED(答案不唯一)， 解：△BAC∽△BCD,证明如下， .△ACB∽△EDC, BC AB AC ·CDEC ED' ,C为线段AE的中点， .AC=CE, AB BC AB AC ·ACCD, 即BCCD 又∠A=∠BCD, ∴.△BACABCD BC CE BC CD 同理可得CDED, 即CEED 又，∠A=∠BCD=∠E .△BCD∽△CED 【变式7-2】 【答案】见详解 【详解】如图，点F即为所求作， 15/16 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由作图可知：，∠ECF=∠AEB, .CFll AE .∠CFE=∠AED. AD‖BC, :.∠ADE=∠CED」 △ADE∽ACEF 【变式7-3】 【答案】见详解 【详解】(I)证明：：四边形ABCD是平行四边形， .CDI‖AB .∠BAC=∠DCA, .AC平分∠BCD, ∠BCA=∠DCA=∠BAC, .BC=BA, ∴.四边形ABCD是菱形： (②)证明：，四边形ABCD是菱形， .∠DAC=∠BAE,∠ABC=∠D, .∠E=∠ABC, ∠D=∠E, ∠DAC=∠BAE,∠D=∠E, .△ACD∽△ABE 16/16 专题02 三角形相似的判定 （题型突破·举一反三） 题型01 利用AA证明相似 题型02 利用SAS证明相似 题型03 利用SSS证明相似 题型04 直角三角形相似的判定 题型05 选择或补充条件证明三角形相似 题型06 网格中的相似 题型07 相似三角形的判定综合 ▌题型01 利用AA证明相似 1．AA判定定理：两角分别相等的两个三角形相似。 几何语言：在与中，，，则。 2．找等角的四条线索：①公共角、公共边所对的角；②对顶角；③直角（或同角等角的余角相等）；④平行线产生的同位角、内错角。 3．母子型：中，，于，则这个图形中“一个三角形里套着两个小三角形”，故称母子型。 【典例1】（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在中，分别是边和上的点，且，则的长为_____． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1-1】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，、分别是的边、上的高，那么图中相似三角形的对数为（     ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 【答案】C 【详解】解：∵、分别是的边、上的高， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴，即图中相似三角形的对数为6对． 【变式1-2】（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（     ） A．B．C．D． 【答案】B 【详解】解：A、如图， 根据题意得，， ∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； B、如图， ∵不知道的长度， ∴无法求出的长度， ∴无法得出和以为夹角的两边成比例 ∴剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似，符合题意； C、如图， ∵， ∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； D、∵，且 ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意． 【变式1-3】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知在中，D是边AC上的一点，的平分线交于点，且．求证：． 【答案】见详解 【详解】证：∵平分， ∴. ∵， ∴. 即. 又∵， ∴. 又∵， ∴. ▌题型02 利用SAS证明相似 1．SAS判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 几何语言：在与中，，，则。 2．书写顺序 写比例式时把“夹角的两个邻边”配对：的两邻边是，的两邻边是，故写，不能写成。 【典例2】（26-27九年级上·广西桂林·阶段检测）下列与图中的三角形相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：题干给出的三角形两边比为，夹角为， 选项A，三角形两边比为，但夹角不是，故与原三角形不相似，A不符合题意； 选项B，三角形三边相等，为等边三角形，没有夹角为，故与原三角形不相似，B不符合题意； 选项C，三角形两边比为，夹角为，符合三角形相似的判定定理，故与原三角形相似，C符合题意； 选项D，三角形两边比为，但夹角不是，故与原三角形不相似，D不符合题意． 【变式2-1】（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）如图，点在一条直线上，交于点，，且．求证：． 【答案】见详解 【详解】证明：， ，即， 又， ． 【变式2-2】（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，四边形中，为边上一点，，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解；(2) 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴ （2）解：由（1）知， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2-3】（2026·浙江金华·二模）如图，在中，为边上一点，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解；(2) 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． ▌题型03 利用SSS证明相似 1．SSS判定定理：三边成比例的两个三角形相似。 几何语言：，则。 2．SSS与SAS的选择：题目给出三条边（或能算出三条边）时用SSS；只给出两条边时，必须再找一个角，用SAS或AA。 3．判断三边是否成比例的三个步骤：①把两个三角形的三边分别按从小到大排序；②最大的比最大、最小的比最小、中间的比中间；③看三个比值是否相等。 【典例3】（25-26九年级上·福建漳州·期中）若和满足下列条件，其中能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、∵， ∴，∴．故此选项符合题意； B、∵， ∴， ∴． ∵与对应顶点不匹配，不满足，故此选项不符合题意； C、∵， ∴，故此选项不符合题意； D、∵， ∴，故此选项不符合题意．故选：A． 【变式3-1】（2025九年级·全国·专题练习）如图，在四边形中，．若，则的度数是_________． 【答案】 【详解】解：， ， ， ． ．故答案为： ． 【变式3-2】（25-26九年级上·广西桂林·期中）如图，某地四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知，，，，， (1)如图与相似吗？若相似，请写出证明过程． (2)公路与平行吗？说出你的理由． 【答案】见详解 【详解】(1)， 证明：， ， ， ∵， ∴； (2)解：，理由如下： ∵， ∴， ∴． 【变式3-3】（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，点O是的边上一点，连接，点D，E，F分别是，，的中点，连接，．求证： 【答案】见详解 【详解】证明：∵点D，E，F分别是，，的中点， ∴，，， 即， ∴． ▌题型04 直角三角形相似的判定 1．一锐角相等：两个直角三角形中，只要有一个锐角相等，就可用AA判定相似（因为另一直角也相等）。 2．斜边、直角边成比例：两个直角三角形中，若斜边之比等于一条直角边之比（即“斜边、直角边成比例”），则两个三角形相似。 3．判定的优先顺序 ①有一锐角相等，找AA；②给出两条边（含斜边），先算第三边，再用SSS或SAS；③只给出一条直角边成比例，不能判定，需再补条件。 4．常见错误：两个直角三角形中，“一条直角边成比例”就下结论相似，是错的，必须再有一条边（或一个锐角）。 【典例4】（24-25九年级上·上海·阶段检测）在和中，，下列各组的条件不能判定这两个三角形相似的是（   ） A．，； B．，，，； C．，，，； D．，，，． 【答案】B 【详解】A．相似：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，不符合题意； B．有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似，符合题意； C．相似：∵，，，， ∴． 又∵， ∴，不符合题意； D．相似：∵，，，，， ∴，， ∴． ∵， ∴，不符合题意； 故选：B． 【变式4-1】（26-27九年级上·山东聊城·阶段检测）如图，在中，，点为边的中点，沿着过点的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有______种不同的剪法． 【答案】3 【详解】解：要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有以下3种剪法： ，，，可得，，. 【变式4-2】（2026九年级上·浙江·专题练习）已知：如图，在和中，．求证：． 【答案】见详解 【详解】证明：令，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式4-3】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，是斜边上的高． (1)求证：； (2)若，则直接写出的长． 【答案】(1)见详解；(2) 【详解】（1）证明：在中，是斜边上的高，则，， ， ， （2）解：由（1）知， ， ，则， ，即，解得． ▌题型05 选择或补充条件证明三角形相似 1．根据判定方法，结合已有条件进行补充，注意不要忽视公共角等隐藏信息。 2．两个三角形相似的判定方法：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似；平行于三角形一边的直线截其他两边(或其他两边的延长线)所构成的三角形和原三角形相似；两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似；如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似；直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似 【典例5】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定与相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， 选项，添加，结合，根据两组对应角相等，可以确定，不符合题意． 选项，添加，结合，根据两组对应角相等，可以确定，不符合题意． 选项，添加，对应边成比例，但是不是夹角相等，不能确定，符合题意． 选项，添加，对应边成比例，且，两边夹角也相等，确定，不符合题意． 【变式5-1】（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，点D是上一点，添加一个条件使得，可以是___________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解： 在和中， ， 当添加条件或者或者时 ， ． 【变式5-2】（2026·河北邯郸·一模）如图，在菱形中，E为边上一点．现要添加一个条件，使． (1)若添加的条件为，求证：； (2)若添加下列条件，也可以使，则这个条件是_______（填序号）； ①；②；③． (3)在（1）的条件下，若，，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析；(2)③；(3) 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ， ， 又， ； （2）解：四边形是菱形， ， ， ∴可添加，使； （3）解：四边形是菱形， ， 又， ，即， ， ∵，， ， ，即菱形的边长为． 【变式5-3】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点，分别在边，上，连接DE．有以下四个条件： ；；； (1)请你从中任选一个条件，使得，并说明理由． (2)在（）的前提下，若点为中点，，求线段的长． 【答案】(1)见详解；(2)的长为． 【详解】（1）选：， 理由：∵，， ∴； 选：， 理由：∵，， ∴， ∵， ∴； 选： 理由：∵， ∴， ∵， ∴； 选：：， 因为夹角不一定相等，所以与不一定相似 （2）解：∵， ∴， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长为． ▌题型06 网格中的相似 1．网格中求边长 用勾股定理：以格点为端点的线段，先数水平、竖直方向的格数，再算。 2．网格题的两个注意点：①不要把“格点数”当成“长度”；②判断相似后，相似比取“小三角形边∶大三角形对应边”，不要写反。 【典例6】（25-26九年级上·河南濮阳·期末）如图，在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，点均位于正方形网格的格点上．请你连接现有的点，构造出一个与相似的三角形，并说明理由． 【答案】见详解 【详解】如图所示，；理由如下： 在和中， ，， ∴． 【变式6-1】（25-26九年级上·河南开封·阶段检测）如图，在正方形网格中，下列正方形网格中的阴影图形与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：的三条边长度为，三边的比例为； 选项A：三角形的三边长为，三边的比例为，与不相似，不符合题意要求； 选项B：三角形的三边长为，三边的比例为，与不相似，不符合题意要求； 选项C：三角形的三边长为，三边的比例为，与相似，符合题意要求； 选项D：三角形的三边长为，三边的比例为，与不相似，不符合题意要求；故选C． 【变式6-2】（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，正方形网格上的三角形①，②，③中，与相似的是_______．（填序号） 【答案】①②/②① 【详解】解：设网格小正方形的边长为1， 则在中，，，； 在三角形①中，三边长分别为，，2； 在三角形②中，三边长分别为，，4； 在三角形③中，三边长分别为，，6； ∵，， ∴三角形①和②都与相似， ∵三角形③的三边与的三边不对应成比例， ∴三角形③与不相似，综上，与相似的是①②． 【变式6-3】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C三点均在格点上． (1)分别求与的值． (2)在网格中画，使A，B，E三点组成的三角形与相似．（只需画出一个） 【答案】(1)，；(2)见详解． 【详解】（1）解：∵ ∴， （2）解：如图 ∵，， ∴， ∴． 当点E在点处时，同理可证． ▌题型07 相似三角形的判定综合 1．判定思路的选择：①有平行线，优先用平行推相似；②有等角，优先用AA（只需再找一组角）；③只有边的数据，考虑SAS或SSS；④直角三角形，考虑一锐角或斜边、直角边成比例。 【典例7】（25-26九年级上·安徽池州·期中）如图，在Rt中，，，，是边上的动点，过点作，且使得与相交于点是的中点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)求长的最小值． 【答案】（1）（2）见详解；(3)长的最小值为2 【详解】(1)证明： ， 又 ， ， ； (2)证： ， 又 ， ； （3）解：， ， ， 又是的中点， ， ， 又 ， 当时，的长最小，最小值为， 此时的长最小，， 长的最小值为：． 【变式7-1】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知． (1)写出图中相似的三角形______（用“”连接），并证明你的结论． (2)若点为线段的中点，请再写出一对和（1）问中不一样的相似三角形：______（用“”连接），并证明你的结论． 【答案】见详解 【详解】(1)解：， 证明：∵， 又， ∴， ∴， (2)或者（答案不唯一）， 解：，证明如下， ∵， ∴， ∵为线段的中点， ∴， ∴， 即 又∵， ∴, 同理可得，即 又∵ ∴． 【变式7-2】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，E为边上一点，请用尺规作图法在边上找一点F，连接，使得与相似． (不写作法，保留作图痕迹) 【答案】见详解 【详解】如图，点F即为所求作． 由作图可知：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式7-3】（2025·江苏无锡·二模）如图，点E在的对角线上，当平分，且时．求证： (1)四边形是菱形； (2)． 【答案】见详解 【详解】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； (2)证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $