第31章 重难题型专练 三角形内接特殊四边形问题-【学海风暴】2026-2027学年九年级下册数学同步教学(教师用书)(人教版·新教材)

9.解：(1)证明：，四边形ABCD是正方形，.AB=AD ∠B=90°，AD∥BC, .∠AMB=∠EAF ,EF⊥AM,.∠AFE=90°， .∠B=∠AFE,∴.△ABM∽△EFA. (2),四边形ABCD是正方形，AB=8, .∠B=90°，AD=AB=8. :BM=6,.AM=√AB+BM=10 :F是AM的中点AF=号AM=5. 由(I)得△ABM∽△EFA..N=AE, 3 重难题型专练三角形内接特殊四边形问题 19 2.解：(1)在Rt△ABC中，AB=V√BC-AC= √152-92=12. 1 SmAANC =7AB·AC=2BC·AD AD=AB·AC_12X9_36 BC 1551 (2)如图，设AD与EH交于点M. :四边形EFGH是正方形， .EH∥BC, .△AEH∽△ABC, ..AM_EH AD BC ,∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°， .四边形EFDM是矩形，∴EF=DM. 设正方形EFGH的边长为x, 36 180 一=访，解得x=37 正方形EFGH的边长为9 3.D【解析】如图，过点F作FH⊥AC 于点H,∴∠FHE=90°=∠C, ∴.∠EFH+∠FEH=90, .四边形DEFG是矩形， G .∠DEF=90°，∴.∠DEC+∠FEHB =90°， ∴∠EFH=∠DEC,∴.△EFH∽△DEC, 開瓷 EH=3x,FH=4x,DC=3y,EC=4y, ∴.FE=√EH+FH=5x,DE=√DC+EC=5y. ∠C=90°，AC=BC=4,∴.∠A=45°， 6 九年级数学RJ版 ∴.△AFH是等腰直角三角形， ∴.AH=FH=4x,∴.AC=4x+3x+4y=4, y=47 4 ,矩形DEFG的面积=DE·FE=25.xy=25x· -}+。 4 ∴当=号时，矩形DEPG的面积最大，最大值为写 2 4.1:3【解析】：四边形EFGH和四边形HGNM均为 正方形，∴.EF=EH=HM,EM∥BC, △AEMO△ABCS ,∠PEF=∠EFD=∠FDP=9O°， .四边形EFDP为矩形，.EF=PD, .5-EF_2EF 5 0,解得EF=5 EM=5, ,S△AEM=（ EM\21 ·S△ABC BC)=4, .S网边形ME=S△ABC一S△ABM=3S△AM ∴△AEM与四边形BCME的面积比为1：3. 5.2 【解析】如图，设AD交EH于点 M.,四边形EFGH是矩形，∴.EH∥ BC,∴.△AEH∽△ABC. ,AD⊥BC,AM⊥EH, AM EH AD=BC.设EH=3x, 2-2x= 则EF=2x,AM=AD-EF=2-2x小2 3 1 3 3,解得x=2EH=3x= 、12 6.解：(1)5 (2)如图①，过点C作CM⊥AB于 点M,交DG于点N.由(1)得CM E M F ,四边形DEFG是矩形， 图① .四边形DEMN是矩形，DG∥AB, .MN=DE,CN⊥DG,△CDG∽△CAB, .DG CN ·ABCM 12 60 设DE=DG=x,则名512，解得，6 37 5 矩形DEFG的周长为4X37=37 60240 【解析】(3)过点C作CM⊥AB于点M,交 DG于点N,如图② ,矩形DEFG的周长是DE长的8倍， .设DE=MN=a,则DG=EF 2X(8a-a-a)=3a. DG CN :由(2)知AB-CM 图② 12 60 之、角军号x、四三石1· 5 矩形DEFG的周长是8×6=6 60480 7.解：(1)设PQ=y,则PN=2y. ,四边形PQMN是矩形，∴PN∥BC, .△APNC∽△ABC. AD⊥BC,.AD⊥PN, 院-品各-002解得y只 4 PQ-5.P- (2)设AE=x.由(1) PN AE PN z BCAD,即 12=10' PN=号，PQ=DE=10-x, 6 SPOMN=。x(10一x)=二5（x一5)+30， .当x=5时，矩形PQMN的面积最大，最大面积 为30. 故当AE=5时，矩形PQMN的面积最大，最大面积是 30,此时PQ=5,PN=6. 31.4位似 第1课时位似图形的概念及画法 1.D OH 4.OH 4 2.8【解析1D3“0D= ,四边形ABCD与四边形EFGH位似， ∴.四边形ABCD∽四边形EFGH,GH∥CD, HG OH 4 △OHGn△ODC,CD-OD-7' S边形ABCD 3.4√2π【解析】由题意可知，四边形A'B'CD'是正方 形，且与正方形ABCD是位似图形.，正方形ABCD 的面积为4，∴.其边长为2.：A'B:AB=2:1, .AB'=4,∴正方形A'B'CD的对角线的长为4√2， ∴正方形A'BCD'的外接圆的周长为4√2π 4.解：(1)如图（画出一个即可）. (2)10 5.解：，△ABC和△A'B'C'的相似比为1：2，AO= 5cm,∴A'O=10cm.①△ABC与△A'B'C'在点O的 同侧时，AA'=A'O-AO=5cm;②△ABC与△A'B1 C在点O的异侧时，AA'=A'O+AO=15cm.综上所 述，对应点A,A'之间的距离为5cm或15cm. 第2课时位似图形的坐标变化规律 1.D2.D 3.B【解析】由题意可知，△OAD∽△OBG.:相似比为 日8器分：0A=20B=6AB==A0 =4. 由题意可知，BG=3AD=12, 点G的坐标为(6,12). 变式题(1,0)或（一1,0）【解析】四边形OABC是 平行四边形，AB=2,.OC=AB=2,.C(2,0). ·以原点O为位似中心将口OABC缩小，使得到的图 形与原图形的相似比为2， .点C的对应点C的坐标为(1,0)或（一1,0）. 4.13 5.解：(1)△A,B,C,如图所示. .6 (2)A,(-4,-6),C1(-6,-2). 难点探究专练相似与几何、 函数、圆的综合（跨单元） 1.C【解析】.AD∥BC,AE∥DC, .四边形AECD是平行四边形， ..AD=EC. ..BC=3AD=3EC=BE+EC. .BE=2EC. 由折叠的性质，得BE=B'E,S△ABE=S△ABE,∠BEA =∠B'EA. 又：AE∥DC, ∴.∠ENC=∠B'EA,∠BEA=∠C, ∴.∠ENC=∠C,∴.EN=EC, ..B'E=BE=2EN, ∴EN=B'N=号BE. AE∥DC,.∠B'MN=∠B'AE,∠B'NM= ∠B'EA, ∴△B'MN∽△B'AE, 下册详解详析重难题型专练 三角形内接特殊四边形问题 【例】（教材母题）如右图， (1)求边BC上的高AD的长 △ABC表示一块锐角三角形木 (2)正方形的一边FG在BC上，另外两个顶 板，边BC=120cm,高AM=B1 点E,H分别在边AB,AC上.求正方形 80cm.现要在其上截出一块正方形木板，使正 EFGH的边长， 方形的一条边在BC上，其余两个顶点分别在 解：(1)在Rt△ABC中，AB= AB,AC上.裁出的正方形木板的边长是多少？ BC-AC=15-9=12 1 【点拨】用正方形EFGH表示裁出的正方 =2AB.AC=2BC AD. 形木板，则△AHG的高可以表示为△ABC的 AD= B·AC12X936 BC 15=5 高AM与正方形EFGH的边长的差.再由 (2)如图，设AD与EH交于 △AHG∽△ABC,即可找到正方形EFGH的 点M 边长与已知条件的关系. 四边形EFGH是正方形， 【解】如图，用正方形EFGH .EH∥BC, 表示裁出的正方形木板，边EF在 △AEHO△ABC,:AM_=EH AD BC' BC上，顶点G,H分别在AC,ABB E M :∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°， 上.记HG与AM相交于点N,则AN为 .四边形EFDM是矩形，∴EF=DM。 设正方形EFGH的边长为x, △AHG的高. 36 设正方形的边长为xcm. 36=解三7、门 :HG∥BC,∴.△AHG∽△ABC, 5 ..AN_HG AMB云，即0x 80120 ∴正方彩EFGH的边长为0 解得x=48. 因此，裁出的正方形木板的边长为48cm. 题型② 三角形内接矩形 题型①三角形内接正方形 3.如图，在Rt△ABC中，∠C 1.古代数学文化《九章算术》是我国 =90°，AC=BC=4.矩形 古代数学名著，书中有下列问题： DEFG的顶点D,E,F分别 “今有勾五步，股十二步.问勾中容 在边BC,AC,AB上若C 第3题图 方几何.”其意思如下：如图，今有 第1题图 直角三角形，勾（短直角边）长为5 4,则矩形DEFG面积的最大值为(D) 步，股（长直角边）长为12步.问该直角三角 B. 2 5 形能容纳的正方形边长最大是多少步.该问 A.5 D.7 60 题的答案是 步 4.如图，在△ABC中，AD⊥BC,垂足为D,AD 17 =5,BC=10,四边形EFGH和四边形HG 2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC NM均为正方形，AD,EM交于点P,且点E, 9,BC=15. 下册第三十一章 19 F,G,N,M都在△ABC的边上.那么△AEM7.推理能力如右图，在 与四边形BCME的面积比为1：3 △ABC中，BC=12,AD 是BC边上的高，且AD= 10,P,N分别是AB,AC 边上的点，Q,M是BC边上的点，连接PQ, DG N F D G 第4题图 第5题图 MN,PN,PN交AD于点E 5.如图，矩形EFGH内接于△ABC,且边FG落 (1)若四边形PQMN是矩形，且PQ：PN 在边BC上，AD⊥BC.如果BC=3,AD=2, =1:2,求PQ,PN的长 EF=二EH,那么EH的长为 3 (2)若四边形PQMN是矩形，则当矩形 PQMN的面积最大时，求最大面积及PQ, 6.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,AC=3. PN的长 矩形DEFG的顶点D,G分别在边AC,BC 解：(1)设P0=y,则PN=2y. 上，EF在边AB上. :四边形POMN是矩形， .PN∥BC, 12 (1)点C到AB的距离为 ,.△APNC△ABC. 5 :AD⊥BC, (2)如图①，若DE=DG,求矩形DEFG的 ,.AD⊥PN, 周长 PN AE (3)如图②，若矩形DEFG的周长是DE长的8 BC-AD' 480 路-。 10 倍，则矩形DEFG的周长为 61 15 解得y=子’ 0-华PN- 2· PN AE (2)设AE=x.由(1)知BC=AD 图① 图② 解：(2)如图，过点C作CM⊥AB 即N、x 120 于点M,交DG于点N,由(1)得 PN=6 C1=号：四边形DEFG是矩 r,0=DE=10-x, 6 6 形，.四边形DEMN是矩形，DG∥AB,∴MN=DE 六Seew=5x(10-x)=-5(r-5)八+30， CN⊥DG,△CDGn△CAB,AB-C7 DG CN .当x=5时，矩形POMN的面积最大，最大面积 为30. 12 故当AE=5时，矩形PQMN的面积最大，最大面积 设DE=DG=x,则共=S 60 12,解得x=37 是30，此时P0=5,PN=6. 5 ·矩形DEFG的周长为4×60-240 37-37 20 九年级数学RJ版