黑龙江省大兴安岭地区漠河市龙东学校2026-2027学年高三上学期11月期中质量检测数学试题

高三 ·数学· 叁考管亲及解折 一、选择题 <2w一号<2，解得号<w≤行，故实数m的取值范围是 7 1.C【解析】已知数列{an}为等比数列，a2为a1,a的等 比中项，即a吃=a1ag,由于a2=2,所以a1ag=a=22= (号，名]，故运A 4.故选C. 8.A【解析】y=e2的导函数为y'=e,y=lnx的导函数 2.B【解析】由A={xy=√I一x}={x|x≤1)，AC B,.a>1.故选B. 为y=子设公切线切曲线y=e于(4，心)，切曲线 3D【解析】p=（22)°=2=8，g=（3时)=32=9， y=lnx于(m,lnm),则公切线斜率k=e= m·y=e'的 则g>>1,因为y=x在(0，十∞)上单调递增，所以 切线方程为y一e=e(x-t)→y=e·x十e(1-t);对 q>p>1.因为y=log4x在(0，+o∞)上单调递增，所以 y=lnx代入m=e‘,写出切线方程：y-lne=e(x-e‘) r=log43<log44=1,即r<1.综上，r<1<p<q,即r<p →y=e·x一1一t.由两切线纵截距相等可得e(1一t) <q.故选D. =-1-t→e(1-t)十t十1=0.若t是上述方程的根，将 4.A【解析】设圆柱的高为hcm,而半球半径及圆柱底 -t代入方程可得e‘(1十t)+(一t)+1= 面圆半径为3cm,由酒杯容积为54xcm,得经×33十 1十0十（一）e=0,即若t是根，则-t也是根.题目 e 32πh=54π，解得h=4cm,所以银杯内壁表面积为2π× 中x1,x2是方程的两个根，因此x2=一x1,得x1十x2= 32十2π×3X4=42πcm2.故选A. 0.因此e1+2=e°=1.故选A. 5.C【解析】由cos(a十)=m得cosacos3-sinasinB=m①， 二、选择题 由cos(a-B)=-5m,得cosacos3+sinasin=-5m②，由 9.BC【解析】对于A,因为1=1一i,所以z1=1+i,故A ①②得cosacos/3=一2m,sinasin,g=-3m,所以tanatan3 错误； -器-二-是故运C 对于B,因为2=1+2i,所以x2|=√12+2=√5，故B 正确； 6.C【解析】数列{an}后7项a,a4,…,ag构成等差数 对于C,因为名1=1-i,x2=1+2i,之1之2=(1-i)(1+2i) 列，设公差为d,则a4=a3十d,as=ag十3d,a,=ag十4d. =1+2i一i一2=3+i,故C正确； 由a4+a6=18,得(aa+d)+(a+3d)=2ag+4d=18, 即ag+2d=9①；由a,=15,得a3+4d=15②.由②-① 对于D,因为=1+1=+=1+2十+1-i 之名2212-(1-i0(1+2i)1 得2d=6,即d=3;代入②，得a2+12=15,即a3=3.又 柒所以--侣+8》-7号-号吉，故 aa2a成等差数列，且a=1,a=3,故a2=1十3=2 2 D错误.故选BC. 因此9层书架图书总数为Sg=a1十a2十(a3十…十ag)= 10.ACD【解析】对于A,将原递推公式a+1十an=4n十2 1+2+(3×7+2×3）-87.故选C 的n替换为n+1,得a+2十au+1=4n十6，又an+1十am =4n十2，两式相减可得an+2一an=4,故A正确； 7.A【解析】因为正弦函数y=sint的对称轴方程为t= 对于B,S2o=(a1十a2)+(a3十a4)+…+(a1g十a2o) 受十kr,∈Z,所以令2u+石=交十kπ，k∈Z,可解得 6-2 6+14+…十78=(6+78)X10=420,故B错误； 2 f()的对称轴方程为x=3+1)r,k∈Z.因为x∈ 对于C,S21=a1+(a2十ag)+(a4十a5)十…+(ao+a21) [0,),即0≤3k+1Dx<,kEZ,可解得-号<< =1+10+18+…+82=1+10+82)X10=461,故C 2 6w 正确； 2w一号，k∈Z.要使f()在区间[0，x)上有且仅有2条 对于D,当数列{an}是等差数列时，设公差为d,则ar+2 对称轴，则符合条件的整数飞只能为0,1，因此需满足1 -an=2d=4,d=2,令n=1,则a2十a1=6,即a1+a1+ 1 ·数学· 参考答案及解析 d=2a1+2=6,a1=2,所以am=a1+(n-1)d=2n,Sg 在图①中，因为平面AADD∥平面BBC1C =9(a1十a)_9(2十18)=90，故D正确.故选ACD. 平面AMN∩平面AADD=AD1,平面AMN∩平面 2 2 BBCC=MN,所以AD∥MN.在正方体 11.BCD【解析】对于A,令x=2,y=1可得f(3)+f(1) ABCD-A1B1C1D1中，AD1∥BC1,所以MN∥BC1.又 =2f(2)f(1),因为f(1)=0,所以f(3)=0,故A 错误； 因为CN=号cC.所以CM=}CB=子×2=号， 对于B,令x=1,y=1可得f(2)+f(0)=2f(1)f(1), 所以f(2)=-f(0)=一1，令x=2,y=2可得f(4)+ BM=BC-CM=2-号=告，所以当O<BM≤号时， f(0)=2f(2)f(2),所以f(4)=2[f(2)]-f(0)=2- 截面为四边形；当号<BM<2时，截面为五边形.故所 1=1,故B正确； 对于C,因为f(a+1)+f(a-1)=2f(a)f(1)=0,所 求的线段BM的取值范围为（停，2）： 以f(a+1)=-f(a-1),所以f(a+2)=-f(a),所 四、解答题 以f(a十4)=-f(a十2)=f(a),故C正确； a C 对于D,若n=2k+1,k∈N,则n2=4k2+4k+1,所以 15.解：(1)由正弦定理 sinA-sinB-sinc3 asinC- f(n)=f(4k2+4k十1)=f(1)=0;若n=2k,k∈N,则 csin2A=0, n2=4k,所以f(n2)=f(4k2+0)=f(0)=1.所以 3 sinAsinC-2sinCsinAcosA=0, ……(2分) f(12)+f(22)+f(32)+·+f(20252)=f(22)+ 因为A,C∈(0，r),所以sinA≠0，sinC≠0， f(4)+…+f(2024)=1012.故D正确.故选BCD. 三、填空题 可得cosA= 2 …(4分) 12.1【解析】因为向量a,b的夹角为苓，a=2,b1= 又A∈(0，π)，所以A=π 6 …(6分) 1,则a·b=2×1X号=1，所以(a-2b)·(a+b)=a (2)由(1)知A=否，又因为△ABC的面积为/3，b=4, -a·b-2b=4-1-2=1. 13.名【解桥】设数列{a,}的公比为g.由2S,-(2”+ 所以Sac=besinA=X4csin吾=原， 1)S20十S10=0,得210(S30-S20)=S20-S10.又由题意 解得c=√. …………………………(8分) 分析知q≠一1，所以S10,S0一S10,S30一S0成等比数 由余弦定理a2=b+c2-2 bccosA=3+16-2X4X√3 列，公比为g”,所以二=g”=(合）.又a)为 S20-S10 x5=7,所以a=7. ……………………(10分) 4 各项均为正数的等比数列，所以g=2,所以口=2， 设BC边上的高为h,则号×√7×h=3, 可得as=2=8 4 1 解得h=2YT,即BC边上的高为2y四 7 7 14.(号，2）【解析】找平面AMN裁正方体ABCD (13分) ABCD所得的截面为四边形的临界位置.当平面 16.解：(1)因为D求=λA产，且直线DE与AP无公共点， AMN与平面ADD1A交于直线AD1时，如图①所 故DE∥AP, 示，截面为四边形；当平面AMN与平面ADD1A交于 因为APC平面PAB,DE丈平面PAB, 直线AQ(点Q在线段A1D1上，不含端点)时，如图② 所以DE∥平面PAB.…(2分) 所示，截面为五边形，对比图①，此时点M更靠近点C 因为四边形ABCD是正方形，所以CD∥AB, D R 因为ABC平面PAB,CDC平面PAB, B 所以CD∥平面PAB,…(4分) 因为CD∩DE=D,CD,DEC平面CDE, 所以平面CDE∥平面PAB, 又CEC平面CDE,所以CE∥平面PAB.·(6分) ② (2)因为PA⊥平面ABCD,AB,ADC平面ABCD, 2· 高三 ·数学· 所以PA⊥AB,PA⊥AD, ……(7分) 又因为T.随着n的增大而增大，当n=1时，T1=1一 因为AB⊥AD,所以AB,AD,AP两两垂直， 所以以点A为坐标原点，分别以AB,AD,AP所在直 1号-号所以T≥T=号， 线为x,y,之轴，建立如图所示空间直角坐标系 综上所述，号≤T.<1,得证 ……(9分) 则B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),E(0,2,1), (3)在an与a+1之间插入n个数，使这n十2个数组成 ………………………………(9分) 等差数列，则这个等差数列的公差为d., 有BC=(0,2,0),C市=(-2，-2,2)，CE=(-2,0,1), 由等差数列通项公式知an+i=a.十(n十l)d., (10分) 将an=2代入得2+1=2十(n十1)dn,解得dn= 设平面BPC的一个法向量为m=(x,y,z), 从而-安可得会…分 24 Bt·m=2y=0 则 ,故可取m=(1,0,1). Cd.m=-2x-2y+2z=0 则数列 一}的前项和M,一+是+是+… ……………………(12分) 设平面PCE的一个法向量为n=(a,b,c), +@， (ci.n=-2a十c=0 则 故可取n=(1,1,2). 两边同乘2得： Cd.n=-2a-2b+2c=0 ……………………………………(14分) 号M=安+层+是+…+”+品@， 3_=3 则cos(m,n》=m·m=2XW后2’ m·n 用①式减去②式得： 合M=+（+++）-2， …(13分) 故平面BPC与平面PCE的夹角的余弦值为 2· 1 2n+ ……………………(15分) 两边同乘2得M,=2-”十2，故数列 1 1 2 )的前n 项的和M,=2-+2 …(15分) 18.解：(1)(i)由题意得AB=2√2， AE=√AD+DE=√2+2=2， BE=√BC+CE=√/2+2=2，…(1分) 17.解：(1)设等比数列{an}的公比为q,根据题意可得 在△ABE中，因为AB=AE2+BE,所以BE⊥AE, |a19+a1=6 ………………………(1分) 又因为PB=√6，PE=DE=√2，BE=2, la19十aq=12 在△BEP中，因为PB=PE+BE,所以BE⊥PE, 解得/02 …(2分） q=2 所以a=2(n∈N*).…(3分) 因为AE∩PE=E,AE、PEC平面PAE, 2+1-2m (2)由(1)知a=2,代人c.得cm=(2-1)(21-1) 所以BE⊥平面PAE. 因为BEC平面ABCE,所以平面ABCEL平面PAE. =2t1-1)-(2-1.1 (2”-1)(2+1-1)-2"-12+1-1 9…(5分) …（3分) 则数列{cn}的前n项和Tm=c1十c2十…十c (i)以E为坐标原点，以EA、EB所在直线分别为x、 y轴， =(2品2+(222)++(2 以平面PAE内过点E垂直于AE的直线为之轴，建立 2）=1-2与…7分) 如图所示的空间直角坐标系。 2 因为nEN”,所以21-1≥3，从而0<2}一≤号， 故Tn<1. ·3· ·数学· 参考答案及解析 则A(2,0,0),B(0,2,0),P(1,0,1),E(0,0,0), √2lcl ……………………(12分) C(-1,1,0), √(9-b)(1-b) 则AB=(-2,2,0),E第=(0,2,0)，E市=(1,0,1)， 设b=cosa,c=sina, Cp=(2,-1,1),……（(4分) 由c>0,不妨取0<a<,则0<号<受， 设平面PBE的一个法向量为m=(x1yM,), E第·m=2y=0 则 所以0<cos号<1， ,取x1=1,则m=(1,0,一1)， Ed.m=x1十x=0 所以sin3= V2sina ………………………………(5分) √(9-cos2a)(1-cosa) 易知平面BEC的一个法向量为p=(0,0,1),… … (6分) 25sin分cos号 由C范=C克=λ(2，-1,1)=(2，-λ，λ)，P克=C克- √g-cosa)1-(1-2sin2受）月 Ci=(2x,-入，a)-(2,-1,1)=(2-2,1-入，1-1). ……(7分) 2 Zsin-号cos受 a 2c0s号 可得点Q到平面BCE的距离为入-以，点Q到平面 √9-cos2a√2sing √9-cosa PBE的距离为12A-2)-Q-1)=1A-1山 ……… 2c0s号 √2 √2 2cos号 …(8分) V9-(2os2-1) √8+4cos2号-4os号 又由点Q到平面BCE的距离是点Q到平面PBE的 cos号 距离的倍，有a=2号×巨解得X=合 …(15分) √2 √2+coe号-cos号 故入的值为号，………………(9分) 令4=cog号∈0,1)， (2)以点E为坐标原点，直线EA,EC分别为x轴，y 轴，过E且垂直平面ABCE的直线为之轴，建立如图 所以sing= W√一+t+2 所示的空间直角坐标系。 V+1+21 设P(a,b,c),因为PE|=√2，|PA=√2， 因为函数y=一t十1、y= IPEl=√a2+6+c2=√2 在0,1上单洞递减， 即 (1|PA|=√(a-2)2+b2+cz=√2 故函数f0=-+1+2在0,1)上单调递减， 所以/a1 故当t(0,1)时，-t+1+2∈(2，十∞)， t l+c2=1' 结合图形不妨取c>0,所以P(1,b,c),…(10分) 所以sing= 1 则Ai=(-2,2,0),P才=(1，-b,-c), V-t+1+2 Pt=(-2,1-b,-c), 所以直线PC与平面PAB所成的角的正弦值的取值 设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,之)， 1AB·n=-2x+2y=0 范围是(0，号)。 …(17分) 则 PA·n=x-by-cz=0 19.解：(1)当a=e+1时，fx)=e-xlnx+x2-(e+1)x, 取x=1,可得=(1,1，） 可得f(x)=e2-lnx+2x-e-2, ………(11分) m(x)=f'(x)=e*-Inx+2x-e-2, 设直线PC与平面PAB所成的角为B, 所以如：高 可得m)=c-士+2，…1分) 2 因为y一心和y=一士在（合十∞）上单调递指，则 V2+(）×4+-6+C m()在（合，+）上单调递增， 4 高三 ·数学· 所以m(x)>e-是十2=>0， 令=三，且y=十lm为单调递增函数，>e, 所以f(x)在（分，十o∞）上单调递增，….(2分） 当>e时，t=g的两个解为x1,4,即 (tx1=e* 则 tz2=e'2 又因为f(1)=e+2-e-2=0, =e4,即x2-x1=ln ,………(12分) I1 所以当x∈(2,1)时，f(x)<0;当x∈(1，+∞)时， 令2=λ，由3x1≤x2,则≥3， f(x)>0, 且x2-x1=(a-1)x1=ln, 所以函数f(x)在（合，+∞）上的单调递减区间是 所以 (2,1),单调递增区间是(1，十o) …(3分) 所以1+1=a-1)A+1)=2-1 x1x2λlnM An,…(14分) (2)由不等式f(x)≤0，可得e-xlnx十x2-ax≤0， 令g)=(x≥3)， 即e>号+x-lx=g+ine-1nx=g+lh xlnx ， 则g'(x)=2x1nx-(x2-1)1+n 因为存在x∈(0，十∞)，使得f(x)≤0成立，则a≥g (xIna)2 =(x2+1)lnx-(x2-1) …(15分) h兰在E0,+o)上有解等价于o(兰+h） (xInx) 令h(x)=(x2+1)lnx-(x2-1)(x≥3)， (6分) 则r(x)=2xinx+士-2x=2alx+子-x= 令1一兰，则函数y=a与函数y-+m:的图象有 交点， z(2nx-1D+2>x(2n3-1D+>0, x 构造函数)-，则t()- 所以h(x)在[3，十∞)单调递增，则h(x)≥h(3)= ,…(7分) 10ln3-8>0, 当0<x<1时，t(x)<0;当x>1时，(x)>0, 所以g(x)>0,则g(x)在[3，十∞)单调递增，则 所以t(x)在(0,1)单调递减，在(1，十∞)单调递增，所 g(x)a=g(3)=3-1=8 以t(x)min=t(l)=e,即t≥e, 3ln3-3ln3' 又函数y=t十lnt在[e,十o∞)单调递增，则(t十lnt)min 又因为十时+女叶a0, =e十lne=e+1,即a≥e+1, 所以实数a的取值范围为[e十1，十∞).…(9分) 所+[品+ …(17分) (3)若函数f(x)有两个零点x,x2,即f(x)=e xlnx十x2一a.x=0有两个不同的解， 由(2)知，即a=+h兰有两个不同的解，… x …………………………………………(10分) ·5 高三数学多维度细目表 学科素养 能力要求 预估难度 学 接受、 分析 问题 逻 数 题号 题型 分值 考查的内容及知识点 数学抽 推 直观想 运 吸收、 和解 探 模 与数 数学 决数 究 学问 次 数 据 信息的 题的 力 能力 能力 析 1 选择题 5 等比数列的性质 低 0.9 3 选择题 5 集合间的关系 低 0.9 3 选择题 5 指数对数比较大小 √ 中 0.8 选择题 几何体的表面积和体积 √ 中 0.8 5 选择题 5 三角恒等变形 √ 中 0.8 6 选择题 5 等差数列基本量的运算 √ 中 0.8 选择题 5 三角函数的图象和性质 0.8 8 选择题 切线方程 高 0.5 9 选择题 6 复数的运算 √ 低 0.8 10 选择题 6 等差数列与递推数列 中 0.7 11 选择题 6 抽象函数 高 0.5 12 填空题 向量的数量积 低 0.9 13 填空题 5 等比数列 中 0.7 14 填空题 5 立体几何综合 高 0.5 15 解答题 13 解三角形 低 0.9 16 解答题 15 空间向量与立体几何（平面与平面的 0.7 夹角) 低 17 解答题 15 数列综合 √ 公 0.65 18 解答题 17 空间向量与立体几何（线面角） 小 高 0.5 19 解答题 17 导数综合 高 0.4 1 命题依据新课标要求，立足教材主干知识，覆盖函数、立体几何、导数，数列，解三解形，三解函数等核心模 块，注重基础概念与基本运算考查。 题 2.试题分层设计，设置基础题、中档题与少量综合题，梯度清晰，兼顾学业检测与区分功能，适配高中生学情。 报 3.强化数学核心素养考查，融入逻辑推理、数学运算、直观想象等素养，设置简单情境题，避免偏题怪题。 告 4.试题注重联系实际，适度设置应用性问题，引导学生运用数学知识解决简单现实问题，同时控制试卷整体 难度与阅读量。高三年级数学期中质量检测 本试卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上 无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.已知数列{an}为等比数列，a2=2,则a1a3= A.2 B.3 C.4 D.8 2.已知集合A={xy=√I一x},B={xx<a},且A二B,则实数a的取值范围为 A.a<1 B.a>1 C.a≥1 D.a≤1 3.设p=27,q=3宁，r=log43,则 A.q<p<r B.p<q<r C.r<q<p D.r<p<q 4.素面高足银杯（如图1）是陕西历史博物馆收藏的唐代金银器典型代表，其造型被证实受到罗马拜 占庭艺术风格影响，是研究唐代贵族生活方式与跨文化融合的关键物证.将银杯仿品主体（如图2） 近似看作半球与圆柱的组合体（假设内壁光滑，杯壁厚度可忽略）.已知杯口直径为6c,酒杯容积 为54πcm3,则其内壁表面积为 图1 图2 A.42πcm B.48πcm C.52πcm2 D.64πcm2 5.已知tana,tan明存在，且cos(a十β)=m,cos(a-B)=一5m,则tanatan3= A- B一受 c. D.m 数学第1页（共4页） 6,某社区为了丰富居民文化生活，开设了9层阶梯式读书角，每层摆放一个书架，每个书架摆放的图 书数量从上到下依次构成数列{an},其中a1,a2,a成等差数列，后7项a3,…,ag也成等差数列，且 a1=1,a4十a6=18,a,=15,则这9层书架上的书一共有 A.81本 B.84本 C.87本 D.90本 7.已知函数f(x)=sin(2wx+)(u>0),若f(x)的图象在[0，π)上有且仅有2条对称轴，则实数” 的取值范围为 A(号，] B[号) c[号) n.(位) 8.已知A,B两点在曲线y=e2上，C,D两点在曲线y=lnx上，设A(x,e),B(x2,e-).当直线AC, BD均为曲线y=e和y=lnx的公切线时，e+的值为 A.1 B.e C.2 D.e2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知复数1=1一i,z2=1十2i,则 A.z1=-1+i B.|x2|=√5 C.z1z2=3+i D若：+2则=号-号 10.已知数列{an}满足an+1十an=4n十2，记数列{an}的前n项和为Sm,则下列说法正确的有 A.对任意n∈N',an+2-an=4 B.S20=240 C.若a1=1,则S21=461 D.当数列{an}是等差数列时，Sg=90 11.设f(x)是定义在整数集Z上的函数，且满足f(0)=1,f(1)=0,若对任意的x,y∈Z都有 f(x+y)+f(x一y)=2f(x)f(y),则下列结论正确的是 A.f(3)=1 B.f(4)=1 C.f(a+4)=f(a),a∈Z D.f(12)+f(22)+f(32)++f(20252)=1012 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a,b的夹角为，a=2,b=1,则(a-2b)·(a+b)= 13设各项均为正数的等比数列{an}的首项a1=2,前n项和为S,且20S0一(20+1)S0十S0=0, 则a5= 数学第2页（共4页） 14.已知正方体ABCD-A1B,CD的棱长为2，点M在线段BC上（不含端点），点N在线段CC,上， 且CN=号CC,若平面AMN截正方体ABCD-A,B,CD,所得的截面为五边形，则线段BM的 长度的取值范围为 B D 6 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且√3 asinC-csin2A=0. (1)求A; (2)若△ABC的面积为√3，b=4,求BC边上的高. 16.(本小题满分15分) 如图，已知多面体ABCDEP中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD,D龙=λA产，λ>0. (1)证明：CE∥平面PAB; (2)设AB=AP=2,当入=时，求平面BCP与平面PCE的夹角的余弦值. 数学第3页（共4页） 17.(本小题满分15分) 已知数列{an}是等比数列，且a2十a1=6,a3十a2=12. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设6一a,-》:a1-D记数列c的前n项和为T,证明：号<工.<1， an (3)在a。与a+1之间插人n个数，使这n十2个数组成一个公差为d.的等差数列，求数列 (侵一}的前n项和M 18.(本小题满分17分) 如图，长方形ABCD中，AB=2√2，BC=√2，若E为线段CD的中点，将△DAE沿AE翻折，使点 D翻折到点P的位置. (1)若PB=√6. ()证明：平面PAE⊥平面ABCE; (i)设C克=λC产，若点Q到平面BCE的距离是点Q到平面PBE的距离的W2倍，求λ的值； (2)求直线PC与平面PAB所成的角的正弦值的取值范围， D 19.(本小题满分17分)》 已知函数f(x)=e2-xlnx十x2一ax(a∈R). (1)若a=e十1，求函数f(x)在(2，+∞）上的单调区间； (2)若存在x∈(0，十∞)，使得f(x)≤0成立，求实数a的取值范围； (3)若函数f(x)有两个零点西，x2,且3x≤2，求十的取值范围. 数学第4页（共4页）