精品解析：黑龙江哈尔滨市第三十二中学校2026-2027学年高三上学期11月期中数学试题

哈32中2026～2027学年度高三上学期期中考试 数学试题 一、单项选择题（每小题5分，共40分，每题只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合 ，，则 （ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. “” 是“”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件 4. 在 中，角 所对的边分别为 ．已知 ，， 则（ ） A. B. C. D. 5. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，设，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 二、多选题（每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知 ，，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 11. 函数的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（     ） A. 的最小正周期为 B. 函数的图象关于点中心对称 C. 函数在上单调递增 D. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. =________． 13. 设的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果，且，那么外接圆的半径为________． 14. 函数的导函数的图象如图所示，则单调递减区间为 ________. 四、解答题（本题共5个题，共77分） 15. 在 中，角 所对的边分别为 ，且 ． （1）求 ； （2）若 ，，求 的面积． 16. 已知函数 ． （1）求 的最小正周期及其单调递增区间； （2）求 在区间 上的值域． 17. （1）已知锐角的终边上一点的坐标为，求； （2）若且，求的值. 18. 已知函数在点处的切线与直线垂直． （1）求； （2）求的单调区间和极值． 19. 已知函数． （1）当时，求的极值点； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，证明：，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈32中2026～2027学年度高三上学期期中考试 数学试题 一、单项选择题（每小题5分，共40分，每题只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合 ，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，所以， 所以. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据特称命题的否定规则，替换量词、保留变量取值范围、否定原结论即可得出答案. 【详解】因为“”的否定是“”，“”不变，“”的否定是， 所以命题“”的否定是. 3. “” 是“”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】因为在上单调递增，所以. 4. 在 中，角 所对的边分别为 ．已知 ，， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知及正弦定理可求，利用大边对大角可知，从而得出结果． 【详解】∵， ∴由正弦定理可得， ，，. 5. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以，所以. 所以曲线在点处的切线方程为，即. 6. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先由含分式和根式的函数定义域可得，再结合指数函数与余弦函数的图象与性质可得解集. 【详解】由题意得，即，所以， 根据余弦函数的图象与性质可得， 故选：A. 7. 已知函数，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的对称性与单调性可将函数值的比较转化为自变量的比较，结合指数函数与对数函数的性质可得解. 【详解】因为的图象关于直线对称，且在上单调递减． 而， 所以， 故选：D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦、余弦、正切二倍角公式，将齐次化即可得出答案. 【详解】由题， 得， 则或， 因为，所以， . 故选：A 二、多选题（每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知 ，，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】因为，由同正可乘方可得，选项A正确； 因为，两边同除可得，选项B正确； 因为，若，则，可得，但当时，，因此选项C错误； 因为，所以，所以，选项D正确. 10. 下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，是奇函数且在上是增函数，A正确； 对于B，是奇函数且分别在和上是增函数，B错误； 对于C，是奇函数且在上是增函数，C正确； 对于D，是偶函数，D错误． 11. 函数的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（     ） A. 的最小正周期为 B. 函数的图象关于点中心对称 C. 函数在上单调递增 D. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 【答案】ABC 【解析】 【分析】借助图象周期求出、再由定点结合范围求出，得出解析式后结合正弦型函数性质可得A、B、C，结合函数图象的平移可得D． 【详解】对于选项A:由题意可得，，故A正确； ， 时，， 又因为，所以， 对于选项B:，当时，有， 故的图象关于点对称，故B正确； 对于选项C:令，则，当时，， 而在单调递增，故C正确； 对于选项D:将函数的图象向右平移个单位， 得到，故D错误． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. =________． 【答案】10 【解析】 【详解】 . 13. 设的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果，且，那么外接圆的半径为________． 【答案】2 【解析】 【分析】由题设化简得，利用余弦定理求得，再利用正弦定理，即可求解外接圆的半径. 【详解】由题意，因为，整理得，即， 由余弦定理，得，又因为，所以， 又由正弦定理可得，所以， 即外接圆的半径为2. 14. 函数的导函数的图象如图所示，则单调递减区间为 ________. 【答案】 【解析】 【详解】由图可得，，所以的单调递减区间为. 四、解答题（本题共5个题，共77分） 15. 在 中，角 所对的边分别为 ，且 ． （1）求 ； （2）若 ，，求 的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将条件转化为角的关系，从而求出的值； （2）利用余弦定理可求的值，再结合三角形的面积公式，从而求出的面积． 【小问1详解】 由 得 ， 由正弦定理可得， 因为 ，所以 ， 又 ，故 ，两边约去 得 ，即 ，又 ，所以 ． 【小问2详解】 由余弦定理， ， 将 ， 代入得 ，解得 ， 所以 的面积 . 16. 已知函数 ． （1）求 的最小正周期及其单调递增区间； （2）求 在区间 上的值域． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由二倍角的正弦和余弦公式、辅助角公式化简即可得出，再由正弦函数的周期公式和单调区间即可求解； （2）由，可得，结合正弦函数的性质即可得出答案. 【小问1详解】 由二倍角公式， ，， 所以 ，所以最小正周期 ， 令 （），解得 ， 故 的单调递增区间为 . 【小问2详解】 当 时，， 由 在 上递增、在上递减，得 ， 当 ，即 时， 取得最大值 ； 当 ，即 时， 取得最小值 ； 所以 在 上的值域为 . 17. （1）已知锐角的终边上一点的坐标为，求； （2）若且，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系和诱导公式求解； （2）利用两角和的正弦、余弦公式求解. 【详解】（1）因为锐角的终边上一点的坐标为，所以， 所以； （2）因为，所以， 且，所以， 所以， 所以. 18. 已知函数在点处的切线与直线垂直． （1）求； （2）求的单调区间和极值． 【答案】（1） （2）单调递增区间为、，单调递减区间为，极大值，极小值 【解析】 【分析】（1）结合导数的几何意义及直线垂直的性质计算即可得； （2）借助导数可讨论单调性，即可得极值. 【小问1详解】 ，则， 由题意可得，解得； 【小问2详解】 由，故， 则，， 故当时，，当时，，当时，， 故的单调递增区间为、，的单调递减区间为， 故有极大值， 有极小值. 19. 已知函数． （1）当时，求的极值点； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，证明：，使得． 【答案】（1）极小值点为1，无极大值点 （2） 当时，在上单调递增． 当时，在区间上，单调递减； 在区间上，单调递增． （3） 当时，， 由（2）知，在上单调递增，， 所以存在，使得，即． 在区间上，单调递减；在区间上，单调递增， 所以当时，取得极小值也即最小值为 ， 由于，所以． 所以，使得． 【解析】 【分析】（1）求导，结合定义域可求得单调区间，进而可求得极小值，无极大值； （2）求导，令。再次求导，分类讨论可求得的单调性； （3）当时，，求导，结合（2）存在，使得，即，求得的单调性，进而求得最小值，可得结论． 【小问1详解】 当时，的定义域为， ， 当单调递减；当单调递增． 所以的极小值点为1，无极大值点． 【小问2详解】 的定义域为， ， 令， 当时，恒成立，所以即在上单调递增． 当时，在区间上，即单调递减； 在区间上，即单调递增． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $