第二十九章《圆》单元测试卷（一）2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十九章 圆 单元测试卷（一） 人教版 九年级上册 数学 本卷满分120分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题（共10小题，每题3分，共30分） 1．下列条件中，可以确定一个圆的是（     ） A．以点为圆心 B．以为半径 C．以点为圆心，为半径 D．经过已知点 2．下列说法中正确的是（     ） A．直径是弦，半径也是弦 B．半圆是弧，但弧不一定是半圆 C．弦就是直径 D．长度相等的两条弧是等弧 3．点为坐标原点，若的半径为，则点与的位置关系是（     ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．不能确定 4．对于命题“如果，那么”，能说明它的逆命题是假命题的反例是（     ） A．， B．， C．， D．， 5．如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心是（   ） A． B． C． D． 6．如图，扇形的圆心角为直角，边长为1的正方形的顶点C、D、E分别在、、上，，交的延长线于点F．则图中阴影部分面积是（     ） A． B． C． D． 7．如图，已知点在上，点在内，和均为直角，的半径为，，则的长度为（） A． B． C． D． 8．如图，在中，以为圆心，为半径画弧，分别交、于点、，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．如图，都是的半径，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在⊙O的内接四边形中，，过点D作的垂线交延长线于E，则下列结论：①平分；②若点C是弧中点，则平行于的某条角平分线；③若，则；④若，则，其中正确的有（　　） A．①③ B．①②④ C．②④ D．①②③④ 第II卷（非选择题） 2、 填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11．一个扇形的弧长为，半径为9，则这个扇形的圆心角为_______________． 12．在中，，，，则此三角形的外接圆的半径长为____________． 13．平面直角坐标系中，以点为圆心，5为半径作，直线与交于B，C两点，则的最小值为______． 14．如图，四边形内接于，连接，已知，且，则的度数为________． 15．如图①为某酒店的圆形旋转门，可看成如图②由外围的和3翼隔风玻璃组成，外围圆有通道和，且它们关于圆心中心对称，圆内的3翼隔风玻璃可绕圆心转动，且所成的夹角，3翼隔风玻璃在转动过程中，始终使大厅内外空气隔离，起到对大厅内保温作用．例如：当隔风玻璃转到如图②位置时，大厅内外空气被隔风玻璃，隔离．则通道所对圆心角的度数的最大值为________． 16．如图，为的直径，点是上一点，点是上的点，四边形为平行四边形，交于点，连接，．若，，，则的长度为________；的长度为________． 3、 解答题（17-20题，每题8分，共32分；21-24题，每题10分，共40分） 17．如图，四边形是正方形，以边为直径作，点在边上，连接交于点，连结并延长交于点． (1)求证：； (2)若，，求的弧长（结果保留） 18．如图，是的内接三角形，是的直径，，．请解答下列问题： (1)求的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积． 19．下面是小宇设计的“作圆的内接正方形”的尺规作图过程． 已知： 求作：的内接正方形． 作法：如图， ①作直径； ②分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点； ③作直线交于，两点； ④连接，，，． 所以四边形是所求作的正方形． (1)使用直尺和圆规，在图中补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下列证明． 证明：由作图可知：，垂足为， ∴． ∴___________=__________=________（在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等）． ∴四边形是菱形（________________________）（填推理的依据） ∵是的直径， ∴（________________________）（填推理的依据） ∴菱形是正方形． 20．课外研学活动中，数学探究小组准备估算古石拱桥拱弧所在圆的半径．这座古桥拱由横截面为矩形的花岗岩条石堆砌修建，上下层条石交错排布，上层石块顶点恰好对齐下层石块长边的中点位置（如图1）．实地勘测后标记拱弧上两点A、B．点A是拱弧的顶端，落在相邻两块条石的接缝位置，B点为花岗岩条石的棱角顶点（如图2）． 小组现场测量：单块花岗岩条石长，高． (1)通过观察，拱桥跨度的长为 ；A到的距离为 ； (2)利用测得的数据，计算这座石拱桥拱弧所在圆的半径． 21．对于及一个矩形给出如下定义：如果上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点，那么称是该矩形的“等距圆”．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，顶点，在轴上，，且的半径为． (1)①在，，中可以成为矩形的“等距圆”的圆心的是________； ②如果点在直线上，且是矩形的“等距圆”，求点的坐标． (2)如果点在边长为的正方形上运动，正方形的中心为，且正方形各边与直线平行或垂直，若是矩形的“等距圆”，则直接写出的取值范围________． 22．【问题原型】如图①，已知圆的半径为2，点是圆上一动点，点是圆外一点，连结，取中点，当点在圆上运动时，判断点的运动轨迹． (1)【问题分析】如图①，小明同学根据点为中点这一特殊条件，决定构造中位线，连结线段，取其中点，根据：“定点+定长定有隐圆”，他猜想点的运动轨迹应该为圆形．请你帮小明同学完成证明过程．以下是证明的部分过程： 证明：连结线段，取中点为，连结、． ∵点为中点，点为中点， ∴为中位线． 证明过程缺失 请你补全上述缺失的证明过程： (2)【简单应用】如图②，已知正方形的边长为4，取中点记为，以为圆心，长为直径作圆，点为圆上一点，连结取其中点，则线段的最大值为________． (3)【灵活运用】如图③，在图2的条件下，在边上取一点，则线段的最小值为________． 23．已知：为的直径，点C、D为上两点，连接、、、，． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点E为弧上一点，连接，，连接交于点F，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的半径的长． 24．在中，是非直径弦，为的中点．将射线绕点逆时针旋转得射线，在上取点，使，若的一条弦以为中点，则这条弦叫作弦的“续转弦”． 已知在平面直角坐标系中，的半径为． (1)如图1，，，．直接写出弦的“续转弦”两个端点的坐标； (2)如图2，若弦的长度为，在图中画出弦的“续转弦”，并直接写出它的长度（用含，的代数式表示）； (3)若，．点在上运动，弦为弦的“续转弦”，点，分别是弦和弦的中点．以为直径作．当点在上或内部时，点也在上或内部，直接写出的取值范围． 第 2 页 共 30 页 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十九章 圆 单元测试卷（一） 人教版 九年级上册 数学 本卷满分120分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题（共10小题，每题3分，共30分） 1．下列条件中，可以确定一个圆的是（     ） A．以点为圆心 B．以为半径 C．以点为圆心，为半径 D．经过已知点 【答案】C 【分析】确定一个圆需同时明确圆心和半径两个必要条件． 【详解】解：A仅给出圆心、B仅给出半径，均不能确定一个圆． C同时给出圆心和半径，可以确定一个圆． D仅给出经过的点，圆心与半径均不确定，不能确定一个圆． 2．下列说法中正确的是（     ） A．直径是弦，半径也是弦 B．半圆是弧，但弧不一定是半圆 C．弦就是直径 D．长度相等的两条弧是等弧 【答案】B 【详解】解：直径是经过圆心的弦，半径一端为圆心不在圆上，不是弦，A错误； 弧是圆上任意两点间的部分，半圆是特殊的弧，弧还包括优弧、劣弧，故半圆是弧，弧不一定是半圆，B正确． 弦不一定过圆心，故弦不都是直径，C错误． 等弧是能够完全重合的弧，需在同圆或等圆中才存在，仅长度相等的弧不一定是等弧，D错误． 3．点为坐标原点，若的半径为，则点与的位置关系是（     ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查圆与点的位置关系，当点与圆心的距离大于半径时，点在圆外；等于半径时，点在圆上；小于半径时，点在圆内． 【详解】解：∵点坐标为，为坐标原点， ∴， ∵的半径， ∴， ∴点在外． 4．对于命题“如果，那么”，能说明它的逆命题是假命题的反例是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：原命题为“如果，那么”，其逆命题为“如果，那么”； 反例需满足逆命题的题设成立且结论不成立，即满足且，只有选项D中，，，，即，且， ∴选项D符合反例要求. 5．如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点，然后根据两点之间的距离公式可知每段线段的大小，根据线段的等量关系求解． 本题考查了三角形的外接圆，平面直角坐标系以及两点之间的距离公式，知道三角形的外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点是解题关键． 【详解】 解： 设外接圆的圆心为点, 外接圆的圆心为三角形三条边中垂线的交点， 由题可知，,, 则作的中垂线交于, 作的中垂线交于, , 设点的坐标为， , ， ， ， 则点的坐标为． 故选: ． 6．如图，扇形的圆心角为直角，边长为1的正方形的顶点C、D、E分别在、、上，，交的延长线于点F．则图中阴影部分面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】阴影部分的面积正好等于长方形的面积，先根据正方形的性质求出扇形的半径，从而求出的长，即可求出长方形的面积． 【详解】解：连接， ∵正方形的边长为1，， ∴，， ∴，，， ，， ∵ ∴， ∴四边形是矩形， ． 7．如图，已知点在上，点在内，和均为直角，的半径为，，则的长度为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两个直角给出；过圆心作弦的垂线，一方面由垂径定理算出圆心到的距离，另一方面借矩形把已知的、搬到辅助线上，再用勾股定理求出，相减即得． 【详解】解：∵，， ∴． 过圆心作于点，延长交的延长线于点（如图）， ∵，且是的弦， ∴点是的中点， ∴． 在中，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，． ∴． 在中，， ∴． ∴． 【点睛】本题考查垂径定理、矩形的判定与勾股定理的综合运用．关键有两步：一是由得，从而两平行线间的距离就是；二是过圆心作弦的垂线，先用垂径定理求出与，再由矩形把搬到、把搬到，由得，最后在中求，由得解． 8．如图，在中，以为圆心，为半径画弧，分别交、于点、，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，利用半径相等及已知条件证得，结合等腰三角形性质与三角形外角性质，通过三角形内角和定理列方程求解． 【详解】解：连接， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 9．如图，都是的半径，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆心角定理可得，再根据，可得，结合等腰三角形的性质和三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 10．如图，在⊙O的内接四边形中，，过点D作的垂线交延长线于E，则下列结论：①平分；②若点C是弧中点，则平行于的某条角平分线；③若，则；④若，则，其中正确的有（　　） A．①③ B．①②④ C．②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】①正确，证明即可；②正确．作平分，证明即可；③错误，应该等于；④正确．利用勾股定理求解即可． 【详解】解：， ，， ， 四边形是的内接四边形， ， ， ， ，即平分，故①正确； 点是中点， ， ， 又， ， 如图所示，作平分， ， ；故②正确； 如图所示，过点作于点， 平分， ， ，， ∴， ， 又，， ∴， ， ， ， 在中，，故③不正确， 若，， ， ， 在中，，故④正确． 第II卷（非选择题） 2、 填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11．一个扇形的弧长为，半径为9，则这个扇形的圆心角为_______________． 【答案】 【分析】已知扇形的弧长与半径，可直接套用弧长公式建立关于圆心角度数的方程，求解得到结果． 【详解】解：设这个扇形的圆心角度数为 ∵扇形弧长公式为，其中为弧长，为扇形半径 ∴代入已知条件，，可得 两边同时除以，得 化简得 解得 即这个扇形的圆心角为． 12．在中，，，，则此三角形的外接圆的半径长为____________． 【答案】 【分析】先通过三边的平方关系判定三角形为直角三角形，再结合直角三角形外接圆的直径等于斜边长的性质计算半径． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ． ∴ 由勾股定理的逆定理可得，是直角三角形，且． ∵ 圆周角为直角时，其所对的弦为圆的直径， ∴ 直角三角形的外接圆直径与斜边长度相等． ∴ 外接圆半径为． 13．平面直角坐标系中，以点为圆心，5为半径作，直线与交于B，C两点，则的最小值为______． 【答案】6 【分析】将直线方程变形为，可知无论取何值，直线恒过定点；由点到圆心的距离（半径），知点在内；过圆内一定点的弦中，与该定点和圆心连线垂直的弦最短，此时结合垂径定理和勾股定理即可求出最短弦长． 【详解】解：， 当时，， 无论取何值，直线恒过定点． 圆心的坐标为， ． 的半径为5，且， 点在内． 连接，过点作于点，由垂径定理，得． 点在直线上，而是点到直线的垂线段， （垂线段最短），当时，最大，此时半弦长最小，弦最短． 在直角三角形中，， 当时，， ， ， 即的最小值为6． 【点睛】①含参直线过定点：把方程整理成的形式，令，含的项消失，即得定点；②过圆内一定点的所有弦中，与定点和圆心连线垂直的弦最短，此时弦心距最大（等于定点到圆心的距离）；③最短弦长用勾股定理求：，再由垂径定理得弦长． 14．如图，四边形内接于，连接，已知，且，则的度数为________． 【答案】 【分析】利用圆内接四边形对角互补的性质结合已知角度比例求出的度数，再根据等弧对等弦判定为等腰三角形，最后利用三角形内角和定理计算的度数． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴． 15．如图①为某酒店的圆形旋转门，可看成如图②由外围的和3翼隔风玻璃组成，外围圆有通道和，且它们关于圆心中心对称，圆内的3翼隔风玻璃可绕圆心转动，且所成的夹角，3翼隔风玻璃在转动过程中，始终使大厅内外空气隔离，起到对大厅内保温作用．例如：当隔风玻璃转到如图②位置时，大厅内外空气被隔风玻璃，隔离．则通道所对圆心角的度数的最大值为________． 【答案】60 【分析】根据中心对称性质可知，结合隔风玻璃夹角为及始终隔离空气的条件，可得与之和不能超过，从而求解． 【详解】解：∵和关于圆心中心对称， ∴， ∵3翼隔风玻璃所成的夹角为，且在转动过程中始终使大厅内外空气隔离， ∴通道和不能同时与隔风玻璃连通， ∴， ∴， ∴， ∴通道所对圆心角的度数的最大值为． 16．如图，为的直径，点是上一点，点是上的点，四边形为平行四边形，交于点，连接，．若，，，则的长度为________；的长度为________． 【答案】 【分析】作于点，作交的延长线于点，连接，设圆的半径为，由垂径定理可得，容易证明四边形是矩形，则．易得四边形是矩形，则，，使用勾股定理分别表示出与，列方程求出，最后计算出的长即可． 【详解】解：如图，作于点，作交的延长线于点，连接，设圆的半径为， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 整理，得， 解得或（负根，舍去）， ∴，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在中，． 3、 解答题（17-20题，每题8分，共32分；21-24题，每题10分，共40分） 17．如图，四边形是正方形，以边为直径作，点在边上，连接交于点，连结并延长交于点． (1)求证：； (2)若，，求的弧长（结果保留） 【答案】(1)证明：四边形是正方形， ，， 是的直径， ， ， ， ， ． 在和中 ， ， (2) 【分析】第问利用正方形性质、直径所对的圆周角是直角，结合同角的余角相等推导角相等，通过证明三角形全等，证得线段相等； 第问先在直角三角形中求出圆周角，结合等腰三角形性质、三角形外角性质求出圆心角，再代入弧长公式计算弧长． 【详解】（1）证明见答案 （2）解：如图所示：连接 ， ， ， ， ， ， 的长为． 18．如图，是的内接三角形，是的直径，，．请解答下列问题： (1)求的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆周角定理可得，再结合是的直径，即可求解； （2）连接，过点作于点，根据直角三角形的性质可得，，再由垂径定理可得，然后根据 ，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 是的直径， ， ； （2）解：如图，连接，过点作于点， 是的直径，， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 即阴影部分的面积为． 19．下面是小宇设计的“作圆的内接正方形”的尺规作图过程． 已知： 求作：的内接正方形． 作法：如图， ①作直径； ②分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点； ③作直线交于，两点； ④连接，，，． 所以四边形是所求作的正方形． (1)使用直尺和圆规，在图中补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下列证明． 证明：由作图可知：，垂足为， ∴． ∴___________=__________=________（在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等）． ∴四边形是菱形（________________________）（填推理的依据） ∵是的直径， ∴（________________________）（填推理的依据） ∴菱形是正方形． 【答案】(1)正方形如图所示： (2)证明：由作图可知：，垂足为， ∴， ∴（在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等）， ∴四边形是菱形（四条边相等的四边形是菱形）， ∵是的直径， ∴（直径所对的圆周角为直角）， ∴菱形是正方形． 【详解】（1）略 （2）略 20．课外研学活动中，数学探究小组准备估算古石拱桥拱弧所在圆的半径．这座古桥拱由横截面为矩形的花岗岩条石堆砌修建，上下层条石交错排布，上层石块顶点恰好对齐下层石块长边的中点位置（如图1）．实地勘测后标记拱弧上两点A、B．点A是拱弧的顶端，落在相邻两块条石的接缝位置，B点为花岗岩条石的棱角顶点（如图2）． 小组现场测量：单块花岗岩条石长，高． (1)通过观察，拱桥跨度的长为 ；A到的距离为 ； (2)利用测得的数据，计算这座石拱桥拱弧所在圆的半径． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）结合花岗岩条石的数量计算即可； （2）设这座石拱桥拱弧所在圆的圆心为O，连接，其中交于点D，则，设圆的半径为，由（1）可知，，根据垂径定理得到，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图， 可知拱桥跨度的长为， A到的距离为； （2）解：如图，设这座石拱桥拱弧所在圆的圆心为O，连接，其中交于点D，则， 设圆的半径为，由（1）可知，， ∵，即， ∴，， ∴， 解得：， 即圆的半径为． 21．对于及一个矩形给出如下定义：如果上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点，那么称是该矩形的“等距圆”．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，顶点，在轴上，，且的半径为． (1)①在，，中可以成为矩形的“等距圆”的圆心的是________； ②如果点在直线上，且是矩形的“等距圆”，求点的坐标． (2)如果点在边长为的正方形上运动，正方形的中心为，且正方形各边与直线平行或垂直，若是矩形的“等距圆”，则直接写出的取值范围________． 【答案】(1) ①，②或 (2) 或 【分析】（1）先用垂直平分线把“到矩形四个顶点距离都相等的点”定位出来，把新定义译成圆心到该点的距离等于半径，再用勾股定理逐一检验与求坐标； （2）由正方形的中心与边的方向求出圆心到正方形上各点距离的最小值与最大值，把存在性化成关于的不等式求解． 【详解】（1）解：∵点，矩形的顶点、在轴上． ∴，点与点的横坐标相同，即． ∵，点、分别在原点两侧． ∴． 设点到、、、四个顶点的距离都相等． ∵． ∴点在线段的垂直平分线上，即轴． ∵． ∴点也在线段的垂直平分线上，仍是轴． ∵． ∴点在线段的垂直平分线上，即直线． ∴这样的点只有点，此点设为，它是矩形两条对角线的交点． ∵． ∴点到四个顶点的距离都相等． ∴是矩形的“等距圆”等价于点在上． ∵的半径为． ∴． ①点． ∵． ∴． ∵． ∴． ∵． ∴． ∴可以成为“等距圆”圆心的是． ②设点． ∵． ∴． ∴． ∴或． ∴点的坐标为或． （2）解：设正方形中心为，记，并设点、分别是正方形上离最近的点与最远的顶点． ∵由（1）的推导，， ∴点在以为圆心、为半径的圆上，又在正方形上， ∵， ∴，即， ∵正方形边长为，各边与直线平行或垂直，也平行于该直线， ∴由勾股定理，， ∵点在正方形上运动，可以取到最小值与最大值之间的每一个值， ∴正方形与该圆有公共点等价于且最小值不大于， ∵， ∴，此时在正方形外， ∴，即， ∴， ∴， 或， 点取在圆与正方形的交点上，线段、、、的位置如图所示． 【点睛】考查线段垂直平分线的性质、矩形的性质、勾股定理与一元二次方程；关键是用两条垂直平分线把新定义中“到四个顶点距离都相等的点”定成矩形对角线的交点，从而把“等距圆”化成，再用正方形上距离的最小值与最大值夹出的范围． 22．【问题原型】如图①，已知圆的半径为2，点是圆上一动点，点是圆外一点，连结，取中点，当点在圆上运动时，判断点的运动轨迹． (1)【问题分析】如图①，小明同学根据点为中点这一特殊条件，决定构造中位线，连结线段，取其中点，根据：“定点+定长定有隐圆”，他猜想点的运动轨迹应该为圆形．请你帮小明同学完成证明过程．以下是证明的部分过程： 证明：连结线段，取中点为，连结、． ∵点为中点，点为中点， ∴为中位线． 证明过程缺失 请你补全上述缺失的证明过程： (2)【简单应用】如图②，已知正方形的边长为4，取中点记为，以为圆心，长为直径作圆，点为圆上一点，连结取其中点，则线段的最大值为________． (3)【灵活运用】如图③，在图2的条件下，在边上取一点，则线段的最小值为________． 【答案】(1)证明：∴， ∵， ∴， ∵点N是定点， ∴点的运动轨迹是以N为圆心，半径为1的圆； (2) (3) 【分析】（1）由中位线定理得，由此即可确定点的运动轨迹应该为圆； （2）连接，取的中点N，连接，由（1）得点Q的运动轨迹是以N为圆心，半径为1的圆，则当点Q、N、D三点共线时，线段取得最大值，利用勾股定理及直角三角形斜边中线的性质即可求解； （3）取的中点N，连接，由（1）得点Q的运动轨迹是以N为圆心，半径为1的圆；取的中点E，连接，过点N作于点F，作点A关于的对称点M，连接，利用矩形的判定与性质及勾股定理可求得的长，当点M、H、Q、N四点共线时，取得最小值，即可求得此时的最小值． 【详解】（1）证明：如图①，连结线段，取中点为，连结、． ∵点为中点，点为中点， ∴为中位线． 补全部分略； （2）解：如图②，连接，取的中点N，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 由（1）得点Q的运动轨迹是以N为圆心，半径为1的圆， ∴， 当点Q、N、D三点共线时，线段取得最大值， 在中，， ∵N为的中点，， ∴， ∴， 即线段取得最大值为； （3）解：如图，取的中点N，连接， 由（1）得点Q的运动轨迹是以N为圆心，半径为1的圆， 取的中点E，连接， 则是的中位线，， ∴，， ∴， 过点N作于点F，作点A关于的对称点M，连接， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由对称知，， ∴， 在中，， ∵， ∴， 当点M、H、Q、N四点共线时，取得最小值，且最小值为． 23．已知：为的直径，点C、D为上两点，连接、、、，． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点E为弧上一点，连接，，连接交于点F，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的半径的长． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即平分； (2)证明：如图，连接、、， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵为的直径， ∴，即， ∴， ∴， ∴； (3)12 【分析】（1）连接，证明得到，再由圆周角定理得，即可证明； （2）连接、、，证明得到，则，进而可得，再由圆周角定理得，由为的直径，得到，则，即可证明； （3）连接，连接并延长交于点，由（1）知，则，根据等腰三角形三线合一的性质得，，再由中位线的性质得，然后在和中，由勾股定理构造方程求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，连接，连接并延长交于点， 由（1）知， ∴， 又∵， ∴，， 又∵， ∴是的中位线， ∴， 设的半径为，则， ∴， ∵，， ∴， 在中，，即， 在中，，即， ∴， 解得或（舍去）， 即的半径的长为12． 24．在中，是非直径弦，为的中点．将射线绕点逆时针旋转得射线，在上取点，使，若的一条弦以为中点，则这条弦叫作弦的“续转弦”． 已知在平面直角坐标系中，的半径为． (1)如图1，，，．直接写出弦的“续转弦”两个端点的坐标； (2)如图2，若弦的长度为，在图中画出弦的“续转弦”，并直接写出它的长度（用含，的代数式表示）； (3)若，．点在上运动，弦为弦的“续转弦”，点，分别是弦和弦的中点．以为直径作．当点在上或内部时，点也在上或内部，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)解：如图，弦即为所求； ； (3). 【分析】（1）根据垂径定理，旋转的性质，推出四边形为矩形，且弦的“续转弦”的其中一个端点为，根据这个结论，得到四边形为矩形，为弦的“续转弦”的一个端点，进而求出另一个端点即可； （2）根据（1）的结论，过点作的垂线段垂足为，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧的交点即为点，延长交于点，即为所求，利用垂径定理求出的长，进而求出的长即可； （3）分点在上半圆和点在下半圆，两种情况进行讨论分析，得到点在上半圆，圆心在以为圆心，1为半径的圆的上半圆上运动，设，求出点恰好在上时的两个临界圆心，再根据题意得到点在这些圆的公共部分，临界状态为点在两个临界圆的公共部分，列出不等式进行求解即可. 【详解】（1）解：如图，在中，是非直径弦，为的中点， ∴，， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴弦的“续转弦”的其中一个端点为； ∵，，， ∴的中点， 由题意，可知四边形为矩形，为弦的“续转弦”的一个端点， ∴， ∵点为“续转弦”的中点， ∴另一个端点为； （2）解：画图略； 由（1）可知，四边形为矩形，，，连接，则， ∵为中点， ∴，， ∴， ∴； （3）解：当点在上半圆时，则为矩形， ， ∴的圆心为的中点，且的半径为1， ∴， ∴点在以为圆心，1为半径的圆的上半圆上运动， 当点在下半圆时，则为矩形， 此时点为的中点， ∵， ∴， 此时，即，点在的外部，不符合题意； ∴点只能在上半圆上运动， 设， ∵ ∴，即， 当点恰好在上时，则， ∴， ∴， ∴， ∴，解得， ∴两个临界圆心是 其中点为两个圆的一个交点，两圆的另一个交点为； ∵当点在上或内部时，点也在上或内部， ∴Q 必须落在这些圆的公共部分， ∵， ∴点在直线上， 如图，临界条件为点在和的公共部分内， 当点在上或内部时，，解得； 当点在上或内部时，，解得； 故. 第 2 页 共 30 页 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $