5.1.2弧度制（导学案）高一数学人教A版必修第一册

5.1.2 弧度制 导学案 1.理解弧度制的意义，掌握角度与弧度的互化，熟记特殊角的弧度数，会用弧度表示角。 2.理解并推导弧长公式 与面积公式 ，能解决弧长、面积及最值问题。 3.经历弧度概念的形成过程，体会类比、转化的思想，感受用实数度量角的简洁性。 学习重点：弧度制的概念，角度与弧度的互化，弧长公式与扇形面积公式。 学习难点：弧度概念的理解（弧长与半径的比值不变）及公式在最值问题中的应用。 预习导学・课前任务 （课前 5 分钟完成，为新课做准备） 1．旧知识回顾（填空） （1）一个周角是______°，1°＝______′；把周角分成 360 等份，每一份就是 1° 的角，这种用“度”作单位来度量角的单位制叫做________。 （2）半径为 、圆心角为 的扇形的弧长 ____________，面积 _______________。 2．新课浅思考（读一读课件情境，想一想） 情境：小明住在一座小岛上，一天早上他发现正东方约 1000 m 处有一艘船正绕着小岛行驶。一小时后，船行驶到东偏北 30° 的位置；又过半小时，行驶到东偏北 45° 的位置。 （1）船由 A 处行驶到 B 处，转过了______°；由 B 处行驶到 C 处，又转过了______°。 （2）船逆时针转动时，转过的角越大，行驶的里程（弧长）就______。 新知自研：自研课本第172--175页的内容． 【学法指导】 自研课本P172--175的内容，思考： ●探究一：角度制与弧度制（弧度制的概念） ◆1.问题引入 活动 1：用一张半圆纸板、一把刻度尺和若干细线，量出半圆的弧长后把细线平均分成 5 份，其中一份弧所对的圆心角就是 36° 的角（如图）。 想一想：用弧长能量出 36° 的角，那么能否直接用弧长来度量任意角的大小？ 为探究弧长与角度的关系，我们从具体的扇形入手。观察下面三个扇形，你发现了什么？ 完成下表，并观察数据，你又发现了什么？ 半径 弧长 __________ __________ ______ __________ __________ __________ __________ __________ 结果：若 ，则 __________，即当圆心角一定时，______________________。 追问 1：若把 60° 换成任意角 ，上述规律还成立吗？______ 追问 2：由 可得，角度制下的弧长公式 ____________（ 为圆心角的度数）。 思考 2：半径为 的圆中，弧长分别为 ，， 的弧所对圆心角的弧度数分别是______，______，______。 追问 3：若把半径 绕圆心顺时针旋转到 ，使弧 的长为 ，则 的弧度数为______。 追问 4：为什么 中要加绝对值？______________________。 ◆2.方法总结 我们规定：长度等于________的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，弧度单位用符号______表示，读作弧度；用弧度作单位来度量角的单位制叫做________。 在半径为 的圆中，弧长为 的弧所对的圆心角为 rad，则 _________，即 _______。 由此可知：正角的弧度数是一个______，负角的弧度数是一个______，零角的弧度数是______；即正角对应正实数，负角对应负实数，零角对应 0。于是，角的集合与__________之间建立起一一对应的关系。 【注】弧度单位“rad”可以省略不写，角度单位“°”不能省略。 ◆3.例题巩固 （1）半径为 2 的圆中，弧长为 3 的弧所对圆心角的弧度数为_________；若一段弧的长为 1，则它所对圆心角的弧度数为_________。 （2）下列说法正确的是（　　） A．1 弧度的角就是长度为半径的弦所对的圆心角 B．1 弧度的角比 1° 的角小 C．半径为 的圆中，弧长 越大，它所对圆心角的弧度数就越大 D．弧度数与角度数可以在同一式子中混用 ●探究二：角度与弧度的互化 ◆1.问题引入 一个周角用角度制度量是________，用弧度制度量是__________，所以 rad，即 rad＝180°。 由此可得： rad≈___________ rad；1 rad＝≈__________。 换算方法：角度化弧度乘 ，弧度化角度乘 。 ◆2.方法总结 填写下列特殊角的度数、弧度数的对应表： 度 弧度 度 弧度 0° ______ 180° ______ 30° __________ 270° __________ 45° __________ 360° ______ 60° __________ 　 　 90° __________ 　 　 120° __________ 　 　 135° __________ 　 　 150° __________ 　 　 问题 2：在单位圆中画出上述各角，并把它们化成弧度。 （请在下图中画出） 【注】角度化弧度时，应先把分、秒化成度；结果一般写成 的形式，不作近似计算；同一问题中不能角度制与弧度制混用。 ◆3.例题巩固 例4 按照下列要求，把 67°30′ 化为弧度：（1）精确值；（2）精确到 0.001 的近似值。 例5 将 3.14 rad 换算成角度（用度数表示，精确到 0.001）。 ●探究三：扇形的弧长及面积公式 ◆1.问题引入 半径为 、圆心角为 的扇形中，由 得弧长 ____________，面积 _______________。 把 化成弧度：___________ rad。记圆心角的弧度数为 ，即 ，代入上面的两式可得 _______，_______________。 又因为 ，所以 ，这与三角形面积公式 的形式完全相同，可以类比记忆。显然，弧度制下的弧长公式和面积公式形式更简单。 ◆2.方法总结 弧长与扇形面积公式的两种表示（已知扇形的半径为 ，弧长为 ，（）或 为其圆心角）： 类别 角度制 弧度制 扇形的弧长 扇形的面积 注意： 是圆心角的弧度数，且 ；用弧度制的公式计算时，式子中不再出现 180 与 360。 ◆3.例题巩固 例6 利用弧度制证明下列关于扇形的公式：（1）；（2）；（3）。其中 是圆的半径，（）为圆心角， 是扇形的弧长， 是扇形的面积。 练习：已知扇形的弧长为 6 cm，面积为 6 cm²，求这个扇形圆心角的弧度数。 【巩固训练1 角度与弧度的互化】 1．（多选）将下列角度与弧度进行互化，正确的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【变式1-1】把下列弧度化为角度：（1）；（2）；（3）；（4）4。 【变式1-2】把下列角度化为弧度：（1）120°；（2）-32°；（3）112°30′。 【变式1-3】把下列各角化成 （，）的形式，并指出它们是哪个象限的角：（1）；（2）-1680°；（3）；（4）755°。 【巩固训练2 扇形弧长与面积公式的应用】 2．已知扇形的周长为 10 cm，面积为 4 cm²，求扇形圆心角的弧度数。 【变式2-1】已知一扇形的圆心角是 150°，半径为 12，求扇形的面积。 【变式2-2】扇形圆心角为 （），周长为 ，面积为 ，所在圆半径为 。（1）若 ， cm，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；（2）若 cm， cm²，求 的值。 【变式2-3】已知一扇形的圆心角为 ，半径为 ，弧长为 。（1）若 ，，求扇形的弧长 ；（2）若扇形的面积为 16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角 。 ▲1、弧度制的概念 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角；半径为 的圆中，弧长 所对的圆心角的弧度数的绝对值 ，即 。正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为 0。弧度制下，角的集合与实数集 R 之间建立了一一对应的关系，角的弧度数就是这个角所对应的实数。 ▲2、角度与弧度的互化 rad＝180°； rad≈0.017 45 rad；1 rad＝≈57.30°。角度化弧度乘 ，弧度化角度乘 ；结果一般写成 的形式，不作近似计算；弧度单位可以省略，角度单位不能省略，同一问题中不能混用。 ▲3、弧长公式与扇形面积公式 类别 角度制 弧度制 扇形的弧长 扇形的面积 注意： 为圆心角的弧度数，且 。若扇形的周长一定，则当 rad 时面积最大；若扇形的面积一定，则当 rad 时周长最小。 ▲4、弧长、面积最值问题的通法 （1）表示：把待求的弧长或面积表示为半径（或圆心角）的函数；（2）求值：根据关系式的特点，从二次函数或基本不等式的角度求最值；（3）注意：自变量的取值范围，以及等号成立的条件。 一、基础巩固 1．弧度化成角度为（   ） A． B． C． D． 2．将化为弧度制的结果是（    ） A． B． C． D． 3．下列转化结果错误的是（    ） A．化成弧度是rad B．化成度是﹣600度 C．化成弧度是rad D．化成度是15度 4．将弧度化为角度：弧度=___________． 5．下列命题中正确的是（    ） A．终边相同的角一定相等； B．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角； C．； D．锐角一定是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角． 6．若角，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 7．半径为2的圆上长度为1的圆弧所对的圆心角的弧度数为（   ） A．4 B．2 C．1 D． 8．已知在半径为的圆上，有一条弧的长是，则该弧所对的圆心角（正角）的弧度数为__________． 9．已知扇形弧长为5，弧所对圆心角为，则该扇形的半径为（   ） A． B． C． D． 10．已知扇形的圆心角为60°，半径为3，则该扇形的圆心角所对的弧长是________，扇形的面积是________． 11．已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积______． 12．已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的面积为_____. 13．一个扇形的弧长与面积都等于3，这个扇形中心角的弧度数为（   ） A． B．1 C． D．2 14．已知扇形的周长为8，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为__________. 15．时间经过1小时40分钟，时针转过的弧度数为（    ） A． B． C． D． 二、能力提升 16．我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.根据此规定，在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为弧度，则.类比三角形的面积公式可得扇形的面积公式.已知一个扇形的周长等于，当这个扇形的面积最大时，该扇形的圆心角等于________弧度． 17．若一圆弧的长等于其所在圆的内接正三角形的边长，那么其圆心角的弧度数是 A． B． C． D．2 18．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是 A．1或4 B．1 C．4 D．8 19．已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为. (1)若，，求扇形的弧长； (2)已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角； (3)若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大? 20．已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径． (1)当，求其弧所在弓形的面积． (2)若该扇形的面积为，当它的圆心角和半径取何值时，该扇形的周长最小？最小值是多少？ 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：____________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会　□审题马虎　□思路没掌握 4．我的改进小计划：____________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1.2 弧度制 导学案（答案版） 1.理解弧度制的意义，掌握角度与弧度的互化，熟记特殊角的弧度数，会用弧度表示角。 2.理解并推导弧长公式 与面积公式 ，能解决弧长、面积及最值问题。 3.经历弧度概念的形成过程，体会类比、转化的思想，感受用实数度量角的简洁性。 学习重点：弧度制的概念，角度与弧度的互化，弧长公式与扇形面积公式。 学习难点：弧度概念的理解（弧长与半径的比值不变）及公式在最值问题中的应用。 预习导学・课前任务 （课前 5 分钟完成，为新课做准备） 1．旧知识回顾（填空） （1）一个周角是360°，1°＝60′；把周角分成 360 等份，每一份就是 1° 的角，这种用“度”作单位来度量角的单位制叫做角度制。 （2）半径为 、圆心角为 的扇形的弧长 ，面积 。 2．新课浅思考（读一读课件情境，想一想） 情境：小明住在一座小岛上，一天早上他发现正东方约 1000 m 处有一艘船正绕着小岛行驶。一小时后，船行驶到东偏北 30° 的位置；又过半小时，行驶到东偏北 45° 的位置。 （1）船由 A 处行驶到 B 处，转过了30°；由 B 处行驶到 C 处，又转过了15°。 （2）船逆时针转动时，转过的角越大，行驶的里程（弧长）就越大。 新知自研：自研课本第172--175页的内容． 【学法指导】 自研课本P172--175的内容，思考： ●探究一：角度制与弧度制（弧度制的概念） ◆1.问题引入 活动 1：用一张半圆纸板、一把刻度尺和若干细线，量出半圆的弧长后把细线平均分成 5 份，其中一份弧所对的圆心角就是 36° 的角（如图）。 想一想：用弧长能量出 36° 的角，那么能否直接用弧长来度量任意角的大小？ 为探究弧长与角度的关系，我们从具体的扇形入手。观察下面三个扇形，你发现了什么？ 完成下表，并观察数据，你又发现了什么？ 半径 弧长 结果：若 ，则 ，即当圆心角一定时，弧长与半径之比等于定值。 追问 1：若把 60° 换成任意角 ，上述规律还成立吗？成立 追问 2：由 可得，角度制下的弧长公式 （ 为圆心角的度数）。 思考 2：半径为 的圆中，弧长分别为 ，， 的弧所对圆心角的弧度数分别是1，2，3。 追问 3：若把半径 绕圆心顺时针旋转到 ，使弧 的长为 ，则 的弧度数为-3。 追问 4：为什么 中要加绝对值？弧长与半径都是正数，比值恒为正，而角有正负。 ◆2.方法总结 我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度；用弧度作单位来度量角的单位制叫做弧度制。 在半径为 的圆中，弧长为 的弧所对的圆心角为 rad，则 ，即 。 由此可知：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0；即正角对应正实数，负角对应负实数，零角对应 0。于是，角的集合与实数集 R之间建立起一一对应的关系。 【注】弧度单位“rad”可以省略不写，角度单位“°”不能省略。 ◆3.例题巩固 （1）半径为 2 的圆中，弧长为 3 的弧所对圆心角的弧度数为；若一段弧的长为 1，则它所对圆心角的弧度数为。 （2）下列说法正确的是（　　） A．1 弧度的角就是长度为半径的弦所对的圆心角 B．1 弧度的角比 1° 的角小 C．半径为 的圆中，弧长 越大，它所对圆心角的弧度数就越大 D．弧度数与角度数可以在同一式子中混用 【答案】C　【提示】1 弧度的角是长度等于半径的“弧”所对的圆心角，A 错；1 rad≈57.30°>1°，B 错；由 知 C 正确；角度制与弧度制不能混用，D 错。 ●探究二：角度与弧度的互化 ◆1.问题引入 一个周角用角度制度量是360°，用弧度制度量是2π rad，所以 rad，即 rad＝180°。 由此可得： rad≈0.017 45 rad；1 rad＝≈57.30°。 换算方法：角度化弧度乘 ，弧度化角度乘 。 ◆2.方法总结 填写下列特殊角的度数、弧度数的对应表： 度 弧度 度 弧度 0° 0 180° 30° 270° 45° 360° 60° 　 　 90° 　 　 120° 　 　 135° 　 　 150° 　 　 问题 2：在单位圆中画出上述各角，并把它们化成弧度。 （参考画法） 【注】角度化弧度时，应先把分、秒化成度；结果一般写成 的形式，不作近似计算；同一问题中不能角度制与弧度制混用。 ◆3.例题巩固 例4 按照下列要求，把 67°30′ 化为弧度：（1）精确值；（2）精确到 0.001 的近似值。 【解答】（1）因为 ，所以 rad＝ rad； 　　（2）利用计算器，得 rad。 例5 将 3.14 rad 换算成角度（用度数表示，精确到 0.001）。 【解答】利用计算器，得 3.14 rad＝≈179.909°。 　　注意：今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，例如角 ，就表示 是 2 rad 的角。 ●探究三：扇形的弧长及面积公式 ◆1.问题引入 半径为 、圆心角为 的扇形中，由 得弧长 ，面积 。 把 化成弧度： rad。记圆心角的弧度数为 ，即 ，代入上面的两式可得 ，。 又因为 ，所以 ，这与三角形面积公式 的形式完全相同，可以类比记忆。显然，弧度制下的弧长公式和面积公式形式更简单。 ◆2.方法总结 弧长与扇形面积公式的两种表示（已知扇形的半径为 ，弧长为 ，（）或 为其圆心角）： 类别 角度制 弧度制 扇形的弧长 扇形的面积 注意： 是圆心角的弧度数，且 ；用弧度制的公式计算时，式子中不再出现 180 与 360。 ◆3.例题巩固 例6 利用弧度制证明下列关于扇形的公式：（1）；（2）；（3）。其中 是圆的半径，（）为圆心角， 是扇形的弧长， 是扇形的面积。 【解答】（1）由公式 得 ，因为 ，所以 ； 　　（2）半径为 、圆心角为 的扇形的面积是 ，而 化为弧度得 ，所以 ； 　　（3）将 代入上式，即得 。 练习：已知扇形的弧长为 6 cm，面积为 6 cm²，求这个扇形圆心角的弧度数。 【解答】由 得 ，所以 ，从而 。故圆心角的弧度数为 3 rad。 【巩固训练1 角度与弧度的互化】 1．（多选）将下列角度与弧度进行互化，正确的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【分析】把“度”乘 化成弧度，把“弧度”乘 化成度，再逐项核对，注意符号与分、秒的处理。 【解答】A 中 ，错误；B、C、D 均正确。故选 BCD。 【变式1-1】把下列弧度化为角度：（1）；（2）；（3）；（4）4。 【解答】（1）；（2）；（3）；（4）。 【变式1-2】把下列角度化为弧度：（1）120°；（2）-32°；（3）112°30′。 【解答】（1）； 　　（2）； 　　（3）。 【变式1-3】把下列各角化成 （，）的形式，并指出它们是哪个象限的角：（1）；（2）-1680°；（3）；（4）755°。 【解答】（1），与 终边相同，是第四象限角； 　　（2），是第二象限角； 　　（3），是第三象限角； 　　（4），是第一象限角。 【巩固训练2 扇形弧长与面积公式的应用】 2．已知扇形的周长为 10 cm，面积为 4 cm²，求扇形圆心角的弧度数。 【分析】设圆心角的弧度数为 （），弧长为 ，半径为 ，由周长与面积列方程组求出 、，再用 求解，最后检验 是否在 内。 【解答】由题意得 ，解得 或 。当 时 ，，不合题意，舍去；当 时 ，。故扇形圆心角的弧度数为 rad。 【变式2-1】已知一扇形的圆心角是 150°，半径为 12，求扇形的面积。 【解答】，，。 【变式2-2】扇形圆心角为 （），周长为 ，面积为 ，所在圆半径为 。（1）若 ， cm，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；（2）若 cm， cm²，求 的值。 【解答】（1），（cm）；弓形面积 （cm²）。 　　（2）由 得 或 ，故 或 。 【变式2-3】已知一扇形的圆心角为 ，半径为 ，弧长为 。（1）若 ，，求扇形的弧长 ；（2）若扇形的面积为 16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角 。 【解答】（1），。 　　（2）由 得 ，扇形周长 ，当且仅当 ，即 时取等号。此时 ，得 。故周长最小值为 16，此时 。 ▲1、弧度制的概念 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角；半径为 的圆中，弧长 所对的圆心角的弧度数的绝对值 ，即 。正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为 0。弧度制下，角的集合与实数集 R 之间建立了一一对应的关系，角的弧度数就是这个角所对应的实数。 ▲2、角度与弧度的互化 rad＝180°； rad≈0.017 45 rad；1 rad＝≈57.30°。角度化弧度乘 ，弧度化角度乘 ；结果一般写成 的形式，不作近似计算；弧度单位可以省略，角度单位不能省略，同一问题中不能混用。 ▲3、弧长公式与扇形面积公式 类别 角度制 弧度制 扇形的弧长 扇形的面积 注意： 为圆心角的弧度数，且 。若扇形的周长一定，则当 rad 时面积最大；若扇形的面积一定，则当 rad 时周长最小。 ▲4、弧长、面积最值问题的通法 （1）表示：把待求的弧长或面积表示为半径（或圆心角）的函数；（2）求值：根据关系式的特点，从二次函数或基本不等式的角度求最值；（3）注意：自变量的取值范围，以及等号成立的条件。 一、基础巩固 1．弧度化成角度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用弧度制与角度制的互化关系进行互化. 【详解】根据角度制与弧度制的互化关系，得. 故选：A 2．将化为弧度制的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角度和弧度的换算公式即可得到答案. 【详解】． 故选：B. 3．下列转化结果错误的是（    ） A．化成弧度是rad B．化成度是﹣600度 C．化成弧度是rad D．化成度是15度 【答案】C 【分析】根据弧度与角度之间的转化关系进行转化，判断选项即可． 【详解】，对于A，，A正确． 对于B，，B正确． 对于C:，C错误． 对于D:，故D正确． 故选：C. 4．将弧度化为角度：弧度=___________． 【答案】20° 【详解】弧度. 5．下列命题中正确的是（    ） A．终边相同的角一定相等； B．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角； C．； D．锐角一定是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角． 【答案】D 【分析】根据三角函数的相关概念依次分析各选项即可得答案. 【详解】解：对于A选项，终边相同的角不一定相等，故A选项错误； 对于B选项，1弧度的角就是长为半径的弧所对的圆心角为1弧度，故B选项错误； 对于C选项，由于，是第三象限角，故； 对于D选项，锐角一定是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角．正确. 故选：D 6．若角，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【分析】根据象限角的定义判断． 【详解】因为，所以是第二象限角． 故选：B． 7．半径为2的圆上长度为1的圆弧所对的圆心角的弧度数为（   ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】由弧度制的定义计算求解. 【详解】半径为2的圆上长度为1的圆弧所对的圆心角的弧度数为. 8．已知在半径为的圆上，有一条弧的长是，则该弧所对的圆心角（正角）的弧度数为__________． 【答案】3 【分析】利用弧度的概念计算即可. 【详解】由题意可知：该弧所对的圆心角（正角）的弧度数为． 故答案为：3 9．已知扇形弧长为5，弧所对圆心角为，则该扇形的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定圆心角对应的弧度，再利用扇形的弧长公式求扇形半径. 【详解】由题设，弧所对圆心角为，且弧长为5，则扇形的半径为. 故选：D 10．已知扇形的圆心角为60°，半径为3，则该扇形的圆心角所对的弧长是________，扇形的面积是________． 【答案】 【分析】先求出圆心角的弧度数，再利用弧长公式和面积公式求解即可. 【详解】解：由已知圆心角为60°，其弧度为， 第一空：该扇形的中心角所对的弧长， 第二空：扇形的面积. 故答案为：； 【点睛】本题考查扇形的弧长公式和面积公式，是基础题. 11．已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积______． 【答案】6 【分析】由扇形的弧长公式、面积公式可得答案. 【详解】因为扇形的弧长为，所以． 故答案为：6． 12．已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的面积为_____. 【答案】2π 【分析】根据扇形的弧长公式求出半径，再计算扇形的面积． 【详解】扇形的圆心角为，弧长为， 则扇形的半径为， 面积为． 故答案为：． 13．一个扇形的弧长与面积都等于3，这个扇形中心角的弧度数为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据弧长公式和扇形面积公式求解即可. 【详解】设扇形的半径为，中心角的弧度数为， 根据弧长公式可得，根据扇形面积公式可得， 将代入可得，，所以. 故选：C. 14．已知扇形的周长为8，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为__________. 【答案】2 【分析】根据扇形的弧长及面积公式计算求出，最后计算求出圆心角即可. 【详解】设扇形的半径为，弧长为， 所以， 所以，所以，， 所以这个扇形圆心角的弧度数为. 故答案为：2. 15．时间经过1小时40分钟，时针转过的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用弧度制定义计算即可得. 【详解】， 故时针转过的弧度数为. 故选：D. 二、能力提升 16．我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.根据此规定，在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为弧度，则.类比三角形的面积公式可得扇形的面积公式.已知一个扇形的周长等于，当这个扇形的面积最大时，该扇形的圆心角等于________弧度． 【答案】 【分析】首先根据扇形周长的构成得到弧长与半径的关系式，把扇形面积公式中的用上述关系式替换，得到面积关于半径的函数，求该函数的最大值，得到面积最大时对应的的值，再反推对应的弧长，最后根据圆心角公式计算圆心角. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，可得，其中， 将代入得： ， 当时，面积取得最大值， 此时对应的弧长，弧度. 17．若一圆弧的长等于其所在圆的内接正三角形的边长，那么其圆心角的弧度数是 A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】试题分析：设圆半径为r则由平面几何知识，内接正三角形的边长为r，所以由弧度制定义知，其圆心角的弧度数是r÷r=,故选C． 考点：本题主要考查角度制与弧度制的概念及其互化． 点评：牢记概念，并注意两种度量制度的转化． 18．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是 A．1或4 B．1 C．4 D．8 【答案】A 【分析】设扇形的弧长为，半径为，进而得，再解方程，并根据求解即可. 【详解】解：设扇形的弧长为，半径为，所以，解得：，或， 所以，圆心角的弧度数是或. 故选：A 19．已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为. (1)若，，求扇形的弧长； (2)已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角； (3)若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大? 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据扇形的弧长公式进行计算即可． （2）根据扇形的周长公式以及面积公式建立方程关系进行求解； （3）根据扇形的扇形公式结合基本不等式的应用进行求解即可． 【详解】（1）由题意知，所以弧长. （2）由题意得，解得（舍），，故扇形圆心角为. （3）由题意知， 所以， 所以当时，取得最大值，此时，. 20．已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径． (1)当，求其弧所在弓形的面积． (2)若该扇形的面积为，当它的圆心角和半径取何值时，该扇形的周长最小？最小值是多少？ 【答案】(1) (2)当扇形圆心角为，半径为时，该扇形的周长最小，最小为. 【分析】（1）由扇形面积公式可得扇形面积，再减去三角形面积即可得所求弓形面积； （2）由扇形面积公式，得(定值)，利用基本不等式求周长即的最小值即可. 【详解】（1） 由题意，当时，扇形面积； 如图，扇形中，连接，则， 所以是正三角形，则， 故所求弓形面积为； （2）设扇形弧长为，由已知扇形的面积，则， 则扇形的周长， 当且仅当，即时等号成立， 此时半径为，圆心角，该扇形的周长最小，最小为. 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：____________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会　□审题马虎　□思路没掌握 4．我的改进小计划：____________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $