5.1任意角和弧度制导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.1 任意角和弧度制 【学习目标】 • 1. 理解任意角（正角、负角、零角）、象限角与终边相同的角的概念。（数学抽象） • 2. 理解弧度制的含义，能熟练进行角度与弧度的互化。（数学运算） • 3. 掌握弧长公式与扇形面积公式，能解决实际问题。（数学建模、数学运算） • 4. 体会"用实数刻画角"的思想：弧度制让角与实数一一对应，是三角函数成为实函数的前提。（逻辑推理） 一、新知引入 【问题1·转不停】体操运动员转体 720°、1080°，这些角超过 360° 了，还能叫"角"吗？该怎么描述？ 【问题2·有方向】顺时针旋转与逆时针旋转形成的角一样吗？能否用正负区分？ 【问题3·换个尺子】角度制把一周分成 360 份，这个 360 是人为规定的。能不能换一种更"自然"的分法？ 我的猜想：角可以大于 ____ 度、可以为 ____ 数；用"____ 长度等于半径"来定义 1 弧度更自然。 二、知识梳理 （一）任意角 1. 按旋转方向分：逆时针旋转形成的角叫 ____ 角；顺时针旋转形成的角叫 ____ 角；没有旋转时叫 ____ 角。 2. 象限角：把角的顶点与原点重合、始边与 x 轴非负半轴重合，若终边落在第几象限，就说这个角是第几 ____ 角；终边落在坐标轴上时，它 ____（填"属于"或"不属于"）任何象限。 3. 终边相同的角：所有与角 α 终边相同的角（含 α）组成的集合为 {β | β = ____，k∈ℤ}（角度制）；用弧度制表示为 {β | β = ____，k∈ℤ}。 （二）弧度制 1. 定义：长度等于 ____ 的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，记作 1 ____。 2. 换算：360° = ____ rad；180° = ____ rad；1° = ____ rad ≈ 0.01745 rad；1 rad = ____ 度 ≈ 57.30°。 3. 常用角：30°=____；45°=____；60°=____；90°=____；120°=____；150°=____；270°=____。 （三）弧长与扇形面积公式（α 为弧度） 1. 弧长公式：l = ____（其中 α 为圆心角的 ____ 数，r 为半径）。 2. 扇形面积公式：S = ____ = ____（分别用弧长和圆心角表示）。 三、典型例题 例1.(1) 判断 −210°、600° 是第几象限角；(2) 写出与 −60° 终边相同的角的集合 S，并指出 S 中在 −360°~720° 范围内的角。 例2.(1) 把 67°30′ 化成弧度；(2) 把 rad 化成角度。 例3.已知扇形半径为 6 cm，圆心角为 120°。(1) 求弧长；(2) 求扇形面积；(3) 求扇形周长。 例4.用一根长为 20 cm 的铁丝弯成一个扇形，问半径多大时扇形面积最大？最大面积是多少？ 例5.已知 α 是第二象限角，试判断 是第几象限角，并说明理由。 四、变式探究 【变式1】把 化成角度；把 −225° 化成弧度。 【变式2】半径为 4、圆心角所对弧长为 6 的扇形，求圆心角的弧度数与扇形面积。 【探究】为什么数学中（尤其是三角函数）更偏爱弧度制而不是角度制？弧度制带来了什么便利？ 五、分层训练 基础巩固（人人过关） 1. 480° 是第 ____ 象限角；−120° 是第 ____ 象限角。 2. 与 30° 终边相同的角的集合为 {β | β = ____，k∈____}。 3. 换算：45° = ____ rad； = ____ 度。 4. 弧长公式 l = ____（α 必须用 ____ 制）；扇形面积 S = ____。 5. 半径为 3、圆心角为 2 rad 的扇形，弧长 = ____，面积 = ____。 能力提升（+做） 6. 写出终边在 y 轴上的角的集合（用弧度制表示）。 7. 已知扇形圆心角为 60°，半径为 12，求弧长、面积与周长。 8. 把 −1000° 化成 α+k·360°（0°≤α<360°，k∈ℤ）的形式，并指出它是第几象限角。 拓展挑战（+做） 9. 扇形周长为定值 C，求面积最大时的半径与圆心角。 10. 已知 α 为第三象限角，判断 是第几象限角（需分类讨论）。 11. 已知扇形面积为定值 S，求周长最小时的半径。 六、课堂小结 我的疑问与收获： 七、课后作业 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1 任意角和弧度制 高中数学·必修第一册（人教A版2019）教案（教师版·详案） ◆ 教学设计说明（课前必读） 【课时】 建议 2 课时。第1课时：任意角（正角/负角/零角、象限角、终边相同的角）；第2课时：弧度制（定义、换算、弧长与扇形面积公式）。 【重难点】 重点：任意角的概念与终边相同的角的表示、弧度与角度的换算、弧长与扇形面积公式。难点：① 终边相同的角用集合表示时"角度制 k·360°"与"弧度制 2kπ"不能混写；② 弧度制书写时不带"°"；③ 扇形周长/面积最值问题中把弧长与半径的关系理清。 【分层策略】 普通班：判断象限角+简单互化+直接套弧长面积公式；重点班：+终边相同角的集合运算+轴线角讨论；清北班：+扇形最值（基本不等式）+含参角的象限讨论。 【板书】 左：任意角分类（正/负/零）+ 象限角与轴线角判定；中：终边相同角 β=α+k·360°=α+2kπ（k∈ℤ）；右：弧度定义 + 换算 + 弧长 l=|α|r、面积 S=lr=|α|r²。 【衔接】 初中角限于 0°~360°，本节打破这一限制——正因为角可以无限旋转，才有"终边相同"和"周期"，5.4 的周期性正源于此。 【学习目标】（对标数学核心素养） • 1. 理解任意角（正角、负角、零角）、象限角与终边相同的角的概念。（数学抽象） • 2. 理解弧度制的含义，能熟练进行角度与弧度的互化。（数学运算） • 3. 掌握弧长公式与扇形面积公式，能解决实际问题。（数学建模、数学运算） • 4. 体会"用实数刻画角"的思想：弧度制让角与实数一一对应，是三角函数成为实函数的前提。（逻辑推理） 【强调】 弧度制下角度不带"°"符号——写 2 就表示 2 弧度。混写（如 2π+30°）是概念不清的典型表现。 一、新知引入（约6分钟） 【问题1·转不停】体操运动员转体 720°、1080°，这些角超过 360° 了，还能叫"角"吗？该怎么描述？ 【问题2·有方向】顺时针旋转与逆时针旋转形成的角一样吗？能否用正负区分？ 【问题3·换个尺子】角度制把一周分成 360 份，这个 360 是人为规定的。能不能换一种更"自然"的分法？ 我的猜想：角可以大于 ____ 度、可以为 ____ 数；用"____ 长度等于半径"来定义 1 弧度更自然。 【师生活动】 问题1 用体操转体打破 360° 上限；问题2 引入方向（正负角）；问题3 质疑 360 的人为性，自然过渡到弧度制。 【设计意图】 从"角能不能超过 360°"和"360 凭什么是 360"两个追问切入，让新概念有生长的土壤。 【讲解·如何讲清】 弧度制的"自然"之处：1 弧度 = 弧长等于半径时所对的圆心角。它不依赖任何人为数字，直接由圆本身的几何性质定义。 二、知识梳理（约16分钟，学生先填，教师再讲） （一）任意角 1. 按旋转方向分：逆时针旋转形成的角叫 ____ 角；顺时针旋转形成的角叫 ____ 角；没有旋转时叫 ____ 角。 2. 象限角：把角的顶点与原点重合、始边与 x 轴非负半轴重合，若终边落在第几象限，就说这个角是第几 ____ 角；终边落在坐标轴上时，它 ____（填"属于"/"不属于"）任何象限。 3. 终边相同的角：所有与角 α 终边相同的角（含 α）组成的集合为 {β | β = ____，k∈ℤ}（角度制）；用弧度制表示为 {β | β = ____，k∈ℤ}。 【重点】 "终边相同"的差值是周角的整数倍：角度制写 k·360°，弧度制写 2kπ，k∈ℤ。两者绝不能混在一个式子里。 【易错】 ① 把终边相同的角写成 α+k·180°（应是 360° 的整数倍，180° 只在终边成一直线时成立）；② 漏写 k∈ℤ；③ 认为"锐角都是第一象限角"的逆命题成立（第一象限角不一定是锐角，如 400°）。 （二）弧度制 1. 定义：长度等于 ____ 的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，记作 1 ____。 2. 换算：360° = ____ rad；180° = ____ rad；1° = ____ rad ≈ 0.01745 rad；1 rad = ____ 度 ≈ 57.30°。 3. 常用角：30°=____；45°=____；60°=____；90°=____；120°=____；150°=____；270°=____。 【重点】 换算只需记住 π rad = 180°，其余都是它的分数倍：30°=、45°=、60°=、90°=。建议让学生背熟这张表，后面全靠它。 （三）弧长与扇形面积公式（α 为弧度） 1. 弧长公式：l = ____（其中 α 为圆心角的 ____ 数，r 为半径）。 2. 扇形面积公式：S = ____ = ____（分别用弧长和圆心角表示）。 【重点】 两个公式都要求 α 用弧度！若给的是角度，必须先化成弧度再代入。这是最高频的失分点。 【讲解·如何讲清】 扇形面积 S=lr 可以类比三角形面积"底×高÷2"——把扇形看成"以弧长为底、半径为高"的曲边三角形，学生一下就记住了。 【对应练习】 讲完任意角→做例1、训练1~3；讲完弧度制→做例2、训练4~6；讲完弧长面积→做例3、训练7~9；讲完最值→做例4、例5、训练10~12。 三、典型例题（约18分钟） 例1（基础·任意角）(1) 判断 −210°、600° 是第几象限角；(2) 写出与 −60° 终边相同的角的集合 S，并指出 S 中在 −360°~720° 范围内的角。 【详解】 ①−210°：加上 360° 化为 0°~360° 内的同终边角 → −210°+360°=150°， 　 90°<150°<180° → 第二象限角。 ②600°：600°−360°=240°，180°<240°<270° → 第三象限角。 ③(2) 与 −60° 终边相同的角：S={β | β = −60° + k·360°，k∈Z}。 ④在 −360°~720° 内取值：k=0 → −60°；k=1 → 300°；k=2 → 660°；k=−1 → −420°（小于 −360°，舍去）。 答案：(1) −210° 是第二象限角，600° 是第三象限角；(2) S={β|β=−60°+k·360°，k∈Z}， 　 其中在 −360°~720° 内的角为 −60°、300°、660°。 【讲解·如何讲清】 判象限的通用手法：把角加减 360° 的整数倍，化到 0°~360° 范围内再看终边位置。负数角就"加 360°"，大角就"减 360°"。 【对应练习】 做分层训练1、2、3。 例2（基础·角度与弧度互化）(1) 把 67°30′ 化成弧度；(2) 把 rad 化成角度。 【详解】 ①(1) 67°30′ = 67.5°，化为弧度：67.5× = 。 ②(2) rad 化为角度：×180° = 108°。 换算关系：1° = rad，1 rad = ()° ≈ 57.3°。 【易错】 带分的角度先化成小数或分数（30′=0.5°）再换算；结果带 π 时不要写成小数近似，除非题目要求。 【对应练习 做分层训练4、5、6。 例3（提高·弧长与面积）已知扇形半径为 6 cm，圆心角为 120°。(1) 求弧长；(2) 求扇形面积；(3) 求扇形周长。 【详解】 先把圆心角化为弧度：120° = 120×π/180 = 2π/3。 ①弧长 l = |α|·R = ×6 = 4π（cm）≈ 12.57 cm。 ②面积 S =|α|R² =××36 = 12π（cm²）； 　 也可用 S=lR =×4π×6 = 12π，结果一致。 ③周长 = 2R + l = 12 + 4π（cm）≈ 24.57 cm。 ★提醒：弧长、面积公式中的角必须用弧度制，用角度制要先换算。 【讲解·如何讲清】 强调"先化弧度"这一步单独写出来，养成习惯。扇形周长 = 弧长 + 两条半径，别漏了 2r。 【对应练习】 做分层训练7、8、9。 例4（提高·扇形最值）用一根长为 20 cm 的铁丝弯成一个扇形，问半径多大时扇形面积最大？最大面积是多少？ 【详解】 ①设半径为 R，则弧长 l = 20 − 2R（周长 = 2R + l = 20），需 R>0 且 l>0 → 0<R<10。 ②面积 S =lR = (20−2R)R = (10−R)R = −R² + 10R = −(R−5)² + 25。 ③当 R=5 时 S 最大，为 25 cm²；此时 l = 20−10 = 10，圆心角 α = = 2（rad）。 答案：半径为 5 cm 时面积最大，最大面积 25 cm²（此时圆心角为 2 rad）。 【讲解·如何讲清】 "周长定、面积最大"是二次函数最值问题。也可用基本不等式：S=lr，且 2r+l=20 定值，当 2r=l=10 时取等号。两条路都通，可对比讲解。 例5（拓展·清北）已知 α 是第二象限角，试判断 是第几象限角，并说明理由。 【详解】 ①由 α 是第二象限角： + 2kπ < α < π + 2kπ（k∈Z）。 ②各边除以 2： + kπ < < + kπ。 ③按 k 的奇偶讨论： 　 k 为偶数（k=2n）： + 2nπ < < + 2nπ → 第一象限角； 　 k 为奇数（k=2n+1）：+π+2nπ < < +π+2nπ，即 +2nπ < < +2nπ → 第三象限角。 答案： 是第一或第三象限角。 ★方法：半角、倍角的象限判断一律“写出不等式后按 k 的奇偶分类”。 【讲解·如何讲清】 "知 α 求 "的通用解法：写出 α 的范围不等式（务必带 +2kπ），再整体除以 n，最后按 k 的奇偶（n=2）或模 3（n=3）分类讨论。 四、变式探究（约5分钟） 【变式1】把 化成角度；把 −225° 化成弧度。 【详解】 ① = ×180° = 75°； ②−225° = −225× = 。 【变式2】半径为 4、圆心角所对弧长为 6 的扇形，求圆心角的弧度数与扇形面积。 【详解】 ①圆心角（弧度）α = =（rad）（约 85.9°）。 ②面积 S =lR =×6×4 = 12。 答案：圆心角为 rad，扇形面积为 12。 【探究】为什么数学中（尤其三角函数）更偏爱弧度制而不是角度制？弧度制带来了什么便利？ 【详解】 ①公式更简洁：弧度制下弧长 l=αR、面积 S=αR²，若用角度制需带上的换算因子。 ②统一量纲：弧度是“弧长与半径之比”，是两个长度的比，本质上是实数， 　 这样三角函数的自变量与函数值都是实数，与函数、极限、导数自然衔接。 【师生活动】 变式1 巩固双向互化；变式2 用弧长反求圆心角；探究题上升到"为什么用弧度"的层面，为后续三角函数作铺垫。 五、分层训练（课堂/课后均可） 【选题说明】 普通班保底象限判定+互化+套公式；重点班加终边相同角集合+轴线角讨论；清北班加扇形最值与半角象限讨论。 【普通班】基础巩固（人人过关） 1. 480° 是第 ____ 象限角；−120° 是第 ____ 象限角。 【详解】 ①480° − 360° = 120°，90°<120°<180° → 第二象限角； ②−120° + 360° = 240°，180°<240°<270° → 第三象限角。 答案：二；三。 2. 与 30° 终边相同的角的集合为 {β | β = ____，k∈____}。 【详解】 {β | β = 30° + k·360°，k∈Z}。 3. 换算：45° = ____ rad； = ____ 度。 【详解】 45° = 45× = rad； = ×180° = 60°。 答案：；60。 4. 弧长公式 l = ____（α 必须用 ____ 制）；扇形面积 S = ____。 【详解】 l = |α|·R（α 必须用弧度制）；S =|α|R² =lR。 5. 半径为 3、圆心角为 2 rad 的扇形，弧长 = ____，面积 = ____。 【详解】 l = |α|R = 2×3 = 6；S = |α|R² = ×2×9 = 9。 答案：弧长 6，面积 9。 【重点班】能力提升（+做） 6. 写出终边在 y 轴上的角的集合（用弧度制表示）。 【详解】 终边在 y 轴正半轴：β = + 2kπ；在 y 轴负半轴：β = + 2kπ（或 − +2kπ）。 合并：{β | β = + kπ，k∈Z}。 7. 已知扇形圆心角为 60°，半径为 12，求弧长、面积与周长。 【详解】 60° = rad。 ①弧长 l =×12 = 4π； ②面积 S =×4π×12 = 24π； ③周长 = 2×12 + 4π = 24 + 4π。 答案：弧长 4π，面积 24π，周长 24+4π。 8. 把 −1000° 化成 α+k·360°（0°≤α<360°，k∈ℤ）的形式，并指出它是第几象限角。 【详解】 ①−1000° + 3×360° = −1000° + 1080° = 80°，故 −1000° = 80° + (−3)×360°。 ②80° 满足 0°<80°<90° → 第一象限角。 答案：−1000° = 80° − 3×360°（即 α=80°，k=−3），是第一象限角。 【清北班】拓展挑战（+做） 9. 扇形周长为定值 C，求面积最大时的半径与圆心角。 【详解】 ①设半径 R，则 l = C − 2R，面积 S = lR = (C−2R)R = R − R²。 ②配方：S = −(R − )² + → 当 R = 时 S 最大，为 。 ③此时 l = C − 2= ，圆心角 α = = = 2（rad）。 答案：半径 R = 、圆心角 2 rad 时面4积最大（与 C 的具体数值无关，这是个通用结论）。 10. 已知 α 为第三象限角，判断 是第几象限角（需分类讨论）。 【详解】 ①π + 2kπ < α < + 2kπ → + kπ < < + kπ。 ②k 为偶数（k=2n）： +2nπ < < +2nπ → 第二象限角； ③k 为奇数（k=2n+1）：+π+2nπ < < +π+2nπ，即 +2nπ < <+2nπ → 第四象限角。 答案： 是第二或第四象限角。 11. 已知扇形面积为定值 S，求周长最小时的半径。 【详解】 ①由 S =αR² 且 l = αR，消去 α 得 l =。 ②周长 P = 2R + l = 2R + （R>0）。 ③由基本不等式：2R + ≥ 2 = 2= 4， 　 等号当且仅当 2R = ，即 R² = S → R = 。 答案：周长最小时 R = （此时弧长 l = 2，圆心角 α = 2 rad，最小周长 4）。 【对应练习·闭环] 例1↔训练1、2、8；例2↔训练3；例3↔训练5、7；例4↔训练9、11；例5↔训练10。 六、课堂小结（约2分钟） 1. 任意角：正/负/零；象限角与轴线角；终边相同的角差 k·360°（或 2kπ）。 2. 弧度制：π rad = 180°；常用角表要背熟；书写不带"°"。 3. 弧长 l=|α|r、面积 S=lr（α 必须用弧度）；扇形周长 = l+2r。 我的疑问与收获： 【流程】 闭卷默写：终边相同角集合（两种制）+ 常用角弧度表 + 弧长面积公式；教师补全板书。 【板书设计】 左：任意角分类与象限判定；中：终边相同角 β=α+k·360°=α+2kπ；右：弧度定义+换算表+弧长面积公式+例3、例4。 七、课后作业（分层布置） ● 普通班：课本 P173 练习 1~4；分层训练 1~5。 ● 重点班：课本练习全做；分层训练 1~8，整理"角度弧度互化"错题 2 道。 ● 清北班：课本练习全做 + 分层训练 1~11，另做"扇形最值"探究题 1 道。 【反思】 下节课前抽测：①口述终边相同角集合（两种制各写一遍）；②把 150°、互化；③半径 4、圆心角 90° 的扇形弧长与面积。5.2 学三角函数的概念——角已经能任意取值了，下一步是给每个角配上三角函数值。 学科网（北京）股份有限公司 $