5.1.2 弧度制（导学案）数学人教A版2019必修第一册

5.1.2 弧度制 导学案 1.了解弧度制,明确1弧度的含义. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式. 教学重点：1.弧度制的意义；2.角度与弧度的互化.弧度制下；3.弧长和扇形面积公式的运用． 教学难点：能灵活运用弧长公式、扇形面积公式解决问题。 温故知新 知识点一　度量角的两种单位制 (1)角度制 ①定义：用 作为单位来度量角的单位制． ②1度的角：周角的 为1度的角，记作1°. (2)弧度制 ①定义：以 作为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ③表示方法：1弧度记作 ． 知识点二　弧度数的计算及弧度与角度互化 (1)弧度数的计算 (2)弧度与角度的互化 (3)一些特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 π 知识点三　扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l＝ ． (2)扇形面积公式：S＝ ＝ ． 导入1：披萨店的“弧度优惠” 【情景】“本店推出‘弧度披萨’：按圆心角（弧度）计价！π/3弧度的披萨售价30元，π/2弧度售价45元，请问π弧度披萨多少钱？” 导入2：导航软件的“弯道提示” “高德地图提示：前方500米有连续弯道，转弯角度共1.5弧度。司机如何估算弯道总长度？” 同学们，本节课题目中有弧度二字，大家想到了什么？是否想到了足球射门的弧度、篮球投篮的弧度？我们认知的弧度是非常简单的形状，也正是因为有了弧度才完美，比如：海浪因弧度而活跃；嘴角因弧度而美丽；月有阴晴圆缺，正因有弧度而富有神韵．而在我们数学中，正是因为弧度的引入，给数学学科带来了巨大的改变． 探究点1：1弧度有多大？ 一、弧度制的概念 量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制．不同的单位制能给解决问题带来方便．角的度量是否也能用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？ 问题1　在初中学过的角度中，1度的角是如何规定的？在给定半径的圆中，当弧长一定时，圆心角确定吗？ 提示　1度的角等于周角的.圆心角是确定的． 我们知道，角可以用度为单位进行度量，1度的角等于周角的．这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． 下面介绍在数学和其他科学研究中经常采用的另一种度量角的单位制——弧度制． 如图5.1-9，射线OA绕端点O旋转到OB形成角，在旋转过程中，射线OA上的一点P（不同于点O）的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角． 设，，点P所形成的圆弧的长为．由初中所学知识可知， 于是 ． 探究 问题2　如图5.1-10，在射线OA上任取一点Q（不同于点O），．在旋转过程中，点Q所形成的圆弧的长为．与的比值是多少？你能得出什么结论？ 探究点2：为什么数学家偏爱弧度？ 可以发现，圆心角所对的弧长与半径的比值，只与的大小有关．也就是说，这个比值随的确定而唯一确定．这就启发我们，可以利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角． 我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度（radian）的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度． 我们把半径为1的圆叫做单位圆．如图5.1-11，在单位圆O中，的长等于1，就是1弧度的角． 根据上述规定，在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为，那么 其中，的正负由角的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负．当角的终边旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数大于或小于的角．这样就可以得到弧度为任意大小的角． 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． 公元6世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念。欧拉是明确提出弧度制思想的数学家．1748年，在他的一部划时代著作《无穷小分析概论》中，提出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一个圆周角等于弧度，1弧度等于周角的．这一思想将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角公式及计算． 二、角度制与弧度制的相互转化 问题3　根据公式|α|＝，你能得出圆周角的弧度数吗？ 探究 角度制、弧度制都是角的度量制，它们之间应该可以换算．如何换算呢？ 提示　因为半径为r的圆的周长为l＝2πr，故圆周角的弧度数α＝2π，而圆周角的角度数是360°，于是我们有了弧度与角度的换算关系． 用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同（都是0）；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不同．因为周角的弧度数是，而在角度制下的度数是360，所以 ，， ． 反过来有 ． 一般地，只需根据 就可以进行弧度与角度的换算了． 例4 按照下列要求，把化成弧度： （1）精确值； （2）精确到的近似值． 【变式】化为弧度为（    ） A．– B． C．– D．– 例5 将换算成角度（用度数表示，精确到）． 【变式】下列转化结果正确的是（    ） A．60°化成弧度是 B．－π化成度是－660° C．－150°化成弧度是－π D．化成度是15° 今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数．例如，角就表示是的角；就表示的角的正弦，即． 填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表： 度 弧度 角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数（等于这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应（图5.1-12）． 探究点3：扇形面积公式的“极简之美” 问题3　我们初中所学扇形的弧长和面积公式是什么？ 例6 利用弧度制证明下列关于扇形的公式： （1）； （2）； （3）． 其中R是圆的半径，为圆心角，是扇形的弧长，S是扇形的面积． 显然，弧度制下的弧长公式和扇形面积公式形式简单了．在今后的学习中，我们还将进一步看到弧度制带来的使得． 【变式】已知某扇形的半径为，圆心角为，则此扇形的面积为（    ） A． B． C． D．    1.（24-25高一下·安徽·阶段练习）将75°化为弧度是（    ） A． B． C． D． 2.（多选题）（24-25高一下·全国·周测）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 3.（24-25高一下·广西梧州·期末）体操中有“后空翻转体720度”的动作，其中“720度”等于（    ） A．弧度 B．弧度 C．弧度 D．弧度 4.（24-25高一上·全国·课后作业）关于弧度制，下列说法正确的是（    ） A．正角或者负角的弧度数都是正数 B．四分之一圆所对的圆心角是 C．角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，角的终边旋转一周得到的角的大小等于 D．用角度制和弧度制度量角，角的大小都与圆的半径有关 5.（23-24高一上·甘肃白银·期末）春秋战国时期，为指导农耕，我国诞生了表示季节变迁的24节气．它将黄道（地球绕太阳按逆时针方向公转的轨道，可近似地看作圆）分为24等份，每等份为一个节气，2022年10月8日为寒露，经过霜降､立冬､小雪及大雪后，便是冬至，则从寒露到冬至，地球公转的弧度数约为（    ） A． B． C． D． 6.（24-25高一上·全国·课后作业）已知半径为的圆上，有一条弧的长是120mm，且该弧所对的圆心角的弧度数为2，则（    ） A．30 B．60 C．90 D．100 7.（24-25高三上·青海·期中）若一扇形的圆心角的弧度数为2，且该扇形的半径为7，则该扇形的弧长为（    ） A． B． C．14 D． 8.（24-25高一下·湖南衡阳·期末）考生你好，语文考试需要150分钟，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（    ） A． B． C． D． 9.（24-25高一下·上海·期中）已知扇形的弧长为，半径为，则该扇形的圆心角的弧度数是 ． 10.（24-25高一下·北京延庆·期中）已知一个扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 1.（24-25高一下·北京海淀·期中）角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.（多选题）（24-25高一下·广西柳州·开学考试）以下说法正确的有（    ） A．化成角度为 B．化成的形式是 C．将表的分针拨慢20分钟，则分针转过的角的弧度是 D．在半径为2的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为 3.（2025高一上·全国·专题练习）化为弧度是（    ） A． B． C． D． 4.（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知某扇形的周长为5cm，面积为，则该扇形圆心角的弧度数是（    ） A． B．3 C．或3 D． 1．知识清单： (1)弧度制的概念． (2)弧度制与角度制的相互转化． (3)掌握特殊角的度数与弧度数的对应关系． (4)弧度制下的扇形的弧长与面积的计算． 2．方法归纳：由特殊到一般、数学运算． 3．常见误区：弧度与角度混用． 习题 5.1（第175页） 5.（2）、（4）,6.（1）,9题 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1.2 弧度制 导学案 1.了解弧度制,明确1弧度的含义. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式. 教学重点：1.弧度制的意义；2.角度与弧度的互化.弧度制下；3.弧长和扇形面积公式的运用． 教学难点：能灵活运用弧长公式、扇形面积公式解决问题。 温故知新 知识点一　度量角的两种单位制 (1)角度制 ①定义：用度作为单位来度量角的单位制． ②1度的角：周角的为1度的角，记作1°. (2)弧度制 ①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ③表示方法：1弧度记作1__rad． [提醒]　(1)无论是以“度”还是以“弧度”为单位，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值． (2)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“rad”可以省略不写． (3)角度制和弧度制表示角时不能混用．如α＝2kπ＋30°，k∈Z；β＝k·90°＋，k∈Z，都不正确． (4)任意角的弧度数与实数是一一对应的关系． 知识点二　弧度数的计算及弧度与角度互化 (1)弧度数的计算 (2)弧度与角度的互化 (3)一些特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 π 知识点三　扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l＝αR． (2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2． [提醒]　在应用弧长公式、扇形面积公式时，要注意α的单位是“弧度”． 【设计意图】通过回顾上节课的知识，帮助学生巩固已学内容，为学习新知识做好衔接。 【教学建议】教师可以通过提问的方式，引导学生回顾知识，同时关注学生的回答情况，及时纠正错误。 导入1：披萨店的“弧度优惠” 【情景】“本店推出‘弧度披萨’：按圆心角（弧度）计价！π/3弧度的披萨售价30元，π/2弧度售价45元，请问π弧度披萨多少钱？” 【设计意图】用价格差异直观体现“弧度越大，面积越大”，引出“弧度与扇形面积的线性关系”。 【教学建议】追问：“如果披萨半径加倍，π/3弧度披萨价格如何变？”（引出面积与R²关系，对比弧长仅与R一次方相关）。 导入2：导航软件的“弯道提示” 【情景】 “高德地图提示：前方500米有连续弯道，转弯角度共1.5弧度。司机如何估算弯道总长度？” 【设计意图】将“弧度”转化为“路径长度”，激活学生用l=αR解决问题的需求。 【教学建议】引导学生讨论：为何导航不用“90°”而用“1.5弧度”？（提示：弧度制下可直接乘以半径得弧长，无需额外换算）。 同学们，本节课题目中有弧度二字，大家想到了什么？是否想到了足球射门的弧度、篮球投篮的弧度？我们认知的弧度是非常简单的形状，也正是因为有了弧度才完美，比如：海浪因弧度而活跃；嘴角因弧度而美丽；月有阴晴圆缺，正因有弧度而富有神韵．而在我们数学中，正是因为弧度的引入，给数学学科带来了巨大的改变． 探究点1：1弧度有多大？ 一、弧度制的概念 量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制．不同的单位制能给解决问题带来方便．角的度量是否也能用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？ 问题1　在初中学过的角度中，1度的角是如何规定的？在给定半径的圆中，当弧长一定时，圆心角确定吗？ 提示　1度的角等于周角的.圆心角是确定的． 我们知道，角可以用度为单位进行度量，1度的角等于周角的．这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． 下面介绍在数学和其他科学研究中经常采用的另一种度量角的单位制——弧度制． 如图5.1-9，射线OA绕端点O旋转到OB形成角，在旋转过程中，射线OA上的一点P（不同于点O）的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角． 设，，点P所形成的圆弧的长为．由初中所学知识可知， 于是 ． 探究 问题2　如图5.1-10，在射线OA上任取一点Q（不同于点O），．在旋转过程中，点Q所形成的圆弧的长为．与的比值是多少？你能得出什么结论？ 探究点2：为什么数学家偏爱弧度？ 可以发现，圆心角所对的弧长与半径的比值，只与的大小有关．也就是说，这个比值随的确定而唯一确定．这就启发我们，可以利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角． 我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度（radian）的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度． 我们把半径为1的圆叫做单位圆．如图5.1-11，在单位圆O中，的长等于1，就是1弧度的角． 根据上述规定，在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为，那么 其中，的正负由角的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负．当角的终边旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数大于或小于的角．这样就可以得到弧度为任意大小的角． 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． 公元6世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念。欧拉是明确提出弧度制思想的数学家．1748年，在他的一部划时代著作《无穷小分析概论》中，提出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一个圆周角等于弧度，1弧度等于周角的．这一思想将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角公式及计算． 二、角度制与弧度制的相互转化 问题3　根据公式|α|＝，你能得出圆周角的弧度数吗？ 探究 角度制、弧度制都是角的度量制，它们之间应该可以换算．如何换算呢？ 提示　因为半径为r的圆的周长为l＝2πr，故圆周角的弧度数α＝2π，而圆周角的角度数是360°，于是我们有了弧度与角度的换算关系． 用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同（都是0）；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不同．因为周角的弧度数是，而在角度制下的度数是360，所以 ，， ． 反过来有 ． 一般地，只需根据 就可以进行弧度与角度的换算了． 例4 按照下列要求，把化成弧度： （1）精确值； （2）精确到的近似值． 解：（1）因为，所以 ． （2）利用计算器有 因此，． 【变式】化为弧度为（    ） A．– B． C．– D．– 【答案】A 【分析】根据弧度与角度的互化公式求解即可. 【详解】由， 即化为弧度为弧度， 故选：A 例5 将换算成角度（用度数表示，精确到）． 解：利用计算器有 因此， 【变式】下列转化结果正确的是（    ） A．60°化成弧度是 B．－π化成度是－660° C．－150°化成弧度是－π D．化成度是15° 【答案】AD 【分析】根据角度制和弧度制互化公式进行逐一判断即可. 【详解】因为，所以选项A正确； 因为，所以选项B不正确； 因为，所以选项C不正确； 因为，所以选项D正确， 故选：AD 今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数．例如，角就表示是的角；就表示的角的正弦，即． 填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表： 度 弧度 角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数（等于这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应（图5.1-12）． 探究点3：扇形面积公式的“极简之美” 问题3　我们初中所学扇形的弧长和面积公式是什么？ 提示　半径为R，圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别为l＝，S＝，由弧度与角度的换算关系，我们可以知道圆心角α＝. 例6 利用弧度制证明下列关于扇形的公式： （1）； （2）； （3）． 其中R是圆的半径，为圆心角，是扇形的弧长，S是扇形的面积． 证明：由公式可得 ． 下面证明（2）（3）． 半径为，圆心角为的扇形的弧长公式和面积公式分别是 ，， 将转换为弧度，得 ， 于是， ． 将代入上式，即得 ． 显然，弧度制下的弧长公式和扇形面积公式形式简单了．在今后的学习中，我们还将进一步看到弧度制带来的使得． 【变式】已知某扇形的半径为，圆心角为，则此扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据扇形的面积公式，即可求得此扇形的面积，得到答案. 【详解】由题意，某扇形的半径为，圆心角为， 根据扇形的面积公式，可得 所以此扇形的面积为. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式及其应用，其中解答中熟记扇形的面积公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 反思感悟　扇形的弧长和面积的求解策略 (1)记公式：面积公式：S＝lR＝αR2，弧长公式：l＝αR(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π)． (2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形的面积公式直接求解或列方程(组)求解．    1.（24-25高一下·安徽·阶段练习）将75°化为弧度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角度化为弧度 【分析】根据角度制与弧度制的互化公式，准确计算，即可求解. 【详解】根据角度制与弧度制的互化公式，可得. 故选：A. 2.（多选题）（24-25高一下·全国·周测）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】角度化为弧度 【分析】弧度与角度之间的互化是，利用公式分别计算A、B、C、D四个选项可得答案. 【详解】对于A，，正确； 对于B，，正确； 对于C，，错误； 对于D，，正确； 故选：ABD． 3.（24-25高一下·广西梧州·期末）体操中有“后空翻转体720度”的动作，其中“720度”等于（    ） A．弧度 B．弧度 C．弧度 D．弧度 【答案】D 【知识点】角度化为弧度 【分析】根据角度制和弧度制换算关系即可得到答案. 【详解】因为，所以弧度, 因此“720度”即弧度. 故选：D． 4.（24-25高一上·全国·课后作业）关于弧度制，下列说法正确的是（    ） A．正角或者负角的弧度数都是正数 B．四分之一圆所对的圆心角是 C．角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，角的终边旋转一周得到的角的大小等于 D．用角度制和弧度制度量角，角的大小都与圆的半径有关 【答案】B 【知识点】任意角的概念、弧度的概念 【分析】根据弧度制的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，A错误； 整圆的圆心角是，故四分之一圆所对的圆心角是，B正确； 角的终边顺时针旋转一周得到的角是，角的终边逆时针旋转一周得到的角是，C错误； 无论是角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径无关，D错误． 故选：B 5.（23-24高一上·甘肃白银·期末）春秋战国时期，为指导农耕，我国诞生了表示季节变迁的24节气．它将黄道（地球绕太阳按逆时针方向公转的轨道，可近似地看作圆）分为24等份，每等份为一个节气，2022年10月8日为寒露，经过霜降､立冬､小雪及大雪后，便是冬至，则从寒露到冬至，地球公转的弧度数约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】弧度的概念 【分析】求出每一等份的度数，从寒露到冬至经历了5个节气，进而可得答案 【详解】由题意知，把圆分成24等份，每一等份为，从寒露到冬至经历了5个节气，所以地球公转的弧度数约为． 故选： 6.（24-25高一上·全国·课后作业）已知半径为的圆上，有一条弧的长是120mm，且该弧所对的圆心角的弧度数为2，则（    ） A．30 B．60 C．90 D．100 【答案】B 【知识点】弧长的有关计算 【分析】根据弧长公式列方程，从而求得正确答案. 【详解】由弧长公式可得，，解得． 故选：B 7.（24-25高三上·青海·期中）若一扇形的圆心角的弧度数为2，且该扇形的半径为7，则该扇形的弧长为（    ） A． B． C．14 D． 【答案】C 【知识点】弧长的有关计算 【分析】利用弧长计算公式求解即可. 【详解】该扇形的弧长为． 故选：C. 8.（24-25高一下·湖南衡阳·期末）考生你好，语文考试需要150分钟，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角度化为弧度、弧度的概念 【分析】经过150分钟，钟表的时针相当于转了1圈的，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可求解. 【详解】经过150分钟，钟表的时针相当于转了1圈的，1圈的弧度数为， 则1圈的的弧度数为， 且钟表的时针按顺时针转所形成的角应为负角， 因此钟表的时针转过的弧度数为，故D正确. 故选：D. 9.（24-25高一下·上海·期中）已知扇形的弧长为，半径为，则该扇形的圆心角的弧度数是 ． 【答案】 【知识点】弧长的有关计算 【分析】利用扇形的弧长得到关于圆心角的方程，解之即可得解. 【详解】依题意，设扇形的圆心角为， 因为扇形的半径是，弧长为， 所以由，得，则. 故答案为：. 10.（24-25高一下·北京延庆·期中）已知一个扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】扇形面积的有关计算、弧长的有关计算 【分析】先利用扇形的弧长公式求出扇形的半径，最后利用面积公式计算即可. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则， 又扇形的圆心角为，由弧长公式得， ，解得，， 该扇形的面积为. 故选：. 1.（24-25高一下·北京海淀·期中）角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【知识点】确定已知角所在象限 【分析】利用内与之终边相同的角判断. 【详解】， 所以与终边相同，所以终边在第一象限. 故选：A. 2.（多选题）（24-25高一下·广西柳州·开学考试）以下说法正确的有（    ） A．化成角度为 B．化成的形式是 C．将表的分针拨慢20分钟，则分针转过的角的弧度是 D．在半径为2的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为 【答案】AD 【知识点】任意角的概念、找出终边相同的角、角度化为弧度、弧长的有关计算 【分析】根据弧度制与角度制的转化判断A、B；由正负角的概念判断C；根据弧长公式判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，,故B错误； 对于C，分针拨慢20分钟，则分针逆时针旋转，即分针转过的角的弧度数为，故C错误； 对于D，由弧长公式可得半径为2，弧长为的弧所对圆心角为，故D正确； 故选：AD. 3.（2025高一上·全国·专题练习）化为弧度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角度化为弧度 【分析】本题考查的是角度制与弧度制的互相转化. 【详解】,故选：B. 4.（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知某扇形的周长为5cm，面积为，则该扇形圆心角的弧度数是（    ） A． B．3 C．或3 D． 【答案】C 【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】根据扇形的弧长和面积公式列方程组求解即可. 【详解】设该扇形的半径为，所对弧长为， 则，解得或， 所以该扇形圆心角的弧度数或， 故选：C 1．知识清单： (1)弧度制的概念． (2)弧度制与角度制的相互转化． (3)掌握特殊角的度数与弧度数的对应关系． (4)弧度制下的扇形的弧长与面积的计算． 2．方法归纳：由特殊到一般、数学运算． 3．常见误区：弧度与角度混用． 【设计意图】通过课堂小结，帮助学生梳理本节课的主要内容，巩固所学知识。引导学生总结本节课的重点和难点，加深对集合概念的理解。 【教学建议】教师通过提问和讲解，引导学生回顾本节课的主要内容。引导学生总结本节课的重点和难点，帮助学生形成知识体系。 习题 5.1（第175页） 5.（2）、（4）,6.（1）,9题 【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。 【教学建议】教师可以引导学生在课后认真完成作业，鼓励学生在遇到问题时及时向老师或同学请教。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $