5.1.1任意角（导学案）高一数学人教A版必修第一册

5.1.1 任意角 导学案 1.理解任意角、正角、负角、零角的概念，会在直角坐标系中表示角，能识别并写出终边相同的角。 2.经历由“静态角”到“旋转生成角”的推广过程，体会数形结合与类比的思想，提升直观想象素养。 3.感受角的概念拓展的必要性，体会数学概念的发展，激发学习三角函数的兴趣。 学习重点：任意角（正角、负角、零角）的概念，象限角与终边相同的角的表示。 学习难点：用集合与不等式准确表示终边相同的角、区间角。 预习导学・课前任务 （课前 5 分钟完成，为新课做准备） 1．旧知识回顾（填空） （1）初中角的定义：有公共______的两条______所组成的图形叫做角，角的范围一般是____________。 （2）按大小分：0°<锐角<______，直角＝90°，90°<钝角<________；1 个周角＝______°，1 个平角＝______°。 2．新课浅思考（读一读课件情境，想一想） 情境：跳水运动员在空中顺时针连续转体一周半；体操动作里有“前空翻转体 540 度”“后空翻转体 720 度”；齿轮传动时两个轮子的转向相反。 （1）一周半是______°，它比一个周角多______°；720° 是一个周角的______倍。 （2）运动员“顺时针”“逆时针”转体，转过的角的方向______；齿轮传动中两个轮子的转向也______。可见只用 0°~360° 的角______准确描述这些现象。 新知自研：自研课本第168--171页的内容． 【学法指导】 自研课本P168--171的内容，思考： ●探究一：任意角的概念 ◆1.问题引入 活动 1：阅读课本 P168--169，标画关键词，完成下面的问题。 （1）角的旋转定义：平面内一条射线绕着它的______从一个位置______到另一个位置所成的图形叫做角。 （2）射线的起始位置叫做______，终止位置叫做______，两条射线的公共端点是角的______。 （3）完成下表，理清正角、负角、零角、相等角、相反角： 名称 定义 正角 一条射线绕其端点按________方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按________方向旋转形成的角 零角 一条射线____________旋转形成的角，规定 α＝0° 相等角 旋转方向______，旋转量______的两个角 相反角 旋转方向______，旋转量______的两个角 （4）由此可见：旋转方向定角的______，旋转量定角的________________；角的概念推广后，角的范围可以是__________。 ◆2.方法总结 角的加法：把角 α 的终边继续旋转角 β，所得角为 α＋β；角的减法：α－β＝α＋________。 要注意：正角、负角、零角是按__________区分的，与角的大小无关；始边与终边重合的角不一定是零角，也可能是______________等。 ◆3.例题巩固 （1）经过 1 小时，钟表的时针转过________，分针转过_________。 （2）下列说法正确的是（　　） A．始边与终边重合的角是零角 B．第二象限角一定大于第一象限角 C．钝角一定是第二象限角 D．小于 90° 的角一定是锐角 （3）若 α 是锐角，则 －α 是第______象限角。 ●探究二：象限角 ◆1.问题引入 为了研究方便，常把角放在直角坐标系中：使角的顶点与______重合，角的始边与 x 轴的__________重合。这时角的终边落在第几象限，就说这个角是____________。 如果角的终边落在坐标轴上，那么它________任何象限，习惯上称为________。 例如：－50° 的终边在第四象限，它是______象限角；405° 的终边在第一象限，它是______象限角。 ◆2.方法总结 判断一个角所在象限：先把它化为 0°~360° 范围内的角（加上或减去 360° 的整数倍），再看终边落在哪个象限。 0°~360° 内各象限角的范围： 第一象限 _____________ 第二象限 ________________ 第三象限 _________________ 第四象限 _________________ ◆3.例题巩固 （1）－980° 是第______象限角；2024° 是第______象限角。 （2）若 90°<α<β<135°，则 α－β 的范围是______________，α＋β 的范围是________________。 ●探究三：终边相同的角 ◆1.问题引入 在 0°~360° 范围内，与 －32° 终边相同的角是______°。 观察：328°＝－32°＋______×360°，－392°＝－32°＋________×360°。也就是说，与 －32° 终边相同的角，都可以写成 －32° 加上 360° 的______倍。 追问：对任意角 α，与它终边相同的角如何用集合表示？ ◆2.方法总结 所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成集合 S＝______________________。 注意：① k 是______，不能漏写“k∈Z”；② α 可以是任意角；③ 与 α 终边相同的角有______个，彼此相差 360° 的______倍。 ◆3.例题巩固 例1 在 0°~360° 范围内，找出与 －950°12′ 角终边相同的角，并判定它是第几象限角。 例2 写出终边在 y 轴上的角的集合。 例3 写出终边在直线 y＝x 上的角的集合 S，并写出 S 中满足 －360°≤β≤720° 的元素。 【巩固训练1 任意角的概念】 1．（多选）下列说法正确的是（　　） A．锐角都是第一象限角　　 B．第一象限角一定不是负角 C．小于 180° 的角是钝角、直角或锐角　　D．在 90°≤β<180° 范围内的角 β 不一定是钝角 【变式1-1】给出下列说法：①终边在 y 轴非负半轴上的角是直角；②始边相同而终边不同的角一定不相等；③三角形的内角必是第一、二象限角；④第四象限角一定是负角；⑤{α|α＝k·180°，k∈Z}＝{0°，180°，360°}。其中正确说法的个数是（　　） A．1　　B．2　　C．3　　D．4 【巩固训练2 终边相同的角的表示及应用】 2．在 0°~360° 范围内，找出与下列角终边相同的角，并判定它们是第几象限角： （1）－54°；（2）395°；（3）－1190°；（4）1303°18′。 【变式2-1】在与 10030° 角终边相同的角中，求满足下列条件的角：（1）最大的负角； （2）－360°~720° 内的角。 【变式2-2】（多选）与 －463° 终边相同的角可以表示为（　　） A．k·360°＋463°(k∈Z)　　B．k·360°－103°(k∈Z) C．k·360°＋257°(k∈Z)　　D．k·360°－257°(k∈Z) 【变式2-3】终边落在直线 上的角 α 的集合为（　　） A．{α|α＝k·180°＋30°，k∈Z}　　B．{α|α＝k·180°＋60°，k∈Z} C．{α|α＝k·360°＋30°，k∈Z}　　D．{α|α＝k·360°＋60°，k∈Z} 【巩固训练3 区间角的表示】 3．已知如图所示的图形。 （1）分别写出终边落在 OA，OB 位置上的角的集合； （2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合。 【巩固训练4 象限角】 4．如果 α 是第三象限角，则 是（　　） A．第一象限角　B．第一或第二象限角　C．第一或第三象限角　D．第二或第四象限角 【变式4-1】角 α 是第一象限角，试写出角 的集合，并指出 所在象限。 ▲1、任意角的概念 平面内一条射线绕其端点旋转所形成的图形叫做角；按逆时针方向旋转形成的角叫正角，按顺时针方向旋转形成的角叫负角，不作任何旋转时形成零角。旋转方向定符号，旋转量定大小。角的减法满足 α－β＝α＋(－β)。 ▲2、象限角与轴线角 把角的顶点与原点重合、始边与 x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，该角就是第几象限角；终边在坐标轴上的角不属于任何象限，称为轴线角。判断时先把角化到 0°~360° 内。 ▲3、终边相同的角 所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，构成集合 S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}。它们彼此相差 360° 的整数倍，有无数个；写集合时不能漏掉 k∈Z。 ▲4、区间角与 n 倍角、n 分角 表示区间角三步：① 按逆时针方向找起始、终止边界；② 取 －360°~360° 内的角 α、β，写出最简区间 {x|α<x<β}，且 β－α<360°；③ 两边同时加上 k·360°（k∈Z）。 角 α 所在象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 所在象限 一、三 一、三 二、四 二、四 2α 所在象限 一、二 三、四 一、二 三、四 一、基础巩固 1．下列命题为真命题的是（    ） A．小于的角都是锐角 B．钝角一定是第二象限角 C．第二象限角大于第一象限角 D．若，则是第二或第三象限的角 2．下列命题正确的是（    ） A．终边与始边重合的角是零角 B．终边和始边都相同的两个角一定相等 C．小于的角是锐角 D．集合内的角不一定是钝角 3．下列说法中正确的是（    ） A．锐角是第一象限角 B．终边相等的角必相等 C．小于的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角 4．下列角中是第二象限的角是（   ） A． B． C． D． 5．的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．已知角，则角的终边落在第__________象限． 7．已知角，则角的终边落在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．下列选项中与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 9．下列与角终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 10．与角的终边相同的最小正角是（    ） A．45° B．135° C．225° D．2025° 11．与角终边相同的一个角是（    ） A．77° B．103° C． D． 12．与角终边相同的角的集合是（   ） A． B． C． D． 13．若角，，则符合条件的角的最大负角为______ 14．写出与25°角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式－1080°≤β＜－360°的角β. 15．经过5分钟，分针的转动角为（     ） A． B． C． D． 二、能力提升 16．在平面直角坐标系中，给出下列命题： ①终边经过点的角的集合是； ②将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是； ③若是第三象限角，则是第二象限角； ④若，则． 其中假命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．已知集合，，则之间的关系为（    ） A． B． C． D． 18．下列各角中，与终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 19．，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 20．已知为第三象限角，那么不可能是（   ） A．第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一象限角 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：____________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会　□审题马虎　□思路没掌握 4．我的改进小计划：____________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1.1 任意角 导学案（答案版） 1.理解任意角、正角、负角、零角的概念，会在直角坐标系中表示角，能识别并写出终边相同的角。 2.经历由“静态角”到“旋转生成角”的推广过程，体会数形结合与类比的思想，提升直观想象素养。 3.感受角的概念拓展的必要性，体会数学概念的发展，激发学习三角函数的兴趣。 学习重点：任意角（正角、负角、零角）的概念，象限角与终边相同的角的表示。 学习难点：用集合与不等式准确表示终边相同的角、区间角。 预习导学・课前任务 （课前 5 分钟完成，为新课做准备） 1．旧知识回顾（填空） （1）初中角的定义：有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角，角的范围一般是0°~360°。 （2）按大小分：0°<锐角<90°，直角＝90°，90°<钝角<180°；1 个周角＝360°，1 个平角＝180°。 2．新课浅思考（读一读课件情境，想一想） 情境：跳水运动员在空中顺时针连续转体一周半；体操动作里有“前空翻转体 540 度”“后空翻转体 720 度”；齿轮传动时两个轮子的转向相反。 （1）一周半是540°，它比一个周角多180°；720° 是一个周角的2倍。 （2）运动员“顺时针”“逆时针”转体，转过的角的方向不同；齿轮传动中两个轮子的转向也相反。可见只用 0°~360° 的角不能准确描述这些现象。 新知自研：自研课本第168--171页的内容． 【学法指导】 自研课本P168--171的内容，思考： ●探究一：任意角的概念 ◆1.问题引入 活动 1：阅读课本 P168--169，标画关键词，完成下面的问题。 （1）角的旋转定义：平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角。 （2）射线的起始位置叫做始边，终止位置叫做终边，两条射线的公共端点是角的顶点。 （3）完成下表，理清正角、负角、零角、相等角、相反角： 名称 定义 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有作任何旋转形成的角，规定 α＝0° 相等角 旋转方向相同，旋转量相等的两个角 相反角 旋转方向相反，旋转量相等的两个角 （4）由此可见：旋转方向定角的符号，旋转量定角的大小（绝对值）；角的概念推广后，角的范围可以是任意大小。 ◆2.方法总结 角的加法：把角 α 的终边继续旋转角 β，所得角为 α＋β；角的减法：α－β＝α＋(－β)。 要注意：正角、负角、零角是按旋转方向区分的，与角的大小无关；始边与终边重合的角不一定是零角，也可能是360°、720°等。 ◆3.例题巩固 （1）经过 1 小时，钟表的时针转过−30°，分针转过−360°。 （2）下列说法正确的是（　　） A．始边与终边重合的角是零角 B．第二象限角一定大于第一象限角 C．钝角一定是第二象限角 D．小于 90° 的角一定是锐角 【答案】C　【提示】A 错，如 360°；B 错，如 120° 与 −300°；C 对，钝角是 90°~180° 的角；D 错，如 −30°。 （3）若 α 是锐角，则 －α 是第四象限角。 ●探究二：象限角 ◆1.问题引入 为了研究方便，常把角放在直角坐标系中：使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合。这时角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角。 如果角的终边落在坐标轴上，那么它不属于任何象限，习惯上称为轴线角。 例如：－50° 的终边在第四象限，它是第四象限角；405° 的终边在第一象限，它是第一象限角。 ◆2.方法总结 判断一个角所在象限：先把它化为 0°~360° 范围内的角（加上或减去 360° 的整数倍），再看终边落在哪个象限。 0°~360° 内各象限角的范围： 第一象限 0°<α<90° 第二象限 90°<α<180° 第三象限 180°<α<270° 第四象限 270°<α<360° ◆3.例题巩固 （1）－980° 是第二象限角；2024° 是第三象限角。 （2）若 90°<α<β<135°，则 α－β 的范围是(−45°,0°)，α＋β 的范围是(180°,270°)。 【提示】同向不等式不能相减，应先求 −β 的范围再相加：90°<α<135°，−135°<−β<−90°，故 −45°<α−β<0°。 ●探究三：终边相同的角 ◆1.问题引入 在 0°~360° 范围内，与 －32° 终边相同的角是328°。 观察：328°＝－32°＋1×360°，－392°＝－32°＋(−1)×360°。也就是说，与 －32° 终边相同的角，都可以写成 －32° 加上 360° 的整数倍。 追问：对任意角 α，与它终边相同的角如何用集合表示？ ◆2.方法总结 所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成集合 S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}。 注意：① k 是整数，不能漏写“k∈Z”；② α 可以是任意角；③ 与 α 终边相同的角有无数个，彼此相差 360° 的整数倍。 ◆3.例题巩固 例1 在 0°~360° 范围内，找出与 －950°12′ 角终边相同的角，并判定它是第几象限角。 【解答】因为 －950°12′＝129°48′－3×360°，所以在 0°~360° 范围内，与 －950°12′ 终边相同的角是 129°48′，它是第二象限角。 例2 写出终边在 y 轴上的角的集合。 【解答】在 0°~360° 范围内，终边在 y 轴上的角有两个：90°，270°。 　　与 90° 终边相同的角构成集合 S₁＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}，与 270° 终边相同的角构成集合 S₂＝{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}。 　　所以 S＝S₁∪S₂＝{β|β＝90°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝90°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝90°＋n·180°，n∈Z}。 例3 写出终边在直线 y＝x 上的角的集合 S，并写出 S 中满足 －360°≤β≤720° 的元素。 【解答】在直角坐标系中画出直线 y＝x，它与 x 轴的夹角是 45°；在 0°~360° 范围内，终边在直线 y＝x 上的角有两个：45°，225°。 　　所以 S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋n·180°，n∈Z}。 　　S 中满足 －360°≤β≤720° 的元素有：45°－2×180°＝－315°，45°－1×180°＝－135°，45°＋0×180°＝45°，45°＋1×180°＝225°，45°＋2×180°＝405°，45°＋3×180°＝585°。 【巩固训练1 任意角的概念】 1．（多选）下列说法正确的是（　　） A．锐角都是第一象限角　　B．第一象限角一定不是负角 C．小于 180° 的角是钝角、直角或锐角　　D．在 90°≤β<180° 范围内的角 β 不一定是钝角 【分析】抓住“象限角按终边位置、正负角按旋转方向”来判断：锐角都在 0°~90°，终边在第一象限；第一象限角可以是负角，如 －300°。 【解答】A 正确；B 错误，如 －300° 是第一象限角；C 错误，如 0°、180° 不是钝角、直角或锐角；D 正确，如 90° 不是钝角。故选 AD。 【变式1-1】给出下列说法：①终边在 y 轴非负半轴上的角是直角；②始边相同而终边不同的角一定不相等；③三角形的内角必是第一、二象限角；④第四象限角一定是负角；⑤{α|α＝k·180°，k∈Z}＝{0°，180°，360°}。其中正确说法的个数是（　　） A．1　　B．2　　C．3　　D．4 【解答】①错，终边在 y 轴非负半轴上的角是 90°＋k·360°，不都是直角；②对，方向相同、终边不同则旋转量不同，两角不等；③错，直角（90°）的终边在 y 轴上，不是象限角；④错，如 300° 是第四象限角，却是正角；⑤错，k 取遍整数，集合中有无数个元素。只有②正确，故选 A。 【巩固训练2 终边相同的角的表示及应用】 2．在 0°~360° 范围内，找出与下列角终边相同的角，并判定它们是第几象限角： （1）－54°；（2）395°；（3）－1190°；（4）1303°18′。 【分析】把角写成 α＋k·360°（0°≤α<360°，k∈Z）的形式，α 就是所求的角，再由 α 判断象限。 【解答】（1）－54°＝306°－360°，所求角为 306°，是第四象限角； 　　（2）395°＝35°＋360°，所求角为 35°，是第一象限角； 　　（3）－1190°＝250°－4×360°，所求角为 250°，是第三象限角； 　　（4）1303°18′＝223°18′＋3×360°，所求角为 223°18′，是第三象限角。 【变式2-1】在与 10030° 角终边相同的角中，求满足下列条件的角：（1）最大的负角；（2）－360°~720° 内的角。 【解答】（1）由 10030°＋k·360°<0 得 k<－1003/36，又 k∈Z，故 k＝－28，所求最大负角为 10030°－28×360°＝－50°； 　　（2）由 －360°≤10030°＋k·360°<720° 得 －10390°≤k·360°<－9310°，即 k＝－28，－27，－26，对应的角为 －50°，310°，670°。 【变式2-2】（多选）与 －463° 终边相同的角可以表示为（　　） A．k·360°＋463°(k∈Z)　　B．k·360°－103°(k∈Z) C．k·360°＋257°(k∈Z)　　D．k·360°－257°(k∈Z) 【解答】－463°＝－103°－360°＝257°－2×360°，故与 －463° 终边相同的角可写成 k·360°－103° 或 k·360°＋257°，选 BC。 【变式2-3】终边落在直线 上的角 α 的集合为（　　） A．{α|α＝k·180°＋30°，k∈Z}　　B．{α|α＝k·180°＋60°，k∈Z} C．{α|α＝k·360°＋30°，k∈Z}　　D．{α|α＝k·360°＋60°，k∈Z} 【解答】直线 的倾斜角为 60°，在 0°~360° 范围内终边落在该直线上的角是 60° 与 240°，故集合为 {α|α＝60°＋k·180°，k∈Z}，选 B。 【巩固训练3 区间角的表示】 3．已知如图所示的图形。 （1）分别写出终边落在 OA，OB 位置上的角的集合； （2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合。 【分析】先按逆时针方向找到区域的起始边界与终止边界，写出最简区间 {x|α<x<β}（β－α<360°），再加上 360° 的整数倍。 【解答】（1）终边落在 OA 位置上的角的集合为 {α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在 OB 位置上的角的集合为 {α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}。 　　（2）阴影部分（包括边界）由所有介于 －30°~135° 之间且与它们终边相同的角组成，故为 {α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}。 【巩固训练4 象限角】 4．如果 α 是第三象限角，则 是（　　） A．第一象限角　B．第一或第二象限角　C．第一或第三象限角　D．第二或第四象限角 【解答】由 α 是第三象限角得 180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，故 －135°－k·180°<－α/2<－90°－k·180°，即 225°＋k·180°<－α/2<270°＋k·180°，所以 －α/2 是第一或第三象限角，选 C。 【变式4-1】角 α 是第一象限角，试写出角 的集合，并指出 所在象限。 【解答】由 0°＋k·360°<α<90°＋k·360° 得 k·180°<<45°＋k·180°，即集合为 {β|k·180°<β<45°＋k·180°，k∈Z}；当 k 为偶数时 在第一象限，当 k 为奇数时在第三象限，故 位于第一、三象限。 ▲1、任意角的概念 平面内一条射线绕其端点旋转所形成的图形叫做角；按逆时针方向旋转形成的角叫正角，按顺时针方向旋转形成的角叫负角，不作任何旋转时形成零角。旋转方向定符号，旋转量定大小。角的减法满足 α－β＝α＋(－β)。 ▲2、象限角与轴线角 把角的顶点与原点重合、始边与 x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，该角就是第几象限角；终边在坐标轴上的角不属于任何象限，称为轴线角。判断时先把角化到 0°~360° 内。 ▲3、终边相同的角 所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，构成集合 S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}。它们彼此相差 360° 的整数倍，有无数个；写集合时不能漏掉 k∈Z。 ▲4、区间角与 n 倍角、n 分角 表示区间角三步：① 按逆时针方向找起始、终止边界；② 取 －360°~360° 内的角 α、β，写出最简区间 {x|α<x<β}，且 β－α<360°；③ 两边同时加上 k·360°（k∈Z）。 角 α 所在象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 所在象限 一、三 一、三 二、四 二、四 2α 所在象限 一、二 三、四 一、二 三、四 一、基础巩固 1．下列命题为真命题的是（    ） A．小于的角都是锐角 B．钝角一定是第二象限角 C．第二象限角大于第一象限角 D．若，则是第二或第三象限的角 【答案】B 【分析】根据题意，结合角的定义，以及表示方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，小于的角，例如，但不是锐角，所以A是假命题； 对于B中，因为钝角的范围是是第二象限角，所以B是真命题； 对于C中，例如：是第二象限角，是第一象限角，但，所以C是假命题； 对于D中，当时，，但不是第二或第三象限的角，所以D是假命题． 故选：B． 2．下列命题正确的是（    ） A．终边与始边重合的角是零角 B．终边和始边都相同的两个角一定相等 C．小于的角是锐角 D．集合内的角不一定是钝角 【答案】D 【分析】根据任意角的概念和终边相同的角的概念逐一判断. 【详解】A选项：终边与始边重合的角为，故A错； B选项：终边和始边都相同的两个角可能相差的整数倍，故B错误； C选项：小于的角可能是，还可能是负角，所以C错误； D选项：集合内的角包含直角，所以不一定是钝角，D正确； 故选：D 3．下列说法中正确的是（    ） A．锐角是第一象限角 B．终边相等的角必相等 C．小于的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角 【答案】A 【分析】利用角的定义一一判定即可. 【详解】锐角是指大于小于的角，故其在第一象限，即A正确； 选项B．终边相等的角必相等，两角可以相差整数倍，故错误； 选项C．小于的角不一定在第一象限，也可以为负角，故错误； 选项D．根据任意角的定义，第二象限角可以为负角，第一象限角可以为正角，此时第二象限角小于第一象限角，故错误. 故选：A 4．下列角中是第二象限的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合角的定义，利用终边是否在第二象限判断即可. 【详解】第二象限角的集合为， 对于A：是第一象限角，故A错误. 对于B：，是第三象限角，故B错误. 对于C：，是第二象限角，故C正确. 对于D：，是第一象限角，故D错误. 故选：C. 5．的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据终边相同的角的表示方法，求出与终边相同的角，进而在判断在第几象限. 【详解】因为 所以的终边与的终边相同， 而的终边在第二象限， 所以的终边在第二象限． 故选： 6．已知角，则角的终边落在第__________象限． 【答案】三 【分析】根据终边相同的角的表示，将化为，即可判断答案. 【详解】由题意得， 由于的终边在第三象限内，故角的终边落在第三象限内， 故答案为：三 7．已知角，则角的终边落在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】求出与的角终边相同，从而得到得到答案. 【详解】，故与的角终边相同， 其中在第二象限，故角的终边落在第二象限. 故选：B. 8．下列选项中与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先表达出与角终边相同的角，从四个选项中挑选符合要求的角. 【详解】与终边相同的角为，，当时，， C选项符合要求，经过检验，其他选项不符合要求. 故选：C 9．下列与角终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定与角终边相同的角为，，再依次判断每个选项即可. 【详解】与角终边相同的角为，， 对选项A：取，不是整数解，A错误； 对选项B：取，不是整数解，B错误； 对选项C：取，，C正确； 对选项D：取，不是整数解，D错误. 故选：C 10．与角的终边相同的最小正角是（    ） A．45° B．135° C．225° D．2025° 【答案】B 【分析】根据角度制的运算法则，得到，即可求解. 【详解】根据角度制的运算法则，可得， 所以与角的终边相同的最小正角是. 故选：B. 11．与角终边相同的一个角是（    ） A．77° B．103° C． D． 【答案】B 【详解】与角的终边相同的角的集合是，当时，． 12．与角终边相同的角的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出在中与角终边相同的角，再写成集合的形式即可判断. 【详解】因， 故与角终边相同的角的集合可表示为，C项正确， 而A，B，D项中的角都与终边不同. 故选：C. 13．若角，，则符合条件的角的最大负角为______ 【答案】 【分析】令，解得，进而分析最值即可. 【详解】令，解得， 且，则的最大值为11， 所以角的最大负角为. 故答案为：. 14．写出与25°角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式－1080°≤β＜－360°的角β. 【答案】（1）{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}；－1055°，－695°. 【分析】首先根据题意，结合终边相同的角的集合，从而写出满足条件的结果，再令取相应的值求得满足条件的角. 【详解】与25°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}. 令k＝－3，则有β＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合条件； 令k＝－2，则有β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件； 令k＝－1，则有β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件. 故符合条件的角有－1055°，－695°. 【点睛】该题考查的是有关角的问题，涉及到的知识点有终边相同的角的集合，角的终边确定，落在某个范围内的角的求解，属于基础题目. 15．经过5分钟，分针的转动角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据任意角的概念计算可得； 【详解】经过5分钟，则分针顺时针转过，则分针转动角为. 故选：B. 二、能力提升 16．在平面直角坐标系中，给出下列命题： ①终边经过点的角的集合是； ②将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是； ③若是第三象限角，则是第二象限角； ④若，则． 其中假命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据终边所过点可求终边对应的角的集合，故可判断①的正误，根据正角的定义可判断②的正误，根据反例可判断③的正误，根据集合中元素的关系可判断④的正误. 【详解】对于①，若角的终边过，则角的终边为一、三象限的分角线， 终边对应的角的集合为，故①正确. 对于②，将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是，故②正确. 对于③，取，则为第三象限角，而， 故为第四象限角，故③错误. 对于④，因为任意，而，故， 故，故，故④正确. 故选：A. 17．已知集合，，则之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以集合中的元素是的奇数倍， ， 所以集合中的元素是的整数倍， 所以. 18．下列各角中，与终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知角和选项中的角的度数的差是否为的整倍数即可判断. 【详解】对于A项，因不是的整倍数，故A项错误； 对于B项，因不是的整倍数，故B项错误； 对于C项，因，故C项正确； 对于D项，因不是的整倍数，故D项错误. 故选：C. 19．，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过和讨论集合，再结合集合真子集的概念即可判断. 【详解】， 当时，， 当时，， 由此可知：是的真子集， 故选：A 20．已知为第三象限角，那么不可能是（   ） A．第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一象限角 【答案】C 【分析】由题意可得，可得，讨论的取值，即可确定答案. 【详解】由题意是第三象限角，即， 故， 当时，，是第一象限角； 当时，，是第三象限角； 当时，，是第四象限角； 故不可能是第二象限角. 故选：C 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：____________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会　□审题马虎　□思路没掌握 4．我的改进小计划：____________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $