5.1.1 任意角-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教A版）

数学 必修 第一册 RJA 5.1.1　任意角 (教师独具内容) 课程标准：1.了解任意角的概念.2.理解象限角、终边相同角的概念，并会用集合符号表示这些角． 教学重点：掌握终边相同角的含义及表示方法． 教学难点：用集合符号表示终边相同的角． 核心素养：1.通过角的概念的推广过程，提升数学抽象素养和直观想象素养.2.借助终边相同角的计算，提升数学运算素养.3.通过任意角的终边位置的确定，培养逻辑推理素养． 知识点一　角的相关概念 (1)角的概念 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． (2)角的表示 如图，①始边：射线的起始位置OA； ②终边：射线的终止位置OB； ③顶点：射线的端点O； ④记法：图中的角可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”，可以简记成“α”． (3)角的分类 名称 定义 图形 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有做任何旋转形成的角 [点拨]　对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字： (1)要明确旋转方向；(2)要明确旋转量；(3)要明确射线未作旋转时的位置． 知识点二　角的相等与加减 (1)角的相等 设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O′A′绕端点O′旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β. (2)角的加法 设α，β是任意两个角，我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β． (3)相反角 把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α. (4)角的减法 角的减法可以转化为角的加法，有α－β＝α＋(－β)． 知识点三　平面直角坐标系中的任意角 条件 在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合 象限角 角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角 轴线角 角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，可称为轴线角 终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 [点拨]　对终边相同的角的理解 (1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同． (2)k∈Z，即k为整数，这一条件不可少． (3)终边相同的角的表示不唯一． (4)终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍． [想一想]　第二象限角总大于第一象限角，对吗？ 提示：不对．象限角是根据角的终边位置而规定的．如：120°为第二象限角，390°为第一象限角，却有120°<390°. 1．(任意角的概念)下列说法正确的是(　　) A．最大的角是180° B．最大的角是360° C．角不可以是负的 D．角可以是任意大小 答案：D 2．(任意角概念的应用)将钟表拨慢10分钟，则分针转过的角为________． 答案：60° 3．(终边相同的角)与410°终边相同的角表示为________． 答案：k·360°＋50°(k∈Z) 4．(象限角)已知0°≤α<360°，且α与570°角的终边相同，则α＝________，它是第________象限角． 答案：210°　三 题型一　任意角的概念　　 例1　(1)下列命题正确的是(　　) A．终边与始边重合的角是零角 B．终边和始边都相同的两个角一定相等 C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角 D．小于90°的角是锐角 [解析]　终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，A错误；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，B错误；因为在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的角可以是零角，也可以是负角，D错误．故选C. [答案]　C (2)如图1，∠AOC＝________；如图2，∠FOG＝________． [解析]　∠AOC＝40°＋90°＝130°，∠FOG＝－(90°－30°)＝－60°. [答案]　130°　－60° 【感悟提升】判断角的概念问题的策略 (1)正确理解任意角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，严格辨析它们之间的联系与区别． (2)弄清角的始边与终边及旋转方向与大小，“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”． (3)判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可． 【跟踪训练】 1．(1)经过2个小时，钟表上的时针旋转形成的角为(　　) A．60° B．－60° C．30° D．－30° 答案：B 解析：钟表的时针旋转一周形成的角是－360°，其中每小时旋转形成的角是－＝－30°，所以经过2个小时旋转形成的角是－60°.故选B. (2)射线OA绕端点O顺时针旋转90°到OB位置，接着逆时针旋转100°到OC位置，然后再顺时针旋转240°到OD位置，三次旋转后形成的角记为α，求α的大小． 解：如图，α＝－90°＋100°－240°＝－230°. 题型二　终边相同的角 角度1　求与已知角终边相同的角 例2　已知α＝－315°. (1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z，0°≤β＜360°)的形式； (2)求θ，使θ与α终边相同，且－1080°<θ<－360°. [解]　(1)因为－315°＝－360°＋45°，又0°<45°<360°，所以把α写成k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式为α＝－360°＋45°(β＝45°)． (2)与－315°终边相同的角为θ＝k·360°＋45°(k∈Z)，所以当k＝－3，－2时，θ＝－1035°，－675°，满足－1080°<θ<－360°.即得所求角θ为－1035°和－675°. 【感悟提升】在某范围内寻求终边相同的角的方法 (1)将所求的角表示成k·360°＋α(α是已知角，k∈Z)的形式，然后采用赋值法求解，确定k的值，从而求出满足条件的角． (2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止． 【跟踪训练】 2．(1)与－463°终边相同的角可以表示为(　　) A．k·360°＋463°(k∈Z) B．k·360°＋103°(k∈Z) C．k·360°＋257°(k∈Z) D．k·360°－257°(k∈Z) 答案：C 解析：∵－463°＝257°－2×360°，∴与－463°终边相同的角可以表示为k·360°＋257°(k∈Z)．故选C. (2)已知－990°<α<－630°，且α与120°12′角的终边相同，则α＝________． 答案：－959°48′ 解析：∵α与120°12′角的终边相同，∴α＝k·360°＋120°12′，k∈Z.当k＝－3时，α＝－3×360°＋120°12′＝－959°48′. 角度2　求终边在给定直线上的角的集合 例3　若角α的终边在直线y＝－x上，试写出角α的集合． [解]　由于直线y＝－x是第二、四象限的平分线，故角α的集合在0°～360°范围内所对应的两个角分别为135°及315°，从而角α的集合为S＝{α|α＝135°＋k·360°或α＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋2k·180°或α＝135°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}．所以S＝{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}． 【感悟提升】 1．求终边落在直线上的角的集合的三个步骤 (1)写出在0°～360°范围内相应的角． (2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合． (3)根据条件能合并的一定要合并，并使结果简洁． 2．终边相同的角常用的三个结论 (1)终边相同的角之间相差360°的整数倍． (2)终边在同一条直线上的角之间相差180°的整数倍． (3)终边在相互垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍． 【跟踪训练】 3．写出与60°角的终边在一条直线上的角的集合． 解：在0°～360°范围内，与60°角的终边在一条直线上的角是60°与240°，故与60°角的终边在一条直线上的角的集合是S＝{α|α＝k·360°＋60°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋240°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°＋60°，k∈Z}∪{α|α＝2k·180°＋180°＋60°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°＋60°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°＋60°，n∈Z}． 题型三　区域角的表示 例4　写出终边落在图中阴影部分的角的集合． [解]　设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成． ①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}． ②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}． ∴角α的集合应当是集合①与②的并集： {α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}． [条件探究]　将本例改为下图，写出终边落在图中阴影区域的角的集合(包括边界)． 解：(1){α|45°＋k·360°≤α≤90°＋k·360°，k∈Z}∪{α|225°＋k·360°≤α≤270°＋k·360°，k∈Z}＝{α|45°＋n·180°≤α≤90°＋n·180°，n∈Z}． (2)先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，得{α|－150°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}． 【感悟提升】表示区域角的三个步骤 (1)按逆时针方向找到区域的起始和终止边界． (2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的－360°～360°范围内的角α，β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°. (3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整倍数，即得区域角的集合． 【跟踪训练】 4．写出终边落在图中阴影区域内(不包括边界)的角的集合． 解：(1)先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，得{α|k·360°＋135°<α<k·360°＋300°，k∈Z}． (2){α|k·360°－60°<α<k·360°＋45°，k∈Z}∪{α|k·360°＋120°<α<k·360°＋225°，k∈Z}＝{α|n·180°－60°<α<n·180°＋45°，n∈Z}． 题型四　象限角的判定 例5　(1)已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角． ①－75°；②855°；③－510°. [解]　作出各角，其对应的终边如图所示： ①由图(a)可知，－75°是第四象限角． ②由图(b)可知，855°是第二象限角． ③由图(c)可知，－510°是第三象限角． (2)若α是第二象限角，则2α，分别是第几象限角？ [解]　①∵α是第二象限角， ∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)， ∴180°＋k·720°<2α<360°＋k·720°(k∈Z)， ∴2α是第三或第四象限角，或角的终边在y轴的非正半轴上． ②∵α是第二象限角， ∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)， ∴45°＋k·180°<<90°＋k·180°(k∈Z)． 解法一：当k＝2n(n∈Z)时，45°＋n·360°<<90°＋n·360°(n∈Z)，即是第一象限角； 当k＝2n＋1(n∈Z)时，225°＋n·360°<<270°＋n·360°(n∈Z)，即是第三象限角． 故是第一或第三象限角． 解法二：∵45°＋k·180°(k∈Z)表示终边在第一、三象限角平分线上的角，90°＋k·180°(k∈Z)表示终边在y轴上的角，∴45°＋k·180°<<90°＋k·180°(k∈Z)表示的角的终边所在的区域如图中阴影部分(不包含边界)所示．即是第一或第三象限角． 【感悟提升】象限角的判定方法 (1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为在0°≤α<360°范围内的角α的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系，故可将角转化到0°≤α<360°范围内进行判断． (2)nα所在象限的判断方法 确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可． (3)所在象限的判断方法 已知角α所在象限，要确定角所在象限，有两种方法： ①用不等式表示出角的范围，然后对k的取值分情况讨论：被n整除，被n除余1，被n除余2，…，被n除余n－1，从而得出结论； ②作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1，2，3，4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是的终边所落在的区域．如此，所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出． 【跟踪训练】 5．(1)若α为第三象限角，试判断90°－α的终边所在的象限． 解：因为α为第三象限角， 所以180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z， 则－180°－k·360°<90°－α<－90°－k·360°，k∈Z， 所以90°－α的终边在第三象限． (2)若α为第四象限角，试判断的终边所在的象限． 解：解法一：因为α为第四象限角， 所以－90°＋k·360°<α<k·360°，k∈Z， 所以－45°＋k·180°<<k·180°，k∈Z. 当k＝2n，n∈Z时，－45°＋n·360°<<n·360°，n∈Z，是第四象限角； 当k＝2n＋1，n∈Z时，135°＋n·360°<<180°＋n·360°，n∈Z，是第二象限角． 综上，的终边所在的象限是第二或第四象限． 解法二：如图，将每个象限二等分，再从x轴的非负半轴的上方起，依次将各区域标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，则标号为Ⅳ的区域即为的终边所在的区域，可知的终边所在的象限是第二或第四象限． 1．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置绕端点O旋转到达OC位置，得∠AOC＝－150°，则射线OB旋转的方向与角度分别为(　　) A．逆时针，270° B．顺时针，270° C．逆时针，30° D．顺时针，30° 答案：B 解析：由题意可得∠AOB＝120°，设∠BOC＝θ，则∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝120°＋θ＝－150°，解得θ＝－270°，所以射线OB绕端点O顺时针旋转270°.故选B. 2．下列选项中与角α＝1680°终边相同的角是(　　) A．120° B．－240° C．－120° D．60° 答案：C 解析：与α＝1680°终边相同的角为β＝1680°＋k·360°，k∈Z，当k＝－5时，β＝1680°－5×360°＝－120°，C符合要求，经过检验，其他选项不符合要求．故选C. 3．若角α的终边在y轴的非正半轴上，则角α－150°的终边在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．y轴的非负半轴上 D．x轴的非正半轴上 答案：B 解析：因为角α的终边在y轴的非正半轴上，所以α＝k·360°＋270°(k∈Z)，所以α－150°＝k·360°＋270°－150°＝k·360°＋120°(k∈Z)，所以角α－150°的终边在第二象限．故选B. 4．－285°角是第________象限角． 答案：一 解析：∵－285°＝－360°＋75°，而75°角是第一象限角，∴－285°角是第一象限角． 5．已知角α的终边在如图阴影区域表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________． 答案：{α|k·360°＋30°<α<k·360°＋135°，k∈Z} 解析：观察图形可知，角α的集合是{α|k·360°＋30°<α<k·360°＋135°，k∈Z}． 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 求与已知角终边相同的角 象限角的判断 求与已知角终边相同的角的集合 区域角的表示 根据角终边的对称关系求角的关系 与任意角有关的集合之间关系的判断 象限角的判断 确定n分角所在的象限 象限角的判断 根据角终边的对称关系求角的关系 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 终边相同角的表示；角的分类；确定n倍角所在的象限；与任意角有关的集合之间关系的判断 终边共线角的表示　 任意角概念的应用　 与任意角有关的集合间的运算 角的加法的实际应用 确定n倍角所在的象限 终边相同的角的应用 角的表示；区域角的表示 任意角的概念及表示；象限角的应用 一、单项选择题 1．下列角中与60°角终边相同的是(　　) A．240° B．440° C．1140° D．1260° 答案：C 解析：与60°角终边相同的角的集合为{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，取k＝3，得α＝1140°.所以与60°角终边相同的角是1140°. 2．若θ＝2025°，则角θ的终边在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：C 解析：因为2025°＝5×360°＋225°，所以225°角与2025°角的终边相同，易知225°角的终边在第三象限．故选C. 3．与－457°角终边相同的角的集合是(　　) A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z} B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z} C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z} D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z} 答案：C 解析：由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角终边相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝－97°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}． 4．如图，终边在阴影部分(含边界)的角的集合是(　　) A．{α|－45°≤α≤120°} B．{α|120°≤α≤315°} C．{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z} D．{α|120°＋k·360°≤α≤315°＋k·360°，k∈Z} 答案：C 解析：阴影部分表示的集合是{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}．故选C. 5．若角α的终边与角β的终边关于原点对称，则(　　) A．α＝β B．α＝180°＋β C．α＝k·360°＋β，k∈Z D．α＝k·360°＋180°＋β，k∈Z 答案：D 解析：借助图形可知，若角α的终边与角β的终边关于原点对称，则α＝k·360°＋180°＋β，k∈Z.故选D. 6．已知集合A＝{x|x是第二象限角}，B＝{x|x是钝角}，C＝{x|x是大于90°的角}，那么A，B，C的关系是(　　) A．B＝A∩C B．B∪C＝C C．AC D．A＝B＝C 答案：B 解析：对于A，如480°是第二象限角且大于90°，但不是钝角，故A错误；对于B，D，因为钝角一定大于90°，但大于90°的角不一定是钝角，故B是C的真子集，故B正确，D错误；对于C，如－210°是第二象限角，但小于90°，故C错误．故选B. 7．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是(　　) A．90°－α B．90°＋α C．360°－α D．180°＋α 答案：C 解析：若α是第一象限角，则90°－α是第一象限角，90°＋α是第二象限角，360°－α是第四象限角，180°＋α是第三象限角．故选C. 8．若角α是第三象限角，则角的终边所在的区域是如图所示的区域(不含边界)(　　) A．③⑦ B．④⑧ C．②⑤⑧ D．①③⑤⑦ 答案：A 解析：如图，将每个象限二等分，再从x轴的非负半轴的上方起，依次将各区域标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，标号Ⅲ所在的区域即为的终边所在的区域，可知的终边所在的区域为③⑦.故选A. 二、多项选择题 9．下列四个结论中正确的是(　　) A．－75°角是第四象限角 B．225°角是第三象限角 C．475°角是第一象限角 D．－315°角是第二象限角 答案：AB 解析：对于A，如图1所示，－75°角是第四象限角，A正确；对于B，如图2所示，225°角是第三象限角，B正确；对于C，如图3所示，475°角是第二象限角，C错误；对于D，如图4所示，－315°角是第一象限角，D错误．故选AB. 10．下列条件中，能使角α和角β的终边关于y轴对称的是(　　) A．α＋β＝90° B．α＋β＝180° C．α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z) D．α＋β＝(2k＋1)·180°(k∈Z) 答案：BD 解析：假设α，β为0°～180°内的角，如图所示，因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以α＋β＝180°，所以B满足条件；结合终边相同的角的概念，可得α＋β＝k·360°＋180°＝(2k＋1)·180°(k∈Z)，所以D满足条件，A，C都不满足条件． 11．下列判断中正确的是(　　) A．终边经过点(0，a)(a≠0)的角的集合是{α|α＝90°＋k·180°，k∈Z} B．若将表的分针拨快15 min，则分针转过的角的大小是－90° C．若α是第三象限角，则2α为第一或第二象限角 D．若M＝{x|x＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{y|y＝90°＋k·45°，k∈Z}，则M⊆N 答案：ABD 解析：对于A，终边经过点(0，a)(a≠0)的角与90°角或270°角的终边相同，表示的集合为{α|α＝90°＋k·360°或α＝270°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝90°＋2k·180°或α＝90°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝90°＋k·180°，k∈Z}，所以A正确；对于B，因为旋转方向是顺时针，所以分针转过的角的大小是－90°，所以B正确；对于C，因为α是第三象限角，所以180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z，则360°＋k·720°<2α<540°＋k·720°，k∈Z，即2α为第一或第二象限角或终边在y轴非负半轴上的角，所以C错误；对于D，M＝{x|x＝45°＋k·90°，k∈Z}＝{x|x＝(2k＋1)·45°，k∈Z}，N＝{y|y＝90°＋k·45°，k∈Z}＝{y|y＝(k＋2)·45°，k∈Z}，所以M⊆N，所以D正确．故选ABD. 三、填空题 12．若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－150°，则β＝________． 答案：k·360°＋30°(k∈Z) 解析：在0°～360°范围内与α＝－150°的终边互为反向延长线的角是30°角，所以β＝k·360°＋30°(k∈Z)． 13．如果角α满足180°<α<360°，角5α与角α有相同的始边，且又有相同的终边，那么α＝________． 答案：270° 解析：∵5α＝α＋k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z.又180°<α<360°，∴α＝270°. 14．设集合A＝{x|k·360°＋60°<x<k·360°＋300°，k∈Z}，B＝{x|k·360°－210°<x<k·360°，k∈Z}，则A∩B＝________． 答案：{x|k·360°＋150°<x<k·360°＋300°，k∈Z} 解析：A∩B＝{x|k·360°＋60°<x<k·360°＋300°，k∈Z}∩{x|k·360°－360°＋150°<x<k·360°－360°＋360°，k∈Z}＝{x|k·360°＋60°<x<k·360°＋300°，k∈Z}∩{x|(k－1)·360°＋150°<x<(k－1)·360°＋360°，k∈Z}＝{x|k·360°＋150°<x<k·360°＋300°，k∈Z}． 15．中央电视台每天晚上播出的《焦点访谈》是时事、政治性较强的一个节目，其播出时间是晚上看电视节目人数最多的“黄金时间”，即晚上7点到8点之间的一个时刻，这一时刻也是时针与分针重合的时刻，高度显示“聚焦”之意，比喻时事、政治的“焦点”，则这个时刻大约是(　　) A．7点36分 B．7点38分 C．7点40分 D．7点42分 答案：B 解析：如图，设7点t分(0<t<60)时，时针OA与分针OB重合．在7点时，时针OC与分针OD所夹的角为210°，时针每分钟转0.5°，分针每分钟转6°，则分针从OD到达OB需旋转(6t)°，时针从OC到达OA需旋转(0.5t)°，所以(6t)°＝(0.5t)°＋210°，解得t＝38≈38.故选B. 16．(多选)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝x上，则角3θ是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案：BD 解析：因为角θ的终边在直线y＝x上，所以角θ为k·180°＋45°(k∈Z)，可得角3θ为3k·180°＋135°(k∈Z)，所以角3θ的终边在第二、四象限． 17．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，则α＝________，β＝________． 答案：15°　65° 解析：由题意可知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z，因为α，β都是锐角，所以0°<α＋β<180°.取k＝1，得α＋β＝80°　①.因为α－β＝670°＋k·360°，k∈Z，α，β都是锐角，所以－90°<α－β<90°.取k＝－2，得α－β＝－50°　②.由①②，得α＝15°，β＝65°. 18．(1)已知α＝－1910°，把α写成β＋k·360°(k∈Z，0°≤β＜360°)的形式，并求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°； (2)已知角γ的终边在图中阴影部分内，试写出角γ的取值范围． 解：(1)设α＝β＋k·360°(k∈Z)， 则β＝－1910°－k·360°(k∈Z)， 令－1910°－k·360°≥0°， 解得k≤－＝－5. 又k∈Z，故k的最大整数解为k＝－6，求出相应β＝250°， 于是α＝250°－6×360°. 令θ＝250°＋n·360°(n∈Z)， 取n＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角． 又250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°， 故θ＝－110°或－470°. (2)解法一：图中阴影部分内的角γ的取值范围为{γ|－60°＋k·360°<γ≤k·360°，k∈Z}∪{γ|120°＋k·360°<γ≤180°＋k·360°，k∈Z}＝{γ|－60°＋2k·180°<γ≤2k·180°，k∈Z}∪{γ|－60°＋180°＋2k·180°<γ≤180°＋2k·180°，k∈Z}＝{－60°＋2k·180°<γ≤2k·180°，k∈Z}∪{γ|－60°＋(2k＋1)·180°<γ≤(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{γ|－60°＋n·180°<γ≤n·180°，n∈Z}． 解法二：因为终边在120°角的终边所在直线上的角的集合为s1＝{γ|γ＝－60°＋k·180°，k∈Z}，终边在x轴上的角的集合为s2＝{γ|γ＝k·180°，k∈Z}，所以图中阴影部分内的角γ的取值范围为{γ|－60°＋k·180°<γ≤k·180°，k∈Z}． 19．一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动，两只蚂蚁均从点A(1，0)同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°)，如果两只蚂蚁都在第14 s时回到点A，且在第2 s时均位于第二象限，求α，β的值． 解：根据题意，可知14α，14β均为360°的整数倍， 故可设14α＝m·360°，m∈Z，14β＝n·360°，n∈Z， 则α＝·180°，m∈Z，β＝·180°，n∈Z. 由两只蚂蚁在第2 s时均位于第二象限，知2α，2β均为第二象限角． 因为0°<α<β<180°，所以0°<2α<2β<360°， 所以90°<2α<2β<180°， 于是45°<α<90°，45°<β<90°. 所以45°<·180°<90°，45°<·180°<90°， 即<m<，<n<， 又α<β，所以m<n， 又m∈Z，n∈Z，所以m＝2，n＝3， 即α＝，β＝. 17 学科网（北京）股份有限公司 $